2023年 數(shù)學高考題全國甲卷（理科）

PAGE1一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（2023·全國甲卷1題）設全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，則?U（M∪N）＝（）A.{x｜x＝3k，k∈Z}B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}C.{x｜x＝3k－2，k∈Z}D.?解析：A法一（列舉法）M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以?U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍數(shù)，即?U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故選A.法二（描述法）集合M∪N表示被3除余1或2的整數(shù)集，則它在整數(shù)集中的補集是恰好被3整除的整數(shù)集，故選A.2.（2023·全國甲卷2題）設a∈R，（a＋i）（1－ai）＝2，則a＝（）A.－2 B.－1C.1 D.2解析：C∵（a＋i）（1－ai）＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋（1－a2）i＝2，∴2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1，故選C.3.（2023·全國甲卷3題）執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的B＝（）A.21B.34C.55D.89解析：B按程序框圖執(zhí)行程序如下：1≤3成立，則A＝1＋2＝3，B＝3＋2＝5，k＝2；2≤3成立，則A＝3＋5＝8，B＝8＋5＝13，k＝3；3≤3成立，則A＝8＋13＝21，B＝21＋13＝34，k＝4；4≤3不成立，則輸出B＝34，故選B.4.（2023·全國甲卷4題）已知向量a，b，c滿足｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，且a＋b＋c＝0，則cos＜a－c，b－c＞＝（）A.－45 B.－C.25 D.解析：D法一∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，等式兩邊同時平方得2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋1＋2a·b，∴a·b＝0.又a－c＝a－（－a－b）＝2a＋b，b－c＝b－（－a－b）＝a＋2b，∴（a－c）·（b－c）＝（2a＋b）·（a＋2b）＝2a2＋5a·b＋2b2＝4，且｜a－c｜＝｜2a＋b｜＝（2a＋b）2＝4+1＝5，｜b－c｜＝｜a＋2b｜＝（a+2b）2＝1+4＝5，∴cos＜a－c法二∵｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝2，且a＋b＋c＝0，∴分別以a，b，c為邊構造等腰直角三角形OAB，如圖所示，以O為坐標原點，方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，則a＝＝（1，0），b＝＝（0，1），c＝＝（－1，－1），則a－c＝（2，1），b－c＝（1，2），∴｜a－c｜＝｜b－c｜＝5，∴cos＜a－c，b－c＞＝（a－c）·（b－c）｜a5.（2023·全國甲卷5題）設等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，前n項和為Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，則S4＝（）A.158 B.C.15 D.40解析：C法一若該數(shù)列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1.由1－q51－q＝5×1－q31－q－4，化簡得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1（舍）或q2＝4，由于此數(shù)列各項均為正數(shù)，所以法二由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5（1＋q＋q2）－4，整理得（1＋q）（q3－4q）＝0，由于此數(shù)列各項均為正數(shù)，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15.故選C.6.（2023·全國甲卷6題）某地的中學生中有60％的同學愛好滑冰，50％的同學愛好滑雪，70％的同學愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學生中隨機調查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為（）A.0.8 B.0.6C.0.5 D.0.4解析：A法一如圖，左圓表示愛好滑冰的學生所占比例，右圓表示愛好滑雪的學生所占比例，A表示愛好滑冰且不愛好滑雪的學生所占比例，B表示既愛好滑冰又愛好滑雪的學生所占比例，C表示愛好滑雪且不愛好滑冰的學生所占比例，則0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.