平行四邊形單元 易錯題測試基礎(chǔ)卷試卷

平行四邊形單元易錯題測試基礎(chǔ)卷試卷

一、選擇題

1.如圖，在正方形A8CD中，CE=MN,ZMCE=35°,那么NANM等于（）

2.如圖，在平行四邊形A3CD中，N3CO=3（）°,3C=6,CO=6j§,E是A0邊上的

中點(diǎn)，尸是A3邊上的一動點(diǎn)，將AA￡尸沿EF所在直線翻折得到AA'EE,連接AC,則

AC的最小值為（）

3.如圖，菱形A88中，AB=4,NA8C=120,點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，占尸在8C

上，下列選項中不正確的是（）

A.若AE+b=4,則AADE且

B.若DF上AD,DE上CD,則E/=26

C.若NDEB=/DEC,則以郎的周長最小值為4+2百

D.若DE=DF，則ZAOE+NFDC=60°

4.如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4,BC=8,點(diǎn)E,F分別在AD,BC上，將ABCD沿

直線EF折疊，點(diǎn)C落在AD上的一點(diǎn)H處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，有以下四個結(jié)論：①四邊

形CFHE是菱形：②EC平分NDCH；③線段BF的取值范圍為3WBFW4；④當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A

重合時，EF=2行.其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③④B.①④C.①②④D.①③④

5.如圖，A3CD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O,AE平分/胡。交8。于點(diǎn)E，且

ZADC=60°,AB=^BC,連接0E.下列結(jié)論：①AE=C￡；

②sAB?>=AB-AC；③50即=5?碓；@OE^^BC,成立的個數(shù)有（）

6.如圖，直線/上有三個正方形。，b,C,若a,C的面積分別為6和14,則匕的面積

A.8B.18C.20D.26

7.如圖：點(diǎn)E、F為線段BD的兩個三等分點(diǎn)，四邊形AECF是菱形，且菱形AECF的周長

為20,BD為24,則四邊形ABCD的面積為（）

8.線段AB上有一動點(diǎn)C（不與A,B重合），分別以AC,BC為邊向上作等邊△ACM和等

邊ABCN,點(diǎn)D是MN的中點(diǎn)，連結(jié)AD,BD,在點(diǎn)C的運(yùn)動過程中，有下列結(jié)論：

①4ABD可能為直角三角形；②4ABD可能為等腰三角形；③aCMN可能為等邊三角形；

④若AB=6,則AD+BD的最小值為3療.其中正確的是（）

N

D

A.②③B.①②③④C.①③④D.②③④

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（8,0）,點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā)以1個單位長度/秒

的速度沿y軸正半軸方向運(yùn)動，同時，點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)以1個單位長度/秒的速度沿X軸

負(fù)半軸方向運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P、。運(yùn)動的時間為t（0＜，＜8）秒.以P。為斜邊，向第一象限內(nèi)作

等腰RtA/VJQ,連接08.下列四個說法：

①OP+OQ=8；②B點(diǎn)坐標(biāo)為（4,4）；③四邊形尸例2。的面積為16；④PQ＞QB.其中

正確的說法個數(shù)有（）

10.如圖，矩形ABCD中，AB=10,AD=4,點(diǎn)E從D向C以每秒1個單位的速度運(yùn)動，

以AE為一邊在AE的左上方作正方形AEFG,同時垂直于CD的直線MN也從C向D以每秒

2個單位的速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)F落在直線MN上，設(shè)運(yùn)動的時間為3貝代的值為（）

14

D.—

33

二、填空題

11.在平行四邊形ABCD中，NA=30°,AO=2ji,8D=2,則平行四邊形ABCD的面積

等于.

12.如圖，某景區(qū)湖中有一段"九曲橋"連接湖岸A,B兩點(diǎn)，"九曲橋"的每一段與AC平行

或BD平行，若AB=100m,NA=/B=60。，則此“九曲橋”的總長度為.

D

13.如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，若重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD中,

AB=3,,AC=2,則BO的長為

14.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)瓦E將對角線AC三等分，且AC=6.點(diǎn)P在正方

形的邊上，則滿足莊+尸尸=5的點(diǎn)P的個數(shù)是個.

15.如圖,長方形紙片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE并將

△AEB沿AE折疊,得到△AEB，，以C,E,B，為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時,BE的長為

cm.

16.如圖，在菱形A8CO中，AB的垂直平分線所交對角線AC于點(diǎn)尸，垂足為點(diǎn)

￡，若/CDF=k。,則ND4B的度數(shù)為.

17.菱形。BCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，頂點(diǎn)B(26，0),NDOB=

60°,點(diǎn)P是對角線。C上一個動點(diǎn)，E(0,-1),則EP十BP的最小值為

18.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)E,若NCBF=20。，則

ZAED等于_度.

