2025年高二物理同步培優(yōu)講練（人教版選擇性必修第一冊）2.4 單擺（原卷版）

2.4單擺

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

物理素養(yǎng)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.物理觀念：知道什么是單擺，了解單擺的構(gòu)成及單1.知道單擺是一種理想化模型，理解單擺模型的條

擺的回復(fù)力。件，能將實(shí)際問題中的對象和過

4.科學(xué)思維：①理解單擺做簡諧振動(dòng)的條件，會利用程轉(zhuǎn)化為單擺模型。

圖像法分析單擺的運(yùn)動(dòng)。②掌握單擺的周期公式，并2.能通過理論推導(dǎo)，判斷單擺小角度振動(dòng)時(shí)的特點(diǎn)。

能夠進(jìn)行計(jì)算。3.在探究單擺的周期與擺長的定量關(guān)系時(shí),能分析數(shù)

3.科學(xué)探究：經(jīng)歷單擺周期與擺長關(guān)系的探究過程，據(jù)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、形成合理的結(jié)論，

體會實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)思路。能用已有的物理知識解釋相關(guān)的現(xiàn)象。

4.科學(xué)態(tài)度與責(zé)任：借助單擺周期影響因素的分析，4.知道單擺周期與擺長、重力加速度的關(guān)系，能運(yùn)用

培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。其解決實(shí)際問題。

重點(diǎn)關(guān)注：①單擺②回復(fù)力③周期

02思維導(dǎo)圖

03知識梳理

（一）課前研讀課本，梳理基礎(chǔ)知識

一、單擺

1．單擺的組成：由細(xì)線和___________組成。

2．理想化模型

①細(xì)線的質(zhì)量與小球相比可以忽略。

②小球的___________與線的長度相比可以忽略。

③細(xì)線的___________與細(xì)線長度相比可以忽略。

④空氣阻力與小球的___________及細(xì)線的___________相比可以忽略。

3．單擺的回復(fù)力

①回復(fù)力的來源：擺球的重力沿___________方向的分力，即___________。

②回復(fù)力的特點(diǎn)：在擺角很___________時(shí)，擺球所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成___________，

方向總指向___________，即___________。從回復(fù)力特點(diǎn)可以判斷單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)。

二、單擺的周期

1．單擺振動(dòng)的周期與擺球質(zhì)量___________(選填“有關(guān)”或“無關(guān)”)，在振幅較小時(shí)與振幅___________

(選填“有關(guān)”或“無關(guān)”)，但與擺長___________(選填“有關(guān)”或“無關(guān)”)，擺長越長，周期___________

(選填“越大”“越小”或“不變”)。

2．單擺周期公式

①提出：單擺周期公式是荷蘭物理學(xué)家___________首先提出的。

l

②公式：T2，即周期T與擺長l的二次方根成___________，與重力加速度g的二次方根成

g

___________，而與振幅、擺球質(zhì)量___________。

（二）辨析

1.單擺是一種理想化模型,你認(rèn)為除了細(xì)線的質(zhì)量和球的直徑這兩點(diǎn)之外,還有什么“可以忽略”?

2.在制作單擺時(shí),對小球和細(xì)線有什么要求?

3.擺球經(jīng)過平衡位置時(shí),回復(fù)力是否為零,合外力是否為零?擺球到達(dá)最大位移處時(shí)，v=0,加速度是否等于0?

4.怎樣證明單擺在擺角很小的情況下的運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)?

5.由于單擺的回復(fù)力是由擺球的重力沿切線方向的分力提供的,那么是否擺球的質(zhì)量越大,回復(fù)力越大,單擺

擺動(dòng)得越快,周期越小?

6.把單擺從赤道處移至兩極處時(shí),要保證單擺的周期不變,應(yīng)如何調(diào)整擺長?

