2025高考一輪復(fù)習(xí)（人教A版）第35講 橢圓（含答案）

2025高考一輪復(fù)習(xí)（人教A版）第三十五講橢圓閱卷人一、選擇題得分1．已知方程x2k+5+y2A．?∞,?1∪C．?1,3 D．3,+2．已知橢圓C:x2a2+y2b2A．12 B．3?1 C．323．已知橢圓x24+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1A．0 B．1 C．2 D．14．已知橢圓C：x2a2+y2=1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．橢圓x2+y24=1的兩個焦點(diǎn)為A．1 B．23 C．1+23 6．若函數(shù)y=loga(x?2)+1(a>0，且a≠1A．6 B．12 C．16 D．187．已知橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)F1,F2，P是它們的一個交點(diǎn)，且∠FA．3 B．2 C．433 8．中國國家大劇院的外觀被設(shè)計成了半橢球面的形狀.如圖，若以橢球的中心為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，半橢球面的方程為x2a2+y2b2+z2c2=1（z≥0,，a,b,c>0，且a，b，A．1 B．2 C．3 D．4閱卷人二、多項選擇題得分9．設(shè)點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x29+y25=1A．1 B．3 C．5 D．410．加斯帕爾·蒙日（如圖甲）是18~19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖乙）．已知長方形R的四邊均與橢圓C:A．橢圓C的離心率為e=255 B．橢圓C．橢圓C的蒙日圓方程為x2+y211．已知長軸長、短軸長和焦距分別為2a、2b和2c的橢圓Ω，點(diǎn)A是橢圓Ω與其長軸的一個交點(diǎn)，點(diǎn)B是橢圓Ω與其短軸的一個交點(diǎn)，點(diǎn)F1和F2為其焦點(diǎn)，AB⊥BF1．點(diǎn)P在橢圓A．a(chǎn),b,c成等差數(shù)列B．a(chǎn),b,c成等比數(shù)列C．橢圓Ω的離心率e=D．△ABF1的面積不小于12．已知橢圓C：x24+y2b2=1b>0的左右焦點(diǎn)分別為F1、A．離心率e的取值范圍為(0,B．當(dāng)e=24時，QC．存在點(diǎn)Q，使得QFD．1QF閱卷人三、填空題得分13．已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的焦點(diǎn)為14．橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率e滿足e=5?12，則稱該橢圓為“黃金橢圓”．若x210+y2m15．如圖，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以閱卷人四、解答題得分16．已知橢圓C:x2a2+y2（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)斜率為?33且過F2的直線l與橢圓C交于P,Q17．已知橢圓C:x2a2+y2b2（1）求C的離心率；（2）射線AF1與C交于點(diǎn)B，且AB=18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知動點(diǎn)Px，y到直線l:x=433（1）求動點(diǎn)P的軌跡方程E；（2）若軌跡E與x軸的交點(diǎn)分別為A、B.過點(diǎn)T4，tt≠0的直線19．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)P到x軸的距離為d，且OP2=λ+μd2，其中λ，μ均為常數(shù)，動點(diǎn)（1）判斷7,2曲線為何種圓錐曲線.（2）若12,μ曲線為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求.（3）設(shè)曲線Ω為9,?18曲線，斜率為kk≠0的直線l過Ω的右焦點(diǎn)，且與Ω交于A，B兩個不同的點(diǎn).若點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：已知方程x2k+5+根據(jù)橢圓的定義可得k+5>03?k>0k+5>3?k，解得?1<k<3，所以故答案為：C.【分析】利用橢圓的定義列出含有參數(shù)k的不等式組求解即可求解.2．【答案】B【解析】【解答】解：由題意，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為Fc,0，則PF的中點(diǎn)為a+c代入橢圓方程x2a2整理得c2方程兩邊同除以a2得，e2+2e?2=0因?yàn)閑>0，故e=3故答案為：B.【分析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為Fc,0，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出PF的中點(diǎn)坐標(biāo)，再代入橢圓方程得到c2+2ac?23．【答案】A【解析】【解答】解：易知a=2,b=1,c=a則F1設(shè)Px0,y0代入方程可得x024又因?yàn)镻F所以PF故答案為：A.

