高中數(shù)學(xué)競賽訓(xùn)練題集大全

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高中數(shù)學(xué)競賽訓(xùn)練題一選擇題

1.當(dāng)0cx<1時，f(x)=—9則下列大小關(guān)系正確的是()

1gX

A.f\x)<f(x2)<f(x)B.f(x2)<f2(x)<f(x)

C./(x)</(x2)</2(x)D.f(x2)<f(x)<f2(x)

2.設(shè)/(x)在[0,1]上有定義，要使函數(shù)。)+/(%+。)有定義，則。的取值范圍

為()

A.(-00,-1)；B.[-另]；C.(-,+<?)?D.(-co,-l]u[p-Hx))

3.已知P為三角形ABC內(nèi)部任一點(不包括邊界)，且滿足

(PB-PA)(PB+PA-2PC)=0t則4ABC一定為()

A.直角三角形；B.等邊三角形；C.等腰直角三角形；D.等腰三角形

4.已知/(力=/+(/+從一1卜+42+2必一從是偶函數(shù)，則函數(shù)圖象與y軸交點

的縱坐標的最大值是()

A.V2B.2C.2>/2D.4

5.已知函數(shù)/(%)=/-4%+3,集合M={(x,y)"(x)+f(y)40},集合

N={(x,y)\f(x)-f(y)>0]t則在平面直角坐標系內(nèi)集合Mp|N所表示的區(qū)域的

面積是()

A.—B.—C.7TD.27r

42

6.函數(shù)〃x)=+J12-3文的值域為()

A[1,問B.[1,G]C.1,|D.[1,2]

7.設(shè)/(X)有反函數(shù)廣?(x),將y=/(2x-3)的圖象向左平移2個單位，再關(guān)于X軸對

稱后所得函數(shù)的反函數(shù)是()

A.￡Vx)z!B.上次包C.上山D.八吐1

2’222

八包一cos4x+sin4x+sin2xcos2x科出山,、

8.化簡二角有理式------------------r-----「的值為()

sinx+cosx+2sinxcosx

A.1B.sinx+cosxC.sinxcosxD.1+sinxcosx

9.設(shè)Z,5為兩個相互垂直的單位向量c已知源=3,OQ=h,赤=r￡+kB.若APQR

為等邊三角形，則k,r的取值為()

-1±V31土石1土石

=r=---------，1二------

1±V31土6

.k=-=-----

2~Y~

10.設(shè){q},也}分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列，且4=4=4,%="=1，則以下結(jié)論

正確的是()

A.%>&B.a3<b3C.a5>b5D.a6>b6

IL若X￡R+,則(1+2%產(chǎn)的二項式展開式中系數(shù)最大的項為()

A.第8項B.第9項C.第8項和第9項D.第11項

12.?/(X)=COsf,?=/(10ge1),b=/(10gx-),C=/(log,-ly),則下述關(guān)系式正

57ie-n"

確的是()o

A.a>h>cB.b>c>aC.c>a>bD.h>a>c

13.已知一lVa+〃V3,且2Va-〃V4,則2a+34的范圍是()

,1317、n/711、c/713、n/913、

A.(---,—)B.(--,——)C.(------,——)D.(—,——)

22222222

14.若函數(shù)y=log”(x2-ar+l)有最小值，則。的取值范圍是().

A0<tz<lB0<〃<2,〃工1c\<a<2Da>2

22

15.已知a>b,ab=l,則幺上烏二的最小值是().

A2j2BV2D1

16.已知cosx+cosy=1,貝IIsinx—siny的取值范圍是().

