湖北省武漢市2024-2025學年高三下學期（2月）調(diào)研考試數(shù)學試卷 含解析

武漢市屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研考試數(shù)學試卷武漢市教育科學研究院命制．本試題卷共4頁，題，全卷滿分分．考試用時分鐘．★?？荚図樌镒⒁馐马棧海痤}前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．．選擇題的作答：每小題選出答案后，用B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求解確定，再由交集運算即可求解；【詳解】，所以，故選：C2若復數(shù)z滿足，則（）A.B.1C.2D.【答案】A【解析】第1頁/共19頁【分析】結(jié)合復數(shù)運算法則求的代數(shù)形式，再求其模.【詳解】因為，所以，所以，故選：A.3.在三棱柱中，設，，，，分別為，的中點，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合幾何圖形，利用給定的基底表示向量.【詳解】在三棱柱中，.故選：B4.記等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.6B.8C.10D.12【答案】A【解析】【分析】設出公差，利用等差數(shù)列前項和公式，結(jié)合已知列出方程求解.的公差為，由，得，則，所以.第2頁/共19頁故選：A5.有四對雙胞胎共8人，從中隨機選出4人，則其中恰有一對雙胞胎的選法種數(shù)為（）A.40B.48C.52D.60【答案】B【解析】【分析】由題意，根據(jù)分步乘法原理，可得答案.【詳解】先從四對雙胞胎中選出一對，有種選擇；然后從剩下的六個人中選出兩個人，且不能是同一對雙胞胎，這相當于從三對雙胞胎中選出兩對，再從每對中選出一個人，共有種選擇.根據(jù)乘法原理，總共有種選法.故選：B.6.某批產(chǎn)品檢驗后的評分，由統(tǒng)計結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖，下列說法中正確的是（）A.B.評分的眾數(shù)估值為70C.評分的第25百分位數(shù)估值為67.5D.評分的平均數(shù)估值為76【答案】C【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為眾數(shù)的計算規(guī)則計算可得.【詳解】由題意：，解得，A錯誤，所以平均數(shù)為，故D錯誤；第3頁/共19頁眾數(shù)為，故B錯誤；因為，第百分位數(shù)估計為，故C正確；故選：C7.函數(shù)滿足：，若，，則（）A.1B.C.5D.【答案】D【解析】【分析】分析函數(shù)的周期性，利用函數(shù)的周期性求的值.【詳解】由題意可得：，用代替可得：，兩式相加得：.所以，所以函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù).所以.又，所以.所以.所以.故選：D8.已知為坐標原點，過拋物線焦點的直線與該拋物線交于，兩點，若，若面積為，則（）A.4B.3C.D.【答案】A【解析】義及三角形面積公式列式求出第4頁/共19頁【詳解】拋物線的焦點，設直線，點，由消去得，則，，即，，，則，因此，所以.故選：A【點睛】易錯點睛：有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分．9.函數(shù)，則下列關(guān)于的說法中正確的是（）A.最小正周期是B.最大值是2C.是區(qū)間上的減函數(shù)D.圖象關(guān)于點中心對稱【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)二倍角余弦公式和輔助角公式化簡函數(shù)，利用正弦函數(shù)的周期求解判斷A；根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷B；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷C；由正弦函數(shù)的對稱中心判斷D.第5頁/共19頁【詳解】，則的最小正周期是，故選項A正確；由三角函數(shù)的性質(zhì)可知，即的最大值是，故選項B錯誤；時，，因為在上單調(diào)遞減，故是區(qū)間上的減函數(shù)，故選項C正確；令，解得，故的圖象的對稱中心為，，令得，所以的圖象不關(guān)于點中心對稱，故選項D錯誤.