第4章 專題5 半角模型【2025中考數(shù)學(xué)第1輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)梳理練 】(含解析)

第四章三角形專題五半角模型模型一含45°半角模型模型特點(diǎn)：共端點(diǎn)的等線段，共頂點(diǎn)的倍半角．在Rt△BAC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°.解題方法：將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，得到△ACF，連接EF.【結(jié)論】①△AED≌△AEF；②△CEF為直角三角形；③BD2＋CE2＝DE2.1．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，連接AE，EF，AF，∠EAF＝45°.求證：EF＝BE＋DF.【方法一】補(bǔ)短法【思維引導(dǎo)】延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G，使得DG＝BE，然后證明△AFE≌△AFG.證明：延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G，使得DG＝BE，連接AG.∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG.∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠FAD＝45°，∴∠DAG＋∠FAD＝45°，即∠GAF＝45°，∴∠EAF＝∠GAF.∵AF＝AF，∴△AFE≌△AFG(SAS)，∴EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF.【方法二】旋轉(zhuǎn)法【思維引導(dǎo)】將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，證明△AFE≌△AGE.證明：將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，使AD與AB重合，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ADF≌△ABG，∴DF＝BG，∠D＝∠ABG＝90°，AF＝AG，∠FAD＝∠GAB，∴∠ABG＋∠ABE＝180°，即G，B，E三點(diǎn)共線．∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠FAD＝45°，∴∠BAE＋∠GAB＝45°，即∠EAG＝45°，∴∠EAG＝∠EAF.∵AE＝AE，∴△AFE≌△AGE(SAS)，∴EF＝EG.∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF.2．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E均在邊BC上，∠DAE＝45°.若BD＝2，CE＝4，求DE的長(zhǎng)．解：將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACF，連接EF，則CF＝BD＝2，∠ACF＝∠B，∠FAC＝∠BAD，AF＝AD.∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠EAC＋∠FAC＝∠EAC＋∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝90°－45°＝45°＝∠DAE.∵AE＝AE，∴△AFE≌△ADE(SAS)，∴FE＝DE.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ECF＝∠ECA＋∠ACF＝∠ECA＋∠B＝90°，∴FE＝eq\r(CF2＋CE2)＝2eq\r(5)，∴DE＝2eq\r(5).模型二含60°半角模型模型特點(diǎn)：如圖，△BCD是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∠A＋∠BDC＝180°，∠EDF＝60°.解題方法方法1：延長(zhǎng)AC至點(diǎn)G，使CG＝BE，連接DG.方法2：將△BDE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使BD與CD重合(需證明F，C，G三點(diǎn)共線).【結(jié)論】①△DEF≌△DGF；②EF＝BE＋CF.3．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，在邊BC上取點(diǎn)P，連接AP，以AP為邊作∠PAQ＝60°，交CD于點(diǎn)Q，連接PQ.求證：△APQ是等邊三角形．證明：連接AC.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴∠BAC＝∠DAC＝eq\f(1,2)∠BAD＝60°，∴△ABC和△ADC都是等邊三角形，∴BA＝CA，∠B＝∠ACQ＝60°.∵∠PAQ＝60°，∠BAC＝60°，∴∠PAC＋∠CAQ＝60°，∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠CAQ＝∠BAP.在△BAP和△CAQ中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠BAP＝∠CAQ，,BA＝CA，,∠B＝∠ACQ，))∴△BAP≌△CAQ(ASA)，∴AP＝AQ，∴△APQ是等邊三角形．4．如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交邊AB，AC于M，N兩點(diǎn)，連接MN.(1)探究BM，MN，NC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若△ABC的邊長(zhǎng)為2，求△AMN的周長(zhǎng)．解：(1)MN＝BM＋NC.理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°.∵∠BDC＝120°，∴∠ABD＋∠ACD＝360°－∠A－∠BDC＝180°.將△MBD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到△ECD.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得ED＝MD，∠ECD＝∠ABD，∠EDC＝∠MDB，∴∠ECD＋∠ACD＝180°，∴N，C，E三點(diǎn)共線．∵∠MDN＝60°，∴∠NDC＋∠EDC＝∠NDC＋∠MDB＝60°，∴∠EDN＝∠MDN.∵DN＝DN，∴△EDN≌△MDN(SAS)，∴NE＝CE＋NC＝MN.∵CE＝BM，∴MN＝BM＋NC.(2)∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝2.由(1)知MN＝BM＋NC，∴△AMN的周長(zhǎng)為AM＋MN＋AN＝AM＋BM＋NC＋AN＝AB＋AC＝4.模型三一般半角模型5．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，連接AE，EF，AF，∠B＋∠D＝180°，且∠EAF＝eq\f(1,2)∠BAD，判斷BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．解：EF＝BE＋DF.證明如下：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ADG的位置，使AB與AD重合．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠ADG＝∠B，DG＝BE，AG＝AE，∠BAE＝∠DAG.∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠ADG＋∠ADC＝180°，∴C，D，G三點(diǎn)共線．∵∠FAG＝∠FAD＋∠DAG＝∠FAD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF，∠EAF＝eq\f(1,2)∠BAD，∴∠FAG＝∠EAF.∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝FG.∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.第四章三角形(解析版）專題五半角模型模型一含45°半角模型模型特點(diǎn)：共端點(diǎn)的等線段，共頂點(diǎn)的倍半角．在Rt△BAC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°.解題方法：將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使AB與AC重合，得到△ACF，連接EF.【結(jié)論】①△AED≌△AEF；②△CEF為直角三角形；③BD2＋CE2＝DE2.1．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，連接AE，EF，AF，∠EAF＝45°.求證：EF＝BE＋DF.【方法一】補(bǔ)短法【思維引導(dǎo)】延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G，使得DG＝BE，然后證明△AFE≌△AFG.證明：延長(zhǎng)CD至點(diǎn)G，使得DG＝BE，連接AG.∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG.∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠FAD＝45°，∴∠DAG＋∠FAD＝45°，即∠GAF＝45°，∴∠EAF＝∠GAF.∵AF＝AF，∴△AFE≌△AFG(SAS)，∴EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF.【方法二】旋轉(zhuǎn)法【思維引導(dǎo)】將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，證明△AFE≌△AGE.證明：將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，使AD與AB重合，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ADF≌△ABG，∴DF＝BG，∠D＝∠ABG＝90°，AF＝AG，∠FAD＝∠GAB，∴∠ABG＋∠ABE＝180°，即G，B，E三點(diǎn)共線．∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠FAD＝45°，∴∠BAE＋∠GAB＝45°，即∠EAG＝45°，∴∠EAG＝∠EAF.∵AE＝AE，∴△AFE≌△AGE(SAS)，∴EF＝EG.∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF.2．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E均在邊BC上，∠DAE＝45°.若BD＝2，CE＝4，求DE的長(zhǎng)．解：將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ACF，連接EF，則CF＝BD＝2，∠ACF＝∠B，∠FAC＝∠BAD，AF＝AD.∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠EAC＋∠FAC＝∠EAC＋∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝90°－45°＝45°＝∠DAE.∵AE＝AE，∴△AFE≌△ADE(SAS)，∴FE＝DE.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ECF＝∠ECA＋∠ACF＝∠ECA＋∠B＝90°，∴FE＝eq\r(CF2＋CE2)＝2eq\r(5)，∴DE＝2eq\r(5).模型二含60°半角模型模型特點(diǎn)：如圖，△BCD是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∠A＋∠BDC＝180°，∠EDF＝60°.解題方法方法1：延長(zhǎng)AC至點(diǎn)G，使CG＝BE，連接DG.方法2：將△BDE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使BD與CD重合(需證明F，C，G三點(diǎn)共線).【結(jié)論】①△DEF≌△DGF；②EF＝BE＋CF.3．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，在邊BC上取點(diǎn)P，連接AP，以AP為邊作∠PAQ＝60°，交CD于點(diǎn)Q，連接PQ.求證：△APQ是等邊三角形．證明：連接AC.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴∠BAC＝∠DAC＝eq\f(1,2)∠BAD＝60°，∴△ABC和△ADC都是等邊三角形，∴BA＝CA，∠B＝∠ACQ＝60°.∵∠PAQ＝60°，∠BAC＝60°，∴∠PAC＋∠CAQ＝60°，∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠CAQ＝∠BAP.在△BAP和△CAQ中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠BAP＝∠CAQ，,BA＝CA，,∠B＝∠ACQ，))∴△BAP≌△CAQ(ASA)，∴AP＝AQ，∴△APQ是等邊三角形．4．如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交邊AB，AC于M，N兩點(diǎn)，連接MN.(1)探究BM，MN，NC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若△ABC的邊長(zhǎng)為2，求△AMN的周長(zhǎng)．解：(1)MN＝BM＋NC.理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°.∵∠BDC＝120°，∴∠ABD＋∠ACD＝360°－∠A－∠BDC＝180°.將△MBD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到△ECD.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得ED＝MD，∠ECD＝∠ABD，∠EDC＝∠MDB，∴∠ECD＋∠ACD＝180°，∴N，C，E三點(diǎn)共線．∵∠MDN＝60°，∴∠NDC＋∠EDC＝∠NDC＋∠MDB＝60°，∴∠EDN＝∠MDN.∵DN＝DN，∴△EDN≌△MDN(SAS)，∴NE＝CE＋NC＝MN.∵CE＝BM，∴MN＝BM＋NC.(2)∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝2.由(1)知MN＝BM＋NC，∴△AMN的周長(zhǎng)為AM＋MN＋AN＝AM＋BM＋NC＋AN＝AB＋AC＝4.模型三一般半角模型5．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，連接AE，EF，AF，∠B＋∠D＝180°，且∠EAF＝eq\f(1,2)∠BAD，判斷BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．解：EF