量子力學(xué)教程

§2.3薛定諤方程簡(jiǎn)述經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)及運(yùn)動(dòng)方程類似地，詳見(jiàn)曾書(shū)，微觀粒子狀態(tài)的變化規(guī)律也應(yīng)該遵循某一方程.一、薛定諤方程應(yīng)該滿足的條件1、方程應(yīng)當(dāng)是對(duì)時(shí)間的一階微分方程這是由波函數(shù)完全描寫(xiě)的基本假設(shè)所決定.2、方程是線性的（只包含一次項(xiàng)）即如果和是方程的解，那么它們的線性迭加也是方程的解，這是態(tài)迭加原理的要求.3、這個(gè)方程的系數(shù)不應(yīng)該包含狀態(tài)的參量.如動(dòng)量、能量等.但可含有，因?yàn)橛赏鈭?chǎng)決定，不是粒子的狀態(tài)參量.二、自由粒子波函數(shù)所滿足的微分方程∵（1）將上式兩邊對(duì)時(shí)間求一次偏導(dǎo)，得：或（2）∵上式還包含狀態(tài)參量——能量，故不是我們所要求的方程.將（1）式兩邊對(duì)求二次偏導(dǎo)，得到：同理：，上三式相加得：（3）令——Laplace算符則（3）式簡(jiǎn)化為：（4）對(duì)自由粒子：（5）將（5）代入（4）得：（6）比較（2）、（6）兩式得：（7）顯然它滿足前面所述條件.三、薛定諤方程1、能量算符和動(dòng)量算符由（2）式可看出與對(duì)波函數(shù)的作用相當(dāng)：（能量算符）（8）將（4）式改寫(xiě)成：由此知（動(dòng)量算符）（9）（劈行算符）問(wèn)：（）2、薛定諤方程現(xiàn)在利用關(guān)系式（8）、（9）來(lái)建立在立場(chǎng)中粒子波函數(shù)所滿足的微分方程.設(shè)粒子在力場(chǎng)中的勢(shì)能為，則：（10）上式兩邊乘以波函數(shù)得：將（8）、（9）式代入得：（11）這個(gè)方程為薛定諤方程.（）注：上面我們只是建立了薛定諤方程，而不是推導(dǎo)，建立的方式有多種.薛定諤方程的正確與否靠實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn).3、關(guān)于薛定諤方程（詳見(jiàn)曾書(shū)）四、多粒子體系的薛定諤方程∵上式兩邊乘以波函數(shù)并做代換；其中則有：上式就是多粒子體系的薛定諤方程.§2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律一、幾率隨時(shí)間的變化幾率： （1）則： （2）Sch-eq： （3）及（4）（3）、（4）代入（2）式有：（5）令：（6）則（5）式可寫(xiě)成：（7）這方程具有連續(xù)性方程的形式為了說(shuō)明（7）式和矢量的意義，下面考察（7）式對(duì)空間任意的一個(gè)體積的積分：由高斯定理：可得到：（8）面積分是對(duì)包圍體積的封閉面進(jìn)行的，（8）式左邊表示單位時(shí)間內(nèi)體積中幾率的增加，右邊是矢量在體積的邊界上法向分量的面積分，因而很自然的可以把解釋為幾率流密度矢量.表示單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)面上單位體積的幾率.（8）式也說(shuō)明單位時(shí)間內(nèi)體積中增加的幾率，等于從體積的邊界上而流進(jìn)內(nèi)的幾率.若，則：（9）若波函數(shù)是歸一的，即，也有，即將保持歸一的性質(zhì)，而不隨時(shí)間改變.二、質(zhì)量密度和質(zhì)量流密度（守恒定律）1.質(zhì)量密度：2.質(zhì)量流密度：3.質(zhì)量守恒定律：以乘以方程（5）得：（10）4.電荷守恒定律：其中：三、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件單值，有限，連續(xù)（∵和滿足連續(xù)性方程）§2.5定態(tài)薛定諤方程一、定態(tài)sch-eq：如果不顯含時(shí)間，則薛定諤方程的解可用分離變量法求之.Sch-eq:（1）設(shè)：（2）將（2）代入（1）式中：上述方程兩邊除以得：（3）（3）式恒成立的條件是左邊和右邊都等于同一個(gè)函數(shù)，設(shè)這個(gè)常數(shù)為，則有：（4）（5）方程（4）解為：（6）C為任意常數(shù)，將（6）代入（2）式得：（7）這個(gè)波函數(shù)與時(shí)間的關(guān)系是正弦式的，它的角頻率，（7）式所示的波函數(shù)稱為定態(tài)波函數(shù).定態(tài)的特點(diǎn)：粒子的幾率密度和幾率流密度與時(shí)間無(wú)關(guān)∵顯然，能量具有確定的值（可由自由粒子的波函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證）各力學(xué)量的平均值不隨時(shí)間變化二、哈密頓算符的本征方程以乘方程（4）兩邊，乘方程（5）兩邊，可以看出定態(tài)波函數(shù)滿足下列兩方程（8）（9）從上面方程可看出：與相當(dāng)，它們都稱為能量算符，又由于算符是由代換而來(lái)，在經(jīng)典力學(xué)中稱為哈密頓函數(shù)，所以這種算符又稱為哈密頓算符，通常以表示，這樣（9）式可寫(xiě)為：（10）這種類型的方程稱為本征值方程，被稱為算符的本征值，稱為算符的本征方程.討論定態(tài)問(wèn)題，就是要求出（或）和，含時(shí)間的薛定諤方程的一般解，可以寫(xiě)成這些定態(tài)波函數(shù)的線性迭加：為常數(shù).作業(yè)：第52頁(yè)，2.1，2.2補(bǔ)充作業(yè)：試判定下列波函數(shù)是否為定態(tài)波函數(shù)（1）（2）§2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱從這一節(jié)起，我們將用薛定諤方程處理幾個(gè)簡(jiǎn)單的定態(tài)問(wèn)題，研究這些問(wèn)題，不僅因?yàn)樗鼈兒?jiǎn)單，容易得到嚴(yán)密的結(jié)果，而更重要的是因?yàn)檫@些問(wèn)題具有典型性，處理方法帶有一般性，是研究各種復(fù)雜問(wèn)題的基礎(chǔ).此外，微觀體系的許多特性，可以在這些問(wèn)題中明顯地表露出來(lái)，通過(guò)學(xué)習(xí)，可以進(jìn)一步加深我們對(duì)微觀現(xiàn)象所具有的特性的認(rèn)識(shí).粒子的勢(shì)能在許多情況中，如金屬中的電子、原子中的電子、原子核中的質(zhì)子和中子等粒子的運(yùn)動(dòng)有一個(gè)共同點(diǎn)，即粒子的運(yùn)動(dòng)都被限制在有限的空間范圍內(nèi)，或者說(shuō)，粒子處于束縛態(tài).為了分析束縛態(tài)粒子的共同特點(diǎn)，我們可以將上述情況簡(jiǎn)單化、理想化，建立無(wú)限深勢(shì)阱模型.粒子的勢(shì)能為：如下圖所示：粒子的能級(jí)和波函數(shù)在勢(shì)阱外：[]（1）在勢(shì)阱內(nèi)：因?yàn)?，所以其定態(tài)薛定諤方程為：（2）令（3）則方程（2）可化為標(biāo)準(zhǔn)形式：（4）其通解為：（5）式中，為兩個(gè)待定常數(shù)，單從數(shù)學(xué)上看，為任何值方程（2）都有解，然而，根據(jù)波函數(shù)連續(xù)性要求，在勢(shì)阱邊界上，有（6）（7）由（5）式和（6）式得：令波函數(shù)不能恒為零，而不能為零，所以必須，于是（8）再根據(jù)（7）式得所以必須滿足：取負(fù)數(shù)給不出新的波函數(shù).