中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)提升第05講 一次方程(組)及其應(yīng)用 (思維導(dǎo)圖+5考點(diǎn)+3命題點(diǎn)15種題型(含5種解題技巧))(講義)(解析版)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第二章方程與不等式第05講一次方程（組）及其應(yīng)用（思維導(dǎo)圖+5考點(diǎn)+3命題點(diǎn)15種題型（含5種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一一元一次方程基礎(chǔ)考點(diǎn)二解一元一次方程考點(diǎn)三二元一次方程（組）基礎(chǔ)考點(diǎn)四解二元一次方程（組）考點(diǎn)五一次方程（組）及其應(yīng)用04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一一元一次方程（組）的相關(guān)概念?題型01等式的性質(zhì)?題型02一元一次方程的相關(guān)概念?題型03二元一次方程的相關(guān)概念命題點(diǎn)二解一元一次方程（組）?題型01一元一次方程的解法?題型02代入法解二元一次方程組?題型03加減法解二元一次方程組?題型04整體法解二元一次方程組?題型05解二元一次方程組--同解方程組?題型06解二元一次方程組—已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)?題型07中考最熱考法之以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查一次方程(組)命題點(diǎn)三一元一次方程（組）的應(yīng)用?題型01列一元一次方程組?題型02一元一次方程的應(yīng)用?題型03二元一次方程組的應(yīng)用?題型04中考最熱考法之以跨學(xué)科背景考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用?題型05中考最熱考法之以真實(shí)問題情境為背景考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用01考情透視·目標(biāo)中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求一元一次方程及其解法★★掌握等式的基本性質(zhì)；能解一元一次方程.二元一次方程及其解法★★掌握消元法，能解二元一次方程組；*能解簡單的三元一次方程組；一次方程（組）的應(yīng)用★★能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程【考情分析1】一元一次方程屬于初中的基礎(chǔ)內(nèi)容，試題形式多樣，難度不大，主要以解決實(shí)際問題為考查背景，多出現(xiàn)在銷售、行程、工程等問題中，確定題目中的等量關(guān)系，正確地列出方程是解題的關(guān)鍵.此外，準(zhǔn)確的計(jì)算能力也是得分所必不可少的技能.【考情分析2】中考對二元一次方程組的考查包括解方程組和利用二元一次方程組解決實(shí)際問題，其關(guān)鍵是“消元”思想，即將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，這也體現(xiàn)在用二元一次方程組可解決的問題用一元一次方程也可以解決，考查形式多樣，難度不大，多以解決實(shí)際問題為出題背景.02知識(shí)導(dǎo)圖·思03考點(diǎn)突破·考法探究·考點(diǎn)一一元一次方程基礎(chǔ)一、一元一次方程的相關(guān)概念一元一次方程的概念：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=0（a、b是常數(shù)，且a≠0）.方程的解：能使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.解方程：求方程的解得過程叫做解方程.【易錯(cuò)易混】1）方程的解與解方程是兩個(gè)不同的概念，方程的解是一個(gè)具體的數(shù)值，而解方程是求方程的解的過程；2）方程的解是通過解方程求得的.3）方程的解可能不止一個(gè)（如x=2和x=-2都是方程x2=4的解），也有可能無解（如二、等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)1：等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)（或同一個(gè)式子），所得的結(jié)果仍是等式.即：如果a=b，那么a±c=a±c等式的性質(zhì)2：等式兩邊都乘以同一個(gè)數(shù)，或都除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.即：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么ac=等式的性質(zhì)3：如果a=b，則b=a（對稱性）等式的性質(zhì)4：如果a=b，b=c，則a=c（傳遞性）【易錯(cuò)易混】1）利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形時(shí)，等式兩邊都要參加運(yùn)算，而且是同一種運(yùn)算.2）等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)字母時(shí)，字母不能為0，若題目沒有注明該字母不為0，那么這個(gè)變形就不成立.1．（2023·湖南永州·中考真題）關(guān)于x的一元一次方程2x+m=5的解為x=1，則m的值為（

）A．3 B．?3 C．7 D．?7【答案】A【分析】把x=1代入2x+m=5再進(jìn)行求解即可．【詳解】解：把x=1代入2x+m=5得：2+m=5，解得：m=3．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步驟．2．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的方程m?1x2+2x?1=0有根，則m【答案】m≥0【分析】本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，分類討論思想是關(guān)鍵．由于方程有實(shí)數(shù)根，當(dāng)方程為一元二次方程時(shí)，令Δ>0，即可求出m的取值范圍，要注意，m?1≠0【詳解】解：當(dāng)方程m?1x則m?1≠0且Δ=解得：m≥0且m≠1，當(dāng)方程m?1x方程有解，則只需m?1=0，即m=1，綜上：當(dāng)m≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根．故答案為：m≥0．3．（2024·貴州·中考真題）小紅學(xué)習(xí)了等式的性質(zhì)后，在甲、乙兩臺(tái)天平的左右兩邊分別放入“■”“●”“▲”三種物體，如圖所示，天平都保持平衡．若設(shè)“■”與“●”的質(zhì)量分別為x，y，則下列關(guān)系式正確的是（

）A．x=y B．x=2y C．x=4y D．x=5y【答案】C【分析】本題考查等式的性質(zhì)，設(shè)“▲”的質(zhì)量為a，根據(jù)題意列出等式x+y=y+2a，x+a=x+2y，然后化簡代入即可解題．【詳解】解：設(shè)“▲”的質(zhì)量為a，由甲圖可得x+y=y+2a，即x=2a，由乙圖可得x+a=x+2y，即a=2y，∴x=4y，故選C．4．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）下列說法中，正確的是（

）A．若ac=bc，則a=b B．若a2=C．若ac=bc，則a=b 【答案】C【分析】直接利用等式的基本性質(zhì)以及結(jié)合絕對值的性質(zhì)分析得出答案．【詳解】解：A、若ac=bc，當(dāng)c≠0，則a=b，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、若a2=bC、若ac=bD、若?13x=6故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，正確把握等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2022·山東濱州·中考真題）在物理學(xué)中，導(dǎo)體中的電流Ⅰ跟導(dǎo)體兩端的電壓U，導(dǎo)體的電阻R之間有以下關(guān)系：I=UR去分母得IR=U，那么其變形的依據(jù)是（A．等式的性質(zhì)1 B．等式的性質(zhì)2 C．分式的基本性質(zhì) D．不等式的性質(zhì)2【答案】B【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)2可得答案．【詳解】解：I=UR去分母得故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)2：等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為零的數(shù)，等式仍然成立．考點(diǎn)二解一元一次方程基本思路：通過適當(dāng)?shù)淖冃?，把一元一次方程化簡為ax=b（a、b為常數(shù)，且a≠0）的形式，得出方程的解為x=ba步驟具體做法去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)去括號(hào)先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，其它項(xiàng)都移到方程另一邊合并同類項(xiàng)把方程變?yōu)閍x=b（a≠0)的形式系數(shù)化為1將方程兩邊都除以未知數(shù)系數(shù)a，得到方程的解x=b【補(bǔ)充說明】解具體的一元一次方程時(shí)，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活安排解題步驟，甚至可以省略某些步驟，有分母的去分母，有括號(hào)的去括號(hào).1．（2024·海南·中考真題）若代數(shù)式x?3的值為5，則x等于（

）A．8 B．?8 C．2 D．?2【答案】A【分析】本題主要考查了解一元一次方程，根據(jù)題意可知x?3=5，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵代數(shù)式x?3的值為5，∴x?3=5，解得x=8，故選：A．2．（2024·河北·模擬預(yù)測）下面是嘉淇同學(xué)解一元一次方程5x6解：去分母，得5x?6=23x?2去括號(hào)，得5x?6=6x?2，……第二步移項(xiàng)，得5x?6x=?2?6，……第三步合并同類項(xiàng)，得?x=?8，……第四步解得x=8．以上解題步驟中，開始出錯(cuò)的一步是（

