2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教B版必修第四冊教學(xué)課件 第十一章-11.1.5旋轉(zhuǎn)體

11.1.5旋轉(zhuǎn)體第十一章1.會用旋轉(zhuǎn)的方法定義圓柱、圓錐、圓臺、球，理解相關(guān)概念，了解用集合的觀點定義球.2.會作旋轉(zhuǎn)體的軸截面，并利用軸截面解決問題.3.會構(gòu)造與球的截面圓相關(guān)的直角三角形，了解球面距離，知道球的表面積計算公式.4.了解組合體的概念，培養(yǎng)通過分解、組合或割補等方法處理不規(guī)則幾何體的能力.學(xué)習(xí)目標(biāo)重點：對旋轉(zhuǎn)體概念的再認(rèn)識.難點：球面距離的概念和應(yīng)用，應(yīng)用旋轉(zhuǎn)體的軸截面解決問題，組合體的分解與合成.圓柱可看成以

所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體.一、圓柱、圓錐、圓臺矩形的一邊圓錐可看成以

所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體.圓臺可看成以

所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角梯形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體.直角三角形一直角邊直角梯形垂直于底邊的腰圓柱、圓錐、圓臺的形成方式構(gòu)成的幾何體都是旋轉(zhuǎn)體，其中，旋轉(zhuǎn)軸稱為旋轉(zhuǎn)體的

，在軸上的邊（或它的長度）稱為旋轉(zhuǎn)體的

，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面稱為旋轉(zhuǎn)體的

，不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)體的

.而且，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都稱為

.在旋轉(zhuǎn)體中，通過軸的平面所得到的截面通常簡稱為

.軸高底面?zhèn)让婺妇€軸截面圓柱、圓錐、圓臺的軸截面分別是矩形、等腰三角形、等腰梯形.旋轉(zhuǎn)體側(cè)面的面積稱為旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積，側(cè)面積與底面積之和稱為旋轉(zhuǎn)體的

（或全面積）.圓柱的側(cè)面展開圖是一個

，圓錐的側(cè)面展開圖是一個

，所以，如果知道它們的底面半徑以及母線長，就可以算出它們的側(cè)面積與表面積.圓臺來說，側(cè)面展開圖如圖所示，其面積可看成兩個扇形的面積之差.矩形表面積扇形球面可以看成一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的

；球面圍成的幾何體，稱為球.形成球面的半圓的圓心稱為球的球心，連接球面上一點和球心的線段稱為球的半徑，連接球面上兩點且通過球心的線段稱為球的直徑.一個球可以用表示它的球心的字母來表示，如圖中的球可表示為球O.二、球曲面平面α截球面所得到的交線是以O(shè)′為圓心，以

為半徑的一個圓.球的截面是一個圓面（圓及其內(nèi)部）.球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓稱為球的大圓，被不經(jīng)過球心的平面截得的圓稱為球的小圓.如果球的半徑為R，那么球的表面積為

.

例1一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征如圖所示的幾何體中是圓臺的為

（填序號）.

①

②

③【解析】

①符合圓臺的結(jié)構(gòu)特征，是圓臺；②不是圓臺，因為它的上、下兩個底面不平行；③是由兩個圓臺組合而成的，不符合圓臺的結(jié)構(gòu)特征，不是圓臺.【答案】①例2有下列說法：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，這兩點的連線是圓柱的母線；②以直角三角形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐；③圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；④以直角梯形的一腰所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓臺；⑤在圓臺上、下底面圓周上各取一點，這兩點的連線是圓臺的母線.其中正確的有

個.【解析】

①不符合圓柱母線的定義，故①錯.②只有繞直角三角形的一直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體才是圓錐.而當(dāng)以斜邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周時，旋轉(zhuǎn)形成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個共底面的圓錐組成的幾何體，故②錯.③符合圓錐母線的定義，正確.④以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓臺，故④錯.⑤不符合圓臺母線的定義，故⑤錯.【答案】11.變式訓(xùn)練下列說法正確的是