A[-1,1]B[-2,2]C[O,句D[-百，石]

17.函數(shù)/(x)是(0,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)〃時，f5)wN*,且

f[f(n)]=3n,則/⑴的值等于().A1B2C3D4

18.設(shè)集合知={-2,0,1},N={12345},映射使得對任意的xeM,都

有x+/(x)+V(x)是奇數(shù)，則這樣的映射/的個數(shù)是

()

(A)45(B)27(O15(D)11

19.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=〃x+2,它們的圖象在x軸上的公共點處有公切線，則

x

當(dāng)X>1時，/(幻與g(x)的大小關(guān)系是()

(A)f(x)>g(x)(B)f(x)<g(x)(C)f(x)=g(x)(D)/㈤與g(x)的大小不

定

20.已知正方體ABCD—AiBiJDi，過頂點4在空間作直線/,使直線/與直線AC和BJ

所成的角都等于60。，這樣的直線/可以作()

(A)4條(B)3條(C)2條(D)1條

21.從1至169的自然數(shù)中任意取出3個數(shù)構(gòu)成以整數(shù)為公比的遞增等比數(shù)列的取法

有()

A.89種B.90種C.91種D.92種

22.一個正六面體的各個面和一個正八面體的各個面都是邊長為a的正三角形，這樣的

兩個

多面體的內(nèi)切球的半徑之比是一個最簡分數(shù)上，那么積"2?〃等于()

n

A.3B.4C.6D.12

23.圓周上有10個等分點，則以這10個等分點中的四個點為頂點的凸四邊形中，梯形

所占的比為()

A84-1、2

A-21BD-21C126D-7

24.把2008表示成兩個整數(shù)的平方差形式，則不同的表示方法有()種.

A4B6C8D16

25.(4+5)2川的小數(shù)表示中，小數(shù)點后至少連續(xù)有()

(A)2〃+1個零(B)2〃+2個零(C)2〃+3個零(D)2〃+4個零

X2y2

26.設(shè)AB是橢圓=+J=1的長軸，若把AB100等分，過每個分點作

ab

AB的垂線，交橢圓的上半部分于Pl、P2、…、P99,F1為橢圓的左焦點，則

怩川+|“㈤+陽圖+…+忻％|十恒網(wǎng)的值是()

(A)98a(B)99a(C)lOOtz(D)101a

高中數(shù)學(xué)競賽訓(xùn)練題一選擇題答案

2/\2

1.解：當(dāng)o<x<i時，/（X）=—<0,y（x2）=-^-<o,f\x）=—>0o

IgxIgx（IgxJ

又因為高一卷=障42譚皿所以小)<"<小).選以

2解：函數(shù)/(工一。)+/("+4的定義域為[a,l+a]c[_a,l-a]。當(dāng)時，應(yīng)有

aKl—。，即一；當(dāng)。工0時，應(yīng)有—〃41+4,即—。因此，選Bo

22

3解：因為廂-序=而，麗+西-2元=麗+畫，所以已知條件可改寫為

AB(CB+CA)=0o容易得到此三角形為等腰三角形。因此選Do

4解：由己知條件可知，/+/-1=o,函數(shù)圖象與)，軸交點的縱坐標為"+2ab-b2o

令a=cos6,/=sing,則

a2+2ab-h2=cos2+2sin^cos-sin2=cos20+sin2^<72,?因此選A。

5.C提示：由已知可得林{(x,y)|f(x)+f(。這0}=p

{G,力|(JT2)2+(尸2)?W2},履{G,。|f［x)-Z(7)>0}Ix-y=0

={(用力1(尸力(K尸4)20}.\_Z

則MAN平一2>+H,M

(x-^)(x+y-4)>0yC-X

作出其交集部分可得如圖所示，其面積為圓面積的一半，/\

即為，萬(及A=)，故應(yīng)選C.寺x+y-4^0x

2

6.Q.解：“X)的定義域為34工<4,則0工1一341,令x-3=sin2a

2

則

/(x)=\lx-3+^3(4-x)

=sin6+13(1-sin?夕)=sin。+gcos0=2sin(6+y)

TTjr5乃I7tit

因一0—V—,貝?。荨?lt;sin(e~i—)《1,l?2sin(eH—)?2

336233

7.A解：設(shè)y=/(2X一3)上有點(右,%］左移2(x-2,v)關(guān)于x軸對稱

---0-------0--->

(%-2,-%)取反函數(shù)