所以若該學生愛好滑雪，則他也愛好滑冰的概率為BB＋C＝0.法二令事件A，B分別表示該學生愛好滑冰、該學生愛好滑雪，事件C表示該學生愛好滑雪的條件下也愛好滑冰，則P（A）＝0.6，P（B）＝0.5，P（AB）＝P（A）＋P（B）－0.7＝0.4，所以P（C）＝P（A｜B）＝P（AB）P（B7.（2023·全國甲卷7題）設甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件解析：B甲等價于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等價于sinα＝±cosβ，所以由甲不能推導出sinα＋cosβ＝0，所以甲不是乙的充分條件；由sinα＋cosβ＝0，得sinα＝－cosβ，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推導出甲，則甲是乙的必要條件.綜上，選B.8.（2023·全國甲卷8題）已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的離心率為5，C的一條漸近線與圓（x－2）2＋（y－3）2＝1交于A，B兩點，則A.55 B.C.355 解析：D法一根據(jù)雙曲線的離心率e＝5＝ca，得c＝5a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，b2a2＝4，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±2x，易知漸近線y＝2x與圓相交.由y=2x，（x－2）2＋（y－3）2=1，得5x2－16x＋12＝0.設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2＝165，x1x2＝法二由法一知，圓心（2，3）到漸近線y＝2x的距離d＝｜2×2－3｜22＋(-1）2＝55，所以9.（2023·全國甲卷9題）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（）A.120種 B.60種C.30種 D.20種解析：B先從5人中選擇1人兩天均參加公益活動，有C51種方式；再從余下的4人中選2人分別安排到星期六、星期日，有A42種安排方式.所以不同的安排方式共有C51·A10.（2023·全國甲卷10題）函數(shù)y＝f（x）的圖象由函數(shù)y＝cos（2x＋π6）的圖象向左平移π6個單位長度得到，則y＝f（x）的圖象與直線y＝12x－1A.1 B.2C.3 D.4解析：C把函數(shù)y＝cos（2x＋π6）的圖象向左平移π6個單位長度后得到函數(shù)y＝f（x）＝cos［2（x＋π6）＋π6］＝cos（2x＋π2）＝－sin2x的圖象.作出函數(shù)y＝f（x）的部分圖象和直線y＝12x－12如圖所示11.（2023·全國甲卷11題）已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長為4的正方形，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，則△PBC的面積為（）A.22 B.32C.42 D.62解析：C如圖，過點P作PO⊥平面ABCD，垂足為O，取DC的中點M，AB的中點N，連接PM，MN，AO，BO.由PC＝PD，得PM⊥DC，又PO⊥DC，PO∩PM＝P，所以DC⊥平面POM，又OM?平面POM，所以DC⊥OM.在正方形ABCD中，DC⊥NM，所以M，N，O三點共線，所以OA＝OB，所以Rt△PAO≌Rt△PBO，所以PB＝PA.在△PAC中，由余弦定理，得PA＝PC2＋AC2－2PC·ACcos45°＝17，所以PB＝17.在△PBC中，由余弦定理，得cos∠PCB＝PC2＋BC2－BP22PC12.（2023·全國甲卷12題）設O為坐標原點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C：x29＋y26＝1的兩個焦點，點P在C上，cos∠F1PF2＝35，則｜A.135 B.C.145 D.解析：B法一依題意a＝3，b＝6，c＝a2－b2＝3.如圖，不妨令F1（－3，0），F(xiàn)2（3，0）.設｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝m2＋n2－122mn＝35①，由橢圓的定義可得m＋n＝2a＝6②.由①②，解得mn＝152.設｜OP｜＝x.在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，由余弦定理得x2+3－m22法二依題意a＝3，b＝6，c＝a2－b2＝3.如圖，不妨令F1（－3，0），F(xiàn)2（3，0）.設｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝m2＋n2－122mn＝35①，由橢圓的定義可得m＋n＝2a＝6②.由①②，解得mn＝152.因為＝12（＋），所以｜｜2＝14（m2＋n2＋2mncos∠F1PF2）＝14［（m＋n）2－二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.