2024-2025學年高中數(shù)學第三章空間向量與立體幾何3.1.1空間向量及其加減運算練習含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-3.1.1空間向量及其加減運算[學生用書P131(單獨成冊)][A基礎達標]1．已知空間向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，則下列結(jié)論正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)) D．eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))解析：選B.依據(jù)空間向量的加減運算可得B正確．2．給出下列命題：①向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度與向量eq\o(BA,\s\up6(→))的長度相等；②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反；③兩個有公共終點的向量，肯定是共線向量；④若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上；⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5解析：選C.①真命題；②假命題，若a與b中有一個為零向量時，其方向不確定；③假命題，終點相同并不能說明這兩個向量的方向相同或相反；④假命題，共線向量所在直線可以重合，也可以平行；⑤假命題，向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段．故假命題的個數(shù)為4.3．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))滿意|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|，則()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))同向 D．eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))同向解析：選D.由|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(CB,\s\up6(→))|，知A，B，C三點共線且C點在線段AB上，所以eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))同向．4．空間四邊形ABCD中，若E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊上的中點，則下列各式中成立的是()A.eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝0B.eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＝0C.eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝0D.eq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＝0解析：選B.由于E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA邊上的中點，所以四邊形EFGH為平行四邊形，其中eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(FG,\s\up6(→))，且eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))，而E，B，F(xiàn)，G四點構(gòu)成一個封閉圖形，首尾相接的向量的和為零向量，即有eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(EH,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＝0.5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運算的結(jié)果為eq\o(AC1,\s\up6(→))的有()①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))；②eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(C1C,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))；④eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)).A．①④ B．①②③C．①②④ D．①②③④解析：選D.依據(jù)空間向量的加法運算法則及正方體的性質(zhì)，逐一進行推斷：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；②eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；③eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(C1C,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))；④eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→)).所以，所給四個式子的運算結(jié)果都是eq\o(AC1,\s\up6(→)).6．式子(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))運算的結(jié)果是__________．解析：(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→)).答案：eq\o(AC1,\s\up6(→))7．已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′，則下列四式中正確的有________．①eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；②eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))；③eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(CC′,\s\up6(→))；④eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(C′C,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→)).解析：eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，①正確；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→))，②正確；③明顯正確；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(C′C,\s\up6(→))＝eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(C′C,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，④錯．答案：①②③8．給出下列幾個命題：①方向相反的兩個向量是相反向量；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③對于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正確命題的序號為________．解析：對于①，長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量，故①錯；對于②，若|a|＝|b|，則a與b的長度相等，但方向沒有任何聯(lián)系，故不正確；只有③正確．答案：③9.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，化簡向量表達式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))；(2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))＋eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)).解：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.(2)因為eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以原式＝eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0.10.如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，DB的中點，請化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡結(jié)果的向量．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→)).解：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).作出向量如圖所示：[B實力提升]11．已知正方體ABCD-A′B′C′D′的中心為O，則在下列各結(jié)論中正確的共有()①eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OB′,\s\up6(→))＋eq\o(OC′,\s\up6(→))是一對相反向量；②eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))與eq\o(OA′,\s\up6(→))－eq\o(OD′,\s\up6(→))是一對相反向量；③eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OA′,\s\up6(→))＋eq\o(OB′,\s\up6(→))＋eq\o(OC′,\s\up6(→))＋eq\o(OD′,\s\up6(→))是一對相反向量；④eq\o(OA′,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC′,\s\up6(→))是一對相反向量．A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：選C.如圖所示，①eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\o(OC′,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OB′,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝－(eq\o(OB′,\s\up6(→))＋eq\o(OC′,\s\up6(→)))，是一對相反向量；②eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(OA′,\s\up6(→))－eq\o(OD′,\s\up6(→))＝eq\o(D′A′,\s\up6(→))，而eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(D′A′,\s\up6(→))，故不是相反向量；③同①也是正確的；④eq\o(OA′,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OC′,\s\up6(→))＝eq\o(C′C,\s\up6(→))＝－eq\o(AA′,\s\up6(→))，是一對相反向量．12．下列說法中錯誤的是________(填序號)．①在正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；②若兩個非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))滿意eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，則eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))互為相反向量．③eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))的充要條件是A與C重合，B與D重合．解析：①正確．②正確.eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))為非零向量，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))互為相反向量．③錯誤．由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，且eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))同向，但A與C，B與D不肯定重合．答案：③13．如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1，試在圖中畫出下列向量表達式所表示的向量．(1)eq\o(AB1,\s\up6(→))－eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(AD1,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AD1,\s\up6(→)).解：(1)如圖所示，eq\o(AB1,\s\up6(→))－eq\o(AD1,\s\up6(→))＝eq\o(D1B1,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(AD1,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C2,\s\up6(→))＝eq\o(AC2,\s\up6(→)).(2)如圖所示，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AD1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD1,\s\up6(→))＝eq\o(D1C,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AD1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC3,\s\up6(→))＝eq\o(AC3,\s\up6(→)).14．(選做題)如圖所示，在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中．(1)化簡eq\o(A1F1,\s\up6(→))－eq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(FF1,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(F1A1,\s\up6(→))，并在圖中標出化簡結(jié)果的向量；(2)