這告訴我們k只能取下列值(9)由(3）式可知，粒子的能量只能取下列值：(10)這就是說(shuō)，并非任何E值對(duì)應(yīng)的波函數(shù)都滿足問(wèn)題所要求的邊值條件（6）、（7），而只有當(dāng)能量值?。?0）式所給出那些值時(shí)對(duì)應(yīng)的波函數(shù)才有滿足邊值條件，這樣我們就能很自然地得到，被束縛在阱中的粒子的能量只能取一系列離散的數(shù)值，即能量是量子化的.將（9）式代入到（8）式中，并把勢(shì)阱外的波函數(shù)也包括在內(nèi)，我們就得到能量為的波函數(shù).（11），波函數(shù)無(wú)意義（11）式中A可由歸一化條件確定知：最后得到能量為的歸一化波函數(shù)為：討論（留給同學(xué)們自己做）提示：1）關(guān)于能級(jí)2）關(guān)于波函數(shù)3）與經(jīng)典力學(xué)比較4）物理實(shí)質(zhì)§2.7線性諧振子一、粒子的勢(shì)能（1）顯然，當(dāng)時(shí)，勢(shì)能，可見(jiàn)諧振子的勢(shì)能曲線亦為無(wú)限深勢(shì)阱，只不過(guò)不是方勢(shì)阱而已，所以粒子只能作有限的運(yùn)動(dòng)，即處于束縛態(tài).二、能力和波函數(shù)定態(tài)薛定諤方程：（2）既然粒子處于束縛態(tài)，則要求波函數(shù)滿足條件（3）下面我們就來(lái)求（2）式的滿足邊值條件（3）的解：先將方程（2）簡(jiǎn)化，引進(jìn)無(wú)量綱的參數(shù)（4）和（5）則方程（2）變成：（6）首先粗略分析一下時(shí)解的漸進(jìn)行為，當(dāng)很大時(shí)，與相比可以忽略，方程（6）可以近似表示為：（7）不難證明，當(dāng)時(shí)，方程（7）的漸近解為：其中不滿足邊值條件，故只能?。涸跐u進(jìn)解形式的啟發(fā)下，我們令方程（6）的精解為（8）的形式，將它代入方程（6）得：（9）這就是厄密方程，解為，從而得，但是，不是方程（9）所有形式的解都能使?jié)M足邊值條件（3），從附錄Ⅱ中我們知道，只有當(dāng)（10）時(shí)，方程（9）才能滿足要求，此時(shí)，方程的解為厄密多項(xiàng)式，通常認(rèn)為：（11）它是的n次多項(xiàng)式，如：由（1）式可以得出滿足下列遞推關(guān)系：由（5）式和（10）可得一維諧振子的能量可能取值為：與之相應(yīng)的波函數(shù)為：歸一化因子（見(jiàn)附錄Ⅱ）為：討論（留給學(xué)生思考）作業(yè)：第52頁(yè)，2.3，2.4，2.52.8勢(shì)壘貫穿在2.6，2.7節(jié)中所討論的問(wèn)題，體系的勢(shì)能在無(wú)限遠(yuǎn)處都是無(wú)窮大，即粒子處于束縛態(tài)，波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處為零，這個(gè)條件是得體系的能級(jí)是分立的，量子化的.這一節(jié)我們將論非束縛態(tài)的問(wèn)題，非束縛態(tài)最簡(jiǎn)單最典型的例子是方勢(shì)壘貫穿，它也明顯地表露出量子效應(yīng).（注意：這類問(wèn)題中，粒子的能量是預(yù)先確定的）一、一維方勢(shì)壘問(wèn)題勢(shì)能：如右圖所示：設(shè)具有一定能量E的粒子沿x正方向射向方勢(shì)壘，若，則按經(jīng)典力學(xué)理論，它必將全部在x=0處返回，不能進(jìn)入勢(shì)壘，現(xiàn)在來(lái)看量子力學(xué)會(huì)給出什么結(jié)果.二、粒子的定態(tài)波函數(shù)（先討論）的情形Ⅰ：x<0(1)Ⅱ:0<x<a(2)Ⅲ:x>a(3)令：(4)則（1），（2），（3）式可化為：x<0(5)0<x<a(6)x>a(7)方程（5），（6），（7）的通解為：x<0(8)0<x<a(9)x>a(10)當(dāng)我們用時(shí)間因子乘以上面三個(gè)式子，立即可以得出中的第一項(xiàng)表示向右傳播的平面波，第二項(xiàng)為向左傳播的平面波，在x>a的區(qū)域，當(dāng)粒子以左向右透過(guò)方勢(shì)壘，不會(huì)再反射，因而Ⅲ中應(yīng)當(dāng)沒(méi)有向左傳播的波，也就是說(shuō).下面利用波函數(shù)及其一階微商在x=0和x=a處連續(xù)的條件來(lái)確定波函數(shù)中的其他系數(shù).由：：：：：可見(jiàn)，五個(gè)任意常數(shù)滿足四個(gè)獨(dú)立方程，由這一組方程我們可以解得：（11）（12）（11），（12）兩式給出透射波振幅和反射波振幅與入射波振幅之間的關(guān)系.三、幾率流密度、透射系數(shù)、反射系數(shù)1、幾率流密度入射波：（注：幾率流密度還可寫(xiě)成幾率密度與粒子速度的承繼，對(duì)于動(dòng)量和能量確定的粒子，即）①入射波幾率流密度：（）②透射波幾率流密度：（）③反射波幾率流密度：（）2、透射系數(shù)（13）3、反射系數(shù)由上兩式可見(jiàn)，和都小與1，與這和等于1.這說(shuō)明入射粒子一部分貫穿到的區(qū)域，另一部分被勢(shì)壘反射回去.下面討論的情形.這時(shí)是虛數(shù).令：，則是實(shí)數(shù)把換成為，前面的計(jì)算仍然成立.經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算后，（11）式可改寫(xiě)成：其中和依次是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)，其值為透射系數(shù)的公式（13）式可改寫(xiě)為：如果粒子能量比勢(shì)壘高度小很多，即，同時(shí)勢(shì)壘高度不太小，以至于，則，此時(shí)，于是因?yàn)楹屯瑪?shù)量級(jí)，時(shí)，[或（）為恒大于1的數(shù)值]，所以當(dāng)足夠大時(shí)其中，上式給出了時(shí)，粒子透過(guò)方勢(shì)壘的幾率.對(duì)于任意形狀的勢(shì)壘，我們可以把上式加以推廣，寫(xiě)成：即我們可以認(rèn)為是透過(guò)許多方勢(shì)壘的幾率的乘積.（見(jiàn)書(shū)50頁(yè)圖17）四、微觀粒子和宏觀粒子經(jīng)勢(shì)壘散射的討論1、若，宏觀粒子完全穿透勢(shì)壘，無(wú)反射，而微觀粒子既有穿透的可能，又有反射的可能.2、若，宏觀粒子完全被反射，不能穿透勢(shì)壘，而微觀粒子既有反射的可能，又有透射的可能.這種粒子在能量小于勢(shì)壘高度時(shí)，仍能貫穿勢(shì)壘的現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng).按經(jīng)典理論，隧道效應(yīng)是無(wú)法理解的，因?yàn)楫?dāng)粒子進(jìn)入到勢(shì)壘內(nèi)部時(shí)，，而一個(gè)經(jīng)典粒子的總能量又等于動(dòng)能與勢(shì)能的和，因此粒子的動(dòng)能將小于零.動(dòng)量（）將是虛數(shù)，這自然是不允許的.但按照量子力學(xué)的概念，這一現(xiàn)象是不可理解的，這是由于微觀粒子具有被動(dòng)性的表現(xiàn).這可用光波在介質(zhì)表面的反射與折射做類比.注：隧道效應(yīng)是一種微觀效應(yīng).參見(jiàn)書(shū)第49頁(yè)的表作業(yè)：書(shū)53頁(yè)2.7小結(jié)書(shū)50-52第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量正如前面所說(shuō)的，由微觀粒子的波粒二象性，我們必須采用新的方式來(lái)表示微觀粒子的力學(xué)量——算符§3.1表示力學(xué)量的算符一.