（2023·全國甲卷13題）若f（x）＝（x－1）2＋ax＋sin（x＋π2）為偶函數(shù)，則a＝解析：法一因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（－x）＝f（x），即（－x－1）2－ax＋sin（－x＋π2）＝（x－1）2＋ax＋sin（x＋π2），得a法二因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（－π2）＝f（π2），即（－π2－1）2－π2a＝（π2－1）2＋π答案：214.（2023·全國甲卷14題）若x，y滿足約束條件3x－2y≤3，－2x+3y≤3，x＋y≥1解析：根據(jù)不等式組作出可行域如圖所示，作出直線3x＋2y＝0并平移，由圖可知，當平移后的直線經過點A時，z取得最大值.根據(jù)3x－2y=3，－2x+3y=3，得x=3，y=3，所以z答案：1515.（2023·全國甲卷15題）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，C1D1的中點.以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個公共點.解析：如圖，線段EF過正方體的中心，所以以EF為直徑的球的球心即正方體的中心，球的半徑為EF2，而正方體的中心到每一條棱的距離均為EF2，所以以EF為直徑的球與每一條棱均相切，所以共有12答案：1216.（2023·全國甲卷16題）在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝6，∠BAC的角平分線交BC于D，則AD＝.解析：法一由余弦定理得cos60°＝AC2+4－62×2AC，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋3.又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以12×2ACsin60°＝12×2ADsin30°＋12AC×法二由角平分線定理得BDAB＝CDAC，又BD＋CD＝6，所以BD＝26AC+2，CD＝6ACAC+2.由角平分線長公式得AD2＝AB×AC－BD×CD＝2AC－12AC（AC+2）2，又由法一知AC＝1＋3，所以AD2＝2＋23－12×（1+3）答案：2三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（2023·全國甲卷17題）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a2＝1，2Sn＝nan.（1）求{an}的通項公式；（2）求數(shù)列an+12n的前n項和T解：（1）當n＝1時，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0.當n≥2時，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝（n－1）an－1，兩式相減得2an＝nan－（n－1）an－1，即（n－1）an－1＝（n－2）an，當n＝2時，可得a1＝0，故當n≥3時，anan－1＝n－1n－2，則anan－1·an－1an－2·…·a3a2＝n－1n－2當n＝1，n＝2時，均滿足上式，所以an＝n－1.（2）法一令bn＝an+12則Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝12＋222＋…＋n－112Tn＝122＋223＋…＋n由①－②得12Tn＝12＋122＋123＋…＋12n－n2即Tn＝2－2+n法二設bn＝an所以bn＝an+12n＝n2n＝（12n＋0）×（12）n－1，故a＝12故A＝aq－1＝1212－1＝－1，B＝b－A故Tn＝（An＋B）·qn＋C＝（－n－2）（12）n＋2，整理得Tn＝2－2+18.（2023·全國甲卷18題）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距離為1.（1）證明：A1C＝AC；（2）已知AA1與BB1的距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.解：（1）證明：如圖，過A1作A1D⊥CC1，垂足為D，∵A1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A1C⊥BC，又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵A1C，AC?平面ACC1A1，且A1C∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，∵A1D?平面ACC1A1，∴BC⊥A1D，又CC1，BC?平面BCC1B1，且CC1∩BC＝C，∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D＝1.由已知條件易證△CA1C1是直角三角形，又CC1＝AA1＝2，A1D＝1，∴D為CC1的中點，又A1D⊥CC1，∴A1C＝A1C1，又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝A1C1，∴A1C＝AC.（2）如圖，連接A1B，由（1）易證A1B＝A1B1，故取BB1的中點F，連接A1F，∵AA1與BB1的距離為2，∴A1F＝2，又A1D＝1且A1C＝AC，∴A1C＝A1C1＝AC＝2，AB＝A1B1＝5，BC＝3.