04題型精講

【題型一】單擺及單擺的回復(fù)力

【點(diǎn)撥】

1.單擺

(1)單擺是實(shí)際擺的理想化模型。

(2)實(shí)際擺看作單擺的條件

①擺線的形變量與擺線長度相比可忽略;②擺線的質(zhì)量與擺球質(zhì)量相比可忽略;③擺球的直徑與擺

線長度相比可忽略;④空氣等阻力與擺球的重力及細(xì)線的拉力相比可忽略。

2.單擺的回復(fù)力

如圖所示,重力G沿圓弧切線方向的分力G,是擺球沿運(yùn)動(dòng)方向的合力,正是這個(gè)力提供了使擺球做

簡諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力F=G,=Gsinθ。

3.單擺的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)

(1)擺球以懸點(diǎn)為圓心做變速圓周運(yùn)動(dòng),因此在運(yùn)動(dòng)過程中只要速度v≠0,半徑方向都受向心力(最

高點(diǎn)其向心力為零)向心力由細(xì)線的拉力和重力沿細(xì)線方向的分力的合力提供。

(2)擺球在平衡位置附近做往復(fù)運(yùn)動(dòng),因此在運(yùn)動(dòng)過程中只要不在平衡位置,軌跡的切線方向都受回

復(fù)力。

4.單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)的推證

x

在擺角很小時(shí)，用弧度表示的θ與它的正弦sinθ近似相等，即sin，因此單擺的回復(fù)

l

mg

力可表示為Fx(式中x表示擺球偏離平衡位置的位移，l表示單擺的擺長，負(fù)號表示回復(fù)力F

l

與位移x的方向相反)，由此知回復(fù)力符合F＝－kx，單擺做簡諧運(yùn)動(dòng)。

5.回復(fù)力、向心力、合外力的區(qū)別與聯(lián)系

(1)區(qū)別

①回復(fù)力:使物體回到平衡位置且指向平衡位置的力;對單擺來說,重力沿圓弧切線方向的分力

F=mgsinθ提供回復(fù)力。

②向心力:使物體做曲線運(yùn)動(dòng)且指向圓心的力;對單擺來說,擺線的拉力和重力沿徑向的分力的

合力提供向心力。

③合外力:物體所受的合力,它使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化。

(2)聯(lián)系:回復(fù)力、向心力、合外力均為效果力且均為矢量?；貜?fù)力、向心力一定是變力,合外力可

以為恒力,也可為變力。對單擺來說,回復(fù)力與向心力的合力等于合外力。

【典型例題2】（23-24高二下·安徽合肥·期中）如圖所示，挖掘機(jī)的頂部通過繩索垂下一個(gè)大鐵球并讓它小

角度的擺動(dòng)，即可以用來拆卸混凝土建筑。此裝置可視為單擺模型，則大鐵球的回復(fù)力來源于（）

A．鐵球的重力

B．繩索對鐵球的拉力

C．鐵球所受到的合力

D．鐵球重力沿軌跡切線方向的分力

【對點(diǎn)訓(xùn)練1】（23-24高二下·寧夏銀川·階段練習(xí)）如圖所示的豎直光滑圓弧面ABC，D點(diǎn)為圓弧AB的

中點(diǎn)，B為圓弧最低點(diǎn)，A、C等高，O為圓弧的圓心，5。小球由A點(diǎn)靜止釋放后運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，

在此過程中，下列說法正確的是（）

A．小球受重力、支持力、回復(fù)力

B．小球的加速度總不為零

C．小球受到的合外力提供回復(fù)力

D．小球經(jīng)過AD運(yùn)動(dòng)時(shí)間和DB運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等

