教學(xué)設(shè)計(jì)-5.5 反常積分

《高等數(shù)學(xué)（慕課版）》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容：反常積分完成時(shí)間：2025年2月授課信息授課內(nèi)容授課時(shí)長反常積分1學(xué)時(shí)授課形式授課時(shí)間理論課授課對象授課地點(diǎn)內(nèi)容分析反常積分是對定積分的推廣，是積分學(xué)中處理特殊積分情形的重要工具，能解決無限區(qū)間或無界函數(shù)的積分問題。反常積分的學(xué)習(xí)，可解決后續(xù)概率統(tǒng)計(jì)里連續(xù)型隨機(jī)變量在無限區(qū)間概率等問題。學(xué)情分析1、學(xué)生已有的知識(shí)與能力：(1)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了定積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算方法，對積分的基本思想有了一定的理解；(2)具備了一定的邏輯思維能力和運(yùn)算能力，能夠進(jìn)行一些基本的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和計(jì)算。2、學(xué)生可能存在的問題及困難：(1)反常積分涉及到極限的概念和運(yùn)算，對學(xué)生的極限運(yùn)算能力和抽象思維能力提出了更高要求，部分學(xué)生在處理復(fù)雜極限問題時(shí)可能會(huì)遇到困難，需要在教學(xué)中強(qiáng)化訓(xùn)練；(2)內(nèi)容有一定難度，部分基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生畏難情緒，需要關(guān)注并及時(shí)給予鼓勵(lì)和指導(dǎo)。教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)：1、理解無窮限反常積分和無界函數(shù)反常積分的定義；2、明確反常積分的斂散性；能力目標(biāo)：會(huì)計(jì)算反常積分素質(zhì)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生善于洞察研究對象本質(zhì)的能力，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)間的邏輯結(jié)構(gòu)，形成恰當(dāng)?shù)耐评聿⒆鞒稣_的猜想；2、通過積分的運(yùn)算，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：無窮限反常積分和無界函數(shù)反常積分的定義，反常積分的斂散性教學(xué)難點(diǎn)：反常積分的計(jì)算教學(xué)方法引導(dǎo)探究法、講授法、問答法、練習(xí)法、演示法教學(xué)設(shè)計(jì)課前任務(wù)→回顧復(fù)習(xí)+導(dǎo)入新課（7min）→講授新課（25min）→鞏固提高（10min）→歸納總結(jié)（2min）→布置作業(yè)（1min）→課后拓展課程思政設(shè)計(jì)反常積分將定積分從有限區(qū)間、有界函數(shù)拓展到無窮區(qū)間和無界函數(shù)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)概念從特殊到一般、從有限到無限的辯證發(fā)展過程。引導(dǎo)學(xué)生思考這一過程，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力，讓學(xué)生明白事物是不斷發(fā)展變化的，在學(xué)習(xí)和生活中要用發(fā)展的眼光看待問題。教學(xué)過程課前環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)課前任務(wù)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖課前導(dǎo)學(xué)復(fù)習(xí)定積分概念。復(fù)習(xí)牛頓-萊布尼茲公式及定積分計(jì)算的換元積分法、分部積分法。3、預(yù)習(xí)反常積分。1、發(fā)布任務(wù)：課前兩天學(xué)習(xí)通發(fā)布任務(wù)，并提醒學(xué)生接收任務(wù)；2、跟蹤提醒：通過學(xué)習(xí)通觀測任務(wù)完成情況，及時(shí)督促提醒，把握學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)。按時(shí)完成課前任務(wù)，明確本節(jié)課個(gè)人學(xué)習(xí)難點(diǎn)。1、鍛煉自學(xué)能力：自主學(xué)習(xí)，掌握易點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)難點(diǎn)；2、優(yōu)化教學(xué)策略：依據(jù)課前任務(wù)完成情況，掌握學(xué)情，調(diào)整優(yōu)化教學(xué)策略。課中環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課【回顧復(fù)習(xí)】定積分概念；牛頓-萊布尼茨公式。帶領(lǐng)學(xué)生回顧復(fù)習(xí)定積分概念、性質(zhì)及計(jì)算方法，指出定積分的積分區(qū)間是有限的，被積函數(shù)是有界的，從而引出反常積分。認(rèn)真復(fù)習(xí)、認(rèn)真思考。根據(jù)“建構(gòu)主義理論”，任務(wù)的目標(biāo)性與教學(xué)情境的創(chuàng)建，使學(xué)生帶著任務(wù)學(xué)習(xí)，有利于激發(fā)學(xué)生的求知欲?！