【分析】由橢圓方程可得a,b,c，設(shè)Px0,y0，根據(jù)△4．【答案】A【解析】【解答】解：由橢圓C：x2當(dāng)a>1時，可得c=a2?1由e=22，可得1?1當(dāng)a<1時，可得c=1?a2由e=22，可得1?a故“a=2”是“橢圓C的離心率為2故答案為：A.【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，列出方程，求得a的值，再結(jié)合充分、必要條件的判定方法判斷即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：易知焦點(diǎn)三角形的周長為：C故答案為：D.【分析】根據(jù)橢圓的定義先求出PF1+6．【答案】C【解析】【解答】解：由題意，令x-2=1，解得x=3，則函數(shù)y=loga(x?2)+1(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)為則m+n=(m+n)(9當(dāng)且僅當(dāng)9nm=mn，即故答案為：C.【分析】先求函數(shù)恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程可得9m7．【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的半實(shí)軸長為a2，

根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可得：PF1+PF2=2在△PF1F化簡可得a12+31e12+3e22=4≥2故答案為：D．

【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的半實(shí)軸長為a2，根據(jù)橢圓及雙曲線的定義求得PF1=a18．【答案】B【解析】【解答】：解：令z=0可得底面圓錐曲線方程為：x2a2+y2b2=1，因?yàn)榻ㄖ氖覂?nèi)底面為面積為m2πm>0的圓，所以a=b，且a2π=m2π，解得：a=m，又a，b，c不全相等，所以c≠m，故②錯誤，又ac=m2，可得：mc=m2，即c=m，則a=b=c=m與a，b，c不全相等相矛盾，故③9．【答案】B,D【解析】【解答】解：易知F1?2,0，F(xiàn)22,0，設(shè)Px0,y0，

則PF1=?2?x0,?則x02=9m?94，要使得P故答案為：BD.【分析】易知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)Px0,y0，得到PF1→，PF2→的坐標(biāo)，由點(diǎn)10．【答案】C,D【解析】【解答】解：A、易知a=5,b=2,c=1BC、當(dāng)長方形R的四邊均與橢圓C:x25+則橢圓C的蒙日圓的半徑為(2a)2+(2b)D、由C可知橢圓的蒙日圓的半徑為3，設(shè)長方形R的長為m，寬為n，則m2+n2=36，長方形R的面積為S=mn≤故答案為：CD.【分析】由橢圓方程即可求得a=5,b=2,c=1，利用橢圓的離心率公式計算即可判斷A；根據(jù)長方形R的四邊均與橢圓C:x25+y11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：

對于選項A和選項B，不妨設(shè)Aa,0,B則AB=因?yàn)锳B⊥BF1，所以故ac=b2，即對于選項C，因?yàn)閎2=a2?方程兩邊同除以a2得，e2+e?1=0對于選項D，由于S△ABS△B由于a>c，故12a+cb>bc而S△BF1故選：BCD.【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)AB⊥BF1得到AB?F1B=0，故ac=b2，從而判斷出選項A和選項B；根據(jù)b2=a212．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、因?yàn)辄c(diǎn)P2,1在橢圓內(nèi)部，所以24e=cB、QF當(dāng)Q在x軸下方時，且P，Q，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時，QF1由e=24=c2，得c=所以QF1+C、

設(shè)Qx,y，若QF1?Q則得x2+y2=又由A項知e=ca∈0,22，得所以得c<b，所以該圓與橢圓無交點(diǎn)，C錯誤；D、QF1=1當(dāng)且僅當(dāng)QF故答案為：ABD.

【分析】A項中需先解出b的范圍，然后利用離心率的定義進(jìn)行判斷；B項中根據(jù)橢圓定義轉(zhuǎn)化為求4?QF2+QP13．【答案】2【解析】【解答】解：已知如圖所示：

令α=MF1，β=M則α+β=2a，OF在△OMF1和△OMF2中，由余弦定理可得α2在△MF1F由α+β=2a可得2a2由（2）（3）可得αβ=43a代入（1）可得4c2+所以e=c故答案為：22【分析】先根據(jù)橢圓的定義α+β=2a再結(jié)合余弦定理得b=c，再利用橢圓的離心率公式求解即可．14．【答案】55?5【解析】【解答】解：因?yàn)閤210+y2連接F2M,F1M由角平分線性質(zhì)，有PF2N故答案為：55?5，【分析】根據(jù)題意，利用橢圓離心率的定義，列出方程得到m=55?5，連接F215．【答案】1【解析】【解答】解：連接PF1，QF1，由點(diǎn)P在以又P，Q在橢圓上，故有PF1+設(shè)QF2=m，則PF2=2m，在Rt△PQF1中，由勾股定理得解得m=a3，于是PF2=故答案為：12.