）A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步【答案】B【分析】本題考查了解一元一次方程，按照解一元一次方程的步驟：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】去分母，得5x?6=23x?2去括號(hào)，得5x?6=6x?4，……第二步∴第二步開始出錯(cuò)，故選：B．3．（2024·貴州貴陽·二模）已知關(guān)于x的方程2x?m=0的解是x=?3，則m的值為．【答案】?6【分析】把方程的解代入原方程，方程左右兩邊相等得到關(guān)于m的方程，解方程即可．本題考查了一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是知道使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．【詳解】解：把x=?3代入方程中得：2×(?3)?m=0，m=?6，故答案為：?6．4．（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測）已知y=1是方程py?1=?3?p的解，則代數(shù)式p3?p?1【答案】1【分析】本題考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，求代數(shù)式的值，由方程的解求出p的值是解答本題的關(guān)鍵．把y=1代入方程即可得到一個(gè)關(guān)于p的方程，解方程求得p的值，然后代入代數(shù)式求解即可．【詳解】解：把y=1代入方程py?1=?3?p中，得p=?3?p+1，解得：p=?1，把p=?1代入p3則原式==?1+1+1=1．故答案為：1．5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）解方程：3【答案】x=1【分析】本題主要考查了解一元一次方程，按照去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟解方程即可．【詳解】解：3去括號(hào)得：3x?3=2?2x，移項(xiàng)得：3x+2x=2+3，合并同類項(xiàng)得：5x=5，系數(shù)化為1得：x=1．QUOTEQUOTE考點(diǎn)三二元一次方程（組）基礎(chǔ)1.二元一次方程二元一次方程概念：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.二元一次方程的三要素：1）有且只有兩個(gè)未知數(shù)；2）含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為1；3)方程兩邊都是整式.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.2.二元一次方程組二元一次方程組的概念：方程組有兩個(gè)未知數(shù)，每個(gè)含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程叫做二元一次方程組.一般形式：，（其中不同時(shí)為0，不同時(shí)為0）.二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.【易錯(cuò)易混】1.二元一次方程有無數(shù)個(gè)解，滿足二元一次方程使得方程左右相等都是這個(gè)方程的解，但并不是說任意一對數(shù)值就是它的解.2.在二元一次方程中，給定其中一個(gè)未知數(shù)的值，就可以通過解一元一次方程的方法求出另一個(gè)未知數(shù)的值.3.二元一次方程組的“二元”和“一次”都是針對整個(gè)方程組而言的，組成方程組的各個(gè)方程不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù)，這兩個(gè)一次方程不一定都是二元一次方程，但這兩個(gè)一次方程必須只含有兩個(gè)未知數(shù).4.解二元一次方程組的基本思想是消元，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程．1．（2023·浙江衢州·中考真題）下列各組數(shù)滿足方程2x+3y=8的是（

）A．x=1y=2 B．x=2y=1 C．x=?1y=2【答案】A【分析】代入x,y的值，逐一判斷即可解答．【詳解】解：當(dāng)x=1y=2時(shí)，方程左邊=2×1+3×2=8，方程左邊=當(dāng)x=2y=1時(shí)，方程左邊=2×2+3×1=7，方程左邊≠當(dāng)x=?1y=2時(shí)，方程左邊=2×?1+3×2=4當(dāng)x=2y=4時(shí)，方程左邊=2×2+3×4=16，方程左邊≠故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程兩邊的值相等的兩位未知數(shù)是二元一次方程的解，是解題的關(guān)鍵．2．（2020·湖南益陽·中考真題）同時(shí)滿足二元一次方程x?y=9和4x+3y=1的x，y的值為（）A．x=4y=?5 B．x=?4y=5 C．x=?2y=3【答案】A【分析】聯(lián)立x?y=9和4x+3y=1解二元一次方程組即可．【詳解】解：有題意得：x?y=9①由①得x=9+y③將③代入②得：36+4y+3y=1，解得y=-5則x=9+（-5）=4所以x=4，y=-5．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用及解法，掌握二元一次方程組的解法是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇無錫·中考真題）下列4組數(shù)中，不是二元一次方程2x+y=4的解是（

）A．x=1y=2 B．x=2y=0 C．x=0.5y=3【答案】D【分析】將選項(xiàng)中的x,y的值分別代入方程的左邊，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：A、當(dāng)x=1y=2時(shí)，2x+y=4，則x=1y=2是二元一次方程2x+y=4B、當(dāng)x=2y=0時(shí)，2x+y=4，則x=2y=0是二元一次方程2x+y=4的解C、當(dāng)x=0.5y=3時(shí)，2x+y=4，則x=0.5y=3是二元一次方程D、當(dāng)x=?2y=4時(shí)，2x+y=0，則x=?2y=4不是二元一次方程故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解的定義，熟練掌握二元一次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2020·浙江紹興·中考真題）若關(guān)于x，y的二元一次方程組x+y=2A=0的解為x=1y=1，則多項(xiàng)式A可以是【答案】x﹣y（答案不唯一）【分析】根據(jù)方程組的解的定義，x=1y=1應(yīng)該滿足所寫方程組的每一個(gè)方程．因此，可以圍繞x=1y=1列一組算式，然后用x，【詳解】∵關(guān)于x，y的二元一次方程組x+y=2A=0的解為x=1而1﹣1＝0，∴多項(xiàng)式A可以是答案不唯一，如x﹣y．故答案為：x﹣y（答案不唯一）.【點(diǎn)睛】此題考查二元一次方程組的定義，二元一次方程組的解，正確理解方程組的解與每個(gè)方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.15．（2022·四川雅安·中考真題）已知{x=1y=2是方程ax+by＝3的解，則代數(shù)式2a+4b﹣5的值為【答案】1【分析】把{x=1y=2代入ax+by＝3可得a+2b=3，而2a+4b﹣5【詳解】解：把{x=1y=2代入ax+a+2b=3，∴2a+4b﹣5=2(a+2b)?5=2×3?5=1．故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程的解，利用整體代入法求解代數(shù)式的值，掌握“方程的解的含義及整體代入的方法”是解本題的關(guān)鍵．5．（2021·四川廣安·中考真題）若x、y滿足x?2y=?2x+2y=3，則代數(shù)式x2?4【答案】-6【分析】根據(jù)方程組中x+2y和x-2y的值，將代數(shù)式利用平方差公式分解，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵x-2y=-2，x+2y=3，∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6，故答案為：-6．【點(diǎn)睛】本題主要考查方程組的解及代數(shù)式的求值，觀察待求代數(shù)式的特點(diǎn)與方程組中兩方程的聯(lián)系是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)四解二元一次方程（組）1.代入消元法定義：把二元一次方程組中的一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.用代入消元法解二元一次方程組的一般步驟：1）變形.從方程組中選一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)比較簡單的方程，將這個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來；2）代入.將變形后的方程代入沒變形的方程，得到一個(gè)一元一次方程；3）解元.解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；4）求值.將求得的未知數(shù)的值代入變形后的方程，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，從而得到方程組的解.【易錯(cuò)易混】1）方程組中各項(xiàng)系數(shù)不全是整數(shù)時(shí)，應(yīng)先化簡，即應(yīng)用等式的性質(zhì)，化為整數(shù)系數(shù).

2）當(dāng)求出一個(gè)未知數(shù)后，把它代入變形后的方程(或)，求出另一個(gè)未知數(shù)的值比較簡單2.加減消元法定義：當(dāng)二元一次方程組的兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟：1）變形.先觀察系數(shù)特點(diǎn)，將同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)化成互為相反數(shù)或相等的數(shù)；2）加減.把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；3）解元.解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；4）求值.將求得的未知數(shù)的值代入原方程組中任意一個(gè)方程，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，并把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用“大括號(hào)”聯(lián)立起來，就是方程組的解．

1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）點(diǎn)Px,y在直線y=?34x+4上，坐標(biāo)x,y是二元一次方程5x?6y=33的解，則點(diǎn)PA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，解二元一次方程組等知識(shí)，聯(lián)立方程組y=?34x+4【詳解】解∶聯(lián)立方程組y=?3解得x=6y=?∴P的坐標(biāo)為6,?1∴點(diǎn)P在第四象限，故選∶D．2．（2023·四川眉山·中考真題）已知關(guān)于x,y的二元一次方程組3x?y=4m+1x+y=2m?5的解滿足x?y=4，則m的值為（

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】將方程組的兩個(gè)方程相減，可得到x?y=m+3，代入x?y=4，即可解答．【詳解】解：3x?y=4m+1①①?②得∴x?y=m+3，代入x?y=4，可得m+3=4，解得m=1，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)解的情況求參數(shù)，熟練利用加減法整理代入是解題的關(guān)鍵．3．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）如圖，“●、■、▲”分別表示三種不同的物體，已知前兩架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在“？”處只放“■”，那么應(yīng)放“■”（