算符1.定義：算符是指作用在一個(gè)函數(shù)上得出另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)通俗地說(shuō)，算符就是一種運(yùn)算符號(hào).我們通常用上方加“”的字母來(lái)表示算符，例如：它們都稱為算符.2.算符的作用算符作用在一個(gè)函數(shù)u上，使之變成另一個(gè)新的函數(shù)v，例如：是微商算符.又如x也是一個(gè)算符，它對(duì)函數(shù)u的作用是與u相乘，即xu=xu=v,還有也是一個(gè)算符，把它作用在函數(shù)u上則有：即是一個(gè)開(kāi)平方的運(yùn)算符號(hào)，可見(jiàn)，算符并不神秘，x,3,-1等都可以看作是算符.二.算符的運(yùn)算規(guī)則1.算符相等：如果，則其中u為任意函數(shù)，注意：這里u必須是任意的函數(shù)，如果上面前一式中只對(duì)某一個(gè)特定的函數(shù)，我們就不能說(shuō)算符和相等.例如：２.算符相加：若，則即如果把算符作用在任意函數(shù)u上，所得到的結(jié)果和算符、分別作用在u上而得到的兩個(gè)新函數(shù)Ｐu，QU之和相等，則我們說(shuō)算符等于算符與之和.且（滿足加法交換律）（滿足加法結(jié)合律）３.算符相乘：若，則例如：，又如如果同一算符連續(xù)作用n次，則寫(xiě)作，例如：４.算符的對(duì)易關(guān)系如果，注意：一般來(lái)說(shuō)，算符之積并不一定滿足對(duì)易律，即一般地例如：x與就不對(duì)易，即\但是，在某些情況下，算符之積滿足對(duì)易律，例如：X和是對(duì)易的，\\另外，如果算符和對(duì)易，和對(duì)易，則和不一定對(duì)易，例如：x和對(duì)易的，和對(duì)易，但x和都不對(duì)易.有了這些規(guī)定，我們就可以象普通代數(shù)中那樣對(duì)算符進(jìn)行加、減和乘積運(yùn)算了，但是必須記住有一點(diǎn)是與代數(shù)運(yùn)算不同的，即我們不能隨便改變各因子的次序（因?yàn)閮蓚€(gè)算符不一定對(duì)易），例如：除非我們已經(jīng)知道Ａ與Ｂ對(duì)易，否則不能輕易地把上式寫(xiě)成等于.三.線性算符若則稱為線性算符，其中為兩個(gè)任意函數(shù)，是常數(shù)（復(fù)數(shù)）.顯然，x,，積分運(yùn)算都是線性，但平方根算符“”則不是線性算符.因?yàn)椋毫硗猓?fù)共軛也不是線性算符，以后我們可以看到，在量子力學(xué)中刻劃力學(xué)量的算符都是線性算符.四.厄密算符如果對(duì)于任意兩個(gè)函數(shù)和，算符滿足下列等式：則稱為厄密算符，式中x代表所有變量，積分范圍是所有變量變化的整個(gè)區(qū)域，且和是平方可積的，即當(dāng)變量時(shí)，它們要足夠快地趨向于０.補(bǔ)充１：兩個(gè)厄密算符之和仍為厄密算符，但兩個(gè)厄密算符之積卻不一定是厄密算符，除非兩者可以對(duì)易.例：１.坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符都是厄密算符２.不是厄密算符另：厄密算符的本征值是實(shí)數(shù)補(bǔ)充２：波函數(shù)的標(biāo)積，定義：五.算符的本征值和本征函數(shù)如果算符作用在一個(gè)函數(shù)，結(jié)果等于乘上一個(gè)常數(shù)：則稱為的本征值，為屬于的本征函數(shù)，上面方程叫本征方程.本征方程的物理意義：如果算符表示力學(xué)量，那么當(dāng)體系處于的本征態(tài)時(shí)，力學(xué)量有確定值，這個(gè)值就是在態(tài)中的本征值.六.力學(xué)量的算符表示１.幾個(gè)例子：（表示為坐標(biāo)的函數(shù)時(shí)，）動(dòng)量：能量E：坐標(biāo)：（可寫(xiě)成等式）２.基本力學(xué)量算符：動(dòng)量和坐標(biāo)算符３.其他力學(xué)量算符（如果該力學(xué)量在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量），由基本力學(xué)量相對(duì)應(yīng)的算符所構(gòu)成，即：如果量子力學(xué)中的力學(xué)量在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則表示這個(gè)力學(xué)量的算符由經(jīng)典表示式中將換為算符而得出，即：例如：，則又如：則：注：量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是厄密算符，為什么？因?yàn)椋核辛W(xué)量的數(shù)值都是實(shí)數(shù)，既然表示力學(xué)量的算符的本征值是這個(gè)力學(xué)量的可能值，因而表示力學(xué)量的算符，它的本征值必須是實(shí)數(shù)，而厄密算符就具有這個(gè)性質(zhì).求證：厄密算符的本征值是實(shí)數(shù)證明：設(shè)為厄密算符，為的本征值，表示所屬的本征函數(shù)，即：因?yàn)椋海ǎ茷槎蛎芩惴┤。瑒t有：即是實(shí)數(shù).§３.２動(dòng)量算符和角動(dòng)量算符一.動(dòng)量算符動(dòng)量算符的本征值方程是：（１）式中是動(dòng)量算符的本征值，為相應(yīng)的本征函數(shù)，（１）式的三個(gè)分量方程是：（２）它們的解是：（３）式中Ｃ是歸一化常數(shù)，為了確定Ｃ的數(shù)值，計(jì)算積分：因?yàn)椋菏街惺且詾樽兞康暮瘮?shù)，所以有：因此，如果取，則歸一化為函數(shù)：（４）（５）不是象所要求的歸一化為１，而是歸一化為函數(shù)，這是由于所屬的本征值組成連續(xù)譜的緣故.二.箱歸一化問(wèn)題：我們能否把動(dòng)量的連續(xù)本征值變?yōu)榉至⒈菊髦颠M(jìn)行計(jì)算？答案是肯定的，可通過(guò)下面的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)：設(shè)粒子被限制在一個(gè)正方形箱中，箱子的邊長(zhǎng)為Ｌ，取箱的中心作為坐標(biāo)原點(diǎn)，（如圖１８）顯然，波函數(shù)在兩個(gè)相對(duì)的箱壁上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)具有相同的值.波函數(shù)所滿足的這種邊界條件稱為周期性邊界條件，加上這個(gè)條件后，動(dòng)量的本征值就由連續(xù)譜變?yōu)榉至⒆V.因?yàn)楦鶕?jù)這一條件（參見(jiàn)圖１８），在點(diǎn)Ａ（，y,z）和點(diǎn)（,y,z),的值應(yīng)相同，即：或這個(gè)方程的解是：（６）這樣有：（７）同理：（８）（9）從上三式顯然可以看出兩個(gè)相鄰本征值的間隔與Ｌ成反比，當(dāng)時(shí)，本征值譜由分立譜變?yōu)檫B續(xù)譜.在加上周期性邊界條件后，動(dòng)量本征函數(shù)可以歸一化為１，歸一化常數(shù)是，因而：（10）這是因?yàn)椋合襁@樣地粒子限制在三維箱中，再加上周期性邊界條件的歸一化方法，稱為箱歸一化.乘上時(shí)間因子就是自由粒子的波函數(shù)，在它所描寫(xiě)的態(tài)中，粒子的動(dòng)量有確定值，這個(gè)確定值就是動(dòng)量算符在這個(gè)態(tài)中的本征值.三.