-),???仁鼠=U=-代入-曲-3)得

r=/(2y+l)n

2y+\=f-l(-x)=>y=f,

8.解答為Ao^)*^：=(sin2x+cos2x)(sin4x+cos4x-sin2xcos2x)+2sin2xcos2x

=sin4x+cos4x+sin2xcos2x9也可以用特殊值法

9.解答.c.?尸@=依盟=|尸盟，

即次+（女一1）2=^（-i）2p=72,解得，k」土o

r+J

10.解答：Ao

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列公比為q,由4=4=4必=d=1,得d=-

得〃2=3力2=2蚯;%=2也=孤;%=。，々=孝;。6=-1,力6=4。

2932

11.解答：D.7^=。:2',由7；?7；+1,4+2?（+1=與《一"§，g1°，第11項最大。

X7T

12.解答：Do函數(shù)/（X）=COSw為偶函數(shù)，在（0,-）±,/（X）=COSJl?為減函數(shù)，

而log6-=-logt.肛log》-=--!—Jog|3=2log,九,

nelog,7t-n

八1log,乃2log,乃乃8山

5log^,7i554

13解：由待定系數(shù)法或線性規(guī)劃可得。

14答案：C.解：當(dāng)Ovavl時，y=log“x是遞減函數(shù)，由于，=/一or+1沒有最

大值，所以y=log“（x2一?+1）沒有最小值；當(dāng)時，有最

小值等價于/=/一磔+i有大于。的最小值.這等價于A=a2—4<o,因此

222

is答案：A.解,記〃一〃=，，則r>o.土=之2后，（當(dāng)且僅

a-btt

當(dāng)"△即明學(xué)，樂學(xué)時取等號）.故選A.

16答案：D.解：設(shè)sinx—siny=/,易得cosxcosy-sinxsiny=即

f/_1I-1

cos(x+y)=,由于一lKcos(x+y)〈l,所以一1W----<1,解得

22

-43<t<y/3.

17答案：B解:（用排除法）令鹿=1,則得/"⑴]=3.

若/⑴=1，則力/⑴]=/⑴=3,與/⑴=1矛盾;

若/⑴=3,則/"⑴］=/(3)=3,與"/5)在(0,+8)上單調(diào)遞增〃矛盾；

若/(1)=4,則=f(4)=3,也與"/*)在(0,+8)上單調(diào)遞增”矛盾.故選

B.

18.A提示：當(dāng)工=-2時，x+/(x)+4Xx)=-2-f(-2)為奇數(shù)，則/(一2)可取1、

3、5,有3種取法；當(dāng)冗=0時，x+/(x)+4(x)=/(0)為奇數(shù)，則f(o)可取I、3、

5,有3種取法；當(dāng)x=l時，JV+/(X)+#(X)=1+2/⑴為奇數(shù)，則”1)可取1、2、

3、4、5,有5種取法。由乘法原理知共有3x3x5=45個映射

19B提示：f(x)與g(x)的圖象在x軸上有公共點(1,0),g⑴=0,即。+Z?=0.

?:f'(x)=-,g⑶=a--%

由題意

XX

/(l)=g(1)=1,即。一人=1,

令F(x)=/(x)—g(x)=In戈一(〈為一；)

,則

22x

???/(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減.由丁/(1)=0,,,?當(dāng)x>l時，F(xiàn)(x)<0,即

f(x)<g(x).

20.B提示：易知異面直線AC與BJ所成的角為60。，因此，本題等價于：已知直線。

與〃所成的角為60。，則過空間一點P且與。、力所成的角都是60°的直線有且僅有多

少條？這不難可判斷有3條。

21解：若取出的3個數(shù)構(gòu)成遞增等比數(shù)列a,aq,aq2,則有1Wav的<叩？4出9。

由此有2?qW13。當(dāng)〃固定時，使三個數(shù)a,aq,為整數(shù)的。的個數(shù)記作N(q)。

由矽2V169,知N(q)應(yīng)是竽的整數(shù)部分。N(2)=［竽］=42,

N(3)=［竽］=18,N(4)=10N(5)=6N(6)=4N(7)=3N(8)=2

N(9)=2N(10)=N(ll)=N(12)=N(13)=l.因此，取法共有

MD+N⑵+…+N(13)=91。

rn

22.C提示：利用等體積法，可以求出」=工2,所以帆?〃等于6.

n3

23.D提示：任選4點，共有Ci=210個凸四邊形，其中梯形的兩條平行邊可以從5

組平行于直徑的5條平行弦中選取，也可以5組從不平行于直徑的4條平行弦中選取,

去除矩形，梯形共有60個，所以，梯形所占的比為年.