）

A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】A【分析】可設(shè)●、■、▲分別為x，y，z，由（1）（2）的等量關(guān)系可列出方程，用y分別表示出x和z即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)●、■、▲分別為x，y，z，由（1）（2）可知：2x=y+zz=x+y解得：x=2yz=3y∴x+z=2y+3y=5y，即■的個(gè)數(shù)為5個(gè)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出符合條件的方程組是解題的關(guān)鍵．4．（2023·四川瀘州·中考真題）關(guān)于x，y的二元一次方程組2x+3y=3+ax+2y=6的解滿足x+y>22，寫出a的一個(gè)整數(shù)值【答案】7（答案不唯一）【分析】先解關(guān)于x、y的二元一次方程組的解集，再將x+y>22代入，然后解關(guān)于a【詳解】將兩個(gè)方程相減得x+y=a?3，∵x+y>22∴a?3>22∴a>3+22∵4<8<9，∴2<22∴5<22∴a的一個(gè)整數(shù)值可以是7．故答案為：7（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組和解一元一次不等式，整體代入的思想方法是解答本題的亮點(diǎn)．5．（2024·浙江·中考真題）解方程組：2x?y=5【答案】x=【分析】此題考查了解二元一次方程組，利用①×3＋②得，10x=5，解得x=12，再把x=1【詳解】解：2x?y=5①×3＋②得，10x=5解得x=1把x=12代入①得解得y=?4∴x=考點(diǎn)五一次方程（組）及其應(yīng)用用一元一次方程（組）解決實(shí)際問題的一般步驟：審：審清題意（注意關(guān)鍵詞），找出題中的等量關(guān)系，理清題中的已知量與未知量；設(shè)：設(shè)未知數(shù)，并用含未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量；列：根據(jù)題中相等關(guān)系，列出方程（組）；解：解所列出的方程（組）；驗(yàn)：檢驗(yàn)所得的解是不是所列方程的解、是否符合實(shí)際意義（這一步可在草稿紙上完成）；答：寫出答案，包括單位.1．（2024·四川·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載了一道題，大意是：幾個(gè)人合買一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，還差4元．設(shè)有x人，該物品價(jià)值y元，根據(jù)題意，可列出的方程組是（

）A．8x=y+37x=y?4 B．C．8x=y?37x=y?4 D．【答案】A【分析】本題考查二元一次方程組解古代數(shù)學(xué)問題，讀懂題意，找到等量關(guān)系列方程是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)“每人出8元，剩余3元；每人出7元，還差4元”，即可求解．【詳解】解：∵每人出8元，剩余3元，∴8x=y+3，∵每人出7元，還差4元，∴7x=y?4，故所列方程組為：8x=y+37x=y?4故選：A．2．（2024·廣東深圳·中考真題）在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中有首住店詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一間客房住7人，那么有7人無房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．設(shè)該店有客房x間，房客y人，則可列方程組為（

）A．7x+7=y9x?1=yC．7x?7=y9x?1=y【答案】A【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組．設(shè)該店有客房x間，房客y人；每一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房得出方程組即可．【詳解】解：設(shè)該店有客房x間，房客y人；根據(jù)題意得：7x+7=y9故選：A．3．（2024·海南·中考真題）端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗．某商店售賣某品牌瘦肉粽和五花肉粽．請依據(jù)以下對話，求促銷活動(dòng)前每個(gè)瘦肉粽、五花肉粽的售價(jià)．【答案】促銷活動(dòng)前每個(gè)瘦肉粽的售價(jià)為15元，則促銷活動(dòng)前每個(gè)五花肉粽的售價(jià)10元．【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．設(shè)促銷活動(dòng)前每個(gè)瘦肉粽的售價(jià)為x元，則促銷活動(dòng)前每個(gè)五花肉粽的售價(jià)x?5元，根據(jù)題意列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)促銷活動(dòng)前每個(gè)瘦肉粽的售價(jià)為x元，則促銷活動(dòng)前每個(gè)五花肉粽的售價(jià)x?5元，依題意得0.8×10x+5解得x=15，x?5=10，答：促銷活動(dòng)前每個(gè)瘦肉粽的售價(jià)為15元，則促銷活動(dòng)前每個(gè)五花肉粽的售價(jià)10元．4．（2024·陜西·中考真題）星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進(jìn)行一次家庭衛(wèi)生大掃除．根據(jù)這次大掃除的任務(wù)量，若小峰單獨(dú)完成，需4h；若爸爸單獨(dú)完成，需2h．當(dāng)天，小峰先單獨(dú)打掃了一段時(shí)間后，去參加籃球訓(xùn)練，接著由爸爸單獨(dú)完成剩余的打掃任務(wù)．小峰和爸爸這次一共打掃了【答案】小峰打掃了2h【分析】本題是一道工程問題的應(yīng)用題．設(shè)小峰打掃了xh，爸爸打掃了3?x【詳解】解：設(shè)總工作量為1，小峰打掃了xh，爸爸打掃了3?xh，則小峰打掃任務(wù)的工作效率為14由題意，得：14解得：x=2，答：小峰打掃了2h5．（2024·江蘇徐州·中考真題）中國古代數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》中有一道問題；“今有甲、乙懷錢，各不知其數(shù)．甲得乙十錢，多乙余錢五倍．乙得甲十錢，適等．問甲、乙懷錢各幾何？”問題大意：甲、乙兩人各有錢幣干枚．若乙給甲10枚錢，此時(shí)甲的錢幣數(shù)比乙的錢幣數(shù)多出5倍，即甲的錢幣數(shù)是乙錢幣數(shù)的6倍；若甲給乙10枚錢，此時(shí)兩人的錢幣數(shù)相等．問甲、乙原來各有多少枚錢幣？請用二元一次方程組解答上述問題．【答案】甲、乙原來各有38枚、18枚錢幣【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程是解決本題的關(guān)鍵．設(shè)甲有錢x枚，乙有錢y枚，根據(jù)“甲得乙十錢，多乙余錢五倍．乙得甲十錢，適等”列出方程組，求解即可．【詳解】解：設(shè)甲有錢x枚，乙有錢y枚，由題意，得x+10=6y?10解這個(gè)方程組，得x=38y=18答：甲、乙原來各有38枚、18枚錢幣．04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一一元一次方程（組）的相關(guān)概念?題型01等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)1：等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)（或同一個(gè)式子），所得的結(jié)果仍是等式.即：如果a=b，那么a±c=a±c等式的性質(zhì)2：等式兩邊都乘以同一個(gè)數(shù)，或都除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.即：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么ac=解題方法：靈活運(yùn)用等式的性質(zhì).1．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測）已知等式3a=2b+5，則下列等式中成立的是（A．3ac=2bc+5 B．3a?5=2b C．a(chǎn)=23b+15【答案】BD【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．本題考查了等式的性質(zhì)，能熟記等式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：等式的性質(zhì)1：等式的兩邊都加（或減）同一個(gè)數(shù)或式子，等式仍成立；等式的性質(zhì)2：等式的兩邊都乘同一個(gè)數(shù)或式子，等式仍成立，等式的兩邊都除以同一個(gè)不等于0的數(shù)或式子，等式仍成立．【詳解】解：A．∵3a=2b+5，∴等式兩邊都乘c，得3ac=2bc+5c，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵3a=2b+5，∴等式兩邊都減去5，得3a?5=2b，故本選項(xiàng)符合題意；C．∵3a=2b+5，∴等式兩邊都除以3，得a=2D．∵3a=2b+5，∴等式兩邊都加1，得3a+1=2b+6，故本選項(xiàng)符合題意故選：BD．2．（2021·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）下列等式成立的是（

）A．?x+yz=?x+yC．?x?yz=?x+y【答案】C【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)解答即可．【詳解】解：A、?x+yzB、?x+yzC、?x?yzD、?x?yz故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，等式兩邊同時(shí)加上相等的數(shù)或式子,兩邊依然相等；等式兩邊同時(shí)乘（或除）相等的數(shù)或式子,兩邊依然相等；等式兩邊同時(shí)乘方（或開方）,兩邊依然相等．3．（2023·廣東佛山·模擬預(yù)測）下面各式的變形正確（

）A．由2x3=4x?89?5，得6x=4x?8?5C．由2x?7=3x+2，得2x?3x=2+7 D．由5x+33=?6（x+5【答案】C【分析】本題主要考查了等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì)：1、等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或式子，等式仍成立；2、等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0的數(shù)或字母，等式仍成立．根據(jù)等式的性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：解：A、由2x3=4x?8B、由0.6x?1=0.3x+0.35，得6x?10=3x+3.5，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；C、由2x?7=3x+2，得2x?3x=2+7，原變形正確，故此選項(xiàng)符合題意；D、由5x+33=?6（x+5）故選：C4．（2024·貴州貴陽·一模）用“□”“△”“○”表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平稱了兩次，情況如圖所示．設(shè)a，b，c均為正數(shù)，則能正確表示天平從左到右變化過程的等式變形為（