建立空間直角坐標系C-xyz如圖所示，則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，3，0），B1（－2，3，2），C1（－2，0，2），∴＝（0，3，0），＝（－2，0，2），＝（－22，3，2），設平面BCC1B1的法向量為n＝（x，y，z），則即3y=0，－2x＋2z=0，取x＝1，則∴平面BCC1B1的一個法向量為n＝（1，0，1）.設AB1與平面BCC1B1所成角為θ，則sinθ＝｜cos＜n，＞｜＝＝1313.∴AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值為131319.（2023·全國甲卷19題）一項試驗旨在研究臭氧效應，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.（1）設X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；（2）試驗結果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：7.809.2011.412.413.215.516.518.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.823.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5①求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：＜m≥m對照組試驗組②根據(jù)①中的列聯(lián)表，能否有95％的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：K2＝n（P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635.解：（1）X的所有可能取值為0，1，2，且P（X＝k）＝C2k·C3820－kC所以X的分布列為：X012P192019X的數(shù)學期望E（X）＝0×1978＋1×2039＋2×19（2）①根據(jù)試驗數(shù)據(jù)可以知道40只小白鼠體重增加量的中位數(shù)m＝23.2+23列聯(lián)表如下：＜m≥m對照組614試驗組146②根據(jù)①中結果可得K2＝40×（6×6所以有95％的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.20.（2023·全國甲卷20題）已知直線x－2y＋1＝0與拋物線C：y2＝2px（p＞0）交于A，B兩點，｜AB｜＝415.（1）求p；（2）設F為C的焦點，M，N為C上兩點，且·＝0，求△MFN面積的最小值.解：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，由Δ1＝16p2－8p＞0，得p＞12由根與系數(shù)的關系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，∴｜AB｜＝1+1（12）2·（y1＋y2）2－4y故p＝2.（2）由（1）知，拋物線的焦點為F（1，0）.由題意知直線MN的斜率不可能為0，∴設MN的方程為x＝my＋t，M（x3，y3），N（x4，y4），聯(lián)立x＝my＋t，y2=4x，消去x得y2－4∴Δ＝16m2＋16t＞0，即m2＋t＞0，由根與系數(shù)的關系得y3＋y4＝4m，y3y4＝－4t，∵·＝0，∴（x3－1，y3）·（x4－1，y4）＝0，即（x3－1）（x4－1）＋y3y4＝（my3＋t－1）（my4＋t－1）＋y3y4＝（m2＋1）y3y4＋m（t－1）（y3＋y4）＋（t－1）2＝（m2＋1）（－4t）＋m（t－1）·4m＋（t－1）2＝0，即－4m2t－4t＋4m2t－4m2＋t2－2t＋1＝0，即4m2＝t2－6t＋1.設F到MN的距離為d，則d＝｜t又｜MN｜＝1+m2｜y3－y4｜＝1+m2·（y3＋y4）∴S△MFN＝12｜MN｜·d＝12×41+m2·m2＋t·｜t－1｜1+m2＝2m2＋t·｜t－1｜＝4m2+4t∵4m2＝t2－6t＋1≥0，解得t≤3－22或t≥3＋22，∴當且僅當t＝3－22時，S△MFN取得最小值12－82.即△MFN面積的最小值為12－82.21.（2023·全國甲卷21題）已知函數(shù)f（x）＝ax－sinxcos3x，x∈（（1）當a＝8時，討論f（x）的單調性；（2）若f（x）＜sin2x，求a的取值范圍.解：（1）當a＝8時，f（x）＝8x－sinxcos3x（x∈（f'（x）＝8－cos4x+3sin2xco令1cos2x＝t，則t∈（1令h（t）＝－3t2＋2t＋8＝－（3t＋4）（t－2），當t∈（1，2）時，h（t）＞0；當t∈（2，＋∞）時，h（t）＜0.故當x∈（0，π4）時，f'（x）＞0，f（x當x∈（π4，π2）時，f'（x）＜0，f（x∴f（x）在區(qū)間（0，π4）上單調遞增，在區(qū)間（π4，π2（2）令g（x）＝f（x）－sin2x＝ax－sinxcos3則g'（x）＝a－cos4x+3sin2xcos2xcos6x－2cos2x＝a－cos2x+3sin令u＝cos2x，則u∈（0，1），令k（u）＝－2u+3u2＋4則k'（u）＝2u－6u3＋當u∈（0，1）時，k'（u）＜0，∴k（u）在（0，1）上單調遞減，∵k（1）＝3，∴當u∈（0，1）時，k（u）＞3，∴k（u）的值域為（3，＋∞）.