19.如圖，點(diǎn)￡、F分別在平行四邊形ABCD邊BC和A。上（E、F都不與兩端點(diǎn)重合），

連結(jié)AE、DE、8F、CF,其中AE和BF交于點(diǎn)G,DE和CF交于點(diǎn)H.令一=〃，

BC

EC

—=m.若機(jī)=〃，則圖中有.個平行四邊形（不添加別的輔助線）；若

BC

m+n=X,且四邊形ABC。的面積為28,則四邊形FGEH的面積為.

20.在菱形ABC。中，M是AD的中點(diǎn)，48=4,N是對角線AC上一動點(diǎn)，△0〃可的周長

最小是2+2百，則BD的長為.

三、解答題

21.已知，四邊形4BCD是正方形，點(diǎn)E是正方形ABCD所在平面內(nèi)一動點(diǎn)（不與點(diǎn)。重

合），AB=AE,過點(diǎn)8作DE的垂線交DE所在直線于F,連接CF.

提出問題：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動時，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？

探究問題：

（1）首先考察點(diǎn)E的一個特殊位置：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合（如圖①）時，點(diǎn)F與點(diǎn)B也重

合.用等式表示線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系：_；

（2）然后考察點(diǎn)E的一般位置，分兩種情況：

情況1:當(dāng)點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（如圖②）時；

情況2：當(dāng)點(diǎn)E是正方形A8CD外部一點(diǎn)（如圖③）時.

在情況1或情況2下，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系與（1）中的結(jié)論是否相同？如

果都相同，請選擇一種情況證明；如果只在一種情況下相同或在兩種情況下都不相同，請

說明理由；

拓展問題：

（3）連接AF,用等式表示線段AF、CF、DF三者之間的數(shù)量關(guān)系：

22.如圖，在四邊形ABCO中，AB//DC,AB=4D，對角線AC,BD交于點(diǎn)。，

AC平分㈤。，過點(diǎn)C作CELAB交的延長線于點(diǎn)E,連接0E.

（1）求證：四邊形ABC。是菱形；

（2）若A￡=5,0E=3,求線段CE的長.

23.如圖1所示，把一個含45。角的直角三角板ECF和一個正方形A8CD擺放在一起，使三

角板的直角頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)C重合，點(diǎn)E,F分別在正方形的邊CB,CD上，連接AE、

AF.

⑴求證：AE=AF-,

⑵取AF的中點(diǎn)M,EF的中點(diǎn)N,連接MD,MN.則MD,MN的數(shù)量關(guān)系是,

MD、MN的位置關(guān)系是

(3)將圖2中的直角三角板ECF,繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180。，如圖3所示，其他條件不變，則⑵中的

兩個結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由.

24.在矩形ABCD中，AE_LBD于點(diǎn)E,點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)，PF_LBD于點(diǎn)F,PA=PF.

(1)試判斷四邊形AGFP的形狀，并說明理由.

(2)若AB=1,BC=2,求四邊形AGFP的周長.

25.如圖，四邊形0ABe中，BC//AO,A(4,0),8(3,4),C(0,4).點(diǎn)M從。出

發(fā)以每秒2個單位長度的速度向A運(yùn)動；點(diǎn)N從8同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度

向C運(yùn)動.其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.過點(diǎn)N作NP垂直x

軸于點(diǎn)P，連結(jié)AC交NP于Q,連結(jié)MQ.

(1)當(dāng)t為何值時，四邊形BMWP為平行四邊形？

(2)設(shè)四邊形BNR4的面積為y,求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)是否存在點(diǎn)使得aAQ/W為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，

請說明理由.

26.如圖，在平行四邊形A8CD中，㈤。的平分線交8C于點(diǎn)E，交0c的延長線于

F,以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECFG.

（1）求證：四邊形ECFG是菱形；

（2）連結(jié)30、CG,若NABC=120°,則ABOG是等邊三角形嗎？為什么？

（3）若NABC=90°，AB=10,AD=24，M是EF的中點(diǎn)，求DW的長.

27.如圖①，已知正方形ABCD中，E,F分別是邊AD,CD上的點(diǎn)（點(diǎn)E,F不與端點(diǎn)重

合），且AE=DF,BE,AF交于點(diǎn)P,過點(diǎn)C作CHLBE交BE于點(diǎn)H.

（1）求證：AF〃CH;

（2）若AB=26,AE=2,試求線段PH的長；

CP

（3）如圖②，連結(jié)CP并延長交AD于點(diǎn)Q,若點(diǎn)H是BP的中點(diǎn)，試求質(zhì)的值.

28.已知在平行四邊形A8C。中，AB力BC,將ABC沿直線AC翻折，點(diǎn)5落在點(diǎn)

盡處，與CE相交于點(diǎn)0,聯(lián)結(jié)。E.

（1）如圖1,求證：AC/IDE；

（2）如圖2,如果/B=90°,AB=￡，BC=46>求O4C的面積；

(3)如果/B=30°,AB=26當(dāng)AED是直角三角形時，求3c的長.