）A．如果a+c=b+c，那么a=b B．如果a=b，那么a+c=b+cC．如果2a=2b，那么a=b D．如果a=b，那么2a=2b【答案】A【分析】本題考查等式的性質(zhì)，根據(jù)天平兩端相等即可求得答案．【詳解】解：由圖形可得如果a+c=b+c，那么a=b，故選：A．5．（2023·河北保定·一模）如左圖的天平架是平衡的，其中同一種物體的質(zhì)量都相等，如右圖，現(xiàn)將不同質(zhì)量的一“○”和一個(gè)“”從通道的頂端同時(shí)放下，兩個(gè)物體等可能的向左或向右落在下面的托盤中，此時(shí)兩個(gè)托盤上物體的質(zhì)量分別為y甲g和y乙gA．y甲=y乙 B．y甲=2【答案】C【分析】分析左圖可知，1個(gè)“”的質(zhì)量等于2個(gè)“○”的質(zhì)量．兩個(gè)物體等可能的向左或向右落時(shí)，共有4種情況，分別計(jì)算出左邊托盤和右邊托盤的質(zhì)量，即可得出y甲g和y【詳解】解：由左圖可知2個(gè)“○”與1個(gè)“”的質(zhì)量等于2個(gè)“”的質(zhì)量，∴1個(gè)“”的質(zhì)量等于2個(gè)“○”的質(zhì)量．∵右圖中，兩個(gè)物體等可能的向左或向右落在下面的托盤中，∴共有4種情況：（1）“○”和“”都落到左邊的托盤時(shí)：左邊有3個(gè)“○”2個(gè)“”，相當(dāng)于7個(gè)“○”，右邊有2個(gè)“”，相當(dāng)于4個(gè)“○”，此時(shí)4y甲=7（2）“○”和“”都落到右邊的托盤時(shí)：左邊有2個(gè)“○”1個(gè)“”，相當(dāng)于4個(gè)“○”，右邊有3個(gè)“”1個(gè)“○”，相當(dāng)于7個(gè)“○”，此時(shí)7y甲=4（3）“○”落到左邊的托盤，“”落到右邊的托盤時(shí)：左邊有3個(gè)“○”1個(gè)“”，相當(dāng)于5個(gè)“○”，右邊有3個(gè)“”，相當(dāng)于6個(gè)“○”，此時(shí)6y甲=5（4）“○”落到右邊的托盤，“”落到左邊的托盤時(shí)：左邊有2個(gè)“○”2個(gè)“”，相當(dāng)于6個(gè)“○”，右邊有2個(gè)“”1個(gè)“○”，相當(dāng)于5個(gè)“○”，此時(shí)5y甲=6觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)C符合題意，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等可能事件、等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，計(jì)算所有等可能情況下y甲g和QUOTEQUOTEQUOTE?題型02一元一次方程的相關(guān)概念1．（2024·四川攀枝花·模擬預(yù)測）下列各數(shù)中，是方程2x?1=3x+1的解的是（

）A．x=2 B．x=?2 C．x=1 D．x=1和?2【答案】B【分析】本題考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解題關(guān)鍵．依次移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化1解方程即可．【詳解】解：2x?1=3x+1，移項(xiàng)得：2x?3x=1+1，合并同類項(xiàng)得：?x=2，系數(shù)化1，得x=?2，故選：B．2．（2024·廣西河池·三模）關(guān)于x的方程2x+a=4的解是x=1，則a的值為（

）A．?8 B．0 C．2 D．8【答案】C【分析】本題考查了一元一次方程的解的定義，根據(jù)題意將x=1代入，即可求解．【詳解】解：依題意，2×1+a=4解得：a=2，故選：C．3．（2021·貴州·一模）已知關(guān)于x的方程k2?4xA．-2 B．2 C．-6 D．-1【答案】D【分析】利用一元一次方程的定義確定出k的值，進(jìn)而求出k的值即可．【詳解】解：∵方程k2?4x∴k2解得：k=-2，方程為-4x=-2+6，解得：x=-1，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．4．（2023·貴州貴陽·模擬預(yù)測）（1）當(dāng)m=______時(shí)，關(guān)于x的方程m?1x（2）解一元二次方程x2【答案】（1）1；（2）x1=?1+【分析】本題考查了一元一次方程的的定義，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)一元一次方程的定義得出m?1=0，然后求解即可；（2）利用配方法求解即可．【詳解】解：（1）∵方程m?1x∴m?1=0，∴m=1，故答案為：1；（2）x2∴x2∴x2∴x+12∴x+1=±7∴x1=?1+7?題型03二元一次方程的相關(guān)概念1．（2024·江蘇無錫·一模）請寫出一個(gè)解為x=2y=?3的二元一次方程組【答案】x+y=?1x?y=5【分析】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．由2+?3=?1，【詳解】解：根據(jù)題意得：x+y=?1x?y=5故答案為：x+y=?1x?y=52．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x，y的二元一次方程ax+y=9的一個(gè)解是x=2y=3，則a的值為【答案】3【分析】本題考查了二元一次方程的解的含義．將x=2y=3代入二元一次方程ax+y=9【詳解】解：由題意將x=2y=3代入二元一次方程ax+y=92a+3=9，∴a=3，故答案為：3．3．（2021·浙江嘉興·中考真題）已知二元一次方程x+3y=14，請寫出該方程的一組整數(shù)解．【答案】x=2y=4【分析】根據(jù)題意確定出方程的整數(shù)解即可．【詳解】解：方程x+3y=14的一組整數(shù)解為x=2故答案為：x=2y=4【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．4．（2021·四川涼山·中考真題）已知x=1y=3是方程ax+y=2的解，則a的值為【答案】-1【分析】根據(jù)方程解的定義，將x=1，y=3代入方程ax+y=2，即可求得a的值．【詳解】解：根據(jù)題意，將x=1，y=3代入方程ax+y=2，得：a+3=2，解得：a=-1，故答案為：-1．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，要求理解什么是二元一次方程的解，并會(huì)把x，y的值代入原方程驗(yàn)證二元一次方程的解．命題點(diǎn)二解一元一次方程（組）?題型01一元一次方程的解法步驟具體做法注意事項(xiàng)去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)1）不要漏乘不含分母的項(xiàng)；2）當(dāng)分母中含有小數(shù)時(shí)，先將小數(shù)化成整數(shù)，再去分母.3）如果分子是多項(xiàng)式，去分母后要加括號(hào).去括號(hào)先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)1)去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前的數(shù)要乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng);2)不要弄錯(cuò)符號(hào).移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，其它項(xiàng)都移到方程另一邊1）移項(xiàng)時(shí)不要丟項(xiàng);2）將方程中的項(xiàng)從一邊移到另一邊要變號(hào).而在方程同一邊改變項(xiàng)的位置時(shí)不變號(hào).合并同類項(xiàng)把方程變?yōu)閍x=b（a≠0)的形式1）系數(shù)的符號(hào)處理要得當(dāng)；

2）字母及其指數(shù)不變.系數(shù)化為1將方程兩邊都除以未知數(shù)系數(shù)a，得到方程的解x=b1)未知數(shù)的系數(shù)為整數(shù)或小數(shù)時(shí),方程兩邊同除以該系數(shù);2)未知數(shù)的系數(shù)為分?jǐn)?shù)時(shí),方程兩邊同乘該系數(shù)的倒數(shù).1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）在解方程x+1=4x+8時(shí)，經(jīng)過移項(xiàng)后的式子為（

