2025高考一輪復(fù)習(xí)（人教A版）第33講 圓的方程（含答案）

高考一輪復(fù)習(xí)（人教A版）第三十三講圓的方程閱卷人一、選擇題得分1．方程x2+yA．m>1 B．m<1 C．m≥1 D．m≤12．圓x2A．2 B．2 C．22 D．3．已知點(diǎn)M2,0,N6,4A．x+42+y?2C．x?42+y?24．直線ax+by?1=0(a>0,b>0)等分圓(x?1)2+(y?2)A．9 B．4 C．6 D．185．已知圓M經(jīng)過(guò)P1,1,Q2,?2兩點(diǎn)，且圓心M在直線l:x?y+1=0A．(x?2)2+(y?3)C．(x+3)2+(y+2)6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,1)，B(0,4).若直線2x?y+c=0上存在點(diǎn)P，使得PB=2PA，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（）A．(?5,5) B．[?5,7．求以A1,?1為圓心，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)BA．x2+yC．x2+y8．P是圓C:(x+1)2+A．2 B．22 C．2+2 閱卷人二、多項(xiàng)選擇題得分9．已知方程x2A．方程表示圓，且圓的半徑為1時(shí)，a=4B．當(dāng)a=5時(shí)，方程表示圓心為1,?2的圓C．當(dāng)a=0時(shí)，方程表示圓且圓的半徑為5D．當(dāng)a<5時(shí)，方程表示圓心為1,?2的圓10．加斯帕爾·蒙日（如圖甲）是18~19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（圖乙）．已知長(zhǎng)方形R的四邊均與橢圓C:A．橢圓C的離心率為e=255 B．橢圓C．橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為x2+y211．設(shè)點(diǎn)Px,y為圓C:x2+yA．x+y的最大值為2B．x2+C．存在點(diǎn)P使PBD．過(guò)A點(diǎn)作圓C的切線，則切線長(zhǎng)為1512．已知M，N為圓x2+y2=4A．|PM|B．|MN|C．△PMN外接圓圓心的軌跡方程為(x+D．△PMN重心的軌跡方程為(x+閱卷人三、填空題得分13．已知△ABC的頂點(diǎn)是A5,1，B7,?3，C1,?1，則△ABC14．曲線x2+y2=215．圓x2+y閱卷人四、解答題得分16．已知圓C過(guò)點(diǎn)A(4,2)和點(diǎn)B(0,6).并且圓心在直線y?2=0上，點(diǎn)P(4,8)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線l.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求切線l的方程.17．已知定點(diǎn)A3,1和直線l:x+y=0，動(dòng)圓C和直線l相切，且過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，切線長(zhǎng)等于動(dòng)圓C（1）求圓C的圓心的軌跡方程．（2）當(dāng)圓C的面積最小時(shí)，求圓C的方程．18．已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)M1,（1）求圓C的方程；（2）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M1,3且與圓C相切，求直線（3）已知點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，試求點(diǎn)P到直線?x+y?4=0的距離的最大值．19．已知圓C:x2+y2=16分別與x、y軸正半軸交于A、（1）若線段AP上有一點(diǎn)Q，滿足AQ=2QP，求點(diǎn)（2）過(guò)點(diǎn)3,4的直線m截圓C所得弦長(zhǎng)為27，求直線m（3）若P為圓C上異于A,B的動(dòng)點(diǎn)，直線AP與y軸交于點(diǎn)M，直線BP與x軸交于點(diǎn)N，求證：AN?

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)榉匠蘹2所以42+?2故答案為：B.【分析】根據(jù)方程x2+y2．【答案】B【解析】【解答】解：由x2+y2?2x?2y?1=0，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?12+y?12=3，

如圖所示，可得AB⊥MO，又由AB為所有經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的弦中的最短弦，所以AB=2故選：B.

