高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)-2025屆高考數(shù)學(xué)考點剖析精創(chuàng)專題卷

專題二函數(shù)與導(dǎo)數(shù)——2025屆高考數(shù)學(xué)考點剖析精創(chuàng)專題卷學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．已知，函數(shù)若，則a的值為()A.3 B.1 C.-4 D.21．答案：D解析：由題意，可得，則，解得.2．已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若，則滿足的x的取值范圍是()A. B. C. D.2．答案：D解析：因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以.由，得.又函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以，解得.3．[2023秋·高一·福建龍巖·月考校考]在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將函數(shù)，的圖象向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，則所得新函數(shù)的圖象恒過定點()A. B. C. D.3．答案：A解析：方法一：將函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度，得到的圖象，再向上平移1個單位長度，得到的圖象，即.令，得，，故的圖象恒過定點.方法二：因為（，），令，得，，所以的圖象過定點.將點向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到點，所以的圖象恒過定點.4．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為().A. B. C. D.4．答案：D解析：因為，所以，因為，所以.因為，所以，所以.5．我國的5G通信技術(shù)領(lǐng)先世界，技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一是著名的香農(nóng)（Shannon）公式，香農(nóng)提出并嚴(yán)格證明了在被高斯白噪聲干擾的信道中，計算最大信息傳送速率C的公式，其中W是信道帶寬，S是信道內(nèi)所傳信號的平均功率（W），N是信道內(nèi)部的高斯噪聲功率（W），其中叫做信噪比.根據(jù)此公式，在不改變W的前提下，將信噪比從99提升至，使得C大約增加了，則的值大約為（參考數(shù)據(jù)：）()A.1559 B.3943 C.1579 D.25125．答案：C解析：由題意得，則，，.故選C.6．[2024屆·天津薊州區(qū)·模擬考試?？糫已知函數(shù)函數(shù).若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.6．答案：B解析：如圖，當(dāng)時，函數(shù)與的圖象有1個交點.要使有3個零點，則當(dāng)時，與的圖象有兩個交點即可，若，則當(dāng)時，，兩函數(shù)圖象沒有交點，所以.畫出，的大致圖象，如圖所示，由圖象可知，函數(shù)，的圖象在內(nèi)至多有一個交點.若函數(shù)與的圖象在上有兩個交點，則在上沒有交點，即直線與曲線在上有兩個交點，且函數(shù)，的圖象在上沒有交點，即方程在上有兩個解，且在上沒有解.設(shè)，需滿足且，解得；若在上函數(shù)與的圖象只有1個交點，則在上函數(shù)與的圖象有1個交點，即在上只有1個解，且在上只有1個解，又，則且，此時無解.綜上，要使函數(shù)與圖象在上只有兩個交點，則.7．[2024春·高二·陜西西安·月考?？糫已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為()A. B. C. D.7．答案：A解析：令，則，所以在R上單調(diào)遞增.由，得，即，又在R上單調(diào)遞增，所以，解得，即不等式的解集為.故選A.8．[2025屆·福建寧德·模擬考試校考]若對任意的，且，，則實數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.8．答案：D解析：由題可知，，因為，且，所以，兩邊同時除以得，即.設(shè)函數(shù)，其中，因為當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，因為，令，得，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，所以.故選D.二、多項選擇題9．[2023屆·安徽·模擬考試校考]已知函數(shù)，則下列說法正確的是()A.函數(shù)的圖象恒過定點B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)在上的最小值為0D.若對任意，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是9．答案：ACD解析：A√，所以的圖象恒過定點.B×當(dāng)時，，又，所以，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，時，單調(diào)遞增.C√當(dāng)時，，所以.D√因為對任意，恒成立，且，所以，得.10．中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的和諧美.定義：圓O的圓心在原點，若函數(shù)的圖象將圓O的周長和面積同時等分成兩部分，則這個函數(shù)稱為圓O的一個“太極函數(shù)”.下列說法正確的有()A.對于圓O，其“太極函數(shù)”只有1個B.函數(shù)是圓O的一個“太極函數(shù)”C.函數(shù)是圓O的“太極函數(shù)”D.函數(shù)是圓O的一個“太極函數(shù)”10．答案：BD解析：對于A選項，圓O的“太極函數(shù)”不止1個，故A錯誤；對于B選項，函數(shù)當(dāng)時，，當(dāng)時，，故為奇函數(shù)，畫出函數(shù)的簡圖如圖所示，可知函數(shù)為圓O的一個“太極函數(shù)”，故B正確；對于C選項，函數(shù)的定義域為R，，也是奇函數(shù)，畫出函數(shù)的簡圖如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)圖象與圓O只有兩個交點時，為圓O的一個“太極函數(shù)”，故C錯誤；對于D選項，函數(shù)的定義域為R，，故為奇函數(shù)，，，在上均單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，畫出函數(shù)的簡圖如圖所示，可知函數(shù)是圓O的一個“太極函數(shù)”，故D正確.