24答案：C.解：設(shè)f—y2=2008,即(x+y)(x—y)=2008.2008有8個正因數(shù)，

分別為1,2,4,8,251,502,1004,2008.而且(x+丁)與(1-y)只能同為偶數(shù)，

因此對應(yīng)的方程組為

x+y=-2-4-502-1004245021004

-1004-502-4-2100450242

故(x,y)共有8組不同的值：(503,501),(-503,-501),(-503,501),(503,-501)；

(253,249),(-253,-249),(-253,249),(253,-249).

25.A提示：由二項式定理知易證［(后+5)2'田一(后-5產(chǎn)向］eZ,因此

(V26+5)2n+1與(4-5/用的小數(shù)部分完全相同。

v0<V26-5<J—<—,.\0<(V26-5尸向<(―)2n+,,即(后-5)2/1+1的

V26+51010

小數(shù)表示中小數(shù)點后面至少接連有2〃+1個零，因此，(序+5)?向的小數(shù)表示中，

小數(shù)點后至少連續(xù)有2/?+1個零。

26.D提示：(方法一)由橢圓的定義知內(nèi)用+優(yōu)用=2a(i=l,2,…,99),

99

???2(忻用+優(yōu)用)=2。X99=198〃由題意知片,巴門?,%關(guān)于)，軸成對稱分布，

99199

忻用)=山用+優(yōu)用?又:IFM+IF㈤=2。，故所求的值為

/=12/=1

10kz.

(方法二)3肉+陽用+舊圖+???+忻/什山同

=(a+ex八)+(〃+3)+…+(a+exw)+(a+exB)

=101a+e(xA+*2…+通9+4)=l°la(A，6，￡,…,%,B關(guān)于y軸成對稱分

布)

數(shù)學(xué)競賽訓(xùn)練題一

一.選擇題(每小題6分，共36分)

1.如果x>0,y>0,logty+log、,x=￥,xy=144,那么x+)的值是()

A20V38.2660.2473D.106

2.設(shè)函數(shù)/*)=〃*(〃>0且〃。1),f(-2)=9,則()

A./(-2)>f(-1)B./(-1)>f(-2)

C.f(1)>f(2)DJ(-2)>f(2)

3.已知二次函數(shù)/。)滿足/(1一幻=/(1+1)，-40/(1)工一1,—1?/(2)工5,則

/(3)的取值范圍是(

28/—25

A.7</(3)<26B.-4</(3)<15C.-l</(3)<32D.一■—/(3)—

—2—1—

4.如圖1,設(shè)P為△ABC內(nèi)一點，且4P=-4B+-AC,

55

則△ABP的面積與8c的面積之比為()

5.設(shè)在xoy平面上，OcyVf,owxwi所圍成圖形的面積為g,則集合

M={(x,y)llylTx區(qū)l},N={(x,y)||)ex2+l}的交集McN所表示圖形的面

積是()

A.—B.C.1D.莒

333

6.方程五十華^=2007的正整數(shù)解(％y)的組數(shù)是()

yb

A.1組B.2組C.4組D.8組

二.填空題(每小題9分，共54分)

7.函數(shù)/(x)=log,(x2-5x+6)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

3

8.已知5sin2a=sin2。，則坦世士學(xué)的值是___________________.

tan(a-1°)

9.設(shè){/}是一個等差數(shù)列'q=19,。21=3,記A”=6,+〃“+[+....+/+6，則|AJ的

最小值為_______________

10.函數(shù)/(x)滿足八1)=1003,且對任意正整數(shù)〃都有

/(D+/(2)+……+f⑺=〃"(〃)，則/(2006)的值為

y>0

11..已知?3x-yNO,則V+y的最大值是

x+3j<0

12.對于實數(shù)x,當(dāng)且僅當(dāng)cWxV/Hl(〃￡N-)時，規(guī)定岡=",則不等式

4[x]2-36[x]+45<0的解集為

三.解答題(每小題20分，共60分)

13.設(shè)集合—Xlog|(3r)N-2?,若力C正0,求實數(shù)。的取值

范圍.