角動(dòng)量算符角動(dòng)量，由力學(xué)量的算符表示得：（１）角動(dòng)量平方算符是：（２）直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)之間的變換關(guān)系是：（3）（4）（5）對(duì)于任意函數(shù)f(r,θ,φ)（其中r，θ，φ，都是x,y,z的函數(shù)）有：其中：或：（６）將（３）式兩邊分別對(duì)x,y,z求偏導(dǎo)得：（７）將（４）式兩邊分別對(duì)x,y,z求偏導(dǎo)得：（８）將（５）式兩邊分別對(duì),y,z求偏導(dǎo)得：（９）將上面結(jié)果代回（６）式得：（10）則角動(dòng)量算符在球坐標(biāo)中的表達(dá)式為：（11）（12）本征方程：或：（13）是算符的本征函數(shù)，屬于本征值的.以下參見(jiàn)書(shū)第６２－６３頁(yè)……由以上的結(jié)果知的本征值是，所屬本征函數(shù)是：因?yàn)椋簂表征角動(dòng)量的大小，所以稱為角量子數(shù)，m則稱為磁量子數(shù)，且對(duì)于一個(gè)l值，m可?。ǎ瞝+1）個(gè)值，因此算符的本征值是（２l+1）度簡(jiǎn)并的.的本征方程：補(bǔ)充：或：解之得：其中Ｃ為歸一化常數(shù).１）.波函數(shù)有限條件：要求為實(shí)數(shù)２）.波函數(shù)單值條件，要求當(dāng)轉(zhuǎn)過(guò)角回到原位時(shí)波函數(shù)相等.即：于是：由歸一化條件得：所以：最后書(shū)上列出了幾個(gè)球諧函數(shù)§３.３電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)以類氫離子例，取核為坐標(biāo)原點(diǎn)，則電子的勢(shì)能為：其中，在CGS單位制中：，r是電子到核的距離.一.哈密頓算符的本征方程(1)（2）這個(gè)方程在球坐標(biāo)中的形式為：(3)令：（4）將（4）式代入方程（3）中，并以除方程兩邊，移項(xiàng)后得：（5）則方程（5）分離為兩個(gè)方程：（6）（7）方程（7）即為電子角動(dòng)量平方的本征方程：或：其：為球諧函數(shù).將代入徑向方程（6）中，得：當(dāng)E>0時(shí)，對(duì)于E的任何值，方程（8）都有滿足波函數(shù)條件的解，體系的能量具有連續(xù)譜，這時(shí)電子可以離開(kāi)何而運(yùn)動(dòng)到無(wú)限遠(yuǎn)處.當(dāng)E<0時(shí)，計(jì)算過(guò)程表明：要使方程（8）有滿足波函數(shù)的條件的解，方程中的參數(shù)E不能隨便取值，而只能?。海?）式（9）即束縛態(tài)（E<0）類氫離子的能量量子化公式.方程（8）的解R(r)叫做拉蓋多項(xiàng)式：（10）其中叫做締合拉蓋多項(xiàng)式.而叫拉蓋爾多項(xiàng)式：式（10）告訴我們，只要給出了n和l的一對(duì)具體數(shù)值，我們就可得到一個(gè)滿足標(biāo)準(zhǔn)條件的徑向波函數(shù)，書(shū)第70頁(yè)列出了前面幾個(gè)徑向波函數(shù)，以共今后查用，這些已歸一化，徑向波函數(shù)的歸一化條件為：且均為實(shí)數(shù)，式中米，是氫原子的第一軌道半徑.由（4）可知，庫(kù)侖場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子能量小于零時(shí)的定態(tài)波函數(shù)為：歸一化條件是：且和可分別歸一化二.一些結(jié)論及討論主量子數(shù)n：決定能量量子化n,l,m之間的關(guān)系：n=1,2,3…………l=0,1,2,3,……n-1m=0，且：即當(dāng)n一定，l取n個(gè)不同的值，l定，m取2l+1個(gè)不同的值因?yàn)椋哼@樣，對(duì)有著n,l,m的一組確定的數(shù)值，我們就可以寫(xiě)出一個(gè)具體表達(dá)式，也就是說(shuō)，在量子力學(xué)中，氫原子（或類氫原子）中電子的狀態(tài)是由量子數(shù)n,l,m來(lái)表征的.3.能量的簡(jiǎn)并度首先，類氫離子的狀態(tài)總由波函數(shù)來(lái)完全描述，在中只要有一個(gè)腳標(biāo)不同，就代表不同的狀態(tài)，而只與n有關(guān)，所以能級(jí)是簡(jiǎn)并的，簡(jiǎn)并度為：簡(jiǎn)并原因見(jiàn)書(shū)71頁(yè)第二段.§3.4氫原子兩體問(wèn)題（詳見(jiàn)理論力學(xué)書(shū)）可以歸結(jié)為一個(gè)粒子在場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（引入折合質(zhì)量）波函數(shù)：x,y,z表示體系的質(zhì)心坐標(biāo)氫原子的狀態(tài)（電子相對(duì)于核的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)）（質(zhì)心按能量為的自由粒子的方式運(yùn)動(dòng)，我們并不關(guān)心，我們所感興趣的是原子的內(nèi)部狀態(tài).）三.氫原子中電子的幾率分布1.當(dāng)氫原子處于態(tài)時(shí)，電子的幾率密度為：由于在點(diǎn)周圍的體積元內(nèi)的幾率是：2.電子的徑向分布幾率此種分布表明電子在空間出現(xiàn)的幾率隨r的變化，而不管從哪個(gè)方向上出現(xiàn)，在半徑r到r+dr球殼內(nèi)找到電子的幾率是：書(shū)76頁(yè)圖20表示在不同n,m,l值時(shí)和的函數(shù)關(guān)系，曲線上的數(shù)字表示n,l的值.例如：10表示n=1,l=0,即1s態(tài)所以：由上式可知，除和外，其余各處的都不為零，即除，以外的點(diǎn)，都有找到電子的幾率，問(wèn)：在1s態(tài)電子出現(xiàn)的最大幾率為何處？令：有極值3.電子的角分布幾率這種分布表明電子的幾率隨空間角度的變化，而不管其徑向位置分布如何，在的立體角內(nèi)找到電子的幾率為：書(shū)77頁(yè)圖21表示在各種l,m,的態(tài)中對(duì)的函數(shù)關(guān)系，由于與無(wú)關(guān)，所以這些圖形是繞Z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的立體圖形，例如，在l=0,m=0時(shí)，幾率是：，它與無(wú)關(guān)，所以在圖中是一個(gè)球面，又如l=1,m=時(shí)，幾率為：，在有最值，在極軸方向（）的值為零，而在l=1,m=0時(shí)，情況恰恰相反[].§3.5厄密算符本征函數(shù)的正交性一.函數(shù)正交性的意義如果兩函數(shù)和滿足關(guān)系式：則稱和相互正交.二.定理厄密算符的屬于不同本征值的兩個(gè)本征函數(shù)相互正交.證明：設(shè)是的本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)的本征值為都不相等.因?yàn)椋海?）（2）且當(dāng)時(shí)，（3）又因?yàn)槎蛎埽运谋菊骱瘮?shù)是實(shí)數(shù)，即：（4）這樣有：（5）以右乘上式兩邊，并對(duì)全空間積分，得：（6）以左乘（2）兩邊，并積分得：（7）由厄密算符的定義，有：即（6），（7）兩式的左邊相等，因而其右邊也相等，即：或：（8）由于所以：證畢！這個(gè)定理的本征值組成分立譜或連續(xù)譜都成立.若已經(jīng)歸一化，即（對(duì)分立譜）（9）則（8），（9）兩式合并可寫(xiě)成：（10）式中：叫做克羅尼克爾符號(hào)對(duì)連續(xù)譜有：（11）滿足（10），（11）式的函數(shù)或，稱為正交歸一系.在上面證明厄密算符的本征函數(shù)的正交性，是無(wú)簡(jiǎn)并的情況，簡(jiǎn)并情況在下面討論.