故選BD.11．[2024年全國高考真題]設(shè)函數(shù)，則()A.當(dāng)時，有三個零點B.當(dāng)時，是的極大值點C.存在a，b，使得為曲線的對稱軸D.存在a，使得點為曲線的對稱中心11．答案：AD解析：由題可知，.對于A，當(dāng)時，由得，由得或，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，故有三個零點，A正確；對于B，當(dāng)時，由得，由得或，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點，B錯誤；對于C，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故曲線必不存在對稱軸，C錯誤；對于D，解法一：，令，則可轉(zhuǎn)化為，由為奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于原點對稱，可知的圖象關(guān)于點對稱，則的圖象關(guān)于點對稱，故存在，使得點為曲線的對稱中心，D正確.故選AD.解法二：任意三次函數(shù)的圖象均關(guān)于點成中心對稱，D正確.故選AD.三、填空題12．[2022年天津高考真題]設(shè)，對于任意實數(shù)x，記，若至少有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為__________.12．答案：解析：令，則關(guān)于x的方程的判別式.（1）當(dāng)時，函數(shù)無零點，從而不可能有3個及以上的零點.（2）當(dāng)時，或，①當(dāng)時，，如圖1，有2個零點，不符合要求；②當(dāng)時，有3個零點，如圖2，符合要求.（3）當(dāng)時，或，①當(dāng)時，函數(shù)圖象的對稱軸為直線，函數(shù)和的圖象如圖3，若至少有3個零點，則，即，所以；②當(dāng)時，函數(shù)圖象的對稱軸為直線，此時只有2個零點.綜上所述，.13．已知函數(shù)的定義域為R，其圖象關(guān)于直線對稱，且，在上單調(diào)遞減，則在上的所有整數(shù)解的和為___________.13．答案：6解析：因為函數(shù)的定義域為R，且，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且.由在上單調(diào)遞減，且的圖象關(guān)于點和直線對稱，可畫出在上的大致圖象，如圖所示，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由對稱性可得，所以在上的所有整數(shù)解為1，2，3，其和為.14．[2024春·高二·山東·月考]已知則使恒成立的m的范圍是______.14．答案：解析：因,令,,依題意,,,當(dāng)時,,求導(dǎo)得,當(dāng)時,,當(dāng)時,,因此在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,取得極大值;當(dāng)時,,求導(dǎo)得,在上單調(diào)遞減,,于是得函數(shù)在上單調(diào)遞減,,因此,則,所以m的取值范圍是.故答案為:.四、解答題15．已知函數(shù)的定義域為R，對任意的，都有.當(dāng)時，，且.（1）求的值，并證明：當(dāng)時，.（2）判斷并證明的單調(diào)性.（3）若，求不等式的解集.15．答案：（1），證明見解析（2）在R上單調(diào)遞減.證明見解析（3）解析：（1）令，則，又，所以.當(dāng)時，，所以.又，所以，即.（2）在R上單調(diào)遞減.證明如下：設(shè)，則.又，所以，所以.又當(dāng)時，，當(dāng)時，，，所以恒成立，即，所以，即，所以在R上單調(diào)遞減.（3）因為，所以，所以，即.又在R上單調(diào)遞減，所以，解得，所以不等式的解集為.16．[2023秋·高一·云南曲靖·月考?？糫已知冪函數(shù)在上為減函數(shù).（1）試求函數(shù)解析式；（2）判斷函數(shù)的奇偶性并寫出其單調(diào)區(qū)間.16．答案：（1）（2）奇函數(shù)，其單調(diào)減區(qū)間為，解析：（1）由題意得，，解得或，經(jīng)檢驗當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上無意義，所以，則.（2），要使函數(shù)有意義，則，即定義域為，其關(guān)于原點對稱.，該冪函數(shù)為奇函數(shù).當(dāng)時，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知在上為減函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，在上也為減函數(shù)，故其單調(diào)減區(qū)間為，.17．已知函數(shù)，.（1）若是偶函數(shù)，求實數(shù)a的值及函數(shù)的值域；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.17．答案：（1）；函數(shù)的值域是（2）解析：（1）若是偶函數(shù)，則，即，則，即恒成立，所以.經(jīng)驗證，時，為R上的偶函數(shù)，符合題意.因為，所以，故函數(shù)的值域是.（2）因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且為定義域上的增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，且時，，所以解得.故實數(shù)a的取值范圍是.18．[2024年全國高考真題]已知函數(shù).（1）若，且，求a的最小值；（2）證明：曲線是中心對稱圖形；（3）若當(dāng)且僅當(dāng)，求b的取值范圍.18．答案：（1）-2（2）證明見解析（3）解析：（1）的定義域為，若，則，，當(dāng)時，，，則，故a的最小值為-2.（2），故曲線關(guān)于點中心對稱.（3）由題知，此時，.記，，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞增，又，故符合題意.當(dāng)時，，，令，得，因為，所以，故，，所以當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞減，故，不符合題意.綜上，b的取值范圍為.19．[2024年全國高考真題]已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍.19．答案：（1）