2025高考數學二輪復習-拉檔提分數列131-140-專項訓練【含答案】

十四、數列和式之柯西放縮【例1】已知在數列中.(1)求數列的通項(2)求證(3)求證【解析】(1)(2)因為,要證明,即證明.因為令得即.所以原不等式得證.(3)要證明,即證明.因為，即證明=1\*GB3①成立即可.由得，令則,所以，又所以即=1\*GB3①式成立.綜上得原不等式成立。.十五、數列和式之積分放縮【例1】求證:.【解析】由得，因為時所以【評注】本例為利用定積分的保號性比大小.保號性是指若定義在[a,b]上的可積函數則【例2】求證【解析】考慮函數在區(qū)間上的定積分.如圖，顯然對求和【評注】本例為利用定積分估計和式的上下界.定積分產生和應用的一個主要背景是計算曲邊梯形的面積(如圖）,現在用它來估計小矩形的面積和.【例3】已知求證【解析】考慮函數在區(qū)間上的定積分.因為所以I本例為利用定積分估計和式的上下界.【例4】設如圖,已知直線及曲線上的點的橫坐標為從上的點作直線平行于軸,交直線于點再從點作直線平行于軸,交曲線于點點)的橫坐標構成數列(1)試求與的關系,并求的通項公式;(2)當時,求證(3)當時,求證:.【解析】(2)由知由得.當時,,故由知,則恰表示陰影部分面積顯然所以【評注】技巧積累：將定積分構建的不等式略加改造即得“初等”證明，如：(1)(2)(3);(4)十六、數列和式之迭代放縮【例1】已知，求證：當時，【解析】由題意知，故設則比較系數得則或則有可得進而有累加即得。另解：，通過迭代的方法得到，然后累加就可以得到結論?！纠?】設求證:對任意的正整數若則恒有【解析】又所以.第五章通項放縮，配湊調整一、執(zhí)果索源，分析反推【例1】已知數列滿足(1)求并證明(2)設數列的前項和為數列的前項和為求證:.【解析】(1)先證左邊:由得,取對數得即,進而有即所以叉所以再證右邊：由得則,從而即,取對數得進得,所以即.綜上知原不等式得證.(2)由得累加得，又由得,進而得,所以.二、變式累加，不等放縮【例1】已知數列和滿足.(1)若求證(2)若且求證【解析】(1)根據題意,有,顯然有從而結合可知原命題成立;進一步，由于于是,于是可得,當時,有,于是所以.(2)根據題意,有令可得兩式相比,可得即,從而于是有,因此,也即,命題得證.【例2】已知在數列中,首項且滿足求證：(1);(2).【解析】由題意知則時.所以(2)由,要證明即證明即即即證明，由,有累加得,則成立,故付證不等式成立.三、適時數歸，逆推構造’【例1】已知函數點在的圖象上,過點的切線交軸于點。(1)求與的關系式;(2)求試:數列單調遞減;(3)求證:(4)求證:(5)求證:【解析】(1)由題意知，所以(2)用數學歸納法可證明,當時,即所以單調遞減.(3)因為,所以.(4)由(3)知即,所以（5)只要累加(4)即得證.過程略.四、取倒裂項，累加消項【例1】已知數列滿足，求證：(1)(2)【解析】（1）由題意知，則，可得(2),因為所以累加得從而由可得即，所以，累加得從而綜上得待證不等式成立。【例2】已知數列滿足.(1)求證(2)設數列的前項和為求證.【解析】(1)由題意得即故.由得,由得,所以成立.(2)由得(1).由和得,所以,因此(2).由（1）（2）得【拓展提升】已知在數列中,若數列的最大值為求的取值范圍.五、平方配湊,放縮迭乘【例1】已知數列滿足求證：(1)；(2)?！窘馕觥?1)由顯然止式得,故與同號,又,所以即(也可以用數學歸納法證明)所以即所以.(2)由(1)知,由知從而由得,所以,所以所以成立。六、結合數歸，放縮數列【例1】已知在數列中求證（1）是單調遞減數列；（2）對任意的，都有.【解析】（1）利用數學歸納法易證對任意，都有。于是，命題得證。(2)根據題意,有于是當時,有,因此有即.【例2】已知數列滿足求證:(1)(2)且.【解析】（1）時顯然成立;時,若成立,則,即成立,所以命題得證.(