【題型二】單擺的周期

【點(diǎn)撥】對單擺周期公式的理解

1．成立條件：單擺偏角很小(偏角小于5°)。

2．影響因素：周期T只與l和g有關(guān)，與擺球質(zhì)量m及振幅無關(guān)，所以單擺的周期也叫固有周期。

3．對l、g的理解

(1)公式中l(wèi)是擺長，即懸點(diǎn)到擺球球心的距離。

D

①普通單擺，擺長ll，l′為擺線長，D為擺球直徑。

2

②等效擺長：

(a)圖中，甲、乙在垂直紙面方向上擺動(dòng)起來效果是相同的，甲擺的等效擺長為lsinα，其周期

lsin

T2。

g

(b)圖中，乙在垂直紙面方向擺動(dòng)時(shí)，其等效擺長等于甲擺的擺長；乙在紙面內(nèi)小角度擺動(dòng)時(shí)，等

效擺長等于丙擺的擺長。

(2)g

①公式中g(shù)是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。

②等效重力加速度：一般情況下，公式中g(shù)的值等于擺球靜止在平衡位置時(shí)，擺線的拉力與擺球質(zhì)

量的比值。

【典型例題1】（23-24高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）一顧客在位于某山腳的商家購買計(jì)時(shí)準(zhǔn)確的擺鐘（利

用鐘擺的周期性擺動(dòng)計(jì)時(shí)），將該擺鐘運(yùn)回位于山頂?shù)募抑泻螅谄渌鼦l件不變的情況下，一段時(shí)間

后，該擺鐘示數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間相比（）

A．變快

B．變慢

C．不變

D．條件不足，無法判斷

【典型例題2】（23-24高二下·河北邢臺·階段練習(xí)）盛砂漏斗與懸線構(gòu)成的砂擺在豎直平面內(nèi)小角度地?cái)[

動(dòng)，其下方有一薄板垂直擺動(dòng)平面，勻速拉動(dòng)薄板，漏出的砂落在薄板上的形狀可反映砂擺的振動(dòng)情

況。甲、乙兩不同擺長的砂擺落在薄板上的圖像如圖所示，已知兩種情況下薄板的運(yùn)動(dòng)速度大小之比

為2:3，則兩砂擺的周期之比為（）

A．3:4B．3:2C．4:3D．16:9

【典型例題3】（23-24高二下·廣東佛山·期中）如圖所示，用細(xì)繩系住一擺球，讓擺球在傾角為θ的光滑斜

面上做小幅度（α<5°）擺動(dòng)，擺長為L，重力加速度為g，下列說法正確的是（）

LsinL

A．該單擺的周期T2B．該單擺的周期T2

ggsin

C．?dāng)[球的振幅會影響單擺的周期D．?dāng)[球的質(zhì)量會影響單擺的周期

【對點(diǎn)訓(xùn)練1】（23-24高二下·河南南陽·階段練習(xí)）下圖是惠更斯利用擺的等時(shí)性發(fā)明了帶擺的計(jì)時(shí)器擺