①當a≤3時，g'（x）＜0，∴g（x）在（0，π2）又g（0）＝0，∴當x∈（0，π2）時，g（x）＜0，即f（x）＜sin2x②當a＞3時，?x0∈（0，π2）使得g'（x0）＝0∴g（x）在（0，x0）上單調遞增，在（x0，π2）∴g（x0）＞g（0）＝0，∴f（x）＜sin2x不成立.綜上所述，a的取值范圍為（－∞，3].（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.22.（2023·全國甲卷22題）[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]已知點P（2，1），直線l：x=2+tcosα，y=1+tsinα（t為參數(shù)），α為l的傾斜角，l與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于點A，B（1）求α；（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求l的極坐標方程.解：（1）記點A，B對應的參數(shù)分別為t1，t2.令x＝0，得t2＝－2cos令y＝0，得t1＝－1sin則｜PA｜·｜PB｜＝｜－2cosα｜｜－1sinα｜＝｜2sinαcosα所以sin2α＝±1，由題可知α∈[0，π），所以α＝π4或α＝3因為直線l與x軸正半軸、y軸正半軸相交，所以α＝3π（2）根據(jù)（1）得直線l的參數(shù)方程為x=2－22轉化為普通方程為x＋y－3＝0，因為x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以l的極坐標方程為ρcosθ＋ρsinθ－3＝0.23.（2023·全國甲卷23題）[選修4—5：不等式選講]設a＞0，函數(shù)f（x）＝2｜x－a｜－a.（1）求不等式f（x）＜x的解集；（2）若曲線y＝f（x）與x軸所圍成的圖形的面積為2，求a.解：（1）法一求不等式f（x）＜x的解集，即求不等式2｜x－a｜－a＜x的解集，整理得2｜x－a｜＜x＋a，不等式兩邊同時平方，得4（x2－2ax＋a2）＜x2＋2ax＋a2，整理得3x2－10ax＋3a2＜0，因式分解得（3x－a）（x－3a）＜0，因為a＞0，所以可得a3＜x＜3a故不等式的解集為（a3，3a）法二若x≤a，則f（x）＝2a－2x－a＜x，即3x＞a，解得x＞a3，得a3＜x≤若x＞a，則f（x）＝2x－2a－a＜x，解得x＜3a，得a＜x＜3a.綜上，不等式的解集為（a3，3a）（2）法一設曲線y＝f（x）與x軸的兩個交點的橫坐標分別為x1，x2，x1＞x2.令f（x）＝0，得2｜x－a｜＝a，即2x－2a＝a或2x－2a＝－a，得x1＝3a2，x2＝a2，故曲線y＝f（x）與x軸的兩個交點之間的距離d＝｜x1－x2｜＝易得三角形不在x軸上的頂點的坐標為（a，－a），所以三角形的面積S＝12d·｜－a｜＝12a2＝即a2＝4，解得a＝2或a＝－2（舍去），故a＝2.法二f（x）＝－作出f（x）的大致圖象如圖，曲線y＝f（x）與x軸圍成的圖形即△ABC，易得A（a2，0），B（3a2，0），C（a，－所以｜AB｜＝a，△ABC的底邊AB上的高為a，所以S△ABC＝12｜AB｜·a＝12a2＝2，解得a＝2或a＝－故a＝2.前沿熱點——新高考數(shù)學考情分析2024年新高考真題（含考情分析）及高考最新動向實時更新請掃碼獲取縱觀近年來新高考數(shù)學試題，試題貫徹落實了高考改革的總體要求，實施“德智體美勞”全面發(fā)展的教育方針，聚焦核心素養(yǎng)，突出關鍵能力考查，落實立德樹人根本任務，充分發(fā)揮考試的引導作用.試題突出數(shù)學本質、重視理性思維、堅持素養(yǎng)導向、能力為重的命題原則.通過設計真實問題情境，體現(xiàn)數(shù)學的應用價值；穩(wěn)步推進改革，科學把握必備知識與關鍵能力的關系，體現(xiàn)了對基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性的高考考查要求.一、突出主干知識、筑牢能力基礎以2023年新高考Ⅰ、Ⅱ卷為例，對各試題所考查的主干知識分析如下：題型題號各試題所考查的知識點分布及考查角度2023年新高考Ⅰ卷2023年新高考Ⅱ卷單選題1集合的交集運算復數(shù)的乘法及幾何意義2復數(shù)運算、共軛復數(shù)由集合間的關系求參數(shù)3向量垂直、數(shù)量積運算分層隨機抽樣、計數(shù)原理4由函數(shù)的單調性求參數(shù)由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)5橢圓的離心率問題由直線與橢圓的位置關系求參數(shù)6圓的切線問題由函數(shù)的單調性求參數(shù)7等差數(shù)列充要條件的判定半角公式8三角函數(shù)中和、差、倍角公式的應用等比數(shù)列的概念、前n項和及性質多選題9樣本數(shù)字特征圓錐的體積、側面積和截面面積10以實際問題為背景考查對數(shù)大小比較直線與拋物線的位置關系、拋物線的概念及性質11抽象函數(shù)的函數(shù)性質函數(shù)的極值及應用12以正方體內嵌入某幾何體考查對稱性、空間位置關系獨立事件的概率、二項分布模型填空題13計數(shù)原理向量的數(shù)量積、模14四棱臺的體積四棱臺的體積15三角函數(shù)中由零點個數(shù)求ω范圍直線與圓的位置關系16雙曲線幾何性質、平面向量三角函數(shù)的圖象與性質解答題