考向06 函數(shù)及其表示（重點）-高考數(shù)學一輪復習考點微專題（新高考地區(qū)專用）（解析版）

考向06函數(shù)及其表示【2022·北京·高考真題】設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個取值為________；a的最大值為___________．【答案】

0（答案不唯一）

1【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)的單調(diào)性進行分類討論，可知，符合條件，不符合條件，時函數(shù)沒有最小值，故的最小值只能取的最小值，根據(jù)定義域討論可知或，

解得.【詳解】解：若時，，∴；若時，當時，單調(diào)遞增，當時，，故沒有最小值，不符合題目要求；若時，當時，單調(diào)遞減，，當時，∴或，解得，綜上可得；故答案為：0（答案不唯一），1【2022·浙江·高考真題】已知函數(shù)則________；若當時，，則的最大值是_________．【答案】

##【解析】【分析】結(jié)合分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值，由條件求出的最小值,的最大值即可.【詳解】由已知，，所以，當時，由可得，所以，當時，由可得，所以，等價于，所以，所以的最大值為.故答案為：，.1.已知函數(shù)的具體解析式求定義域的方法(1)若是由一些基本初等函數(shù)通過四則運算構(gòu)成的，則它的定義域為各基本初等函數(shù)的定義域的交集.(2)復合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域，從而確定對應(yīng)的內(nèi)層函數(shù)自變量的取值范圍，還需要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可.2.函數(shù)解析式的常見求法(1)配湊法：已知，求的問題，往往把右邊的整理或配湊成只含的式子，然后用將代換.(2)待定系數(shù)法：已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法，比如二次函數(shù)可設(shè)為，其中是待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出即可.(3)換元法：已知，求時，往往可設(shè)，從中解出，代入進行換元.應(yīng)用換元法時要注意新元的取值范圍.(4)解方程組法：已知滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還有其他未知量，如(或)等，可根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組，通過解方程組求出．3.分段函數(shù)(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值時，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入該區(qū)間對應(yīng)的解析式求值．(2)當出現(xiàn)的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(3)當自變量的值所在區(qū)間不確定時，要分類討論，分類標準應(yīng)參照分段函數(shù)不同段的端點。1.復合函數(shù)：一般地，對于兩個函數(shù)和，如果通過變量可以表示成的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)和的復合函數(shù)，記作，其中叫做復合函數(shù)的外層函數(shù)，叫做的內(nèi)層函數(shù).2.抽象函數(shù)的定義域的求法：(1)若已知函數(shù)的定義域為，則復合函數(shù)的家義域由求出.(2)若已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為在時的值域.1.函數(shù)的概念(1)一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個對應(yīng)法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對應(yīng)，那么從集合到集合的這個對應(yīng)，叫做從集合到集合的一個函數(shù).記作：，.集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合叫做值域，記為.(2)函數(shù)的實質(zhì)是從一個非空集合到另一個非空集合的映射.(3)函數(shù)表示法：函數(shù)書寫方式為，(4)函數(shù)三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則.(5)同一函數(shù)：兩個函數(shù)只有在定義域和對應(yīng)法則都相等時，兩個函數(shù)才相同.2.基本的函數(shù)定義域限制求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：（3）對數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；（4）零次冪或負指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；=2\*GB3②在同一對應(yīng)法則∫下，括號內(nèi)式子的范圍相同；（7）對于實際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實際意義再限制，從而得到實際問題函數(shù)的定義域.3.基本初等函數(shù)的值域(1)的值域是.(2)的值域是：當時，值域為；當時，值域為．(3)的值域是.(4)且的值域是.(5)且的值域是.4.分段函數(shù)的應(yīng)用分段函數(shù)問題往往需要進行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數(shù)問題，分段解決．1．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用換元法求解函數(shù)解析式即可求解.【詳解】因為，所以，令，則，所以，因此，.故選：B.2．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）若函數(shù)f(x)滿足f（2x）＝x，則f（5）＝（

