2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-拉檔提分解析幾何101-110-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

三、橢圓十大幾何性質(zhì)以橢圓為例:(1)其上任意一點(diǎn)滿足.(2)焦點(diǎn):兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為.(3)兩條對(duì)稱軸一個(gè)對(duì)稱中心(0,0);四個(gè)頂點(diǎn)其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,短軸長(zhǎng)為2b.(4)準(zhǔn)線:兩條準(zhǔn)線方程為:x=(5)離心率.:e=(0<e<1),$理解為焦點(diǎn)與中心的相對(duì)距離.（注意:越小,橢圓越圓;e越大,橢圓越扁）(6)粗圓的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦)長(zhǎng)為.（注意:通徑是所有焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）中最短的弦）(7)焦準(zhǔn)距(焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)為$\frac{b^{2}}{c}$.（8）黃金橢圓與準(zhǔn)黃金橢圓:離心率的粗圓,稱黃金粗圓$;$離心率的橢圓,稱黃金橢圓離心率的粗圓,稱準(zhǔn)黃金粗圓.解析：兩邊乎方整理得故.（9)最美橢圓:注往往為橢圓幾何性質(zhì)發(fā)生質(zhì)變的臨界點(diǎn).（10）黃金橢圓面積與焦點(diǎn)圓(以焦距為直徑的圓)面積相等.四、動(dòng)點(diǎn)距離最值探求(例7)橢圓點(diǎn)為長(zhǎng)軸所在直線上一定點(diǎn),求|PT|的最小值.解析參考下面的規(guī)律探索規(guī)律探索：結(jié)論1:定點(diǎn)在長(zhǎng)軸所在的直線上.為橢圓上一點(diǎn)為長(zhǎng)軸所在直線上一定點(diǎn)，則|PT|的最小值解析：如圖1,令則當(dāng)即當(dāng)時(shí)當(dāng)即時(shí),結(jié)論2:定點(diǎn)在短軸所在的直線上.如圖2,P為橢圓上一點(diǎn),為短軸所在直線上一定點(diǎn),求|PT|的最大值評(píng)注當(dāng)最大值在長(zhǎng)軸端點(diǎn)達(dá)到時(shí),只能在原點(diǎn)).變式訓(xùn)練1.求橢圓上的點(diǎn)到直線的最短距離.2.若以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值1,則橢圓長(zhǎng)軸的最小值為（）3.為橢圓上一點(diǎn)為長(zhǎng)軸所在直線上一定點(diǎn),若|PT|取最小值時(shí),點(diǎn)恰在橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn),則的取值范圍是（）.拓展提升為橢圓上一點(diǎn),下面探討點(diǎn)到定點(diǎn)的最值問(wèn)題.(1)當(dāng)時(shí),最小值為(2)當(dāng)時(shí),舉一特例:求橢圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)的最值.解析設(shè),則設(shè)令則,當(dāng)時(shí)為最大值當(dāng)時(shí)為最小值.(例8)設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在軸上,離心率已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是,求這個(gè)橢圓的方程,并求橢圓上到點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo).解析:由得(1)設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)到點(diǎn)的距離為d,則且其中如果則當(dāng)時(shí)取得最大值解得與矛盾.如果則當(dāng)時(shí)取得最大值解得.所求橢圓方程為.由可得橢圓上到點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)為.評(píng)注:在橢圓上設(shè)點(diǎn)化歸是基本解法，要熟練掌握.本題也可用橢圓參數(shù)方程求解：令橢圓方程為設(shè)橢圓上一點(diǎn)下略.五、一點(diǎn)一線永遠(yuǎn)相伴(例9)過(guò)橢圓上一點(diǎn)向圓O:引兩條切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B,如直線AB與軸、軸分別交M,N兩點(diǎn).(1)若求點(diǎn)坐標(biāo);(2)求直線AB的方程(用表示)(3)求面積的最小值為原點(diǎn));(4)求面積的最大值.解析若則如圖1,所以.設(shè)則即從而(2)由圓的切點(diǎn)弦得AB的方程為(3)AB的方程與兩軸的交,點(diǎn)分別為.因?yàn)?所以.所以面積的最小值為.(4)圓心到直線的距離為,所以面積的最大值為1.規(guī)律探索極點(diǎn)與極線的相關(guān)性.1.代數(shù)關(guān)系點(diǎn)和橢圓與直線的關(guān)系:(1)點(diǎn)在橢圓外直線為過(guò)的切點(diǎn)弦,如圖2;(2)點(diǎn)在稍圓上直線為過(guò)點(diǎn)的切線,如圖3;(3)點(diǎn)在橢圓內(nèi)直線為與橢圓相離得直線(與切線平行),如圖4;2.