圖1圖2備用圖

29.如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)E、廠是正方形內(nèi)兩點(diǎn)，BE//DF，EF上BE，為

探索這個圖形的特殊性質(zhì)，某數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)歷了如下過程：

圖1

(1)在圖1中，連接8。，且BE=DF

①^證：EF與BZ)互相平分；

魅證：(BE+DFf+EF?=2AB\

(2)在圖2中，當(dāng)BE羊DF，其它條件不變時，(8E+OF)2+Ep2=2AB?是否成

立？若成立，請證明：若不成立，請說明理由.

圖2

(3)在圖3中，當(dāng)AB=4，NDPB=135°,03P+2PO=4^B時，求PO之長.

B

圖3

30.如圖1,在正方形ABCD中，E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA上的點(diǎn),

HA=EB=FC=GD,連接EG,FH,交點(diǎn)為O.

圖1圖2圖3

(1)如圖2,連接EF,FG,GH,HE,試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論；

(2)將正方形ABCD沿線段EG,HF剪開，再把得到的四個四邊形按圖3的方式拼接成一

個四邊形.若正方形ABCD的邊長為3cm,HA=EB=FC=GD=lcm,則圖3中陰影部分的面積

為__cm2.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除

一、選擇題

1.C

解析：c

【分析】

過B作BF〃/WN交AD于F,則/AFB=/4VM,根據(jù)正方形的性質(zhì)得出乙A=/￡BC=

90°,AB=BC,AD//BC,推出四邊形BFNM是平行四邊形，得出8F=MN=CE,證

RtABC￡,推出N4FB=NECB即可.

【詳解】

過B作BF〃MN交AD于F,

則NAFB=NAN/W,

?.?四邊形ABCD是正方形，

；./A=NEBC=90°,AB=BC,AD//BC,

：.FN//BM,BF//MN,

：.四邊形BFNM是平行四邊形，

BF=MN,

?：CE=MN,

：.CE=BF,

在RtA/lBF和RtABCE中

BF=CE

AB=BC

：.RtA48F^RtA8C￡(HL),

ZABF^ZMCE=35°,

：.ZANM=ZAFB=SS",

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形全等的判定即性質(zhì)，還涉及正方形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與

性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

2.C

解析：C

【分析】

如圖，先作輔助線，首先根據(jù)垂直條件，求出線段ME、DE長度，然后運(yùn)用勾股定理求出

DE的長度，再根據(jù)翻折的性質(zhì)，當(dāng)折線E4',AC與線段CE重合時，線段長度最

短，可以求出最小值.

【詳解】

如圖，連接EC,過點(diǎn)E作EMLCD交CD的延長線于點(diǎn)M.

四邊形ABCD是平行四邊形，

:.ADBC,AD=BC=6,

E為AD的中點(diǎn)，ZBCD^30°,

.?.￡)E=E4=3,ZMDE=/BCD=30。,

又EM±CD,

：.ME=-DE=-,OM=述，

222

:.CM=CD+DM^6y/3+—=^^~.

22

根據(jù)勾股定理得：

CE=\IME?+CM2=j1|j+1^1=3A/19.

根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得E4'=E4=3,

當(dāng)折線E4'，AC與線段CE重合時，線段AC長度最短，此時A'C=3j歷—3.

【點(diǎn)睛】

本題是平行四邊形翻折問題，主要考查直角三角形勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線是解題

的關(guān)鍵.

3.D

解析：D

【分析】

A.正確，只要證明ADE合即可；

B.正確，只要證明。進(jìn)而得到團(tuán)尸是等邊三角形，進(jìn)而得到結(jié)論；

C.正確，只要證明DBE=0c尸得出DE廠是等邊三角形，因為3ER的周長為

BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF,所以等邊三角形。石尸的邊長

最小時，巫尸的周長最小，只要求出￡)所的邊長最小值即可；

D.錯誤，當(dāng)EFAC時，DE=DF，由此即可判斷.

【詳解】

A正確，理由如下：

四邊形ABCD是平行四邊形，ZABC=\20°

AD=DC=BC=AB=4,ZABD=NDBC=60°,

ADB、BDC都是等邊三角形，

AD=BD,ZDAE=/DBF=60°,

AE+CF=4,BF+CF=4,

：.AE=BF,

又AD=BD,ZDAE=ZDBF,

：.ADE^BDF.

B正確，理由如下：

DFLAD,ADBC,

:.DFrBC,

DBC是等邊三角形,

NBDF=30°,DF=-CD=2百，

2

同理NBDE=30°,DE=26，

:.DE=DF,ZEDF=a)°,

：.瓦邛是等邊三角形，

/.EF=DE=2G.

