備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第5節(jié)-空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用

第5節(jié)空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用1.了解空間向量的概念,了解空間向量基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示,能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.1.空間向量及其有關(guān)概念(1)空間向量的有關(guān)概念名稱概念表示零向量長度為的向量

0單位向量模為的向量

相等向量方向且模的向量

相反向量方向且模的向量

a的相反向量-a共線向量表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相的向量

共面向量平行于同一個(gè)的向量

(2)空間向量中的有關(guān)結(jié)論①任意兩個(gè)空間向量a與b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使得a=λb;②如果兩個(gè)向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa+yb.③空間向量基本定理:如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,{a,b,c}叫做空間的一個(gè).

2.空間向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算(1)兩個(gè)非零空間向量的數(shù)量積①a·b=;

②a⊥b?;

③設(shè)a=(x,y,z),則a2=|a|2,|a|=.

(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)向量和a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)向量差a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)數(shù)量積a·b=

共線a∥b?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)垂直a⊥b?

夾角公式cos<a,b>=a1.空間向量基本定理的3點(diǎn)注意(1)空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底.(2)由于0與任意一個(gè)非零向量共線,與任意兩個(gè)非零向量共面,故0不能作為基向量.(3)基底選定后,空間的所有向量均可由基底唯一表示.2.證明空間任意三點(diǎn)共線的方法對(duì)空間三點(diǎn)P,A,B可通過證明下列結(jié)論成立來證明三點(diǎn)共線:(1)PA→=λPB(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O,OP→=OA→+t(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O,OP→=xOA→+y3.證明空間四點(diǎn)共面的方法對(duì)空間四點(diǎn)P,M,A,B除空間向量基本定理外,也可通過證明下列結(jié)論成立來證明四點(diǎn)共面:(1)MP→=xMA→+y(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O,OP→=OM→+xMA→1.(選擇性必修第一冊(cè)P12練習(xí)T1改編)若{a,b,c}為空間的一個(gè)基底,則下列各項(xiàng)中能構(gòu)成空間的基底的一組向量是()A.{a,a+b,a-b} B.{b,a+b,a-b}C.{c,a+b,a-b} D.{a+b,a-b,a+2b}2.向量m是直線l的方向向量,向量n是平面α的法向量,“m⊥n”是“l(fā)∥α”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.如圖,在四面體OABC中,OA→=a,OB→=b,OC→=c,點(diǎn)M在OA上,且OM=2MA,N為BC的中點(diǎn),則MN4.設(shè)直線l1,l2的方向向量分別為a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,則實(shí)數(shù)m=.

5.已知A,B,C三點(diǎn)不共線,點(diǎn)O為平面ABC外任意一點(diǎn),若點(diǎn)M滿足OM→=15OA→+45空間向量的線性運(yùn)算(1)在三棱錐OABC中,M,N分別是OA,BC的中點(diǎn),G是△ABC的重心,用基向量OA→,OB→,OC→表示OGA.14OA→+1B.12OA→+C.-16OA→+D.13OA→+(2)在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)P是C1D1的中點(diǎn),且AP→=AD→+xAB→+yA.-32 B.-12 C.12(3)在空間四邊形ABCD中,若AB→=(-3,5,2),CD→=(-7,-1,-4),點(diǎn)E,F分別為線段BC,AD的中點(diǎn),則A.(2,3,3) B.(-2,-3,-3)C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1)1.用已知向量來表示未知向量,一定要結(jié)合圖形,以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.利用三角形法則、平行四邊形法則、多邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來.2.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.[針對(duì)訓(xùn)練]1.在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)M,N分別是面對(duì)角線A1B與B1D1的中點(diǎn),若DA→=a,DC→=b,DD1A.12(c+b-a) B.1C.12(a-c) D.12.在平行六面體ABCDA′B′C′D′中,若AC'→=xAB→+yBC→A.52 B.2 C.32 共線向量、共面向量的應(yīng)用如圖,已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).求證:(1)E,F,G,H四點(diǎn)共面;(2)BD∥平面EFGH.[針對(duì)訓(xùn)練]1.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ)(λ,μ∈R),若a∥b,則λ與μ的值可以是()A.2,12 B.-13C.-3,2 D.2,22.若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)(m,n∈R)三點(diǎn)共線,則m+n=.

3.如圖所示,已知斜三棱柱ABCA1B1C1,點(diǎn)M,N分別在AC1和BC上,且滿足AM→=kAC1→,BN(1)向量MN→是否與向量AB→,(2)直線MN是否與平面ABB1A1平行?空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用如圖所示,已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長都等于a,點(diǎn)M,N分別是AB,CD的中點(diǎn).(1)求證:MN⊥AB,MN⊥CD;(2)求向量AN→與MC1.利用向量的數(shù)量積可證明線段的垂直關(guān)系,也可以利用垂直關(guān)系,通過向量共線確定點(diǎn)在線段上的位置.2.利用夾角公式,可以求空間角.3.可以通過|a|=a2[針對(duì)訓(xùn)練]1.如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長都等于1,點(diǎn)