鐘，擺鐘運(yùn)行時(shí)克服摩擦所需的能量由重錘的勢能提供，運(yùn)行的速率由鐘擺控制。旋轉(zhuǎn)鐘擺下端的螺

母可以使擺上的圓盤沿?cái)[桿上下移動(dòng)，為使鐘走時(shí)準(zhǔn)確，以下說法正確的是（）

A．?dāng)[鐘的快慢由圓盤質(zhì)量決定

B．?dāng)[鐘快了應(yīng)使圓盤沿?cái)[桿上移

C．由冬季變?yōu)橄募緯r(shí)應(yīng)使圓盤沿?cái)[桿上移

D．把擺鐘從武漢移到北京應(yīng)使圓盤沿?cái)[桿上移

05強(qiáng)化訓(xùn)練

【基礎(chǔ)強(qiáng)化】

1．（23-24高二下·四川瀘州·期中）砂漏斗與懸線構(gòu)成的砂擺在豎直平面內(nèi)小角度地?cái)[動(dòng)，其下方有一薄板

垂直擺動(dòng)平面，勻速拉動(dòng)薄板，漏出的砂落在薄板上的形狀可反映砂擺的振動(dòng)情況。甲、乙兩不同擺長

的砂擺分別落在同一段薄板上的圖像如圖所示，已知甲、乙兩種情況下薄板的運(yùn)動(dòng)速度大小之比為2:3，

則兩砂擺的周期之比為（）

A．3:5B．3:2C．5:3D．16:9

2．（23-24高二上·山東濟(jì)寧·期末）如圖所示，在一次滑雪訓(xùn)練中，滑雪名將谷愛凌從山坡上B處由靜止開

始自由下滑至最低點(diǎn)A，用時(shí)30s，坡面AB可視為圓心角小于5°的圓弧。已知重力加速度大小為10m/s2，

210，不計(jì)一切阻力?？晒浪愠鰣A弧AB的半徑約為（）

A．3600mB．2250mC．900mD．225m

3．（22-23高二下·北京海淀·期中）如圖（甲）所示是用沙擺演示振動(dòng)圖像的實(shí)驗(yàn)裝置，此裝置可視為擺長

為L的單擺，沙擺的運(yùn)動(dòng)可看作簡諧運(yùn)動(dòng)，若用手拉木板做勻速運(yùn)動(dòng)，實(shí)驗(yàn)時(shí)細(xì)沙在木板上留下的情形

如圖（甲）所示。某次實(shí)驗(yàn)中，手拉木板的速度大小約為0.20m/s，測得圖（乙）所示的一段木板的長度

約0.60m，下列判斷正確的是（）

A．圖中的曲線是沙擺的運(yùn)動(dòng)軌跡

B．圖中的曲線是細(xì)沙的運(yùn)動(dòng)軌跡

C．實(shí)驗(yàn)所用沙擺對應(yīng)的擺長約為0.56m

D．實(shí)驗(yàn)所用沙擺對應(yīng)的擺長約為2.25m

4．（23-24高二下·陜西渭南·期中）有甲、乙兩單擺，其振動(dòng)圖像為如圖所示的正弦曲線，則下列說法中不

正確的是（）

A．甲、乙兩單擺的擺長之比是1:4B．t1.5s時(shí)，兩擺球的速度方向相同

C．t1.5s時(shí)，兩擺球的加速度方向相同D．3s4s內(nèi)，兩擺球的勢能均減少

5．（22-23高二下·安徽六安·階段練習(xí)）如圖所示，已知該單擺的擺長為2.0m，擺球的質(zhì)量為0.10kg，擺

動(dòng)時(shí)最大偏角為5°。已知sin50.087，cos50.996，g10m/s。求：

（1）振動(dòng)的周期；

（2）擺球的最大回復(fù)力；

（3）擺球運(yùn)動(dòng)的最大動(dòng)能。

【素養(yǎng)提升】

6．（22-23高二下·河南·期中）某同學(xué)在探究單擺運(yùn)動(dòng)中，圖a是用力傳感器對單擺運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行測量的裝

置圖，圖b是與力傳感器連接的計(jì)算機(jī)屏幕所顯示的F﹣t圖像，根據(jù)圖b的信息，（π2g），下列說

法正確的是（）

A．?dāng)[球所受重力和擺線對擺球拉力的合力充當(dāng)單擺的回復(fù)力

B．從t＝0時(shí)刻開始擺球第一次擺到最低點(diǎn)的時(shí)刻為0.1s

C．用米尺量得細(xì)線長度L，即擺長為L

D．由圖可計(jì)算出單擺的擺長為0.64m

7．（23-24高二下·廣東廣州·期中）如圖甲所示，擺鐘是較有年代的一種計(jì)時(shí)鐘表，其基本原理是利用了單

擺的周期性。小亦同學(xué)為理解其原理，自制模擬實(shí)驗(yàn)，如圖乙所示，細(xì)線下懸掛一個(gè)除去了柱塞的注射

器，注射器內(nèi)裝上墨汁。當(dāng)注射器在豎直面內(nèi)擺動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)可視為簡諧運(yùn)動(dòng)，沿著垂直于擺動(dòng)方向勻