）A．3x=?7 B．x+18=4x C．x=?7【答案】A【分析】該題主要考查了一元一次方程的解法，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次方程的解法．根據(jù)一元一次方程的解法：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為一的方法解答即可．【詳解】解：x+1=4x+8，移項(xiàng)得x?4x=8?1，化簡得3x=?7，故選：A．2．（2024·廣西·模擬預(yù)測）點(diǎn)A?m,2m+1在函數(shù)y=?x+1的圖象上，則m=【答案】0【分析】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，解一元一次方程，先根據(jù)點(diǎn)A?m,2m+1在函數(shù)y=?x+1的圖象上，即可得出??m+1=2m+1【詳解】解：∵點(diǎn)A?m,2m+1在函數(shù)y=?x+1∴??m解得：m=0，故答案為：0．3．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）定義一種新運(yùn)算：x*y=x+yy≥0x?yy<0【答案】?【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，解一元一次方程，由?2<0結(jié)合題意得出m+2=?2m，解方程即可得出答案，理解題意，正確得出方程是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵?2<0，∴m*∴m+2=?2m，解得：m=?2故答案為：?24．（2024·河北邯鄲·三模）已知關(guān)于x的方程4x+2m=3x+1的解比方程3x+2m=6x+1的解大5，求這兩個(gè)方程的解．【答案】方程4x+2m=3x+1的解為x=154，方程3x+2m=6x+1【分析】本題考查了一元一次方程的解的定義．首先由方程4x+2m=3x+1，用m表示x，然后由第二個(gè)方程，再用m表示x，此時(shí)兩個(gè)x的值相差5，可得方程求出m的值，進(jìn)而即可求得方程的解．【詳解】解：由題意得：4x+2m=3x+1，解得：x=?2m+1．由3x+2m=6x+1，解得：x=1∵關(guān)于x的方程4x+2m=3x+1的解比方程3x+2m=6x+1的解大5，∴(?2m+1)?1解得m=?11∴?2m+1=1513∴這兩個(gè)方程的解為154和??題型02代入法解二元一次方程組1．（2022·遼寧沈陽·中考真題）二元一次方程組x+2y=5y=2x的解是【答案】x=1y=2/【分析】利用代入消元法進(jìn)行求解方程組的解即可．【詳解】解：x+2y=5把②代入①得：5x=5，解得：x=1，把x=1代入②得：y=2；∴原方程組的解為x=1y=2故答案為x=1y=2【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．2．（2024·甘肅武威·二模）已知x?12+2x?4y+6=0【答案】?1【分析】本題考查絕對值的非負(fù)性，平方的非負(fù)性，二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)非負(fù)式子和為0可得2x?4y+6=0x?1=0【詳解】解：∵x?12∴2x?4y+6=0x?1=0解得：x=1y=2∴(x?y)2023故答案為：?1．3．（2024·四川綿陽·三模）如果方程組2x+3y=7y=2x?3的解也是方程3x+my?8=0的一個(gè)解，則m的值為【答案】2【分析】此題考查了解二元一次方程組和解一元一次方程．先求出二次一次方程組的解，再代入3x+my?8=0，解一元一次方程即可得到m的值．【詳解】解：2x+3y=7把②代入①得，2x+32x?3解得，x=2，把x=2代入②得，y=2×2?3=1，∴x=2y=1把x=2y=1代入3x+my?8=03×2+m?8=0，解得m=2，故答案為：2QUOTE?題型03加減法解二元一次方程組1．（2023·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為一元一次方程3x+7=32?2x的解，縱坐標(biāo)為a+b的值，其中a，b滿足二元一次方程組2a?b=4?a+2b=?8，則點(diǎn)Q關(guān)于y軸對稱點(diǎn)Q'的坐標(biāo)為【答案】?5,?4【分析】先分別解一元一次方程3x+7=32?2x和二元一次方程組2a?b=4?a+2b=?8，求得點(diǎn)Q【詳解】解：3x+7=32?2x，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得，5x=25，系數(shù)化為1得，x=5，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為5，∵2a?b=4①由①+2×②得，3b=?12，解得：把b=?4代入①得，2a+4=4，解得：a=0，∴a+b=0?4=?4，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為?4，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為5,?4，∴點(diǎn)Q關(guān)于y軸對稱點(diǎn)Q'的坐標(biāo)為?5,?4故答案為：?5,?4．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化——軸對稱，解一元一次方程和解二元一次方程組、代數(shù)值求值、直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，熟練掌握解一元一次方程和解二元一次方程組的方法求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．2．（2024·廣西·中考真題）解方程組：x+2y=3【答案】x=2【分析】本題考查的是二元一次方程組的解法，直接利用加減消元法解方程組即可．【詳解】解：x+2y=3①①+②得：解得：x=2，把x=2代入①得：y=1∴方程組的解為：x=2y=3．（2023·湖南常德·中考真題）解方程組：x?2y=1【答案】x=5【分析】方程組利用加減消元法求解即可．【詳解】解：將①×2得：2x?4y=2③②+③得：x=5將x=5代入①得：y=2所以x=5y=2【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，解題的關(guān)鍵是利用代入消元法或加減消元法消去一個(gè)未知數(shù)．?題型04整體法解二元一次方程組解題思路：當(dāng)二元一次方程組的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，但又有一定的規(guī)律時(shí)，可以考慮利用整體消元法，從而使原方程組變成結(jié)構(gòu)比較簡單、求解方便的二元一次方程組.例如：1．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組ax+by=5cx+dy=?1的解為x=1y=2，則關(guān)于x，y的方程組a(x?3)+b(y+1)=5c(x?3)+d(y+1)=?1A．x=4y=1 B．x=1y=2 C．x=?2y=1【答案】A【分析】由題可知，關(guān)于x，y的方程組a(x?3)+b(y+1)=5c(x?3)+d(y+1)=?1的解為x?3=1y+1=2，進(jìn)而求出【詳解】解：∵關(guān)于x、y的二元一次方程組ax+by=5cx+dy=?1的解為x=1∴關(guān)于x，y的方程組a(x?3)+b(y+1)=5c(x?3)+d(y+1)=?1的解為x?3=1∴x=4y=1故選A．【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組．解題的關(guān)鍵是利用整體思想，得到x?3=1y+1=22．（2024·山西大同·模擬預(yù)測）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．換元法是指引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量代替原來的某些變量，變量求出結(jié)果之后，返回去求原變量的結(jié)果，換元法是數(shù)學(xué)中重要的解題方法，對于一些較繁較難的數(shù)學(xué)問題，若能根據(jù)問題的特點(diǎn)進(jìn)行巧妙的換元，則可以收到事半功倍的效果，下面以一個(gè)例題來說明．例1：計(jì)算：20163解：設(shè)2016=x，則原式=x請你利用上述方法解答下列問題：(1)計(jì)算：123456789×123456786?123456788×123456787；(2)已知方程組2a?3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3b=1.2，則方程組2x+2【答案】(1)?2(2)x=6.3【分析】本題考查了換元法解復(fù)雜式子以及二元一次方程組，整式的乘法運(yùn)算，解決本題（2）的關(guān)鍵是先求(x+2)、(y?1)的解，再求x、y的值．（1）仿照例題的思路，設(shè)123456786=x，分別表示原式=(x+3)?x?(x+2)(x+1)，然后進(jìn)行整式乘法運(yùn)算即可；（2）根據(jù)加減法，可得(x+2)、(y?1)的解，再根據(jù)解方程，可得答案．【詳解】（1）解：依題意，設(shè)123456786=x，123456789×123456786?123456788×123456787=(x+3)?x?(x+2)(x+1)===?2（2）解：∵方程組2a?3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3同理∴方程組2(x+2)?3(y?1)=133(x+2)+5(y?1)=30.9中∴x=6.3?題型05解二元一次方程組--同解方程組解題方法：若方程組解相同，則聯(lián)立兩個(gè)不含參數(shù)的方程，解得x，y的值，再代入含參數(shù)的方程組，即可求出參數(shù)的取值.1．（2020·廣東·中考真題）已知關(guān)于x，y的方程組ax+23y=?103（1）求a，b的值；（2）若一個(gè)三角形的一條邊的長為26，另外兩條邊的長是關(guān)于x的方程x【答案】（1）?43；12【分析】（1）關(guān)于x，y的方程組ax+23y=?103x+y=4x?y=2（2）將a、b的值代入關(guān)于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根據(jù)方程的兩個(gè)解與26【詳解】解：由題意列方程組：x+y=4x?y=2解得將x=3，y=1分別代入ax+23y=?10解得a=?43，∴a=?43，（2）x解得x=這個(gè)三角形是等腰直角三角形理由如下：∵(2∴該三角形是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查一次方程組、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正確答案的關(guān)鍵．2．（2024·廣東江門·一模）已知方程組5x?2y=3mx+5y=4與x?4y=?3(1)求m和n值，(2)已知△ABC的兩邊AB，AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2m?7x?3n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC【答案】(1)m=?1(2)S【分析】本題主要考查了同解方程組，解一元二次方程，解二元一次方程組，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同解方程組的定義，求出m、n的值．（1）解方程組5x?2y=3x?4y=?3得x=1y=1，根據(jù)同解方程組，得出方程組mx+5y=45x+ny=1的解為x=1y=1，代入求出（2）把m=?1n=?4代入x2m?7x?3n=0得出x2【詳解】（1）解：由方程組5x?2y=3x?4y=?3得：x=1∵方程組5x?2y=3mx+5y=4與x?4y=?3∴方程組mx+5y=45x+ny=1的解為x=1∴m+5=45+n=1解得：m=?1n=?4（2）解：把m=?1n=?4代入關(guān)于x的一元二次方程x2m解得：x1=3，∴△ABC的兩邊長分別為3，4，∵第三邊BC的長為5，又∵32∴△ABC為直角三角形，∴S△ABC?題型06解二元一次方程組—已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)解題方法：正常解方程組，用參數(shù)表示解，再將解代入到滿足的條件中，從而求出參數(shù)值.1．（2023·四川南充·中考真題）關(guān)于x，y的方程組3x+y=2m?1x?y=n的解滿足x+y=1，則4m÷A．1 B．2 C．4 D．8【答案】D【分析】法一：利用加減法解方程組，用n,m表示出x,y，再將求得的代數(shù)式代入x+y=1，得到m,n的關(guān)系，最后將法二：3x+y=2m?1①x?y=n②中①?②得到2m?n=2【詳解】解：法一：3x+y=2m?1①①+②得解得x=2m+n?1將x=2m+n?14代入②，解得∵x+∴2m+n?1得到2m?n=3，∴4法二：3x+y=2m?1①?②得：2x+2y=2m?n?1，即：∵x+y=1，∴2m?n=2×1+1=3，∴4故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)二元一次方程解的情況求參數(shù)，同底數(shù)冪除法，冪的乘方，熟練求出m,n的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山東聊城·中考真題）關(guān)于x，y的方程組2x?y=2k?3x?2y=k的解中x與y的和不小于5，則k的取值范圍為（