疽胄轮繂栴}思考：計(jì)算由曲線與軸、軸所圍成的“開口曲邊梯形”的面積.通過課前的思考題導(dǎo)入新課，讓學(xué)生意識(shí)到對于一些題目，利用定積分并不能解決時(shí)，思考新的解決方案。積極思考，體會(huì)前面所學(xué)過的計(jì)算工具的局限性，意識(shí)到引入反常積分的必要性。探究新知一、無窮限的反常積分1、定義2、計(jì)算1、無窮限的反常積分(三種情形)；定義5.2設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，任取，如果極限存在，則稱該極限值為函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分，記作，此時(shí),也稱反常積分收斂；若上述極限不存在，則稱反常積分發(fā)散．與此類似，定義另外兩種情況。2、通過例題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用無窮限反常積分的定義計(jì)算反常積分?！纠?.29】-【例5.30】積極思考，在教師的引導(dǎo)下學(xué)會(huì)計(jì)算無窮限反常積分。教師主導(dǎo)，學(xué)生主體，引導(dǎo)探究與講授相結(jié)合，高效講解本節(jié)課核心新知。無界函數(shù)的反常積分1、定義2、計(jì)算1、無界函數(shù)的反常積分(三種情形)；定義5.3設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的反常積分，記作，這此時(shí)稱反常積分收斂；如果上述極限不存在，稱反常積分發(fā)散．與此類似，定義另外兩種情況。2、通過例題引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用無界函數(shù)反常積分的定義計(jì)算反常積分。【例5.31】-【例5.32】認(rèn)真聆聽，思考無窮限反常積分的計(jì)算過程。鞏固提高1、無窮限反常積分2、無界函數(shù)的反常積分【練習(xí)1】、【練習(xí)2】1、引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的計(jì)算方法進(jìn)行鞏固練習(xí)，已達(dá)到真正內(nèi)化的效果；2、留一定時(shí)間給學(xué)生做習(xí)題練習(xí)，并講評(píng)學(xué)生的做題情況。認(rèn)真聆聽教師對例題的講解；獨(dú)立完成練習(xí)題，并積極回答，并做好總結(jié)整理。分層次設(shè)置練習(xí)，循序漸進(jìn)地使學(xué)生及時(shí)鞏固所學(xué)。課堂小結(jié)本節(jié)課重點(diǎn)、要點(diǎn)內(nèi)容總結(jié)：反常積分的定義與計(jì)算和學(xué)生一起回顧與強(qiáng)調(diào)本節(jié)課重點(diǎn)知識(shí)，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)效果。認(rèn)真總結(jié)，從整體上把握本節(jié)課。診斷、強(qiáng)化課堂學(xué)習(xí)效果。課后環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖拓展任務(wù)【書面作業(yè)】課后習(xí)題5.5：1題1、發(fā)布任務(wù)2、指導(dǎo)協(xié)助了解情況并給予指導(dǎo)。接受任務(wù)，查閱課本與資料，認(rèn)真完成。延拓本次課內(nèi)容，承接下節(jié)課新知；既鞏固所學(xué)，又起到預(yù)習(xí)作用。教學(xué)評(píng)價(jià)（1）評(píng)價(jià)構(gòu)成課程堅(jiān)持強(qiáng)化過程性評(píng)價(jià)、探索增值性評(píng)價(jià)的評(píng)價(jià)改革要求，著眼于學(xué)生長期發(fā)展需要的滿足，將終結(jié)性評(píng)價(jià)與過程性評(píng)價(jià)相結(jié)合，側(cè)重過程性評(píng)價(jià)。（2）評(píng)價(jià)要素過程性評(píng)價(jià)主要依托學(xué)習(xí)通平臺(tái)，完成課前、課中和課后全過程學(xué)習(xí)軌跡記錄和評(píng)價(jià)。主要包括：課前任務(wù)完成、課堂學(xué)習(xí)活動(dòng)、課后任務(wù)完成情況等要素。（3）評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)在評(píng)價(jià)學(xué)生時(shí)注重“三個(gè)結(jié)合”：學(xué)習(xí)過程與學(xué)習(xí)結(jié)果結(jié)合、理論知識(shí)與實(shí)踐能力結(jié)合、課程學(xué)習(xí)成績與學(xué)生日常行為素質(zhì)表現(xiàn)結(jié)合教學(xué)反思在內(nèi)容講解時(shí)，對反常積分概念從定積分的拓展闡釋較為清晰，通過對比有限區(qū)間定積分與無窮區(qū)間、無界函數(shù)的反常積分，幫助學(xué)生理解概念本質(zhì)。但實(shí)例不夠豐富，導(dǎo)致部分學(xué)生理解困難，后續(xù)應(yīng)增加多種類型例題，由淺入深剖析。在復(fù)雜反常積分?jǐn)可⑿耘袆e上問題較多，反映出學(xué)生對知識(shí)綜合運(yùn)用能力欠缺。后續(xù)教學(xué)需加強(qiáng)針對性練習(xí)，設(shè)計(jì)分層作業(yè)，滿足不同層次學(xué)生需求，強(qiáng)化知識(shí)應(yīng)用能力培養(yǎng)。板書設(shè)計(jì)5.5反常積分（主板）