【分析】先化簡(jiǎn)圓的一般方程為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合AB⊥MO，以及圓的性質(zhì)，得到AB為所有經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的弦中的最短弦，再利用垂徑定理與勾股定理，可得答案.3．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)镸2,0線段MN的中點(diǎn)為4,2，MN=所以以線段MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為4,2，半徑r=22所以線段MN為直徑的圓的方程為x?42故選：D.【分析】根據(jù)題意，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為4,2，再利用兩點(diǎn)間距離公式，求得MN=44．【答案】A【解析】【解答】解：由已知可得圓(x?1)2+(y?2)2=4的圓心坐標(biāo)為(1,2)，

所以1a+2b=(1a故答案為：A．【分析】先求出圓心坐標(biāo)，代入直線方程可得a+2b=1，再利用基本不等式求即可求解．5．【答案】C【解析】【解答】設(shè)圓心M的坐標(biāo)為a,b.因?yàn)閳A心M在直線l:x?y+1=0上，所以a?b+1=0①，因?yàn)镻,Q是圓上兩點(diǎn)，所以MP=MQ，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，有(a?1)2+由①②可得a=?3,b=?2.所以圓心M的坐標(biāo)是(?3,?2），圓的半徑r=MP所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x+3)2故選：C.【分析】本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，先設(shè)圓心M的坐標(biāo)為a,b，根據(jù)點(diǎn)在線上以及兩點(diǎn)間距離，求得a=?3,b=?2，再利用兩點(diǎn)間的距離公式，求得圓的半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.6．【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)Px,y，因?yàn)镻B=2PA，A(0,1)，B(0,4)所以x2整理得x2因?yàn)橹本€2x?y+c=0上存在點(diǎn)P，使得PB=2PA，所以直線與圓相交或相切，所以d=c5≤2故答案為：D.【分析】設(shè)Px,y，根據(jù)PB=2PA，得到關(guān)于點(diǎn)P的軌跡方程，再由已知可得直線與圓由公共點(diǎn)，列出不等式求c7．【答案】C【解析】【解答】解：易知圓的半徑r=|AB|=(因?yàn)閳A心為A1,?1，所以圓的方程為(則圓的一般方程為x2故答案為：C.【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得圓的半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再化為一般方程即可.8．【答案】D【解析】【解答】解：C:(x+1)2+(y+1由3y?kx?3+k=0，可得3(y?1所以圓心到直線的最大距離為|CA|=22，圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的最大距離為2故答案為：D.【分析】求出圓心和半徑，直線l恒過(guò)定點(diǎn)A(1,1)，圓心到直線的最大距離為9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由已知條件方程x2+y若方程表示圓，則圓的圓心坐標(biāo)為1,?2，半徑r=5?a，即A、當(dāng)5?a=1時(shí)，可得a=4，所以AB、當(dāng)a=5時(shí)，此時(shí)半徑為5?a=0，所以B錯(cuò)誤；C、當(dāng)a=0時(shí)，表示的圓的半徑為r=5，所以CD、當(dāng)a<5時(shí)，此時(shí)半徑大于0，表示圓心為1,?2的圓，所以D正確；故答案為：ACD．【分析】先把方程化為(x?1)210．【答案】C,D【解析】【解答】解：A、易知a=5,b=2,c=1BC、當(dāng)長(zhǎng)方形R的四邊均與橢圓C:x25+則橢圓C的蒙日?qǐng)A的半徑為(2a)2+(2b)D、由C可知橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑為3，設(shè)長(zhǎng)方形R的長(zhǎng)為m，寬為n，則m2+n2=36，長(zhǎng)方形R的面積為S=mn≤故答案為：CD.【分析】由橢圓方程即可求得a=5,b=2,c=1，利用橢圓的離心率公式計(jì)算即可判斷A；根據(jù)長(zhǎng)方形R的四邊均與橢圓C:x25+y11．【答案】A,D【解析】【解答】由題意可知：圓C的圓心為C0,0，半徑為1，對(duì)于A：設(shè)x+y=k，

則C0,0點(diǎn)到直線x+y=k的距離0+0?k2≤1，解得?2≤k≤2對(duì)于B：因?yàn)閤2所以x2+y對(duì)于C：設(shè)Px,y，

若存在點(diǎn)P使PB=2PA，

則x?52+y2=2x?42+y2，化簡(jiǎn)得x?32+y2=2，對(duì)于D：圓C的圓心為C0,0，半徑為r=1，則過(guò)A點(diǎn)作圓C則切線長(zhǎng)為AC2故答案為：AD.