故選：AC10.已知且，則函數(shù)的圖象可能是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】由函數(shù)求導，明確導函數(shù)的單調(diào)性，并構(gòu)造函數(shù)，求導研究其單調(diào)性，可得原函數(shù)的最值，根據(jù)最值的取值范圍，可得答案.【詳解】由，求導可得，易知函數(shù)在單調(diào)遞增，第6頁/共19頁令，求導可得在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，所以，易知，使得，則，即，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，由，則，令，求導可得，令，解得，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減.由，，則存在，使得，易知時，，所以當時，，當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，對于AB，由圖可得，故，故A錯誤，B正確；對于CD，，此時符號不定，故BC可能正確，故選：BCD.已知，記為集合中元素的個數(shù)，為集合中的最小元素．若非空數(shù)集，且滿足，則稱集合為“階完美集”．記為全部階完美集的個數(shù)，下列說法中正確的是（）A.B.將階完美集的元素全部加1，得到的新集合，是階完美集C.若為階完美集，且，滿足條件集合的個數(shù)為第7頁/共19頁D.若為階完美集，且，滿足條件的集合的個數(shù)為【答案】ABD【解析】【分析】通過對不同階數(shù)完美集的子集情況進行分析來確定集合個數(shù)，同時依據(jù)完美集的性質(zhì)判斷相關(guān)結(jié)論的正確性.【詳解】當非空數(shù)集是子集中含個元素的子集時，.根據(jù)“n階完美集”的定義，中大于等于的數(shù)有、、、共個，所以此時可以是、、、.當非空數(shù)集是子集中含個元素的子集時，.中大于等于的數(shù)有、、共個，所以此時可以是、、.當非空數(shù)集是子集中含個元素的子集時，.中大于等于的數(shù)有、共個，不滿足“n階完美集”的定義，所以中個元素的子集不滿足.同理，中含個元素的子集也不滿足.綜上，4階完美集有、、、、、、，所以，故A正確.若將“n階完美集”中元素全部加，中元素個數(shù)不變，但加變大，均不違背“階完美集”的定義，所以得到的新集合是一個“階完美集”，故B正確.對于滿足“階完美集”的所有，屬于所有或不屬于所有，均可視為同一情形，即退化為“階完美集”的情況，總個數(shù)為.又因為，所以滿足條件的集合要排除掉“階完美集”中只含有個元素的情形（排除個的個數(shù)均為，故C錯誤，D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：新定義題型，關(guān)鍵就是讀懂題意，將陌生的概念轉(zhuǎn)化為熟悉的知識，再借助舊知解題即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.直線經(jīng)過橢圓的兩個頂點，則該橢圓的離心率為________．第8頁/共19頁【答案】【解析】【分析】由直線方程求得其在坐標軸上截距，可得橢圓的的值，根據(jù)離心率的計算，可得答案.【詳解】當時，由，則；當時，由，則，由題意可得為橢圓的頂點，則橢圓的方程為，所以，可得，所以離心率.故答案為：.13.已知，，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，切化弦，再利用和差角的余弦公式求解.【詳解】依題意，，則，由，得，解得，所以.故答案為：14.四棱錐中，，，，，，內(nèi)部點滿足四棱錐與三棱錐的體積相等，則長的最小值為________．【答案】##【解析】第9頁/共19頁【分析】延長交于點，令，根據(jù)給定條件，利用等體積轉(zhuǎn)化探究可得，再結(jié)合直角三角形及向量運算建立為的函數(shù)，進而求出最小值.【詳解】在四棱錐中，延長交于點，令，由，，得，又，則，由，得，則，，，，設點到底面距離為，依題意，，由，得，則，而，則，，令，當，即時，，所以長的最小值為.故答案為：第10頁/共19頁【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用等體積轉(zhuǎn)化求出是求解問題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，曲線在點處的切線與平行．