正交歸一條件：分立譜：連續(xù)譜：滿足上述條件的函數(shù)系或，被稱為正交歸一系.2.簡(jiǎn)并情況如果的一個(gè)本征函數(shù)是度簡(jiǎn)并的，屬于它的本征函數(shù)不止一個(gè)，而是個(gè)：（1）則前面的證明對(duì)這些函數(shù)不能適用，這些函數(shù)并不一定相互正交.但是，可以證明我們總可以用個(gè)常數(shù)把這個(gè)函數(shù)線性組合成個(gè)新函數(shù)：（2）使得這些新函數(shù)是相互正交的，即：證明分如下兩步進(jìn)行：是本征值的本征函數(shù)滿足正交歸一條件的個(gè)函數(shù)可以組成.證明（1）：證畢！證明（2）：因?yàn)椋簽榇酥灰C明線性迭加系數(shù)的個(gè)數(shù)大于或等于正交歸一條件方程的個(gè)數(shù)即可.（3）方程的歸一化條件有個(gè)，正交條件有個(gè)，所以共有獨(dú)立方程個(gè)數(shù)為兩者之和；因?yàn)椋核?，方程的個(gè)數(shù)少于待定系數(shù)的個(gè)數(shù)，因而，我們有多種可能來(lái)確定這個(gè)系數(shù)是（3）式成立，故個(gè)新函數(shù)的確是算符的對(duì)應(yīng)于本征值的正交歸一化的本征函數(shù).結(jié)論：既然厄密算符的本征函數(shù)總可以取為正交歸一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函數(shù)時(shí)，都是正交歸一化的，即組成正交歸一系.正交歸一函數(shù)系實(shí)例動(dòng)量本征函數(shù)組成正交歸一系線性諧振子能量本征函數(shù)組成正交歸一系角動(dòng)量本征函數(shù)組成正交歸一系氫原子波函數(shù)組成正交歸一系§3.6算符與力學(xué)量的關(guān)系一.力學(xué)量的可能值1.力學(xué)量算符的本征值函數(shù)組成完全系，即：（1）為任意函數(shù)，為力學(xué)量算符的本征函數(shù)，為展開(kāi)系數(shù)，它可由和求得：以乘（1）兩邊，并積分得：即：（2）2.力學(xué)量的可能值和相應(yīng)的幾率以表示體系的狀態(tài)波函數(shù)（它不一定是本征態(tài)），且已歸一化，則：（3）即的絕對(duì)平方之和等于1問(wèn)：上式中的物理意義？如果是算符的某一個(gè)本征函數(shù)，例，則（1）式中的系數(shù)除外其余都等于零，即，在這種情況下測(cè)量力學(xué)，必定得到的結(jié)果，因此，具有幾率的意義，它表示在態(tài)中測(cè)量力學(xué)量得到的結(jié)果是的本征值的幾率.（常叫做幾率振幅），（3）式說(shuō)明總的幾率等于1.重要：力學(xué)量算符與算符的關(guān)系的一個(gè)基本假定，見(jiàn)書(shū)第84頁(yè)第一段3.力學(xué)量有確定值的條件根據(jù)上述假定，力學(xué)量在一般狀態(tài)中沒(méi)有確定值，而有一系列的可能值，這些可能值就是表示這個(gè)力學(xué)量算符的本征值，每個(gè)可能值都以確定的幾率出現(xiàn).力學(xué)量有確定值的條件是：當(dāng)體系處于態(tài)時(shí)，測(cè)量力學(xué)量有確定值的充要條件是必須是算符的一個(gè)本征態(tài).二.力學(xué)量的平均值因?yàn)椋海∟為總的測(cè)量次數(shù)）（4）因此，從原則上講，只要求出了，就可以由上式求出，但是，事實(shí)上計(jì)算的這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)是十分麻煩的，所以我們有必要尋求更為簡(jiǎn)便的方法，來(lái)計(jì)算.因?yàn)椋海?）比較（4），（5）得：上式中已經(jīng)歸一化，若沒(méi)有歸一化，（5）改寫(xiě)為：上面只討論了的平均值組成分立譜的情況，其他情形參見(jiàn)書(shū)第85頁(yè).例題，自學(xué)作業(yè)：書(shū)第100-101，3.1，3.2，3.5§3.7算符的對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系一、泊松括號(hào)“”1．定義：2．性質(zhì)：（1） 計(jì)算力學(xué)量算符對(duì)易式的基本方法有二：一是將對(duì)易式作用在任意函數(shù)上，進(jìn)行運(yùn)算，以求之.二、量子力學(xué)的基本對(duì)易式下面我們用第一種方法求出坐標(biāo)、動(dòng)量算符之間的對(duì)易式.對(duì)于任意函數(shù)，有由的任意性，設(shè)（2）同理：將以上式子寫(xiě)成通式有：（3）（4）其中由上可知：動(dòng)量分量和它所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是不對(duì)易的，而和它不對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是對(duì)易的；動(dòng)量各分量之間也是對(duì)易的.力學(xué)量都是坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù)，知道了坐標(biāo)和動(dòng)量之間的對(duì)易關(guān)系后，就可以得出其他力學(xué)之間的對(duì)易關(guān)系.三、角動(dòng)量算符的對(duì)易式（5）同理：（6）（7）（5）、（6）和（7）三式可以合寫(xiě)為一個(gè)矢量公式（8）上式可看作是角動(dòng)量算符的定義.（它具有普遍性）（5）、（6）、（7）寫(xiě)成通式為：可見(jiàn)，，是不對(duì)易的其中，而即在中任意掉換兩腳標(biāo)的位置要使之變號(hào)，且在中任意兩角標(biāo)相同時(shí)為零.即下面我們計(jì)算與之間的對(duì)易關(guān)系.同理：同理：寫(xiě)成通式：可見(jiàn)，分別和中的每一個(gè)都對(duì)易.例：求（1）（2）解：（1）（2）四、不同力學(xué)量算符有共同本征函數(shù)系的充要條件1．定理：如果算符和有共同的完全的本征函數(shù)系，則算符和對(duì)易.證明：見(jiàn)書(shū)89頁(yè)，設(shè)2．逆定理：如果兩算符對(duì)易，則這兩個(gè)算符有共同的完全的本征函數(shù)系.證明：為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，這里僅討論無(wú)簡(jiǎn)并的狀況.設(shè)是的對(duì)應(yīng)本征值為的本征函數(shù)，今和對(duì)易，故可見(jiàn)亦為的本征函數(shù)，且所對(duì)應(yīng)的本征值為，因?yàn)橐鸭俣o(wú)簡(jiǎn)并，因而和描述的是同一態(tài)，二者只差一個(gè)常數(shù)因子，以表示該因子，則有說(shuō)明也是的本征函數(shù)，即是的共同本征函數(shù)，因?yàn)榈谋菊骱瘮?shù)組成完全系故和有共同的完全的本征函數(shù)系.證畢！3．推論：一組算符有完全的共同本征函數(shù)系的充要條件是：這組算符中的任意兩個(gè)算符都可對(duì)易.五、不同力學(xué)量同時(shí)確定值的必要條件1．體系處于的本征態(tài)時(shí)，測(cè)量才有確定值；2.兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件是：兩力學(xué)量算符具有共同的本征函數(shù)（或處于共同的本征態(tài)）或兩力學(xué)量算符和對(duì)易，即：3.