專題01 銳角三角函數(shù)3大題型-備戰(zhàn)2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末（河南專用）

PAGE1PAGE2專題01銳角三角函數(shù)3大題型題型一求角的正弦值及已知正弦值求邊長1．（23-24九年級(jí)上·河南安陽·期末）如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)，，都在小正方形的頂點(diǎn)上，則的正弦值是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)．先利用勾股定理求出、的長，再利用的面積求出的長，最后在直角中求出的正弦值．本題考查了解直角三角形，構(gòu)造直角三角形，利用的面積求出邊上的高是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)．

，．，．．．故選：B．2．（23-24九年級(jí)上·河南許昌·期末）如圖，在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)H，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．利用銳角三角函數(shù)的定義求解，為的對(duì)邊比斜邊，求出即可．【詳解】解：點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，軸于，，，，，故選：B3．（23-24九年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，點(diǎn)，，均在正方形網(wǎng)格紙中的格點(diǎn)上，則的值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了求正弦值，取格點(diǎn)，勾股定理求得的長，進(jìn)而根據(jù)正弦的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，取格點(diǎn)，

在中，∴∴，故選：A．4．（23-24九年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖，在邊長為5的菱形中，對(duì)角線，點(diǎn)O為菱形的中心，作，垂足為E，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．由菱形的性質(zhì)得，再由勾股定理得，然后由銳角三角函數(shù)定義，進(jìn)而證，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是菱形，邊長為5，，在中，由勾股定理得：，∵，∴，∴，∵，∴，故選：C．5．（22-23九年級(jí)上·河南南陽·期末）如圖，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出的長，然后根據(jù)即可得出答案．【詳解】解：過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，則，則在中，∴，故選：D．6．（22-23九年級(jí)上·河南南陽·期末）如圖所示，點(diǎn)在第一象限，射線OA與x軸所夾的銳角為a，，則t的值為（

）A． B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】過點(diǎn)作軸的垂線，根據(jù)垂線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)題意，得出，，再根據(jù)正弦的定義，得出，進(jìn)而得出，解得，再根據(jù)勾股定理，計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸的垂線，∴，∵點(diǎn)在第一象限，∴，，∵，∴，即，解得：，∴，∴的值為．故選：A7．（22-23九年級(jí)上·河南鶴壁·期末）如圖是簡化的冬奧會(huì)跳臺(tái)滑雪的雪道示意圖，AB為助滑道，BC為著陸坡，著陸坡傾角為，A點(diǎn)與B點(diǎn)的高度差為h，A點(diǎn)與C點(diǎn)的高度差為120m，著陸坡BC長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)B作BF⊥DC，交DC的延長線于點(diǎn)F，求出BF=120-h，再根據(jù)正弦的定義可得結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)B作BF⊥DC，交DC的延長線于點(diǎn)F，如圖，∵A點(diǎn)與C點(diǎn)的高度差為120m，且A點(diǎn)與B點(diǎn)的高度差為h，∴BF=120-h又∴故選：A8．（20-21九年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝3，則AC的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先由sinA及已知求得AB的值，再根據(jù)勾股定理可以得到AC的值．【詳解】解：∵∠C＝90°，sinA＝，∴AB＝BC＝×3＝5，∴AC＝＝＝4．故選：B．9．（22-23九年級(jí)上·河南南陽·期末）如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，E都正方形的頂點(diǎn)上，則．【答案】【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)及求正弦值，利用三角形全等，將所求角進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵，通過計(jì)算得，，即可通過SSS證明，即可將轉(zhuǎn)化為求，而在直角三角形中，即可求解．【詳解】解：如圖，