C正確，理由如下：

NDBE=NDCF/DEB=NDFC,DB=DC,

DBE三DCF,

DE=DF,ZBDE=/CDF,BE=CF,

:.NEDF=NBDC=60。,

DEF是等邊三角形，

班戶的周長為：

BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EF,

二等邊三角形。瓦'邊長最小時，B石廠的周長最小，

.?.當(dāng)?！?，回時，DE最小為2百，

B石廠的周長最小值為4+2石.

D錯誤，當(dāng)EFAC時、DE=DF，此時NADE+NEDC時變化的不是定值，故錯誤.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等的判定的同時，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，涉及到最值問題，仔細(xì)分析圖

形，明確圖形中的全等三角形是解決問題的關(guān)鍵.

4.D

解析：D

【分析】

①先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CF=FH,然后根據(jù)鄰邊相等

的平行四邊形是菱形證明即可判斷出①正確；

②根據(jù)菱形的對角線平分一組對角可得NBCH=NECH,然后求出只有NDCE=30°時EC平分

ZDCH,即可判斷出②錯誤；

③點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時，設(shè)BF=x,表示出AF=FC=8-x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的

最小值，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時，CF=CD,求出BF=4,然后寫出BF的取值范圍，即可判斷出

③正確；

④過點(diǎn)F作FM_LAD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,即可判斷出④正

確.

【詳解】

①：FH與CG,EH與CF都是矩形ABCD的對邊AD、BC的一部分，

；.FH〃CG,EHZ/CF,

二四邊形CFHE是平行四邊形，

由翻折的性質(zhì)得,CF=FH,

四邊形CFHE是菱形，故①正確；

②..?四邊形CFHE是菱形，

AZBCH=ZECH,

只有NDCE=30°時EC平分/DCH,故②錯誤；

③點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時，設(shè)BF=x,則AF=FC=8-x,

在RtZXABF中，AB2+BF2=AF2,BP42+x2=(8-x)2,

解得x=3,

點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時，CF=CD=4,

，BF=4,

二線段BF的取值范圍為3WBFW4,故③正確;

④如圖，過點(diǎn)F作FM_LAD于M,

由勾股定理得，EF=尸2+ME?=2以，故④正確；

綜上所述，結(jié)論正確的有①③④，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

5.C

解析：c

【分析】

由OABCD中，NADC=60°,易得^ABE是等邊三角形，又由AB=，BC,證得

2

ZCAD=30°；繼而證得AC_LAB,AE=CE,可判斷①；由AC_LAB,則②S°ABCD=AB?AC；可得

0E是三角形的中位線，則OE=；AB,則③%^=25小理；證得④OE=：BC.

【詳解】

解：:四邊形ABCD是平行四邊形，

AZABC=ZADC=60a,ZBAD=120°,

VAE平分/BAD,

AZBAE=ZEAD=60°

???△ABE是等邊三角形，

AAE=AB=BE,ZBAE=60°,

VAB=—BC,

2

1

AAE=—BC,

2

.\ZBAC=90°,

AZACE=ZCAE=30°,

AAE=CE,故①正確；

VAC1AB,

**?SLABCD=AB*AC,故②正確，

???點(diǎn)。是AC中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，

.\0E=—AB,

2

?*-SMBE=2SMOE'故③錯誤；

VOE是中位線，

.\OE=—AB=-BC,故④正確.

24

...正確的選項有①②④，共3個；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì).注意

證得4ABE是等邊三角形，0E是AABC的中位線是關(guān)鍵.

6.C

解析：C

【分析】

由題意根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合勾股定理和正方形的面積公式進(jìn)行分析計算.

【詳解】

解：?.)、b、c都為正方形，a,C的面積分別為6和14,

.*.AC=CE,AB2=6,DE2=14,ZACF=90°,

???ZBAC+ZBCA=90°,NBCA+ZDCE=90°,

/.ABACZDCE,

在A5C和△CDE中，

ZABC=ZCDE

<ABAC=ZDCE,

AC=CE

：.ABC=CDE(AAS),

.*.BC=DE,BC2=DE2=14,

由勾股定理可知AC2=AB2+BC2，

的面積為AC?=6+14=20.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)

合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具，在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰

當(dāng)?shù)呐卸l件.

7.C

解析：C

【分析】

根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分可得AC_LBD,AO=OC,EO=OF,再求出BO=OD,證明

四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的四條邊都相等求出邊長AE,根據(jù)菱形的對角線互相平分

求出0E,然后利用勾股定理列式求出A。，再求出AC,最后根據(jù)四邊形的面積等于對角線

乘積的一半列式計算即可得解.