一組力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件是：這組力學(xué)量算符兩兩對(duì)易.（它們有共同的完全的本征函數(shù)系）作業(yè)：書(shū)第101-102，3.6，3.7，3.8，3.9六.測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格證明1.測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的普遍表達(dá)式若則（1）或（2）其中2.證明：設(shè)，，分別代表在態(tài)中的平均值令，考慮積分：注意到和都是厄密算符：所以：又因?yàn)椋核裕阂股鲜胶愠闪?，必有：故：例如：這時(shí)：所以：或這就是坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系注：同理有：又如：角動(dòng)量各分量之間也有：在的本征態(tài)下，，因而和的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系為：顯然只有m=0的態(tài)，才可能有，其他各態(tài)都不為零，可見(jiàn)m=0的態(tài)是例外.3.討論及應(yīng)用（1）勢(shì)壘內(nèi)部粒子動(dòng)能為負(fù)值問(wèn)題因?yàn)椋鹤鴺?biāo)與動(dòng)量算符不對(duì)易，所以，勢(shì)能與動(dòng)能算符不對(duì)易，即勢(shì)能與動(dòng)能不能同時(shí)確定，所以說(shuō)在某一點(diǎn)或某一區(qū)域內(nèi)粒子的能量等于動(dòng)能與勢(shì)能之和是沒(méi)有意義的.只說(shuō)明在一個(gè)態(tài)中平均總能量等于平均動(dòng)能與平均勢(shì)能之和，而對(duì)一個(gè)態(tài)求平均時(shí)，要對(duì)變量的整個(gè)區(qū)域求積分.當(dāng)粒子在勢(shì)壘范圍內(nèi)被激發(fā)時(shí)，根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，粒子的動(dòng)能就在某一范圍內(nèi)不確定，這個(gè)不確定度可計(jì)算如下：因?yàn)椋河桑涸O(shè)：所以：（2）一維諧振子的零點(diǎn)能：書(shū)第93頁(yè)§3.8力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化守恒定律在經(jīng)典力學(xué)中，運(yùn)動(dòng)體系在每一時(shí)刻多個(gè)力學(xué)量都有確定的值，因?yàn)樗芯康氖橇W(xué)量的值隨時(shí)間的變化（根據(jù)哈密頓理論：，式中為泊松括號(hào)，，H為哈密頓量，如果F不顯含時(shí)間，且=0，則F=C是一個(gè)守恒量.找出一個(gè)守恒量，往往使研究物體的運(yùn)動(dòng)大大簡(jiǎn)化）然而，在量子力學(xué)中，對(duì)任何體系，在每一時(shí)刻，不是所有力學(xué)量都具有確定的紙，一般說(shuō)來(lái)，只有確定的平均值以及幾率分布.因此，研究力學(xué)量的值隨是的變化沒(méi)有意義，僅討論力學(xué)量的平均值及幾率分布隨時(shí)間的變化.一、力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化在波函數(shù)所描寫(xiě)的態(tài)中，力學(xué)量的平均值為：（1）因?yàn)槭菚r(shí)間的函數(shù)，也可能顯含時(shí)間，所以通常是時(shí)間t的函數(shù).（2）由sch-eg：代入（2）式得（3）∵是厄密算符.∴代入（3）式得：即：（4）如果既不顯含時(shí)間，則則（4）可簡(jiǎn)化為：（5）如果既不顯含時(shí)間，又與對(duì)易，那么就有（6）即的平均值不隨時(shí)間變化.我們稱滿足條件（6）的力學(xué)量為運(yùn)動(dòng)恒量，或者說(shuō)在運(yùn)動(dòng)中守恒.還可以證明，在這種條件下，力學(xué)量測(cè)量值的幾率分布也不隨時(shí)間改變.證明：（詳見(jiàn)曾書(shū)77頁(yè)或曾謹(jǐn)言書(shū)168頁(yè)）二、守恒量凡不顯含時(shí)間，且其算符與體系的哈密頓算符對(duì)易的力學(xué)量，稱為該體系的守恒量.按上面的分析，守恒量有兩個(gè)特點(diǎn)：1、在體系任意狀態(tài)下，平均值不隨時(shí)間變化2、在體系的任意狀態(tài)下，幾率分布不隨時(shí)間改變由此可以判斷：若在初始時(shí)刻，守恒量具有確定值，則以后任何時(shí)刻它都具有確定值，即體系將保持在的同一個(gè)本征態(tài).由于守恒量具有此特點(diǎn)，所以它的量子數(shù)稱為好量子數(shù).通?？偸潜M可能選取具有好量子數(shù)的力學(xué)量來(lái)確定體系的狀態(tài)，但是，力學(xué)量守恒，并不意味著它一定具有確定值，如果初始時(shí)刻，并不具有確定值，即并非的本征函數(shù)，則以后也不會(huì)具有確定值，但平均值和幾率分布仍不隨時(shí)間改變.體系的守恒量是否具有確定值，要看初始時(shí)刻體系狀態(tài)的性質(zhì)而定，這與經(jīng)典力學(xué)中的守恒量有顯著之別.守恒量是量子力學(xué)中一個(gè)極其主要和應(yīng)用極為廣泛的概念，初學(xué)者往往把它與定態(tài)概念混淆起來(lái).應(yīng)當(dāng)指出，定態(tài)是體系的一種特殊狀態(tài)，而守恒量則是體系的一種特殊的力學(xué)量，它與體系的哈密頓量對(duì)易.在定態(tài)之下，一切力學(xué)量（不顯含時(shí)間，但不管是否守恒量）的平均值及概率分布不隨時(shí)間改變；而力學(xué)量只要是體系的守恒量，則在體系的一切狀態(tài)下（不管是否定態(tài)），它的平均值和幾率分布都不隨時(shí)間改變.由此可知，只有當(dāng)體系不處于定態(tài)，而力學(xué)量又非體系的守恒量，力學(xué)量的平均值和幾率分布才隨時(shí)間改變.三、幾個(gè)重要的守恒量1、能量守恒若體系的哈密頓算符不顯含時(shí)間：又由于故是守恒量，即能量守恒2、動(dòng)量守恒對(duì)于自由粒子，，因而：是守恒量，即動(dòng)量守恒.3、角動(dòng)量守恒粒子的勢(shì)函數(shù)為的有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，哈密頓算符的球坐標(biāo)表示式為（62頁(yè)3.2-15，65頁(yè)3.3-3）由于都只與有關(guān)，與無(wú)關(guān)，因而這些算符都與勢(shì)函數(shù)對(duì)易.所以，它們也與對(duì)易，于是:可見(jiàn)，粒子在有心立場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量平分和角動(dòng)量分量都是守恒量.這就是量子力學(xué)中的角動(dòng)量守恒定律.4、宇稱守恒把一個(gè)函數(shù)的所有坐標(biāo)變量改變符號(hào)（）的運(yùn)算稱為空間反饋.以算符表示這種算符：（1）我們稱為宇稱算符.即的本征值是1，因而的本征值是，由此有：（偶宇稱）或（奇宇稱）設(shè)體系的在空間反饋后保持不變，即：則與宇稱算符對(duì)易，這是因?yàn)閷?duì)于任意波函數(shù)，我們有所以：這表示宇稱是守恒量，這就是量子力學(xué)中的宇稱守恒定律.上面的討論很容易推廣到多維情況.