（1）求的值；（2）求的極值．【答案】（1）2（2）極小值為，無極大值.【解析】1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，可得，可求的值.（2）求導，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極值.【小問1詳解】因為，.所以，.由題意.【小問2詳解】因為，.所以，.由；由.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以當時，函數(shù)取得極小值，且.第11頁/共19頁16.中，，，，，為線段作的平行線交于翻折至與梯形體．（1）若，求的長；（2）求異面直線與所成角余弦值的最小值．【答案】（1）5（2）【解析】1）由翻折后的位置關(guān)系和可得平面，進而得，進而可得；（2）先在平面中找到，進而轉(zhuǎn)化為求余弦的最小值，先利用求其正切的最大值，進而可得.【小問1詳解】連接，平面平面，交線為，由，有平面，又平面，所以,當，，所以平面，又平面，所以，此時與相似，故，設，由，解得，所以.第12頁/共19頁【小問2詳解】過作的平行線交于點，連接，由，且，得四邊形是平行四邊形，故，所以即為異面直線與所成的角，設，，所以銳角正切值的最大值為，此時余弦值有最小值，所以異面直線與所成角余弦值的最小值為.17.如圖，與存在對頂角，，，且．（1）證明：為中點；（2）若，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）設，，結(jié)合余弦定理，表示出與，根據(jù)列式化簡可得.（2）先確定角的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)求角的三角函數(shù)，再在中用正弦第13頁/共19頁定理，可求的長.【小問1詳解】設，，則，.在中，由余弦定理得：在中，由余弦定理得：.由，所以.化簡得：.故為中點.【小問2詳解】如圖：過點做，交與.則.由（）.所以，又，所以.所以.所以，又，.所以.由第14頁/共19頁所以又，所以，所以.所以.即.在中，根據(jù)正弦定理，可得：.18.有，，，，，，，八名運動員參加乒乓球賽事，該賽事采用預賽，半決賽和決賽三輪淘汰制決定最后的冠軍、八名運動員在比賽開始前抽簽隨機決定各自的位置編號，已知這七名運動員互相對決時彼此間的獲勝概率均為，運動員與其它運動員對決時，獲勝的概率為，每場對決沒有平局，且結(jié)果相互獨立．（1）求這八名運動員各自獲得冠軍的概率；（2）求與對決過且最后獲得冠軍的概率；（3）求與對決過且最后獲得冠軍的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】1）利用獨立事件的乘法公式即可得到答案；（2）分別求出與在第1,2,3輪對決且勝利的概率，最后相加即可；（3）求出沒有與對決過且最后獲得冠軍的概率，再利用條件概率和全概率公式計算即可.第15頁/共19頁【小問1詳解】奪冠即為三輪比賽都獲勝，所以奪冠的概率為．由題意，七名運動員水平相同，且八名運動各自奪冠概率之和為1．所以七名運動員各自奪冠的概率均為．【小問2詳解】記事件＂獲得冠軍＂，事件＂與對決過＂，事件“與在第輪對決”，．不妨設在①號位，則在第1,2,3輪能與對決時其位置編號分別為②，③④，⑤⑥⑦⑧．，，，，所以.【小問3詳解】記事件“與對決過”．沒有與對決過且最后獲得冠軍的概率．由題意，六名運動員與對決過的概率相同，奪冠時共與三名運動員對決．所以．代入得：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問關(guān)鍵是利用全概率公式計算出相關(guān)概率.19.雙曲線的一個頂點在直線上，且其離心率為．第16頁/共19頁（1）求雙曲線的標準方程；（2）若一條直線與雙曲線恰有一個公共點，且該直線與雙曲線的漸近線不平行，則定義該直線為雙曲線的切線，定義該公共點為切線的切點，已知點在直線上，且過點恰好可作雙曲線E的兩條切線，設這兩條切線的切點分別為和．（i）設點的橫坐標為，求的取值范圍；（ii）設直線和直線分別與直線交于點和點，證明：直線和直線交點在定直線上．（附：雙曲線以點為切點的切線方程為）【答案】（1）（2i）ii）證明見解析【解析】1）求出，再根據(jù)離心率得到，則得到其雙曲線方程；（2i）首先排除切線斜率不存在的情況，再采用設線法，并聯(lián)立