14.三角形48c的頂點C。,))的坐標滿足不等式/+產(chǎn)工8+2工丁23.邊48在橫

坐標軸上.如果已知點。。1)與直線AV和BC的距離均為1,求三解形ABC面積的的最大

值.

15.設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為R，當(dāng)x<0時，f(x)>1,且對任意實數(shù)x,y,有

f(x+y)=f(x)f(y)成立，數(shù)列｛4｝滿足4=/(0)且

(1)求生睡的值;

(2)若不等式(1+-1)(1+4-)……(1+,)之k)2n+1對一切〃￡N”均成立,求左的

4%an

最大值.

數(shù)學(xué)競賽訓(xùn)練題一參考答案

1.B2,A3.C4.A5.B6.D

37

7.(-<?,-2)8.——..9.-

25

1

11.912.2Kx<8

2007

13.解：a￡(T,0)U(0,3)

14.解：點C在如圖的弓形區(qū)域內(nèi).設(shè)44.0).8(〃2.0).。(%.%)，由點。到直線AC,

BC的距離等于1得

(%―2)42+2端4一%=0,

(%-ZW+Zq%-%二0?

這說明q,4是方程(%-2)〃2+2/。-%=0的2個根.所以

1^1=(4+%)2-4〃百=丹+叫一”

這里Noe[3,4].首先固定為，欲使最大，需

22

x=9-(y0-l).

因此當(dāng)先￡[3,4]為某一定值時，點C應(yīng)位于弓形弧上.所以

5必的=1AM?1為空<6&(%=3時取等號)

22

15.解:⑴令x=-l,y=O,W/(-D=/(-D/(0),/(0)=L.?.4=/(O)=1

當(dāng)x>0時,-x〈O,f(O)=f(x)f(-x)=l,J0<f(x)<l.

設(shè)X”x9eR,且X]〈X2,則f(xq-x)。,

f(x))-f(x2)=f(x)-f&產(chǎn)2-X])=f(x,)[1-f(x2-X1)]>0.

.?.f(x,)>f(x2),函數(shù)y=f(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù).

由fa+聲—^得r(%+〃(-2-*=L

f(-2-aJ

???/(〃〃+1-67/2-2)=/(O),an+x-an-2=0.即〃用一為二2

afnl=2n-71,tZzU9fvtono=4015

(2)由(i+-)(1+—)……(i+—)>女恒成立,知

出

(i+-)(i+-)??????(i+-)

k<―——-------生恒成立.

也+1

(1+—)(i+—)......(1+—)

設(shè)F(n)二一———么,則

,2〃+1

F(n)>0

(1+,)(1+2)......(1+——)

且產(chǎn)(〃+1)=———*_；——S

5+3

T7產(chǎn)(〃+1)2(〃+1).日口￡V1\、17/X

又——=/、>1,即尸(〃+1)〉/(〃)

尸(〃)小4(〃+1)2—1

???F(n)>F(l)=-^

所以,有,即k的最大值為

。O

代數(shù)極值

很長時間以來，代數(shù)極值問題一直是國內(nèi)外數(shù)學(xué)競賽中的熱點問題，以下我們就來

討論這類問題的解法.

一、條件極值問題

例1設(shè)非負實數(shù)4,。2,…，％滿足4+。2+?.?+%=1，求

-------------+--------二-------+…+------3----------的最小值.