作業(yè)：102頁(yè)3.10，3.11，3.13補(bǔ)充：數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)——約定求和法一、笛卡兒直角坐標(biāo)系：由坐標(biāo)原點(diǎn)與三條不共面的標(biāo)架直線構(gòu)成的坐標(biāo)系稱直線坐標(biāo)系，在直線坐標(biāo)系中，如果多框架上單位尺度取的不同，稱為仿射坐標(biāo)系；如果單位尺度相同，則稱為笛卡兒坐標(biāo)系.如果標(biāo)架直線互相垂直，稱為笛卡兒直角坐標(biāo)系，否則稱為笛卡兒斜角坐標(biāo)系.通常以表示笛卡兒直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)，以分別表示三個(gè)坐標(biāo)的單位矢量.二、約定求和法如果在同一項(xiàng)中，某個(gè)指標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)兩次，就表示要對(duì)這個(gè)指標(biāo)從1到3求和，例如在中，指標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)兩次，其含義是：稱為約定求和指標(biāo)，約定求和指標(biāo)在展開(kāi)式中不再出現(xiàn)，因此也稱為“啞指標(biāo)”，顯然啞指標(biāo)的字母可以更換，因?yàn)榕c的含義是相同的.例1：例2：寫(xiě)出的展開(kāi)式在上式中和都是啞指標(biāo)，展開(kāi)式如下：例3：寫(xiě)出的展開(kāi)式在上式中是啞指標(biāo)，不參加約定求和，稱為自由指標(biāo)，上式的展開(kāi)式如下：全部寫(xiě)出來(lái)：三、克羅尼克爾符號(hào)1、定義：例1：在笛卡兒直角坐標(biāo)系中例2：?jiǎn)挝痪仃嚳杀硎緸椋翰捎眉s定求和法和克羅尼克爾符號(hào)將給我們以后的書(shū)寫(xiě)和運(yùn)算帶來(lái)很大的方便.2、幾個(gè)常用的性質(zhì)和運(yùn)算1）2）3）4）四、置換符號(hào)（Levi-Civita符號(hào)），1、定義：=1,2,3其中：其余21個(gè)全部為零.2、幾個(gè)例子：（采用Levi-Civita符號(hào)可使書(shū)寫(xiě)和運(yùn)算簡(jiǎn)化）例1：用置換符號(hào)表示三階行列式的值=例2：用置換符號(hào)表示借用例1的結(jié)果:則:如:又如：3.和的關(guān)系1）2）a)若,則有b)若，,則有：c)若，,,則有：例1：求解：例2：證明:證明：∵所以:例3：求證：證明：（不動(dòng)，先對(duì)取和）:（若不動(dòng)，先對(duì)取和）則有：例4：求證：，式中，且證明：所以:證明完畢！補(bǔ)充作業(yè)：求證：求證：第四章態(tài)和力學(xué)量的表象表象：量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式成為表象§4.1態(tài)的表象多媒體課件課（詳見(jiàn)課件）§4.2算符的矩陣表示多媒體課件課（詳見(jiàn)課件）§4.3量子力學(xué)公式的矩陣表示一、平均值公式先將波函數(shù)按Q的本征函數(shù)展開(kāi)（1）代入平均值公式：（2）（2）式寫(xiě)成矩陣相乘形式為：或者簡(jiǎn)寫(xiě)為：（3）二、本征方程（4）將等式右邊部分移至左邊，得：（5）方程（5）是一個(gè)線性齊次方程組：（6）方程組（6）有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零，即：（7）方程（7）稱為久期方程，它是的多次方程，解之，可得到一組值：,,...,,....就是F的本征值.把求得的值分別代入（6）式，就可以求得與每個(gè)相對(duì)應(yīng)的本征矢（函數(shù)），這樣就把求解微分方程的問(wèn)題就化成了求解代數(shù)方程（7）根的問(wèn)題.三、薛定諤方程將前面（1）代入薛定諤方程：以左乘上式兩邊，并對(duì)x變化的整個(gè)空間積分得：（8）式中：是哈密頓算符在表象中的矩陣元，（8）式的矩陣形式為：或簡(jiǎn)稱為：（9）式中都是矩陣.例題1.求一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的基態(tài)函數(shù)分別在坐標(biāo)表象、動(dòng)量表象和能量表象中的表示.解：（1）坐標(biāo)表象（2）動(dòng)量表象因?yàn)椋?P在范圍內(nèi)變化（3）能量表象用矩陣表示為：可見(jiàn)，同一狀態(tài)的波函數(shù)在不同的表象中的具體表象不一樣，正如同一矢量在不同的的坐標(biāo)表象中的集體表示不同一樣.例題2.求一維諧振子的坐標(biāo)、動(dòng)量算符及哈密頓算符在能量表象中的矩陣表示.解：（1）坐標(biāo)算符利用公式：得：所以在能量表象中x算符矩陣表示為：注意：m,n=0,1,2……（2）動(dòng)量算符利用公式：求得：所以：（3）能量表象因?yàn)椋核裕菏且粋€(gè)對(duì)角矩陣.§4.4么正矩陣在量子力學(xué)中，表象選擇適當(dāng)，可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化，這樣，在處理實(shí)際問(wèn)題中，常常需要從一個(gè)表象變換到另一個(gè)表象.前面所討論的是從坐標(biāo)表象到Q表象的變換，現(xiàn)在就更一般的情況進(jìn)行討論（即討論波函數(shù)和力學(xué)量從一個(gè)表象到另一個(gè)表象的一般情況）一.表象基矢的變換類似解析幾何中的坐標(biāo)變換，我們先討論不同表象基矢的關(guān)系.設(shè)算符的正交歸一本征函數(shù)算符的正交歸一本征函數(shù)系為則算符在A表象和B表象中的矩陣元分別為：A表象：（1）B表象：（2）為了給出在兩個(gè)表象中矩陣元的聯(lián)系，我們將按完全系展開(kāi)：（3）式中展開(kāi)系數(shù)及由下式給出：（4）以為矩陣元的矩陣S稱為變換矩陣，通過(guò)（3）這個(gè)矩陣把A表象的基矢變?yōu)锽表象的基矢.下面討論變換矩陣S的一個(gè)基本性質(zhì)：因?yàn)椋核裕海?）式中是矩陣S的共軛矩陣，I是單位矩陣，由（4）式可得：（6）為簡(jiǎn)化上式右邊，注意各上式右邊積分為展開(kāi)式中的系數(shù)，即：代入（6）式得：即（7）由S的性質(zhì)（4）及（7）式，再根據(jù)逆矩陣的定義得：（8）滿足（8）式的矩陣稱為么正矩陣，由幺正矩陣所表示的變換稱為么正變換，因此，由一個(gè)表象到另一個(gè)表象的變換（基矢之間的變換）是么正變換.由于么正矩陣的條件（性質(zhì)）與厄密矩陣的條件不相同，所以么正矩陣不是厄密矩陣.二.力學(xué)量算符的表象變換現(xiàn)在我們討論如何用變換矩陣S將力學(xué)量A表象中的表示變換為B表象中的表示，為此將（3）式代入（2）式，得：（9）以表示算符在B表象中的矩陣，F(xiàn)表示在A表象中的矩陣，那么（9）式可以寫(xiě)成：由（8）又可寫(xiě)成：（10）這就是力學(xué)量由A表象變換到B表象的變換公式.三、態(tài)矢量的表象變換下面討論一個(gè)態(tài)矢量從A矢量到B矢量的變換.設(shè)A表象（11）B表象（12）那么狀態(tài)在A表象和B表象中分別用：及描寫(xiě)以左乘（12）式兩邊，并對(duì)全空間積分，再利用（3）和（11）式，得：即：或：這就是態(tài)矢量從A表象到B表象的變換式四、么正變換的主要性質(zhì)1.