2025高考數(shù)學二輪復習-拉檔提分數(shù)列51-60-專項訓練【含答案】

【解析】型．遞推累加，等差數(shù)列求和：．上述個式子累加得即．型．遞推累加，等比數(shù)列求和：上述個式子累加得即(3)型．同除轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列令則轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列．本小題中，同除轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，由得，令則，得即．型．直接待定系數(shù)本小題中，令，則，得即即型．直接待定系數(shù)，其中本小題中，由得，令則，得即，故．【評注】直接待定系數(shù)時必須是完整的關(guān)于的一次函數(shù)．(6)型．直接待定系數(shù)法，其中本小題中，由得，同(5)方法可得．(7)型．先待定系數(shù)配制掉多項式部分再同除轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列．，令則轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列．本小題中，由，得，同除得，同(3)方法可得，故型．先同除轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，再待定系數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列．，令則，，再令則以下步驟略．本小題中，由得，，可得，故【變式】本小題中，，故．（9）先同除轉(zhuǎn)化為(1)類求解．由得，再令得最終得．型．先待定系數(shù)轉(zhuǎn)化為(8)類求解：，，令則，，或直接待定系數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列：．本小題中，直接待定系數(shù)得，得，故．（11）先待定系數(shù)轉(zhuǎn)化為(9)類求解．由題意得，令則最終得．(12)型．直接待定系數(shù)求解：，本小題中，最終得．(13)，，最終得．(14)由得，，最終得(15)由得，，最終得．【拓展提升】已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)滿足則的最大為________．三、二階遞歸，通項探求我們把滿足的數(shù)列稱為二階遞歸數(shù)列，它比一階遞歸數(shù)列更復雜，下面分類討論．【例1】在下列條件下，求數(shù)列的通項公式:(1)若求；(2)若求(3)若求(4)若求；(5)若求(6)若求(7)若求；(8)若求；(9)若求(10)若求．【解析】(1)由得得(2)由題意得所以所以得所以．(3)由題意得所以所以得．以下各題給出變換成一階遞歸的過程，后續(xù)請讀者自行完成．(4)，則設(shè)由得由得則所以得，．(5)由，得以下仿前面一階遞歸數(shù)列求之．(6)由，得以下仿前面一階遞歸數(shù)列求之．(7)由，得令，則所以所以所以得(8)由，得以下仿前面一階遞歸數(shù)列求之．(9)由得以下仿前面一階遞門數(shù)列求之．(10)由得以下仿前面一階遞歸數(shù)列求之．【變式訓練】1．已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式．2．已知數(shù)列滿足（1）求證:數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式．【拓展訓練】已知是實數(shù)方程有兩個實根數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式(用表示)；（2）若，求的前項和．四、一次分式遞歸，通項探求我們把滿足的數(shù)列稱為一階分式遞歸數(shù)列，此類數(shù)列是未來高考的重要選題方向，應予以足夠重視．接下來我們進行分類討論剖析．【例1】在下列條件下，求數(shù)列的通項公式．(1)若求；(2)若求；(3)若求；(4)若求；(5)若求；(6)若求；(7)若求；(8)若求；(9)若求(10)若求；(11)若求．【答案】(1)(2)(3)(4)(6)(7)(8)(11)【解析】提示：(1)由得，所以為等差數(shù)列．(2)由得，所以是以2為公比的等比數(shù)列．(3)由得，所以是以2為公比的等比數(shù)列．(4)由得，所以是以2為公比的等比數(shù)列．．令得，由得或則有得，進一步得故．(6)，令得，由得則，所以從而．(7)，令得，由得或則得，從而．（8）同(7)，此處略．（9）令得．由得或則得，從而，令得．下同最終得（11）解法1:同(9)．解法2:數(shù)學歸納法由，知猜想，以下用數(shù)學歸納法證明即可，過程略．【變式訓練】已知數(shù)列中．（1）求的值及數(shù)列的通項公式；（2）記，試判斷與2的大小，并說明理由．五、二次整式遞歸，通項探求【例1】若數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式．【解析】由題意得，，則．令，則，進而得，即，所以，所以．【例2】已知點在函數(shù)的圖象上，其中．（1）求證:數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)求及數(shù)列的通