1+6F2H-----卜a“1+q+%"I-----1+q+???+

解:給所求式中的每一個分式分配一個常數(shù)1,通分后，再將q+%+…+4用常數(shù)

1代換,

4?1_1+(4+%-----a”)_2

1T1=1=1

1+4+…+4〃2—42-q

理，---------=--------+1=--------

1+。1+。3+，一+?！?-a2

則

為了利用柯西不等式，注意到2(2-《)=2〃-24=2"-1

i=ii=i

(2〃-優(yōu)J

i-i2-q；.i(.12-q

(?_____］丫222

...VJ2-a?.=n2.y+n...——,BPy...----------n=------.當(dāng)且僅

Mj2-qj2A?-12A?-12n-l

當(dāng)

1H

4=劣=…=q=上時,上式等號成立.從而，y有最小值.

n27j-l

評注：通過添加常數(shù)1,再代換常數(shù)1使原本復(fù)雜的式子簡單化,為運用柯西不等式

創(chuàng)造了條件.

22

例2設(shè)孫=1,且x>y>0.求三士上的最小值.

X-)'

解：由于x>y>0,可設(shè)x=y+Ay(Ay>0),則

J+V=(x-y)2+2孫二(綠產(chǎn)+22及

x-yx-yAy

當(dāng)且僅當(dāng)Ay=及，即x=四*，y=二］也時等號成立.因此三土上的最小值

22x-y

為2技

評注：引進增量起到了降元的作用.

例3設(shè)a,O,c為正數(shù)，且而c=l,求」一+」一+二一的最小值.

2〃+126+12c+l

解：設(shè)a=-,b=—,c=-(x,y,zeR+),則

yzx

------1-------1------=-------1-------1------.

2〃+12b+\2c+1y+2xz+2yx+2z

由柯西不等式

得，[y(y+2x)+z(z+2y)+x(x+2z)],--—+—-—+—--...(x+y+z)2.

(y+2xz+2yx+2z)

“hyzx(x+y+z廠i

從而，---+------+------...---------------------------------=1,即nil

y+2xz+2yx+2z[y(y+2x)+z(z+2y)+x(x+2z)]

—…1.當(dāng)且僅當(dāng)a=/?=c=l時去等號.故所求最小值為L

2。+12b+l2c+\

評注:本題直接運用柯西不等式有困難,通過分時代換后則顯得比較容易.當(dāng)然也可

先證明

1

——2■―^而得到最小值.

2a+\+齊+西

二、多元函數(shù)極值問題

例4設(shè)求函數(shù)f(x,y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72的最小值.

解:f(.y)=(x-y-7)2+5(y-2)2+3,故x=9,y=2時,/min=3.

評注:配方法是解與二次函數(shù)有關(guān)最值問題的常用方法.

例5己知非負實數(shù)不孫…，毛滿足￡玉,，，求/(和工2,…，一七)

的最小值.

解：當(dāng)士，勺「,，怎_2，玉1+七都為定值時，由于

(1—七T)(1一%)二1一*〃T+/)+/T怎，

可見，歸1一Z|越大，上式的值越小.為此，令

X：=%。=1,2,???,〃一2),X-：=x“_1+x?,X：=0,①

則=ZT+乙，乙二=0<xn_}xn???

r

(1-x1)(1—x2)???(1—xH)...(1—x/)(1—x2)?-?(1—xM_/)

其中X；+4+…+x：=%+天+…+,，g.再進行形如①的變換九一2次,即可得

(1—%1)(1—Xj)???(1—XM)>l—(x,+x2H---,其中等號當(dāng)

xx=—,x2=x3=???=%?=0時取得.，所求最小值為5.

評注:解多元函數(shù)最值問題常用逐步調(diào)整法.先將函數(shù)看作關(guān)于其中一個變量的函

數(shù),將其它變量看作常數(shù),再對其它變量用同樣方法,最終轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).

再看一個逐步調(diào)整法的例子.

例6給定實數(shù)。>25.對于滿足條件的所有正實數(shù)組

(=1x；

(百，工2，工3，匕，毛)，試求

吧半烏q的最值

min{xpx2,x3,x4,x5}

解：由對稱性，設(shè)用副/七系卜4w，由齊次性，設(shè)

X|=l,x5=u,x2,x3,x4G[1.W],

a=/（占,七,xj=（1+々+七+%+〃）（—?---1----1----F1）

，4+9“-3,”（向3）4+1從而瓜61.