【分析】連接PF1，QF1，根據(jù)點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓上，得到PF1⊥PF2，設(shè)QF2=m16．【答案】（1）解：由題意可知：2a=4，則a=2，∵e=ca=32，∴c=3，

∴b=（2）解：由（1）知，橢圓的方程為x24+y2=1，可得a=2,b=1，則c=a2-b2=3，

所以F1?3,0F23,0，

所以直線l：y=?33x+1，聯(lián)立方程組x24+y2【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用橢圓的基本性質(zhì)，求得橢圓a,b,c的值，即可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求得直線方程y=?33x+1，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理得到x1+x2（1）由題意可知：2a=4，則a=2，∵e=ca=3∴b=a∴橢圓C:（2）F1?3,0F23聯(lián)立方程組x24+設(shè)Px則x1+PQ點(diǎn)F1到直線PQ的距離∴S17．【答案】（1）解：依題意可得上頂點(diǎn)A0,b，左，右焦點(diǎn)分別為F1?c,0所以AF1=又AF所以AF1?AF所以a2=2c（2）解：由（1）可得b=c，a=2c，則橢圓方程為射線AF1的方程為聯(lián)立y=x+cx22解得x=0或xB=?43c所以AB=43c2所以△ABF2的周長【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，由AF1?AF（2）由（1）可得a與c，b與c的關(guān)系，設(shè)直線AF1的方程，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出AB的表達(dá)式，求得a,c的值，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，得到△ABF（1）依題意可得上頂點(diǎn)A0,b，左，右焦點(diǎn)分別為F1?c,0所以AF1=又AF所以AF1?AF所以a2=2c（2）由（1）可得b=c，a=2c，則橢圓方程為射線AF1的方程為聯(lián)立y=x+cx22解得x=0或xB=?43c所以AB=43c2所以△ABF2的周長18．【答案】（1）解：由題意可知，x?4整理為x2所以動點(diǎn)P的軌跡方程E:x（2）解：如圖所示，設(shè)A?2,0，B2,0，則直線AT:y=t6x+2聯(lián)立y=t6x+2則?2xM=4聯(lián)立y=t2x?2則2xN=4t所以四邊形AMBN的面積S==2×6設(shè)m=t+則S=16mm2+4=當(dāng)m=23時，m+4m取得最小值，此時面積S所以四邊形AMBN面積的最大值為23???????【解析】【分析】（1）由動點(diǎn)Px，y到直線l:x=433的距離與點(diǎn)（2）根據(jù)題意，得出直線AT和BT的直線方程，分別與橢圓聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，得出四邊形AMBN的面積的表達(dá)式，結(jié)合換元法和基本不等式求面積的最大值，即可得到答案.（1）由題意可知，x?4整理為x2所以動點(diǎn)P的軌跡方程E:x（2）如圖，設(shè)A?2,0，B2,0，則直線AT:y=t6x+2聯(lián)立y=t6x+2則?2xM=4聯(lián)立y=t2x?2則2xN=4t所以四邊形AMBN的面積S==2×6設(shè)m=t+則S=16mm2+4=當(dāng)m=23時，m+4m取得最小值，此時面積S所以四邊形AMBN面積的最大值為2319．【答案】（1）解：設(shè)Px,y，由|OP|2當(dāng)λ=7,μ=2時，x2+y2=7+2（2）解：由x2+y2=λ+μy2若12,μ曲線為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，即1?μ>0且1?μ≠1，所以x2+1?μy2則μ>0，故μ的取值范圍為；0,1（3）解：由λ=9,μ=?18得曲線Ω的方程為x29+設(shè)Ax聯(lián)立y=kx?1,x由韋達(dá)定理可得x因?yàn)辄c(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D，所以Dx則直線AD的方程為y?y根據(jù)對稱性可知，直線AD經(jīng)過的定點(diǎn)必在x軸上.令y=0，得x=?=k當(dāng)k≠0時，x=2故直線AD過定點(diǎn)9,0.【解析】【分析】（1）設(shè)Px,y，由|OP|2=λ+μd（2）根據(jù)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的性質(zhì)可得12（3）聯(lián)立直線與曲線