A．k≥8 B．k>8 C．k≤8 D．k<8【答案】A【分析】由兩式相減，得到x+y=k?3，再根據(jù)x與y的和不小于5列出不等式即可求解．【詳解】解：把兩個(gè)方程相減，可得x+y=k?3，根據(jù)題意得：k?3≥5，解得：k≥8．所以k的取值范圍是k≥8．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組、不等式，將兩式相減得到x與y的和是解題的關(guān)鍵．3．（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知k為整數(shù)，關(guān)于x，y的二元一次方程組x?2y=2k2x?y=k?3的解滿足2023<x?y<2025，則整數(shù)k值為（

A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】D【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，求不等式組的解集．先利用加減消元法推出x?y=k?1，再由2023<x?y<2025推出2024<k<2026，據(jù)此可得答案．【詳解】解：x?2y=2k①①+②得：3x?3y=3k?3，∴x?y=k?1，∵2023<x?y<2025，∴2023<k?1<2025，∴2024<k<2026，∴整數(shù)k值為2025，故選：D．4．（2021·江蘇揚(yáng)州·中考真題）已知方程組2x+y=7x=y?1的解也是關(guān)于x、y的方程ax+y=4的一個(gè)解，求a【答案】a=【分析】求出方程組的解得到x與y的值，代入方程計(jì)算即可求出a的值．【詳解】解：方程組2x+y=7①x=y?1②把②代入①得：2y?1解得：y=3，代入①中，解得：x=2，把x=2，y=3代入方程ax+y=4得，2a+3=4，解得：a=1【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解，以及二元一次方程的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．?題型07中考最熱考法之以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查一次方程(組)1．（2023·浙江衢州·中考真題）小紅在解方程7x3解：2×7x=4x?1……(1)請?jiān)谙鄳?yīng)的方框內(nèi)用橫線劃出小紅的錯(cuò)誤處．(2)寫出你的解答過程．【答案】(1)見解析；(2)x=1【分析】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解（1）根據(jù)等式的性質(zhì)，解一元一次方程的步驟即可判斷；（2）首先去分母、然后去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、次數(shù)化成1即可求解．【詳解】（1）（2）解：7x3去分母，得，2×7x=4x?1+6，移項(xiàng)，得：14x?4x=?1+6，合并同類頁，得：10x=5，解得：x=12．（2023·山西大同·模擬預(yù)測）（1）計(jì)算：??1（2）下面是小輝和小瑩兩位同學(xué)解方程組x?3y=?1,2x+3y=7解：令x?3y=?1小輝：由②得，3y=7?2x．③…………第一步將③代入①得，x?7?2x整理得，x?7?2x=?1．………………第三步解得x=?6．…………第四步將x=?6代入③，解得y=19∴原方程組的解為x=?6,y=小瑩：①+②得，3x=6．………………第一步解得x=2，…………第二步將x=0代入①得，2?3y=?1．…………第三步整理得，?3y=?1+2．………………第四步解得y=?1∴原方程組的解為x=2,y=?任務(wù)一：請你從中選擇一位同學(xué)的解題過程并解答下列問題．①我選擇___________同學(xué)的解題過程，該同學(xué)第一步變形的依據(jù)是___________；②該同學(xué)從第___________開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是___________；任務(wù)二：直接寫出該方程組的正確解；任務(wù)三：除以上兩位同學(xué)的方法，請你再寫出一種方法（不用求解）．【答案】（1）?5；（2）①小輝；等式的基本性質(zhì)1（或等式的兩邊同時(shí)加（或減）同一個(gè)代數(shù)法，所得結(jié)果仍是等式）；②三；去括號(hào)時(shí)，括號(hào)外是“?”號(hào)，去年括號(hào)后未給括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)進(jìn)行變號(hào)；任務(wù)二：x=2y=1；任務(wù)三：【分析】（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，有理數(shù)的乘方以及特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）任務(wù)一：①根據(jù)小輝或小瑩的解法分析，根據(jù)等式的基本性質(zhì)1即可求解；②根據(jù)去括號(hào)時(shí)，括號(hào)外是“?”號(hào)，去年括號(hào)后未給括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)進(jìn)行變號(hào)；任務(wù)二：根據(jù)加減消元法解二元一次方程組；任務(wù)三：②?【詳解】解：原式=1+?8=1+?4（2）任務(wù)一：①小輝；等式的基本性質(zhì)1（或等式的兩邊同時(shí)加（或減）同一個(gè)代數(shù)法，所得結(jié)果仍是等式）；②三；去括號(hào)時(shí)，括號(hào)外是“?”號(hào)，去年括號(hào)后未給括號(hào)內(nèi)的第二項(xiàng)進(jìn)行變號(hào)；或①小瑩；等式的基本性質(zhì)1（或等式的兩邊同時(shí)加（或減）同一個(gè)代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式）；②四；移項(xiàng)未變號(hào)；任務(wù)二：令x?3y=?1①+②解得：x=2將x=2代入①得，2?3y=?1解得：y=1正確的解為x=2y=1任務(wù)三：②?得9y=9解得：y=1，代入①得x?3=?1，解得：x=2【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，有理數(shù)的乘方以及特殊角的三角函數(shù)值，解二元一次方程組，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2024·浙江杭州·一模）某同學(xué)解方程0.10.2解：0.1兩邊同時(shí)乘以10，得12合并同類項(xiàng)，得16系數(shù)化1，得x=60……③請寫出解答過程中最早出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟序號(hào)，并寫出正確的解答過程．【答案】最早出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是①，正確的解法見解析．【分析】此題主要考查了解一元一次方程，第1步是將方程中未知數(shù)的系數(shù)化為整數(shù)，而不是去分母可得出錯(cuò)誤的步驟序號(hào)，先將系數(shù)化為整數(shù)得12x?1【詳解】解：最早出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是①，正確的解法如下：對于方程0.10.2將系數(shù)化為整數(shù)，得12合并同類項(xiàng)，得16系數(shù)化1，得x=6．4．（2024·江西吉安·二模）解方程組2x?3y=13x+6y=?16小春：解：將方程x+6y=?16變形為x=?6y?16,?．小冬：解：將方程2x?3y=13兩邊同乘2，得到4x?6y=26，再與另一個(gè)方程相加，得到5x=10,?．(1)小春解法的依據(jù)是______，運(yùn)用的方法是______；小冬解法的依據(jù)是______，運(yùn)用的方法是______．（填序號(hào)）①等式的性質(zhì)1；②等式的性質(zhì)2；③加法的結(jié)合律；④代入消元法；⑤加減消元法．(2)請選擇你認(rèn)為更簡捷的解法，完成解答過程．【答案】(1)①，④；②，⑤(2)解答過程見詳解【分析】本題考查了等式性質(zhì)、代入法和加減法消元解二元一次方程組．（1）利用等式的性質(zhì)進(jìn)行消元，消元的目的就是將二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程；（2）用代入法消元解二元一次方程組即可．【詳解】（1）解：小春的解法依據(jù)是等式的性質(zhì)1，運(yùn)用的方法是代入消元法；小東的解法依據(jù)是等式的性質(zhì)2，運(yùn)用的方法是加減消元法；故答案為：①④；②⑤（2）將方程2x?3y=13兩邊同乘2，得到4x?6y=26，再與另一個(gè)方程相加，得5x=10，解得x=2．將x=2代入方程x+6y=?16，得y=∴原方程組的解為x=2y=?3命題點(diǎn)三一元一次方程（組）的應(yīng)用?題型01列一元一次方程組1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺：若將繩四折測之，繩多一尺．繩長、井深各幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺；把繩四折來量，井外余繩一尺．繩長、井深各幾尺？若設(shè)繩長為x尺，則可列方程為（