【詳解】

?.?四邊形AECF是菱形，

AACIBD,AO=OC,EO=OF,

又?.?點(diǎn)E、F為線段BD的兩個三等分點(diǎn)，

，BE=FD,

.*.BO=OD,

VAO=OC,

四邊形ABCD為平行四邊形，

VAC1BD,

四邊形ABCD為菱形；

???四邊形AECF為菱形，且周長為20,

；.AE=5,

：BD=24,點(diǎn)E、F為線段BD的兩個三等分點(diǎn)，

11

；.EF=8,OE=-EF=-X8=4,

22

由勾股定理得，AO=7AE2-OE2=A/52-42=3，

，AC=2AO=2x3=6,

.11

..S四邊形ABCD=-BD?AC=-x24x6=72；

22

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，主要利用了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，勾股定理

以及利用菱形對角線求面積的方法，熟記菱形的性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵.

8.D

解析：D

【分析】

根據(jù)題意并結(jié)合圖形，我們可以得出當(dāng)C為AB的中點(diǎn)時，可判斷所給結(jié)論正確與否.

【詳解】

解：

當(dāng)C為AB中點(diǎn)時，有圖如下，

ACM與BCN為等邊三角形，

：C為AB中點(diǎn)，

,AM=AC=MC=NC=BC=NB,MD=ND,

^MCN=60°

/.NCMN=/CNM=60°

CMN為等邊三角形，③正確；

???/AMD=4ND=120°

AMDsBND

.,.AD=BD,AABD此時為等腰三角形，②正確;

當(dāng)C為AB中點(diǎn)時，AD+BD值最小，

為MN的中點(diǎn)，

；.CD為MN的垂直平分線，

AMD=-AB,VAB=6,

VAD=BD

，AD+BD=3j7,④正確；

若AABD可能為直角三角形，則NADB=90°,

.?.CD為AB的垂直平分線

二NADC=45。

/.AC=CD,與所求結(jié)論不符，①錯誤.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識點(diǎn)是等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理及性質(zhì)，弄清題意，畫

出當(dāng)C為AB中點(diǎn)時的圖形是解題的關(guān)鍵.

9.B

解析：B

【分析】

根據(jù)題意，有OP=AQ,即可得到OP+OQ=Q4=8,①正確；當(dāng)f=4時，0P=0Q=4,

此時四邊形PBQO是正方形，則PB=QB=OP=OQ=4,即點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,4）,②正確；

四邊形PBQO的面積為：4x4=16,在P、Q運(yùn)動過程面積沒有發(fā)生變化，故③正確；由

正方形PBQO的性質(zhì)，則此時對角線PQ=OB,故④錯誤；即可得到答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，點(diǎn)P與點(diǎn)Q同時以1個單位長度/秒的速度運(yùn)動，

.".OP=AQ,

：0Q+AQ=0A=8,

；.0Q+0P=8,①正確；

由題意，點(diǎn)P與點(diǎn)Q運(yùn)動時，點(diǎn)B的位置沒有變化，四邊形PBQO的面積沒有變化，

當(dāng)/=4時，如圖：

貝ljAQ=OP=4,

；.0Q=8-4=4,

...點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4,4）,②正確；

此時四邊形PBQO是正方形，則PB=QB=OP=OQ=4,

二四邊形PBQO的面積為：4x4=16,③正確；

?.?四邊形PBQO是正方形，

，PQ=OB,

即當(dāng)r=4時，PQ=OB,故④錯誤；

正確的有：①②③，共三個；

故選擇：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵

是根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動情況，進(jìn)行討論分析來解題.

10.D

解析:D

【分析】

過點(diǎn)F作FHJ_CD,交直線CD于點(diǎn)Q,則NEHF=90。，易證NADE=/EHF,由正方形的性質(zhì)

得出NAEF=90°,AE=EF,證得NAED=NEFH,由AAS證得AADEg/XEHF得出AD=EH=4,則

t+2t=4+10,即可得出結(jié)果.

【詳解】

過點(diǎn)F作FHJ_CD,交直線CD于點(diǎn)Q,則NEHF=90°,如圖所示:

?..四邊形ABCD為矩形，

AZADE=90°,

，NADE=NEHF,

;在正方形AEFG中,ZAEF=90°,AE=EF,

ZAED+ZHEF=90",

VZHEF+ZEFH=90°,

AZAED=ZEFH,

SAADE和AEHF中，

ZADE=ZEHF

<NAED=NEFH,

AE=EF

.".△ADE^AEHF(AAS),

；.AD=EH=4,

由題意得：t+2t=4+10,

14

解得：t=二"，

3

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握正方

形與矩形的性質(zhì)，通過作輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.4/或26

【分析】

分情況討論作出圖形，通過解直角三角形得到平行四邊形的底和高的長度，根據(jù)平行四邊

形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：過。作。E_L他于E，

在RtAAD￡中,ZA=30°,AD=2。

:.DE=-AD=y/3,AE=—AD=3,

22

在RtZ\BD￡中,BD=2,

BE=y/BD2-DE2=J矛-(廚=1，

：.AB=4,

二平行四邊形ABC￡>的面積=A8DE=4X73=4>/3，

如圖2,

AB=2,

:?平行四邊形ABC￡>的面積=A8D￡=2X^=2A/3，

圖3

在RtAABE中，設(shè)AE=x,貝IJOE=2&—x，

n

ZA=30°,BE=—x，

3

在中，60=2,

.-.22=(^X)2+(2>/3-X)2,

：.x=6，x=2百(不合題意舍去)，

:.BE=1,

，平行四邊形ABC。的面積=A。BE=\x2拒=26，

如圖4,

B

當(dāng)AD_L8。時，平行四邊形ABC。的面積=AO80=46，

故答案為：4石或2百.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的面積公式的運(yùn)用、30度角的直角三角形的性

質(zhì)，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵.