）A．25 B．52 C．log52 D．log25【答案】D【解析】【分析】由求出后代入可得結(jié)論．【詳解】．∴，∴，故選：D．3．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，則的解集為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分類討論，分別求出不等式的解集，即可得解；【詳解】解：因為且，所以或，解得或，綜上可得原不等式的解集為；故答案為：4．（2022·浙江·海寧中學模擬預(yù)測）已知函數(shù)若，則實數(shù)__________.【答案】##1.5【解析】【分析】先整體代換，令，然后結(jié)合分段函數(shù)進行分段討論，結(jié)合范圍求解方程，求得實數(shù)t的值.【詳解】令，則當時，，解得；當時，，解得所以當，此時，有，解得，不滿足條件；當，若，則，解得，此時不滿足條件；當，則，解得故答案為：．5．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域為______.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)的定義域是，可求的值域，即函數(shù)的定義域，再由，即可求得的定義域.【詳解】的定義域是，則，即函數(shù)的定義域為，令，解得.則函數(shù)的定義域為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了抽象函數(shù)定義域的求法，注意理解函數(shù)的定義域與函數(shù)定義域的區(qū)別.6．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為___________．【答案】【解析】【分析】利用換元法，令，則，，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：因為，令，則，則，所以，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即的值域為；故答案為：7．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則的解析式為_______【答案】【解析】【分析】令，則，且，將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達式，再將換成即可求解.【詳解】令，則，且，所以，所以，故答案為：.8．（2022·浙江湖州·模擬預(yù)測）若函數(shù)，則_____________，不等式的解集是_____________．【答案】

3

．【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式可求出；分段討論代入可求出不等式的解集.【詳解】因為，所以，所以.當時，，得，得；當時，恒成立，所以不等式的解集是.故答案為：3；.1．（2022·上海交大附中高三階段練習）存在函數(shù)滿足，對任意都有（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】對ACD，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，取特殊值推出矛盾判斷即可；對B，令再化簡分析即可【詳解】對A，取可得，即，再取可得，即，故A錯誤；對B，令，此時，即，符合題設(shè)，故B正確；對C，取，有；取，有，故C錯誤；對D，取得，再取可得，故D錯誤故選：B2．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）若函數(shù)f(x)滿足f（2x）＝x，則f（5）＝（

）A．25 B．52 C．log52 D．log25【答案】D【解析】【分析】由求出后代入可得結(jié)論．【詳解】．∴，∴，故選：D．3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為，值域為，那么函數(shù)的定義域和值域分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】【分析】由可求出函數(shù)的定義域，由于的圖象是由的圖象向左平移2個單位得到，所以其值域不變，從而可得答案【詳解】令得，即為函數(shù)的定義域，而將函數(shù)的圖象向左平移2個單位即得的圖象，故其值域不變．故選：C．4．（2022·青海玉樹·高三階段練習（文））已知函數(shù)的定義域是，值域為，則下列四個函數(shù)①；②；③；④，其中值域也為的函數(shù)個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求出①②③④中各函數(shù)的值域，即可得出合適的選項.【詳解】對于①，因為，則，①不滿足條件；對于②，對于函數(shù)，，則函數(shù)的值域為，②滿足條件；對于③，因為，則，③滿足條件；對于④，因為，，則，④滿足條件.故選：B.5．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，且滿足，則（