）A．13x?4=1C．13x?4=1【答案】A【分析】本題主要考查了一元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，利用井的深度不變建立方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)繩長為x尺，列方程為13故選A．2．（2024·福建·中考真題）今年我國國民經(jīng)濟(jì)開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會(huì)消費(fèi)增長較快，第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額120327億元，比去年第一季度增長4.7%，求去年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額．若將去年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額設(shè)為x億元，則符合題意的方程是（

A．1+4.7%x=120327 C．x1+4.7%=120327【答案】A【分析】本題主要考查了列一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，找出等量關(guān)系，根據(jù)今年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額120327億元，比去年第一季度增長4.7%【詳解】解：將去年第一季度社會(huì)消費(fèi)品零售總額設(shè)為x億元，根據(jù)題意得：1+4.7%故選：A．3．（2024·湖北·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)關(guān)于“方程”的問題：“今有牛五、羊二，直金十兩．牛二、羊五，直金八兩．問牛羊各直金幾何？”譯文：“今有牛5頭，羊2頭，共值金10兩．牛2頭，羊5頭，共值金8兩．問牛、羊每頭各值金多少？”若設(shè)牛每頭值金x兩，羊每頭值金y兩，則可列方程組是（

）A．5x+2y=102x+5y=8B．2x+5y=105x+2y=8C．5x+5y=102x+5y=8【答案】A【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．因?yàn)槊款^牛值金x兩，每頭羊值金y兩，根據(jù)“牛5頭，羊2頭，共值金10兩；牛2頭，羊5頭，共值金8兩”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：根據(jù)題意得：5x+2y=102x+5y=8故選：A．4．（2024·山東威海·中考真題）《九章算術(shù)》是我國古老的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，書中提到這樣一道題目：以繩測井．若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺．繩長、井深各幾何？題目大意是：用繩子測量水井的深度．如果將繩子折成三等份，一份繩長比井深多4尺；如果將繩子折成四等份，一份繩長比井深多1尺．繩長、井深各是多少尺？若設(shè)繩長x尺，井深y尺，則符合題意的方程組是（

）A．3x?y=44x?y=1B．3x+4=y4x+1=yC．x3【答案】C【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，此題中的等量關(guān)系有：①將繩三折測之，繩多四尺；②繩四折測之，繩多一尺，不變的是井深，據(jù)此即可得方程組．正確理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)繩長x尺，井深y尺，依題意，得：x3故選：C．5．（2023·吉林·中考真題）《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問題，其譯文為：有人合伙買羊，每人出5錢，還缺45錢；每人出7錢，還缺3錢．問合伙人數(shù)是多少？為解決此問題，設(shè)合伙人數(shù)為x人，可列方程為．【答案】5x+45=7x+3【分析】根據(jù)題中錢的總數(shù)列一元一次方程即可．【詳解】解：設(shè)合伙人數(shù)為x人，根據(jù)題意列方程5x+45=7x+3；故答案為：5x+45=7x+3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析列方程是解題的關(guān)鍵．6．（2022·貴州貴陽·中考真題）“方程”二字最早見于我國《九章算術(shù)》這部經(jīng)典著作中，該書的第八章名為“方程”如：從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)，即可表示方程x+4y=23，則表示的方程是．【答案】x+2y=32【分析】根據(jù)橫著的算籌為10，豎放的算籌為1，依次表示x,y的系數(shù)與等式后面的數(shù)字，即可求解．【詳解】解：表示的方程是x+2y=32故答案為：x+2y=32【點(diǎn)睛】本題考查了列二元一次方程組，理解題意是解題的關(guān)鍵．?題型02一元一次方程的應(yīng)用1．（2024·海南·中考真題）端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗．某商店售賣某品牌瘦肉粽和五花肉粽．請依據(jù)以下對話，求促銷活動(dòng)前每個(gè)瘦肉粽、五花肉粽的售價(jià)．【答案】促銷活動(dòng)前每個(gè)瘦肉粽的售價(jià)為15元，則促銷活動(dòng)前每個(gè)五花肉粽的售價(jià)10元．【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．設(shè)促銷活動(dòng)前每個(gè)瘦肉粽的售價(jià)為x元，則促銷活動(dòng)前每個(gè)五花肉粽的售價(jià)x?5元，根據(jù)題意列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)促銷活動(dòng)前每個(gè)瘦肉粽的售價(jià)為x元，則促銷活動(dòng)前每個(gè)五花肉粽的售價(jià)x?5元，依題意得0.8×10x+5解得x=15，x?5=10，答：促銷活動(dòng)前每個(gè)瘦肉粽的售價(jià)為15元，則促銷活動(dòng)前每個(gè)五花肉粽的售價(jià)10元．2．（2024·遼寧·中考真題）甲、乙兩個(gè)水池注滿水，蓄水量均為36m3、工作期間需同時(shí)排水，乙池的排水速度是(1)求甲池的排水速度．(2)工作期間，如果這兩個(gè)水池剩余水量的和不少于24m【答案】(1)4(2)4小時(shí)【分析】本題考查了列一元一次方程解應(yīng)用題，一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)甲池的排水速度為xm3/（2）設(shè)排水a(chǎn)小時(shí)，則36×2?4+8【詳解】（1）解：設(shè)甲池的排水速度為xm由題意得，36?3x=236?8×3解得：x=4，答：甲池的排水速度為4m（2）解：設(shè)排水a(chǎn)小時(shí)，則36×2?4+8解得：a≤4，答：最多可以排4小時(shí)．3．（2024·北京·中考真題）為防治污染，保護(hù)和改善生態(tài)環(huán)境，自2023年7月1日起，我國全面實(shí)施汽車國六排放標(biāo)準(zhǔn)6b階段（以下簡稱“標(biāo)準(zhǔn)”）.對某型號(hào)汽車，“標(biāo)準(zhǔn)”要求A類物質(zhì)排放量不超過35mg/km，A，B兩類物質(zhì)排放量之和不超過50mg/km.已知該型號(hào)某汽車的A，B兩類物質(zhì)排放量之和原為92mg/km.經(jīng)過一次技術(shù)改進(jìn)，該汽車的A類物質(zhì)排放量降低了50%，B類物質(zhì)排放量降低了【答案】符合，理由見詳解【分析】本題考查了列一元一次方程解應(yīng)用題，正確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．設(shè)技術(shù)改進(jìn)后該汽車的A類物質(zhì)排放量為xmg/km，則B類物質(zhì)排放量為40?xmg/km，根據(jù)汽車的【詳解】解：設(shè)技術(shù)改進(jìn)后該汽車的A類物質(zhì)排放量為xmg/km，則B由題意得：x1?50解得：x=34，∵34<35，∴這次技術(shù)改進(jìn)后該汽車的A類物質(zhì)排放量符合“標(biāo)準(zhǔn)”．4．（2024·河北·中考真題）如圖，有甲、乙兩條數(shù)軸．甲數(shù)軸上的三點(diǎn)A，B，C所對應(yīng)的數(shù)依次為?4，2，32，乙數(shù)軸上的三點(diǎn)D，E，F(xiàn)所對應(yīng)的數(shù)依次為0，x，12．(1)計(jì)算A，B，C三點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)的和，并求ABAC(2)當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D上下對齊時(shí)，點(diǎn)B，C恰好分別與點(diǎn)E，F(xiàn)上下對齊，求x的值．【答案】(1)30，1(2)x=2【分析】本題考查的是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的含義，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意是解本題的關(guān)鍵；（1）直接列式求解三個(gè)數(shù)的和即可，再分別計(jì)算AB,AC，從而可得答案；（2）由題意可得，對應(yīng)線段是成比例的，再建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵甲數(shù)軸上的三點(diǎn)A，B，C所對應(yīng)的數(shù)依次為?4，2，32，∴?4+2+32=30，AB=2??4=2+4=6，∴ABAC（2）解：∵點(diǎn)A與點(diǎn)D上下對齊時(shí)，點(diǎn)B，C恰好分別與點(diǎn)E，F(xiàn)上下對齊，∴DEAB∴x6解得：x=2；QUOTE?題型03二元一次方程組的應(yīng)用1．（2023·安徽·中考真題）根據(jù)經(jīng)營情況，公司對某商品在甲、乙兩地的銷售單價(jià)進(jìn)行了如下調(diào)整：甲地上漲10%，乙地降價(jià)5元，已知銷售單價(jià)調(diào)整前甲地比乙地少10元，調(diào)整后甲地比乙地少1【答案】調(diào)整前甲、乙兩地該商品的銷售單價(jià)分別為40,50元【分析】設(shè)調(diào)整前甲、乙兩地該商品的銷售單價(jià)分別為x,y元，根據(jù)題意，列出二元一次方程組，解方程組即可求解．【詳解】解：設(shè)調(diào)整前甲、乙兩地該商品的銷售單價(jià)分別為x,y元，根據(jù)題意得，x+10=y解得：x=40答：調(diào)整前甲、乙兩地該商品的銷售單價(jià)分別為40,50元【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．2．（2023·西藏·中考真題）列方程（組）解應(yīng)用題：如圖，巴桑家客廳的電視背景墻是由10塊形狀大小相同的長方形墻磚砌成．