【分析】對(duì)于A：設(shè)x+y=k，利用圓心到直線的距離不大于半徑求得k的范圍可判斷；對(duì)于B：整理可得x212．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：易知圓x2+y2=4的圓心OA、|PO|=2，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得r?|PO|≤|PM|≤r+|PO|即2?2≤|PM|≤2+2，即|PM|∈[2?B、因?yàn)镻M⊥PN，當(dāng)線段MN的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P時(shí)，|MN|取得最值，如圖所示：

即M(3,1M(?3C、設(shè)△PMN的外接圓的圓心為C(x,則有(x+1)2即(x+D、設(shè)△PMN的重心為點(diǎn)G(xG由C項(xiàng)知△PMN的外接圓的圓心點(diǎn)C的軌跡方程為(x+且點(diǎn)C為MN的中點(diǎn)，即xM+x即(3xG故答案為：ABC.【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)即可判斷A；當(dāng)線段MN的中垂線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P時(shí)，此時(shí)|MN|取得最值，結(jié)合圓的性質(zhì)即可判斷B；設(shè)△PMN的外接圓的圓心為C(x,y)，根據(jù)|CP|=|CM|13．【答案】x【解析】【解答】解：設(shè)△ABC外接圓的一般方程為x2因?yàn)辄c(diǎn)A5,1，B7,?3，C1,?1在圓上，所以26+5D+E+F=0則所求圓的一般方程為：x2故答案為：x2【分析】設(shè)圓的一般方程為x2+y14．【答案】42π【解析】【解答】解：將?x或?y代入方程，方程不發(fā)生改變，故曲線x2+y2=2當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，曲線x2+y表示的圖形為以1,1為圓心，半徑為2的一個(gè)半圓，如圖所示：則第一象限圍成的面積為S1則第一象限圍成的周長(zhǎng)（半個(gè)圓周）為：L=2故曲線x2+y故曲線x2+y故答案為：42π，【分析】由題意，作出曲線x2+y2=215．【答案】2【解析】【解答】解：化x2+y當(dāng)?34a2?a+1>0半徑為?34a2?a+1=?34a+232+4故答案為：23【分析】化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出半徑，根據(jù)a的范圍利用拋物線的單調(diào)性求解即可.16．【答案】（1）解：設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?a)2

所以圓心為C(a,b)，半徑為r，依題意可得b=2(4?a)2+所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）解：當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線l的斜率為k，則切線l的方程為y=k(x?4)+8，

即kx?y?4k+8=0，所以k×0?2?4k+8k2+所以切線l的方程為5x?12y+76=0，又因?yàn)閳A心C(0,2)到直線x=4的距離為4，所以直線x=4也為圓圓C的切線，故切線l的方程為5x?12y+76=0和x=4.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再代入點(diǎn)A(4,2)和點(diǎn)B(0,6)，從而結(jié)合圓心在直線y?2=0上，進(jìn)而列方程解出圓心坐標(biāo)與半徑，則求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)出切線斜率，從而設(shè)出切線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑得到直線斜率，從而求出切線的斜率，進(jìn)而得出切線方程，注意當(dāng)斜率只有一解時(shí)需研究斜率不存在的情形.（1）解：設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?a)2圓心為C(a,b)，半徑為r，依題意可得b=2(4?a)2+所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）解：切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線l的斜率為k，則切線l的方程為y=k(x?4)+8，即kx?y?4k+8=0，所以k×0?2?4k+8k2+所以切線l的方程為5x?12y+76=0，又因?yàn)閳A心C(0,2)到直線x=4的距離為4，所以直線x=4也為圓圓C的切線.故切線l的方程為5x?12y+76=0和x=4.17．【答案】（1）解：設(shè)圓心C坐標(biāo)為x0,y0，半徑為r，因?yàn)閯?dòng)圓C和直線l:x+y=0相切，則d=x0+y02=r，