）.A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得到的圖象關(guān)于對稱，求出的值，再代入，即可得出結(jié)果.【詳解】解：因為，所以的圖象關(guān)于對稱，而關(guān)于對稱，所以，.故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性，求函數(shù)的解析式，屬于中檔題.6．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，分段求解，即可求得答案.【詳解】∵，,∴當時，，解得；當時，，解得,即（舍去），∴,故選:C7．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)fx=x2+2x,x≤0-xA． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】首先設(shè)，代入原式可得，再分別討論和，兩種情況求，再求.【詳解】令，，則1°時，，則無解．2°時，，∴，∴時，，則；時，無解綜上：.故選：B．8．（2022·上海市七寶中學模擬預(yù)測）已知為定義在上的增函數(shù)，且任意，均有，則_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)，令、求得，結(jié)合單調(diào)性求出a值，代入驗證即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，令得：；令得：，因為為定義在上的增函數(shù)，所以，當時，由矛盾.故.故答案為：9．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為___________．【答案】【解析】【分析】利用換元法，令，則，，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：因為，令，則，則，所以，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即的值域為；故答案為：10．（2022·北京·高三專題練習）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的一個取值可以為___________.【答案】1【解析】【分析】考察函數(shù)的圖像，就是先把向上或向下平移個單位（取決于的符號），如果圖像存在小于零的部分，則再把小于零的部分以x軸為對稱軸翻折上去，最后再把整個圖像向下平移一個單位.【詳解】如果，，其值域為，，不符合題意；如果，當時，，就是把函數(shù)的部分以x軸為對稱軸翻折上去，∴此時的最小值為0，的最小值為-1，值域為，所以，不妨?。还蚀鸢笧椋?.11．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值為___________.【答案】##【解析】【分析】求出定義域，對原式平方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可計算最大值和最大值，從而求出比值.【詳解】解：要使函數(shù)有意義，則，解得，，，即，，當時，有最大值，即，當或時，有最小值，即，，故答案為：.12．（2022·上海市實驗學校模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象是兩條線段（如圖），它的定義域為，則不等式的解集為________．【答案】【解析】【分析】首先求得函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)的解析式分類討論即可求得最終結(jié)果．【詳解】解：當x∈時，設(shè)線段所在直線的方程為，線段過點（﹣1，0），（0，1），根據(jù)一次函數(shù)解析式的特點，可得出方程組，解得．故當x∈[﹣1，0）時，f（x）＝x+1；同理當x∈（0，1]時，f（x）＝x1；當x∈[﹣1，0）時，不等式f（x）﹣f（﹣x）1可化為：x+1﹣（x1）1，解得：x，∴﹣1≤x＜0．當x∈（0，1]時，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1可化為：x1﹣（x+1）1，解得：，∴x≤1，綜上所述，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1的解集為．故答案為：13．（2022·全國·高三專題練習（文））定義在上的函數(shù)單調(diào)遞增，且對，有，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求解出函數(shù)的解析式，進而求解出函數(shù)值.【詳解】根據(jù)題意，對，有又是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)R上存在常數(shù)a使得，，解得故答案為：.14．（2022·全國·高三專題練習）已知在上是減函數(shù)，且對任意的都成立，寫出一個滿足以上特征的函數(shù)___________.【答案】答案不唯一【解析】【分析】由變形到可考慮對數(shù)函數(shù)，然后根據(jù)單調(diào)性以及“”可考慮構(gòu)造對數(shù)型函數(shù).【詳解】由題意可知，可變化為的形式，由此可想到對數(shù)函數(shù)，又因為在上是減函數(shù)且，所以滿足條件的一個函數(shù)可取，故答案為：(答案不唯一).15．（2022·全國·高三專題練習）存在函數(shù)，對于任意都成立的下列等式的序號是________．①；②；③；④．【答案】④【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義逐項判斷①②③，采用換元的方法求解④中的解析式并進行判斷.【詳解】①當時，；當時，，與函數(shù)定義矛盾，不符合；②當時，；當時，，與函數(shù)定義矛盾，不符合；③當時，；當時，，與函數(shù)定義矛盾，不符合；④令，所以，令，所以，所以，所以，符合，故答案為：④.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵在于對于函數(shù)定義的理解以及換元法求解函數(shù)解析式的運用，通過說明一個自變量的值對應(yīng)兩個不同的的值，判斷出不符合函數(shù)定義；同時在使用換元法求解函數(shù)解析式時，新元取值范圍的分析不能遺漏.16．（2022·全國·高三專題練習）已知，則=_____.【答案】或【解析】【分析】由，能求出．【詳解】解：，或．故答案為：或．【點睛】本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，屬于基礎(chǔ)題．17．（2022·山東淄博·三模）設(shè)．若，則__________．【答案】【解析】【分析】由分段函數(shù)各區(qū)間上函數(shù)的性質(zhì)有且，即可求結(jié)果.【詳解】由在上遞增，在上遞增，所以，由，則，故，可得.故答案為：1．（2020·山東·高考真題）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得到，再解不等式組即可.【詳解】由題知：，解得且.所以函數(shù)定義域為.故選：B2．（2019·天津·高考真題（文））已知函數(shù)若關(guān)于的方程恰有兩個互異的實數(shù)解，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】畫出圖象及直線，借助圖象分析．【詳解】如圖，當直線位于點及其上方且位于點及其下方，或者直線與曲線相切在第一象限時符合要求．即，即，或者，得，，即，得，所以的取值范圍是．故選D．【點睛】根據(jù)方程實根個數(shù)確定參數(shù)范圍，常把其轉(zhuǎn)化為曲線交點個數(shù)，特別是其中一條為直線時常用此法．3．（2022·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負、分母不為零得到方程組，解得即可；【詳解】解：因為，所以，解得且，故函數(shù)的定義域為；故答案為：4．（2021·浙江·高考真題）已知，函數(shù)若，則___________.【答案】2【解析】【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于的方程，解方程可得的值.【詳解】，故，故答案為：2.5．（2019·江蘇·高考真題）函數(shù)的定義域是_____.【答案】.【解析】【分析】由題意得到關(guān)于x的不等式，解不等式可得函數(shù)的定義域.【詳解】由已知得,即解得，故函數(shù)的定義域為.【點睛】求函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式有意義為準則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集即可．6．（2019·江蘇·高考真題）設(shè)是定義在上的兩個周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當時，，，其中.若在區(qū)間上，關(guān)于的方程有8個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是_____.【答案】.【解析】【分析】分別考查函數(shù)和函數(shù)圖像的性質(zhì)，考