.（填序號）①圓錐的母線長一定等于底面圓直徑；②圓柱的母線與軸垂直；③圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的；④圓臺的母線與軸平行；⑤圓錐可以看成圓柱的上底面收縮到圓心時形成的空間幾何體；⑥等腰直角三角形繞底邊中線所在的直線旋轉(zhuǎn)半周形成的幾何體是圓錐；⑦用一個平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫圓臺.③⑤⑥2.判斷下列各命題是否正確.如果不正確，請說明理由.①一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺；②圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形；③到定點的距離等于定長的點的集合是球.變式訓(xùn)練【解】①不正確.理由：直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個圓柱與一個圓錐組成的簡單組合體，如圖所示.②正確.③不正確.理由：到定點的距離等于定長的點的集合是球面.解題歸納圓柱、圓錐、圓臺和球都是由一個平面圖形繞其特定邊（弦）所在直線旋轉(zhuǎn)而成的幾何體，必須準(zhǔn)確認(rèn)識各旋轉(zhuǎn)體對旋轉(zhuǎn)軸的具體要求.只有理解了各旋轉(zhuǎn)體的形成過程，才能明確由此產(chǎn)生的母線、軸、底面等概念，進而判斷與這些概念有關(guān)的命題的正誤.例二

球在下列說法中，正確的是

（填序號）.①空間中到定點的距離等于定長的點的集合構(gòu)成球；②空間中到定點的距離等于定長的點的集合構(gòu)成球面；③一個圓繞其直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)半周形成的曲面圍成的幾何體是球；④球的對稱軸有無數(shù)條；⑤用平面截球，隨著平面的角度不同，截面可能不是圓面.【解析】

①錯，空間中到定點的距離小于或等于定長的點的集合構(gòu)成球；②正確；③正確；④正確；⑤錯.【答案】

②③④例三旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征圖中的幾何體可由一平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)360°形成，該平面圖形是

（）

ABCD【解析】

由旋轉(zhuǎn)體可知，上部是圓錐，下部是圓臺，該幾何體可由一平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)360°形成，此平面圖形是A.【答案】A變式訓(xùn)練下列平面圖形中，可以通過圍繞定直線l旋轉(zhuǎn)得到如圖所示幾何體的是

（）ABCDB例三簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征如圖所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.當(dāng)梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周時，其他各邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成一個幾何體，試描述該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.【解題提示】關(guān)鍵是弄清簡單組合體由哪幾部分組成.【解】如圖所示，旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是由一個圓柱挖去兩個圓錐后剩余部分形成的幾何體.解題歸納簡單組合體的判斷方法對于不規(guī)則平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的問題，首先要將原平面圖形分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圓（半圓或四分之一圓）等基本圖形，然后結(jié)合圓柱、圓臺、圓錐、球的形成過程進行分析.變式訓(xùn)練描述如圖所示的幾何體的結(jié)構(gòu)特征.【解】題圖①所示的幾何體是由兩個圓臺拼接而成的組合體；題圖②所示的幾何體是由一個圓臺挖去一個圓錐得到的幾何體；題圖③所示的幾何體是在一個圓柱中挖去一個三棱柱后得到的幾何體.①②③四圓柱、圓錐、圓臺的表面積例如圖所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5cm，BC＝16cm，AD＝4cm.求以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積.

解題歸納圓柱、圓錐、圓臺的表面積的求解步驟（1）得到空間幾何體的平面展開圖.（2）依次求出各個平面圖形的面積.（3）將各平面圖形的面積相加.五旋轉(zhuǎn)體中的計算問題例一個圓臺的母線長為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2，求圓臺的高.

解題歸納旋轉(zhuǎn)體中基本量的計算方法求解圓柱、圓錐、圓臺中的基本量時，我們一般是作出旋轉(zhuǎn)體的軸截面，通過構(gòu)造直角三角形或直角梯形求解.變式訓(xùn)練圓臺的兩底面面積分別為π，49π，平行于底面的截面面積的2倍等于兩底面面積之和，求圓臺的高被截面分成的兩部分的比.【解】畫出圓臺的軸截面，如圖所