過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，切線長(zhǎng)等于動(dòng)圓C的半徑，則AC=x（2）解：由題意可知，當(dāng)圓C的面積最小時(shí)，點(diǎn)C到直線l:x+y=0的距離即圓C半徑最??；設(shè)直線為l':y=?x+b與曲線聯(lián)立xy+3x+y?5=0y=?x+b，消去y，得x則Δ=b2+8b?16=0，且解得b=?4±42當(dāng)b=?4?42時(shí)，切線l':則r=d=4+422當(dāng)b=?4+42時(shí)，切線l':則r=d=4?422所以rmin=4?22圓C的方程為x+1?22【解析】【分析】（1）設(shè)圓心C坐標(biāo)為x0,y0，由動(dòng)圓C和直線l相切及過(guò)點(diǎn)A的圓C切線長(zhǎng)等于動(dòng)圓（2）動(dòng)圓C的面積最小，則有動(dòng)圓C的半徑最小，最小半徑即曲線xy+3x+y?5=0上的點(diǎn)到直線l:x+y=0的最小距離，可先求出平行于l且與xy+3x+y?5=0相切直線l'，l'與（1）設(shè)圓心C坐標(biāo)為x0,y∵動(dòng)圓C和直線l:x+y=0相切，則d=x過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，切線長(zhǎng)等于動(dòng)圓C的半徑，則AC=x所以得x0?3所以圓C的圓心的軌跡方程為：xy+3x+y?5=0（2）由題意可知，當(dāng)圓C的面積最小時(shí)，點(diǎn)C到直線l:x+y=0的距離即圓C半徑最小；設(shè)直線為l':y=?x+b與曲線聯(lián)立xy+3x+y?5=0y=?x+b，消去y，得x則Δ=b2+8b?16=0，且解得b=?4±42當(dāng)b=?4?42時(shí)，切線l':則r=d=4+422當(dāng)b=?4+42時(shí)，切線l':則r=d=4?422所以rmin=4?22圓C的方程為x+1?218．【答案】（1）解：因?yàn)閳AC的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)M1,3，所以圓C的半徑為則圓C的方程為x2（2）解：因?yàn)橹本€CM的斜率kCM=3，所以直線l直線l的方程為y?3=?3（3）解：圓心C0,0到直線?x+y?4=0的距離為d=所以直線?x+y?4=0與圓相離，所以P到直線?x+y?4=0的距離的最大值為22【解析】【分析】（1）由題意，利用兩點(diǎn)間距離公式求得圓的半徑，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出直線CM的斜率，即可得到直線l的斜率，再由點(diǎn)斜式計(jì)算即可；（3）求出圓心到直線的距離，從而求出點(diǎn)P到直線的距離的最大值即可.（1）依題意圓C的半徑為OM=所以圓C的方程為x2（2）因?yàn)橹本€CM的斜率kCM=3，所以直線l直線l的方程為y?3=?3（3）圓心C0,0到直線?x+y?4=0的距離為d=所以直線?x+y?4=0與圓相離，所以P到直線?x+y?4=0的距離的最大值為2219．【答案】（1）解：根據(jù)題意，A4,0，B設(shè)Qx,y，Px1,y由于AQ=2QP，所以得x將其代入x2+y故點(diǎn)Q的軌跡方程為x2（2）解：根據(jù)垂徑定理可得d=4①當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線m的方程為：x=3，直線m截點(diǎn)Q軌跡所得弦長(zhǎng)弦長(zhǎng)為l=2r②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線m:y?4=kx?3圓心到直線m的距離為d=4?3kk2∴直線m的方程為7x?24y+75=0或x=3．（3）證明：設(shè)Px1,直線AP方程是y=y1x1?4直線BP方程是y=y1?4x2所以AN=16x綜上AN?【解析】【分析】（1）先設(shè)Qx,y，Px1,y1，再利用