，，，，故答案為．10．（23-24九年級(jí)上·河南鄭州·期末）學(xué)過三角函數(shù)之后，小明同學(xué)明白了梯子的傾斜程度和的三角函數(shù)值有關(guān)．根據(jù)如圖，請(qǐng)你用的正弦（或余弦，或余弦）的大小來描述梯子的傾斜程度．【答案】的正弦值越大，梯子越陡【分析】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：熟練掌握銳角的正弦、余弦是解決問題的關(guān)鍵．先利用正弦的定義得到，由于為定值，則越大，梯子越陡，所以的正弦值越大，梯子越陡．【詳解】解：∵，∴，∵為定值，∴越大，梯子越陡，即的正弦值越大，梯子越陡．故答案為：的正弦值越大，梯子越陡．題型二求角的余弦值及已知余弦求邊長11．（22-23九年級(jí)上·河南南陽·期末）如圖，已知的終邊，直線的方程為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角函數(shù)的定義，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)．根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，求出、的坐標(biāo)，得到、、的長度，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出的值,再證明即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意：直線的方程為，令，則，令，則，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，故，；∴，，∵，∴∴，，∴，∴．故選：C．12．（22-23九年級(jí)上·河南平頂山·期末）如圖，中，，于點(diǎn)D，則下列比值：其中可以表示的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查了求角的余弦值，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)余弦的定義可得在中，，在中，，利用三角形內(nèi)角和定理證明，進(jìn)而得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：在中，，在中，，∵，∴，∴，在中，，∴在中，可以表示的有，共3個(gè)，故選；B．13．（22-23九年級(jí)上·河南焦作·期末）如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則的值為（

）

A．1 B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理可求出的長，利用余弦的定義即可得答案．【詳解】由圖可知，∵，，∴，∴，故選：B．14．（22-23九年級(jí)上·河南洛陽·期末）在中，，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，再根據(jù)余弦的定義即可求得的值．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，故選．15．（22-23九年級(jí)上·河南南陽·期末）在矩形中，于點(diǎn)，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】易證，由矩形的性質(zhì)得出，則，得出，由勾股定理得，即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，，，，，矩形，∴，，，，，由勾股定理得，，四邊形是矩形，，故選：D．16．（22-23九年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在中，，如果，，那么等于（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)余弦的定義，得出，設(shè)，則，勾股定理得出，根據(jù)已知條件即可求解．【詳解】解：∵在中，，，設(shè)，則，∵∴∴，∴，故選：B．17．（21-22九年級(jí)上·河南洛陽·期末）如圖，中，，點(diǎn)D在AC上，．若，，則BD的長度為（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的概念求出AB的長，再根據(jù)勾股定理求出的長，再證明，從而得出比例關(guān)系，求出BD的長．【詳解】解：∵，，∴∴∴∵，∴∴∴∴故選：C．18．（22-23九年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)（網(wǎng)格線交點(diǎn)）上，則的值為．【答案】55/【分析】直接根據(jù)圖象計(jì)算即可．【詳解】解：∵正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，∴，，，∴∴，故答案為．19．（22-23九年級(jí)上·河南南陽·期末）如圖，在網(wǎng)格正方形中，每個(gè)小正方形的邊長為1，頂點(diǎn)為格點(diǎn)若的頂點(diǎn)均是格點(diǎn)，則的值是．【答案】【分析】延長到，連接，由網(wǎng)格可得，即得，可求出答案．【詳解】解：延長到，連接，如圖：，，，，，，故答案為：．20．（23-24九年級(jí)上·河南周口·期末）如圖，將一塊含角的三角板的直角頂點(diǎn)C放置于直線n上，點(diǎn)A，點(diǎn)M在直線n上的正投影分別為點(diǎn)D，點(diǎn)N，若，，則在直線n上的正投影的長是．【答案】【分析】本題考查了正投影，直角三角形的特征，特殊角的三角函數(shù)，勾股定理；由之間三角形的特征得，的余弦得，由勾股定理得，求出，由余弦的定義可求，即可求解；理解正投影，將正投影的長轉(zhuǎn)化為的長是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，，，，，，，，解得：，，在直線n上的正投影的長是．21．（22-23九年級(jí)上·河南商丘·期末）在中，．則．【答案】/【分析】根據(jù)題意設(shè)，則，勾股定理求得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵，設(shè)，則∴,∴，故答案為：．題型三求角的正切值已知正切值求邊長22．（23-24九年級(jí)上·河南周口·期末）如圖，在中，延長斜邊到點(diǎn)D，使，連接，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)的計(jì)算，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)和正切的定義是解題關(guān)鍵，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)E計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)E．∵，，∴．∵，∴設(shè)，．∵，∴，∴．∵，∴，∴．故選：D．23．（22-23九年級(jí)上·河南鶴壁·期末）如圖，在中，，，垂足為D．如果，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了求角的正切值，三角形內(nèi)角和定理，先由三角形內(nèi)角和定理證明，得到，再解直角三角形得到，據(jù)此求出，則．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，在中，，在中，，∴，∴，∴，∴，故選：B．24．（23-24九年級(jí)上·河南南陽·期末）如圖，為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，，將線段以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理逆定理、正切的定義，先證明把逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，與重合，與重合，再根據(jù)勾股定理逆定理得出為直角三角形，最后根據(jù)正切的定義即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：線段以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，，，為等邊三角形，，為等邊三角形，，,把逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，與重合，與重合，，，，為直角三角形，，，故選：B．25．（23-24九年級(jí)上·河南商丘·期末）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在上，使點(diǎn)D落在邊上的點(diǎn)F處，若，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)以及勾股定理，求出，再求出，在中，根據(jù)勾股定理得：，可求出，再利用銳角三角形函數(shù)即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，由翻折可知：，，∴，∴，∵，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴，解得：，∴故選：D．26．（23-24九年級(jí)上·河南洛陽·期末）如圖，在每個(gè)小方格均為小正方形的網(wǎng)格中，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則的正切值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了正切函數(shù)的定義，勾股定理及其逆定理，正確理解正切函數(shù)的定義和勾股定理及其逆定理是解答本題的關(guān)鍵，先根據(jù)勾股定理計(jì)算，，的值，再利用勾股定理的逆定理證明，最后根據(jù)正切函數(shù)的定義，即可得到答案．【詳解】根據(jù)勾股定理計(jì)算得，，，，，，故選A．27．（21-22九年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)，連接．若，，則的值是（