(1)求一塊長方形墻磚的長和寬；(2)求電視背景墻的面積．【答案】(1)1.2m，0.3(2)3.6m【分析】（1）首先設(shè)一塊長方形墻磚的長為xm，寬為ym，然后用x,y的代數(shù)式分別表示出長方形的兩條長邊分別為2xm，x+4y（2）根據(jù)長方形的面積計(jì)算公式即可得出答案．【詳解】（1）解：設(shè)一塊長方形墻磚的長為xm，寬為y依題意得：2x=x+4yx+y=1.5解得：x=1.2y=0.3答：一塊長方形墻磚的長為1.2m，寬為0.3（2）求電視背景墻的面積為：2×1.2×1.5=3.6m答：電視背景墻的面積為3.6m【點(diǎn)睛】此題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，長方形的性質(zhì)，根據(jù)長方形的兩組對邊分別相等列出方程組是解答此題的關(guān)鍵．3.（2021·湖南邵陽·中考真題）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校計(jì)劃舉行“學(xué)黨史·感黨恩”知識(shí)競答活動(dòng)，并計(jì)劃購置籃球、鋼筆、筆記本作為獎(jiǎng)品．采購員劉老師在某文體用品購買了做為獎(jiǎng)品的三種物品，回到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)發(fā)票被弄花了，有幾個(gè)數(shù)據(jù)變得不清楚，如圖．請根據(jù)圖所示的發(fā)票中的信息，幫助劉老師復(fù)原弄花的數(shù)據(jù)，即分別求出購置鋼筆、筆記本的數(shù)量及對應(yīng)的金額．【答案】購置鋼筆15支，金額為225元，購置筆記本34本，金額為175元【分析】根據(jù)題意可知鋼筆和筆記本一共50個(gè)，兩種物品的金額1000-600=400元，再根據(jù)題意列二元一次方程組即可【詳解】解：設(shè)鋼筆買了x支，筆記本買了y本根據(jù)題意可得：鋼筆和筆記本一共56-6=50個(gè)鋼筆和筆記本兩種物品的金額一共1000-600=400元?jiǎng)t有x+y=50解得：x=15則購置筆記本金額為：35×5=175元購置鋼筆金額為：15×15=225元答：購置鋼筆15支，金額為225元，購置筆記本34本，金額為175元【點(diǎn)睛】本題考查列二元一次方程組解決實(shí)際問題，根據(jù)已知條件正確的找出等量關(guān)系是關(guān)鍵4．（2021·湖北黃石·中考真題）我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”譯文：有若干只雞與兔在同一個(gè)籠子里，從上面數(shù)有35個(gè)頭，從下面數(shù)有94只腳，問籠中各有幾只雞和兔？根據(jù)以上譯文，回答以下問題：（1）籠中雞、兔各有多少只？（2）若還是94只腳，但不知道頭多少個(gè)，籠中雞兔至少30只且不超過40只．雞每只值80元，兔每只值60元，問這籠雞兔最多值多少元？最少值多少元？【答案】（1）雞有23只，兔有12只；（2）這籠雞兔最多值3060元，最少值2060元．【分析】（1）設(shè)籠中有x只雞，y只兔，根據(jù)上有35個(gè)頭、下有94只腳，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)籠中有m只雞，n只兔，總價(jià)值為w，根據(jù)“籠中雞兔至少30只且不超過40只”列出不等式，再根據(jù)“雞每只值80元，兔每只值60元”得到一元一次函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：設(shè)籠中有x只雞，y只兔，根據(jù)題意得：x+y=352x+4y=94解得：x=23y=12答：雞有23只，兔有12只；（2）設(shè)籠中有m只雞，n只兔，總價(jià)值為w元，根據(jù)題意得：2m+4n=94，即m=47?2n，∵30≤m+n≤40，即30≤47?2n+n≤40，解得：7≤n≤17，∴w=80m+60n=8047?2n整理得：w=?100n+3760，∵?100<0，∴w隨n的增大而減少，∴當(dāng)n=7時(shí)，w有最大值，最大值為3060，當(dāng)n=17時(shí)，w有最小值，最小值為2060，答：這籠雞兔最多值3060元，最少值2060元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．?題型04中考最熱考法之以跨學(xué)科背景考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)用一根質(zhì)地均勻的輕質(zhì)木桿和若干個(gè)鉤碼做實(shí)驗(yàn)．如圖所示，在輕質(zhì)木桿O處用一根細(xì)線懸掛，左端A處掛一重物，右端B處掛鉤碼，每個(gè)鉤碼質(zhì)量是500g．若OA=15cm，OB=30cm，掛3個(gè)鉤碼可使輕質(zhì)木桿水平位置平衡．若輕質(zhì)木桿的質(zhì)量忽略不計(jì)，設(shè)這個(gè)重物的質(zhì)量為xA．15x=30×500×3 B．30x=15×500×3C．3×15x=30×500 D．3×30x=15×500【答案】A【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．利用重物的質(zhì)量×OA的長度=3個(gè)鉤碼的質(zhì)量×OB的長度，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解【詳解】解：依題意得：15x=30×500×3．故選：A．2．（2024·山西晉中·三模）公元前3世紀(jì)，古希臘科學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)：若兩物體與支點(diǎn)的距離與其重量成反比，則杠桿平衡．后來人們把它歸納為“杠桿原理”．通俗地說，杠桿原理為：阻力×阻力臂=動(dòng)力×動(dòng)力臂．某野外作業(yè)人員，因工作需要，用橇棍撬動(dòng)一塊2000N的大石頭，經(jīng)過分析后，撬棍的阻力臂是動(dòng)力臂的14則所需要的動(dòng)力至少為【答案】500【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是關(guān)鍵．設(shè)所需要的動(dòng)力至少為xN【詳解】解：設(shè)所需要的動(dòng)力至少為xN由題意得：2000×1解得：x=500，即攪動(dòng)這塊大石頭至少需要的動(dòng)力是500N故答案為：500．3．（2024·江蘇泰州·二模）【背景知識(shí)】杠桿原理：杠桿平衡時(shí)，動(dòng)力×動(dòng)力臂=阻力×阻力臂．【知識(shí)應(yīng)用】桿秤是利用杠桿原理來稱物體質(zhì)量的簡易衡器，傳說木桿秤是魯班發(fā)明的．由秤桿、秤錘、提紐、秤盤等組成．如圖1．已知秤錘質(zhì)量為0.2kg，秤盤與拎著的提紐間力臂長2cm，當(dāng)秤桿平衡時(shí)，秤錘與提紐間力臂長22【拓展應(yīng)用】天平也是利用杠桿原理來稱物體質(zhì)量的衡器，天平是一種等臂杠桿，當(dāng)天平平衡時(shí)，物體質(zhì)量=砝碼質(zhì)量．如圖2所示的天平制造得不精確，天平的兩臂長略有不同．把一個(gè)物體放在該天平的一個(gè)托盤里，在另一個(gè)托盤里放砝碼使天平平衡，稱得物體質(zhì)量為a；再作第二次測量，把物體換到天平的另一個(gè)托盤里，此時(shí)稱得物體的質(zhì)量為b．試用含a、b的代數(shù)式表示該物體的真實(shí)質(zhì)量，并說明理由．【答案】（1）2.2kg（2）ab【分析】本題考查了一元一次方程，算術(shù)平方根的實(shí)際應(yīng)用，找到題中等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．（1）秤盤中物體的質(zhì)量為m，則根據(jù)杠桿原理可得0.2×22=2m，即可求解；（2）設(shè)物體的真實(shí)質(zhì)量為m，天平的兩臂長分別為l1，l2，則根據(jù)杠桿原理可得ml【詳解】（1）設(shè)秤盤中物體的質(zhì)量為m，則根據(jù)杠桿原理可得，0.2×22=2m，解得m=2.2kg答：秤盤中物體的質(zhì)量為2.2kg（2）設(shè)物體的真實(shí)質(zhì)量為m，天平的兩臂長分別為l1，