12.200m

【分析】

如圖，延長AC、BD交于點(diǎn)E,延長HK交AE于F,延長NJ交FH于M,則四邊形EDHF,

四邊形MNCF,四邊形MKGJ是平行四邊形，4ABC是等邊三角形，由此即可解決問題.

【詳解】

如圖，延長AC、BD交于點(diǎn)E,延長HK交AE于F,延長NJ交FH于M

E

由題意可知，四邊形EDHF,四邊形MNCF,四邊形MKGJ是平行四邊形

?；NA=/B=60°

???Z￡=18()一ZA—ZB=60

??.△ABC是等邊三角形

；.ED=FM+MK+KH=CN+JG+HK,EC=EF+FC=JN+KG+DH

二“九曲橋"的總長度是AE+EB=2AB=200m

故答案為:200m.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形、等邊三角形、三角形內(nèi)角和的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行

四邊形、等邊三角形、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，從而完成求解.

13.4加

【分析】

首先由對邊分別平行可判斷四邊形ABCD為平行四邊形，連接AC和BD,過A點(diǎn)分別作DC

和BC的垂線，垂足分別為F和E,通過證明4ADF合△ABC來證明四邊形ABCD為菱形，

從而得到AC與BD相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD長度.

【詳解】

解：連接AC和BD,其交點(diǎn)為。，過A點(diǎn)分別作DC和BC的垂線，垂足分別為F和E,

ABIICD,ADIIBC,

四邊形ABCD為平行四邊形，

ZADF=ZABE,

???兩紙條寬度相同，

AF=AE,

'NADF=NABE

<ZAFD=NAEB=90°

AF=AE

ADF2△ABE,

AD=AB,

???四邊形ABCD為菱形，

AC與BD相互垂直平分，

???BD二2\IAB2-AO2=4V2

故本題答案為：472

【點(diǎn)睛】

本題考察了菱形的相關(guān)性質(zhì)，綜合運(yùn)用了三角形全等和勾股定理，注意輔助線的構(gòu)造一定

要從相關(guān)條件以及可運(yùn)用的證明工具入手，不要盲目作輔助線.

14.8個

【分析】

作點(diǎn)F關(guān)于BC的對稱點(diǎn)M,連接FM交BC于點(diǎn)N,連接EM,交BC于點(diǎn)H,可得點(diǎn)H到

點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離之和最小，可求最小值，即可求解.

【詳解】

如圖，作點(diǎn)F關(guān)于BC的對稱點(diǎn)M,連接FM交BC于點(diǎn)N,連接EM,交BC于點(diǎn)H,

:點(diǎn)E,F將對角線AC三等分，且AC=6,

.".EC=4,FC=2=AE,

:點(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于BC對稱，

；.CF=CM=2,/ACB=NBCM=45",

AZACM=90°,

，EM=VEC2+CM2=742+22=2^，

則在線段BC存在點(diǎn)H到點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離之和最小為2君＜5,

在點(diǎn)H右側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，則PE+PF=4+2=6,

...點(diǎn)P在CH上時，2j^〈PE+PFW6,

在點(diǎn)H左側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，

VFN1BC,NABC=90。，

；.FN〃AB,

.".△CFN^ACAB,

?_F_N___C__N___C__F___1

■'AB-CB-CA-3(

：AB=BC=十AC=372，

FN=；AB=y/2,

CN=；BC=&,

；.BN=BC—CN=20,

BF=7FN2+BN2=V2+8=VIO，

VAB=BC,CF=AE,ZBAE=ZBCF,

.,.△ABE^ACBF(SAS),

；.BE=BF=JIU,

.,.PE+PF=2V10，

.?.點(diǎn)P在BH上時，2逐〈PE+PFV2廂，

在線段BC上點(diǎn)H的左右兩邊各有一個點(diǎn)P使PE+PF=5,

同理在線段AB,AD,CD上都存在兩個點(diǎn)使PE+PF=5.

即共有8個點(diǎn)P滿足PE+PF=5,

故答案為8.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，最短路徑問題，在BC上找到點(diǎn)H,使點(diǎn)H到點(diǎn)E和點(diǎn)F的距

離之和最小是本題的關(guān)鍵.