）A．4 B．6 C．8 D．2【答案】C【分析】首先根據(jù)直線求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)△BOC的面積求得BD的長，然后利用正切函數(shù)的定義求得OD的長，從而求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，求得結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)B作BD⊥y軸于B，∵直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），∴OC＝2，∵，∴BD＝2，∵tan∠BOC，∴，∴OD＝4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4），∵反比例函數(shù)y在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)B，∴，故選C．28．（22-23九年級(jí)上·河南鶴壁·期末）如圖，已知正方形的邊長為2，如果將線段繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)D落在的延長線上的點(diǎn)處，那么等于．

【答案】/【分析】本題考查求角的正切值，根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理求出的長，進(jìn)而求出的長，再利用正切的定義，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵正方形的邊長為2，∴，，∴，，∵將線段繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)D落在的延長線上的點(diǎn)處，∴，∴∴；故答案為：．29．（22-23九年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖，折疊矩形的一邊，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處，若，，則折痕．【答案】【分析】由矩形的性質(zhì)得，由折疊的性質(zhì)得，，證得，再由，解得的值，設(shè)，則，利用矩形的性質(zhì)求得，在中，由勾股定理計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，由折疊的性質(zhì)得：，，∵，∴，∴，即，∵，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，∴，解得，∴，∴，在中，由勾股定理得，故答案為：．30．（23-24九年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，和，請(qǐng)按下列要求畫圖并填空．(1)平移線段AB，使點(diǎn)A平移到點(diǎn)C，畫出平移后所得的線段CD，并寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)為______；(2)將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后所得的線段，連接，求的正切值；(3)在y軸上找出點(diǎn)F，使的周長最小，并直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)為______．【答案】(1)(2)圖見解析，2(3)【分析】題目主要考查正切的定義，圖形的平移、旋轉(zhuǎn)及最短路徑問題，理解題意，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形的平移作出相應(yīng)圖形，然后讀出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（2）先作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，然后利用勾股定理逆定理及正切函數(shù)的定義求解即可；（3）利用軸對(duì)稱作出點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接交y軸即為所求．【詳解】（1）如圖所示，，故答案為：；（2）如圖所示，，∴，∴的形狀為直角三