另一方面，將x3,x4看作常

數(shù)，。=/(彳2，尢3，％4)=。?％2+2+/(。，/，，>0)42>0時，/為凸函數(shù)，在％2=1

X2

或吃=〃時取得最大值.同理，f在七，工4=1或〃時取得最大值.

設(shè)/取得最大值時，々，與，/中有々個為〃，3-2個為1,2=0,1,2.

此

時，/=(癡+3-攵+1+〃讓+3-Z+")=

uu

―紇匕2+3(〃1)21+3+4)(4〃+1)，為開口向下的拋物線，對稱軸為左=3,

uuu2

故左=1或2時，/取得最大值.

..a=/（x^,Xj,x4）?（2〃十3）（二十3）=6（〃+,）+13=6（4十J=）2十1,

wuJu

\Ja-i+yJa-25

2瓜

_11m｛百,“2，入3，%毛｝(y/a-l+Ja-25[&-3+Ja+5-6G]

min｛xpx2,xj,x4,x5｝(2底廠[2J

三、無理函數(shù)極值問題

例7求函數(shù)/(x)=Jd_3f—6工+13-//一白+1的最大值.

解：由于

f(x)=Jd-3k-6、+13-、//4-x~+1=[(x-3)~+(x~-2)~-yjx~+(x2—1)".

令43,2),3(0,1),尸(無/)，則/(?=|剛一歸卻于是，問題轉(zhuǎn)化為在拋物線),=/

上求一點P,使|尸A|-|PB|最大.

因點A在拋物線下方，點B在拋物線上方，故直線AB和拋物線必相交，交電由方

2

y二x

程組｛y-i2-1確定，消去y，得3f-工一3=0.由于關(guān)于X的二次方程的常數(shù)項

7^0~3^0

為負，則方程必有負根.又三角形兩邊之差小于第三邊，所以，當(dāng)P點位于負根所對應(yīng)的

交點位置時，/a)有最大值|A.=J15.

評注:本題不必求出交點坐標，從圖中也可以看至的最大值為

例8求函數(shù)/(X)=2x4-\!\+X-X2的最值.

解：由于f(x)=2x+Vl+x-x2=2x+-(x-1)2,可令

1石.AAr乃41

x--=—sin<9,6>e

2222

則x=；+乎sin。.于是/(x)=g(夕)=1+6sin夕+與cos。=1+gsin(。+勿)，其

中夕=arcsinj=.

v5

TTTT\7T\71

因為0e[——,—],故^+^G[arcsin-7=——,arcsin-；=+—],從而

22V52V52

2

sin(。+9)G[-1],

即g(。)w［1—逐3,故/(x)min=l-V5,/(x)niax=1.

評注:三角換元也是解無理函數(shù)最值的好方法,常借助于輔助角公式.

例9求函數(shù)y=J2%2—3%+1+Ji-21的最小值.

解：先求定義域(-8,0］口⑵+8),注意到兩個根號內(nèi)的函數(shù)在(YO,0］上都遞減,

在［2,+8)上都遞增，故原函數(shù)亦如此.故為訪=min"(0),f(2)}=l.當(dāng)x=0時取

到最小值.

評注:運用單調(diào)性，簡單巧妙.

例10求函數(shù)y=Jx2+2x+2+yjjr-2x4-2的最小值.

解：(構(gòu)造法)：y=7(X+1)2+12+7U-1)2+12?表示動點P(x,D到定點

A(1,O),8(T,O)的距離之和，故y1nhi=2夜.

解法

二：

y=y/x2+2x+2+y/x2-2x4-2>2y/(x2+2x+2)(x2-2x+2)=+4>2五,

當(dāng)％二O時，兩等號同時成立，故》.=2近.

例11對實數(shù)X,求函數(shù)/(x)=j8x—x2—,14￥-/一48的最大值.