速拖動(dòng)一張硬紙板，注射器流出的墨水在硬紙板上形成了如圖丙所示的曲線。下列說法中正確的是（）

A．拖動(dòng)硬紙板的速度越大，注射器振動(dòng)的周期越長

B．注射器經(jīng)過平衡位置時(shí)合外力不為零

C．減小注射器擺開的角度，相同時(shí)間內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)會增加

D．注射器做簡諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力是由重力和擺線拉力的合力提供

8．（23-24高三上·湖南常德·期末）蕩秋千是人們喜愛的一種運(yùn)動(dòng)，下圖為一種秋千的原理圖。繩子一端固

定于O點(diǎn)，另一端系一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，在O點(diǎn)正下方釘一個(gè)釘子A，小球從左邊某一位置由靜止

擺下，擺角5o，g10ms2，O點(diǎn)離球心的距離為4m，OA距離為3m，此繩子拉力突然增加會導(dǎo)

致繩子可能斷裂，當(dāng)小球擺動(dòng)61s時(shí)繩子突然斷裂，則該繩子最多承受多少次拉力的突然增加（）

A．11B．20C．21D．31

9．（23-24高二上·湖北十堰·期末）有一擺長為L的單擺懸點(diǎn)正下方某處有一小釘子，擺球經(jīng)過平衡位置向

左擺動(dòng)時(shí)，擺線的上部被小釘子擋住，使擺長發(fā)生變化?，F(xiàn)使擺球做小幅度擺動(dòng)，擺球從右邊最高點(diǎn)M

運(yùn)動(dòng)到左邊最高點(diǎn)N的頻閃照片如圖所示（懸點(diǎn)與小釘子未被攝入），P為擺動(dòng)中的最低點(diǎn)，已知相機(jī)

每相鄰兩次閃光的時(shí)間間隔相等，由此可知（）

LL

A．小釘子與懸點(diǎn)的距離為B．小釘子與懸點(diǎn)的距離為

42

3L

C．小釘子與懸點(diǎn)的距離為D．?dāng)[線被小釘子擋住的瞬間，擺球的機(jī)械能突然減少

4

10．（2024·江西·模擬預(yù)測）如圖甲，用裝有墨水的小漏斗和細(xì)線做成單擺，水平紙帶中央的虛線在單擺平

衡位置的正下方。用電動(dòng)機(jī)勻速拉動(dòng)紙帶時(shí)，讓單擺小幅度前后擺動(dòng)，于是在紙帶上留下徑跡。調(diào)節(jié)電

動(dòng)機(jī)拉動(dòng)速度，分別得出圖乙和丙兩條紙帶，取3.14，重力加速度g大小取9.8m/s2。下列說法正確的

是（）

A．無論紙帶是否勻速拉動(dòng)，都可以用紙帶通過的距離表示時(shí)間

B．由圖知乙紙帶的速度為丙紙帶速度的0.5倍

C．單擺漏斗在P點(diǎn)和Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向相同

D．若乙圖中，紙帶拖動(dòng)速度為10cm/s，可推算該單擺的擺長約為1m

11．（23-24高二下·山東濟(jì)南·期中）如圖，半徑為R光滑圓弧面上有一個(gè)質(zhì)量為m小球，把它從最低點(diǎn)移

開一小段距離，放手后，小球以最低點(diǎn)為平衡位置左右擺動(dòng)，且可近似認(rèn)為其運(yùn)動(dòng)為簡諧振動(dòng)。

（1）求小球做簡諧振動(dòng)的周期T；

（2）已知做簡諧振動(dòng)的物體，所受的回復(fù)力與其偏離平衡位置的位移存在正比例關(guān)系。求小球做簡諧振

動(dòng)時(shí)回復(fù)力與偏離平衡位置位移的比例系數(shù)k是多少。（空氣阻力可忽略，重力加速度為g，當(dāng)偏離角

度θ很小時(shí)，可認(rèn)為sinθ≈tanθ≈θ，且可認(rèn)為小球偏離平衡位置的位移與小球到圓弧圓心的連線垂直）

【能力培優(yōu)】

12．（2024·全國·