15.3或6

【詳解】

??.△ABE是等腰直角三角形，

BE=AB=6cm；

②NEB￡=90°時，如圖2,

由翻折的性質(zhì)NAB，E=NB=90°,

:.A、B\C在同一直線上，

AB'=AB,BE=B'E,

由勾股定理得，AC=ylAB2+BC2=762+82=1°cm,

B'C=10-6=4cm,

設(shè)BE=B'E=x,則EC=8-x,

在RtABZEC中，BT^BT^EC2,

即x2+42=(8-x)2,

解得x=3,

即BE=3cm,

綜上所述，BE的長為3或6cm.

故答案為3或6.

16.102°

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)求出/DAB=2/DAC,AD=CD；再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AF=DF,利用

三角形內(nèi)角和定理可以求得3/CAD+/CDF=180。，從而得到/DAB的度數(shù).

【詳解】

連接BD,BF,

?.?四邊形ABCD是菱形,

；.AD=CD,

.\ZDAC=ZDCA.

；EF垂直平分AB,AC垂直平分BD,

；.AF=BF,BF=DF,

；.AF=DF,

.,.ZFAD=ZFDA,

AZDAC+ZFDA+ZDCA+ZCDF=180",即3ZDAC+ZCDF=180°,

ZCDF=27°,

.".3ZDAC+27°=180°,則NDAC=51°,

，NDAB=2NDAC=102°.

故答案為：102。.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用以及菱形的性質(zhì)，有

一定的難度，解答本題時注意先先連接BD,BF,這是解答本題的突破口.

17.V19

【分析】

先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得OC垂直平分BD,從而可得DP=BP，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短

可得EP+3P的最小值為DE,然后利用等邊三角形的判定與性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后

利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得.

【詳解】

如圖，連接BP、DP、EP、DE、BD,過點(diǎn)D作QA_LOB于點(diǎn)A,

5(273,0),

08=26，

四邊形ABCD是菱形，

.?.。。垂直平分80，0B=0D=26

點(diǎn)P是對角線OC上的點(diǎn)，

:.DP=BP，

:.EP+BP=EP+DP，

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，EP+DP的最小值為DE,即EP+3P的最小值為DE,

OB=OD,ADOB=60°,

是等邊三角形，

DA1OB,

：.0A=；0B=6,AD=y/OD2-OA2=7(273)2-(V3)2=3>

￡)(73,3),

又￡(0,-1),

DE=J(6-0)2+(3+1)2=V19，

即EP+BP的最小值為V19，

故答案為：M.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式等知識點(diǎn)，根據(jù)

兩點(diǎn)之間線段最短得出EP+BP的最小值為DE是解題關(guān)鍵.

18.65

【分析】

先由正方形的性質(zhì)得到NABF的角度，從而得到NAEB的大小，再證4AEB^aAED,得到

ZAED的大小

【詳解】

:四邊形ABCD是正方形

/.ZACB=ZACD=ZBAC=ZCAD=45",ZABC=90°,AB=AD

：/FBC=20°,.,.ABF=70°

.?.在AABE中，ZAEB=65°

在aABE與AADE中

'AB=AD

<NBAE=NEAD=45°

AE=AE

AAABE^AADE

ZAED=ZAEB=65°

故答案為：65°

【點(diǎn)睛】

本題考查正方形的性質(zhì)和三角形全等的證明，解題關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)，推導(dǎo)出

ZAEB的大小.

19.7

【分析】

①若加=〃，則AF=￡C,先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出=再根據(jù)平

行四邊形的判定（一組對邊平行且相等或兩組對邊分別平行）即可得；②先根據(jù)平行四邊

形的性質(zhì)與判定得出四邊形ABEF、四邊形CDFE都是平行四邊形，從而可得

+

S壟FG=[=4SCDFE，再根據(jù)ABEFSCDFE=28和

S四邊形/「GE”=S&EFG+S&EFH=WSABEF+WSCOFE即可得1出答案'

【詳解】

四邊形ABCD是平行四邊形

AD//BC,AD=BC

AFEC

----=n,=m.m=n

BCBC

AF=EC

：.AD-AF=BC-EC，即止

..?四邊形AECF、四邊形BEDF都是平行四邊形

AE//CF,BF//DE

???四邊形EGFH是平行四邊形

綜上，圖中共有4個平行四邊形

如圖,連接EF

AFEC,

----=n,-------m,m+ri-I

BCBC

：.AF+EC=BC^AD

AF+DF=AD

：.EC=DF

/.AF=BE

二四邊形ABEF、四邊形CDFE都是平行四邊形

一SAKFG=WSfliEF'SAEP5r=WSCDFE

ABEF+SCDFE=28

S四邊形FGEH=S怔FG+SAEFH=WSABEF+WSCDFE

='(S.BEF+Sa)FE)

=—x28=7

4

故答案為：4；7.