解：f(x)的定義域為［6,8］,u(x)=yIsx-x2=^/16-(x-4)2,當(dāng)x=6時，

22

“max=J技；V(x)=-yl\4x-x-48=—Jl-(X-7),當(dāng)X=6時,vmax=0,從而當(dāng)

x=6時f(x)有最大值JH=24.

解法一：定義域為令〃(2

/(x)［6,R］,x)=J&r-x2,v(v)=A/14X-X-48.

w2-v2=48-6x.

vxG［6,8］,0<48-6A:<12,/.0<w2-v2<12......(1).vy=?-v,/.w=y+vR

222

入(1)得：y+2叩412,易知yNO,V=A/1-(A:-7)>0……(2)j</+2vy<12,

.-.y<2>/3,當(dāng)x=6時(1)、(2)同時取等號.故/(x)有最大值，i=2百.

解法三：f(x)的定義域為［6,8］>/(x)=J8-x(Vx—Jx-6)=一,8廠.1_,

y/x+VX-6

???,/L在［6,8二上是減函數(shù)，從而當(dāng)x=6時/(此有最大值配=24.

Vx+Vx-6

評注：聯(lián)想思維是數(shù)學(xué)問題解決的重要思維方式，解法一運用知識點：“若

/(x)=w(x)+v(x),〃(x),y(x)同時在X=兩處取得最大值，則/(X)在X=X。處取得最

大值；解法二運用不等式的放縮法求解；解法三運用知識點“若/(*)在閉區(qū)間E6］上

為單調(diào)函數(shù)，則/(幻在端點處取得最值”.

四、分式函數(shù)極值問題

石為=乎.所以孫+2yz”￥(V+y2+z2).當(dāng)且僅當(dāng)10X=2囪y=5z時

等號成立.

故心+匕的最大值為亞.

x2+y2+z22

評注:本題對分子或分母直接運用均值不等式顯然達不到目標，，引入?yún)?shù)。力作

為待定系數(shù)進行代換,再運用均值不等式進行處理,表面上好象增加了變量,實際上卻使

本來較難解決的問題得以順利解決.

例13對所有a,O,c￡/T,求/&+/"+/°的最小值.

da1+8bcdb2+8ac+8ab

解:作代換J=/&,y=/b,z=/c，則x,y,zw（0,4~oo）.從

xla2+She\Jh2+Sac\Jc2+Sah

_2/nn18Z?c_xra1,Sac1,^ab_

而，X=----;-,即—x=—5-.同理，——1=——1=——?將以上二式相

er+Shcxay~b~zc-

二512.若x+y+z<l,則0cx<l,O<y<l,Ovz<l.

222x2

=（i-x）（i-r）（i-z）n[（z^）-]

xy-zx-y-z

flKy+z）（2x+y+z）]n（2病.4后）口（8「%2）%3）_

y-~r-D[/■刁JS■t/itA

xy^zjryz-ryz~

x+y+z...1.從而，當(dāng)a=b=。時,所求最小值為1.

評注：通過整體代換將問題轉(zhuǎn)化為條件最值問題，即在

+-1)[3-1)=512成立的條件下’求x+y+z的最小值,可先從極端情

況探求最小值,再運用反證法進行證明.

ah9c

例14已知〃,"C￡R+,求，—+，—+々—的最小值.

b+3c8c+4a3。+2b

解:對分母進行代換，令b+3c=x,8c+4a=y,3a+?=z,

則”-L+L+L,人L.2y+L,”L+Ly-Lz.

38'6216461612

ab9ci“知+U”+曳生.由均

故44r-----+-------+-----+-

b+3c8c+4。3。+2〃y)6xz)161yz48

值不等式得

上式..」乂4+,乂6+」-*12—8=2.當(dāng)且僅當(dāng)y=2x,z=3/時等號成立.???當(dāng)

86164848

47

a=10。,。=21c時,所求最小值為一.

48

評注:對于分子與分母均為齊次的分時最值問題，一般最易想到運用柯西不等式處

理，但有時很難直接奏效,此時,進行分母代換時比較明智的選擇.

22