17正弦定理、三角恒等變換正、余弦定理、三角恒等變換18線線平行的證明及由二面角求線段長度等差數(shù)列、數(shù)列的奇偶項問題19利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性、證明不等式統(tǒng)計圖表、概率統(tǒng)計與函數(shù)交匯問題20等差數(shù)列的概念、性質及前n項和空間線面位置關系、二面角的正弦值21概率與數(shù)列的交匯問題直線與雙曲線的位置關系、定直線問題22以拋物線為背景，考查不等式及函數(shù)的最值以三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體，考查導數(shù)的應用從上表可以看出，試題所考查知識范圍及思想方法90％以上都源于教材主干知識，由此在一輪復習備考中更應重視必備知識的系統(tǒng)梳理、基本能力的逐點夯實.二、注重試題情境創(chuàng)設、牢記育人宗旨1.關注社會熱點2023年新高考Ⅰ卷第10題以當今社會熱點“噪聲污染問題”為背景命制試題，目的是引導學生關注社會、關注民生，用所學知識解決生活實踐情境下的實際問題.（多選）（2023·新高考Ⅰ卷）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp＝20×lgpp0，其中常數(shù)p0（p0＞0）是聽覺下限閾值，p是實際聲壓.聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060～90混合動力汽車1050～60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則（）A.p1≥p2 B.p2＞10p3C.p3＝100p0 D.p1≤100p22.弘揚優(yōu)秀傳統(tǒng)文化2022年新高考Ⅱ卷第3題以中國古代建筑中的舉架結構為背景命制出以等差數(shù)列為考查點的試題，此類試題不但能考查學生的閱讀理解能力、直觀想象能力及知識運用能力，而且還能以優(yōu)秀傳統(tǒng)文化精髓陶冶情操.（2022·新高考Ⅱ卷）圖①是中國古代建筑中的舉架結構，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖②是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，A.0.75 B.0.8C.0.85 D.0.93.展示現(xiàn)代科學技術水平2021年新高考Ⅱ卷第4題以我國航天事業(yè)的重要成果北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)為試題情境命制立體幾何問題，在考查學生的空間想象能力和閱讀理解、數(shù)學建模等素養(yǎng)的同時，引導學生關注我國社會現(xiàn)實與經濟、科技進步與發(fā)展，增強民族自豪感與自信心.（2021·新高考Ⅱ卷）北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個球心為O，半徑r為6400km的球，其上點A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為α，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為S＝2πr2（1－cosα）（單位：km2），則S占地球表面積的百分比約為（）A.26％ B.34％C.42％ D.50％4.體現(xiàn)數(shù)學應用價值2022年新高考Ⅰ卷第4題以我國的重大建設成就“南水北調”工程為背景命制出以四棱臺體積公式為考查點的立體幾何試題，體現(xiàn)了數(shù)學的應用價值.（2022·新高考Ⅰ卷）南水北調工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時，相應水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時，相應水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時，增加的水量約為（7≈2.65）（）A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3三、重視能力考查、使素養(yǎng)評價科學有據(jù)高中數(shù)學課程標準對培養(yǎng)學生能力的要求是數(shù)學“六大核心素養(yǎng)”的集中展示.要檢驗學生核心素養(yǎng)高低，必須通過解決數(shù)學問題來體現(xiàn).（多選）（2023·新高考Ⅰ卷）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（）A.直徑為0.99m的球體B.所有棱長均為1.4m的四面體C.底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體D.底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體素養(yǎng)評價本題為多選題，以正方體內嵌入其他幾何體為背景考查學生不同的素養(yǎng)層級，由A、B、C、D四個選項設計的問題不同，對應解決問題所需核心素養(yǎng)也逐漸提升，本題真正體現(xiàn)了“入口容易全分難”的多選題考查特征.四、秉承創(chuàng)新、引導探究性學習新高考試卷中