D

BEc

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

20.4

【分析】

根據(jù)題意，當(dāng)B、N、M三點(diǎn)在同一條直線時，△DMN的周長最小為：BM+DM=2+2jL

由DM=；AO=2,貝|JBM=2百，利用勾股定理的逆定理，得到NAMB=90°,則得到

△ABD為等邊三角形，即可得到BD的長度.

【詳解】

解：如圖：連接BD,BM,則AC垂直平分BD,則BN=DN,

D

當(dāng)B、N、M三點(diǎn)在同一條直線時，ZXDMN的周長最小為：BM+DM=2+26，

VAD=AB=4,M是AD的中點(diǎn)，

.".AM=DM=-A￡>=2,

2

；.BM=25

AM2+BM2=22+（2百1=16=AB2,

.,.△ABM是直角三角形，即NAMB=90°；

VBM是AABD的中線，

??.△ABD是等邊三角形，

BD=AB=AD=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，以及三線合一定

理.解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確得到4ABD是等邊三角形.

三、解答題

21.（1）DE=^CF；（2）在情況1與情況2下都相同，詳見解析；（3）AF+CF=

y/2DF^\AF-CF\=y/2DF

【分析】

（1）易證ABCD是等腰直角三角形，得出DB=0CB,即可得出結(jié)果；

（2）情況1：過點(diǎn)C作CG_LCF,交DF于G,設(shè)BC交DF于P,由ASA證得

△CDG^ACBF,得出DG=FB,CG=CF,則AGCF是等腰直角三角形，F(xiàn)G=0CF,連接BE,

設(shè)NCDG=a,則/CBF=a,/DEA=NADE=90°-a,求出/DAE=2a,則NEAB=90°-2a,

ZBEA=ZABE=—（180--ZEAB）=45°+a,ZCBE=45°-a,推出/FBE=45°,得出ABEF是等腰

2

直角三角形，則EF=BF,推出EF=DG,DE=FG,得出DE=8CF；

情況2：過點(diǎn)C作CGJ_CF交DF延長線于G,連接BE,設(shè)CD交BF于P,由ASA證得

△CDG^ACBF,得出DG=FB,CG=CF,則AGCF是等腰直角三角形，得FG=&CF,設(shè)

ZCDG=a,則NCBF=a,證明ABEF是等腰直角三角形，得出EF=BF,推出DE=FG,得出

DE=V2CF；

（3）①當(dāng)F在BC的右側(cè)時，作HD_LDF交FA延長線于H,由（2）得ABEF是等腰直角三

角形，EF=BF,由SSS證得4ABF畛ZSAEF,得出NEFA=NBFA=工NBFE=45°,則AHDF是等腰

2

直角三角形，得HF=0DF,DH=DF,VZHDF=ZADC=90°,由SAS證得△HDA^ZXFDC,得

CF=HA,即可得出AF+CF=0DF；

②當(dāng)F在AB的下方時，作DH_LDE,交FC延長線于H,在DF上取點(diǎn)N,使CN=CD,連接

BN,證明ABFN是等腰直角三角形，得BF=NF,由SSS證得ZkCNF嶺△CBF,得

ZNFC=ZBFC=^-ZBFD=45°,則ADFH是等腰直角三角形，得FH=0DF,DF=DH,由SAS

證得AADF四△CDH,得出CH=AF,即可得出AF+CF=J^DF：

③當(dāng)F在DC的上方時，連接BE,作HD_LDF,交AF于H,由（2）得ABEF是等腰直角三

角形，EF=BF,由SSS證得AABF絲Z\AEF,得NEFA=NBFA=工/BFE=45°,則AblDF是等腰直

2

角三角形，得出HF=&DF,DH=DF,由SAS證得AADC絲ZXHDF,得出AH=CF,即可得出

AF-CF=V2DF；

④當(dāng)F在AD左側(cè)時，作HDJ_DF交AF的延長線于H,連接BE,設(shè)AD交BF于P,證明

△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF,由SSS證得AABF絲Z^AEF,得

ZEFA=ZBFA=—ZBFE=45°,貝lJ/DFH=NEFA=45。，AHDF是等腰直角三角形，得DH=DF,

2

HF=CDF,由SAS證得△HDAgZXFDC,得出AF=CF,即可得出CF-AF=QDF.

【詳解】

解：（1）?.?四邊形ABCD是正方形，

；.CD=CB,ZBCD=90°,

.二△BCD是等腰直角三角形，

.\DB=V2CB,

當(dāng)點(diǎn)E、F與點(diǎn)B重合時，則DE=J^CF,

故答案為：DE=J^CF；

（2）在情況1或情況2下，線段CF與線段DE之間的數(shù)量關(guān)系與（1）中結(jié)論相同；理由

如下：

情況1：：四邊形ABCD是正方形，

CD=CB=AD=AB=AE,ZBCD=ZDAB=ZABC=90°,

過點(diǎn)C作