幾何關(guān)系如圖5,以下結(jié)論與圓的相應(yīng)結(jié)論統(tǒng)一:(1)(2)過(guò)點(diǎn)的切線必平行于極線，且也平行于過(guò)點(diǎn)的中點(diǎn)弦;(3)切點(diǎn)弦必被點(diǎn)P平分.六、兩種焦半徑焦點(diǎn)弦例10橢圓上不同三點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離構(gòu)成等差數(shù)列,則（）答案：8由題意,得于是.評(píng)注：與焦點(diǎn)相關(guān)的距離問(wèn)題,宜用焦半徑公式.規(guī)律探索：焦半徑與焦點(diǎn)弦.1、焦半徑：（圓錐曲線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離稱焦半徑）橢圓為例，利用橢圓的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑r=ed,其中表示點(diǎn)到與焦點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離.如圖分別為左、右焦點(diǎn),則焦半徑長(zhǎng)公式:記憶技巧:把點(diǎn)想象在第一象限，到右焦點(diǎn)近用“",到右焦點(diǎn)遠(yuǎn)用"+"在極坐標(biāo)下,得焦半徑長(zhǎng)公式:2.焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)計(jì)算,一般不用通常的弦長(zhǎng)公式計(jì)算,而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后,利用第二定義求解.橢圓;雙曲線;拋物線.(1)在參數(shù)方程下設(shè)則弦長(zhǎng).特別地,當(dāng)時(shí),弦長(zhǎng).(2)在極坐標(biāo)下設(shè)為橢圓左焦點(diǎn)弦的傾斜角，則曲線為焦半徑為焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)（帶絕對(duì)值是由于在雙曲線下,當(dāng)A,B分布在不同支上時(shí),會(huì)出現(xiàn)“負(fù)值”)(3)一般的弦長(zhǎng)公式設(shè)弦AB所在直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn),若設(shè)直線AB的方程為則;若設(shè)直線AB的方程為則.變式訓(xùn)練：1.P為橢圓上的點(diǎn),且點(diǎn)與左、右焦點(diǎn)的連線互相垂直,求點(diǎn)的坐標(biāo).2.如下圖,設(shè)是以為中心的橢圓上任意一點(diǎn)為右焦點(diǎn),求證:以線段為直徑的圓與此橢圓的長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切.例11已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),橢圓內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo)為為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的最大值是（）[答案解析(1)如圖5,當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí),即.當(dāng)點(diǎn)在上時(shí),等號(hào)成立,如圖6(2)如圖7,當(dāng)點(diǎn)在軸及上方時(shí),即當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí),等號(hào)成立,如圖8.變式訓(xùn)練：在橢圓內(nèi)有一點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn),在橢圓上有一點(diǎn)M,則的最小值是（）A.B.C.3D.4拓展提升：已知橢圓是的左、右焦點(diǎn),AB是過(guò)焦點(diǎn)的弦,且的面積為32,求|AB|.解析設(shè)直AB的傾斜角為則其中.因此的面積解得.于是七、焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)例12在橢圓為焦點(diǎn)三角形，如圖1所示.(1)若則的面積是(2)若則橢圓離心率（）答案(1)解析(1)由焦,點(diǎn)三角形公式,得即.(2)由公式得.評(píng)注;這類問(wèn)題用通法算很煩瑣，因?yàn)轭}設(shè)條件與所求問(wèn)題“相距甚遠(yuǎn)”，而用焦點(diǎn)三角形公式，則結(jié)論立即可得.規(guī)律探索：焦點(diǎn)三角形(橢圓上一點(diǎn)與焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形)為焦點(diǎn)三角形)的十三大性質(zhì).常利用第一定義和正弦、余弦定理求解.如圖2，設(shè)橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為、的面積為S,則在橢圓中:（3）為點(diǎn)到長(zhǎng)軸端的張角;(4);(5);且當(dāng)即點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí),的最大值(7)(8)(9)；，即(10)(11)即點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí);(13)(由海倫公式