么正算符不改變算符的本征值設(shè)F在A表象中的本征方程為：Fa=λa，則在B表象中：（因?yàn)椋┛梢?jiàn)，不同的表象中，力學(xué)量算符F對(duì)應(yīng)同一狀態(tài)（a和b描寫(xiě)同一狀態(tài)）的本征值不變，基于這一性質(zhì)，解F的本征值問(wèn)題就好是把該力學(xué)量從某一表象變到自身表象，使F矩陣對(duì)角化.2.么正變換不改變矩陣的跡設(shè)經(jīng)過(guò)么正變換后，矩陣F變?yōu)椋瑒t：因?yàn)椋杭矗旱嫩E等于F的跡3.矩陣方程式經(jīng)過(guò)么正變換保持不變?nèi)艟仃嚪匠瘫硐驛：則表象B：證明：例題：設(shè)在A表象中對(duì)易關(guān)系：求在B表象中的關(guān)系：解：對(duì)易關(guān)系在么正變換下不變.4.么正變換不改變厄密矩陣的厄密性證明：設(shè)在A表象中，，則在B表象中：所以：證明完畢！§4.5狄喇克符號(hào)量子力學(xué)的理論表述，常采用狄喇克符號(hào)，它有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是運(yùn)算簡(jiǎn)捷，二是無(wú)須用具體表象討論問(wèn)題.類似于經(jīng)典力學(xué)或幾何學(xué)用矢量處理問(wèn)題而不指明具體的坐標(biāo)系一樣，這一節(jié)將介紹狄喇克符號(hào)的有關(guān)規(guī)定.左矢和右矢如前面提到的，量子力學(xué)表示體系的一切可能狀態(tài)的態(tài)矢量構(gòu)成希爾伯特空間，這空間的每一個(gè)矢量是可用一個(gè)叫做右矢的符號(hào)表示，若要標(biāo)志某特殊態(tài)，則于其內(nèi)標(biāo)上某種記號(hào)，如，表示動(dòng)量算符的本征態(tài)，本征值為，表示能量的本征態(tài)，本征值為，與右矢相對(duì)應(yīng)地，用左矢表示的共軛矢量，二者的性質(zhì)不同，不能相加，它們?cè)谕槐硐笾谢楣曹椇瘮?shù).例如：如果在Q表象中的分量為那么在Q表象中的分量為.標(biāo)積矢量和在同一表象中相應(yīng)分量的乘積之和稱為和的標(biāo)積，用符號(hào)表示，以表示在Q表象中的分量，那么：（1）且（2）若=0，則稱矢量和正交，若歸一化的，則，因此力學(xué)量F的本征態(tài)的的正交歸一條件可以表示為：對(duì)分立譜：（3）對(duì)連續(xù)譜：（4）例如坐標(biāo)x的本征矢正交歸一化條件是：動(dòng)量p的本征矢正交歸一化條件是：態(tài)矢量在具體表象中的表示上面我們沒(méi)有涉及到具體的表象，下面我們?cè)诰唧w表象中討論，例如在以為基矢的Q表象中，任何一個(gè)態(tài)矢量可用展開(kāi).（5）利用基矢的正交歸一性，可得：（6）它表示矢量上的“投影”，即表示矢量在Q表象中的表示.把（6）代入（5）式，得：（7）其中稱為投影算符，記為：（8）它對(duì)任何矢量作用后，把該矢量變成它在基矢方向上的分量，例如：（9）它是矢量在基矢量方向上的分量，由于（7）式中的是任意的，因此：（單位算符）（10）（10）式對(duì)于任何一個(gè)完全的基矢都是成立的，這一關(guān)系式對(duì)表象變換極為有用.例如：（11）（12）在具體表象中，兩矢量的標(biāo)積可表示如下：例如在Q表象中，則其標(biāo)積表示成：（與（1）式相同）在x表象中：令：故（13）算符在具體表象中的表示由于算符F的作用，使態(tài)矢變成態(tài)矢，即：（14）在Q表象中，和的展開(kāi)史分別如前所述：用基矢左乘（14）式，得：利用（10）式及得：其中為算符F在在Q表象中的矩陣元.表象變換的變換矩陣元：式中是G表象的基矢，是Q表象中的基矢.下面我們來(lái)求（14）的共軛式.因?yàn)椋?/p>

上式中是F的共軛矩陣，因?yàn)槭侨我獾幕?，所以有：量子力學(xué)公式用狄喇克符號(hào)表示：平均值公式：本征方程：薛定諤方程：利用波函數(shù)、算符在具體表象中的表示和，很容易求得他們?cè)诰唧w表象中的表示.例1.力學(xué)量F的本征方程在O表象中可表示成：即：例2.求證變換矩陣S是么正矩陣，即證證明：取Q表象，因?yàn)椋核裕和砜勺C：由逆矩陣的定義可知：所以：S為么正矩陣§4.6線性諧振子與占有數(shù)表象一、算符a,,N1.坐標(biāo)表象下的線性諧振子本節(jié)我們從新的角度討論這一問(wèn)題2.定義新算符a,,N令（定義式）：求證：證明：3.用算符a,,表示諧振子的Hamilton量由a,定義式將算符x,p用新算符a,,表示出來(lái)（1）（2）（2）+（1）式：（3）（2）-（1）式：（4）將（3）、（4）代入振子Hamilton量：（5）其中4.a,,N的物理意義（1）a,的物理意義（6）（7）將a作用在能量本征態(tài)上：（8）由遞推公式：（9）（10）（9）、（10）代入（8）式得：（11）用Dirac符號(hào)表示為：（12）同理有：（13）（14）其中|n>,|n-1>,|n+1>等都是H的本征基矢，En,En-1,En+1是相應(yīng)本征值因?yàn)檎褡幽芰恐荒芤驭貫閱挝蛔兓?，所以ω能量單位可以看成是一個(gè)粒子，稱為“聲子”，狀態(tài)|n>表示體系在此態(tài)中有n個(gè)粒子（聲子）稱為n個(gè)聲子態(tài).顯然有,為振子基態(tài)的基矢由（12）可看出算符a為粒子湮滅算符，由（14）可看出為粒子產(chǎn)生算符.下面進(jìn)一步考察的物理意義.因?yàn)椋和恚骸从米饔茫ㄕ婵諔B(tài)）n次，將產(chǎn)生n個(gè)聲子（2）N的物理意義上式表明，n是N算符的本征值，描寫(xiě)粒子的數(shù)目，故N稱為粒子數(shù)算符.二.占有數(shù)表象以|n>為基矢的表象稱為占有數(shù)表象湮滅算符a的矩陣元寫(xiě)成矩陣形式：產(chǎn)生算符的矩陣元即：3.粒子數(shù)N的矩陣元所以N的矩陣元為：注意：0，1，2，3……矩陣的行列式按此順序編號(hào)作業(yè)：書(shū)第130頁(yè)，4.6第五章微擾理論前幾章介紹了量子力學(xué)的基本理論，使用這些理論解決了一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.如：一維無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題線性諧振子問(wèn)題勢(shì)壘貫穿問(wèn)題氫原子問(wèn)題這些問(wèn)題都給出了問(wèn)題的精確解析解.然而，對(duì)于大量的實(shí)際問(wèn)題，薛定諤方程能有精確解的情況很少.因此，量子力學(xué)求問(wèn)題近似解的方法就顯得特別重要.近似解問(wèn)題分為兩類體系的哈密頓量不是時(shí)間的顯函數(shù)——定態(tài)問(wèn)題體系的哈密頓兩顯含時(shí)間——狀態(tài)之間的躍遷問(wèn)題我們重點(diǎn)是介紹第一類方法：a、定態(tài)微擾；b、變分法§5.1非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論一、微擾體系方程可精確求解的體系叫做未微擾體系，待求解的體系叫做微擾體系.假設(shè)體系的哈密頓量不顯含時(shí)間，而且可以分為兩部分：（1）其中（2）即由所描寫(xiě)的體系是可以精確求解的.（已知）另一部分是很小的，可以看作加于上的微小擾動(dòng).新在的問(wèn)題是如何求解微擾后哈密頓量的本征值和本征函數(shù)，即如何求解整個(gè)體系的薛定諤方程：（3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，引入微擾，使體系的能級(jí)發(fā)生移動(dòng).既然是微擾，顯然，、則應(yīng)是波數(shù)和能量的主要部分.設(shè)：（4）（5）其中，是零級(jí)近似，，和，分別是體系能量和波函數(shù)的一級(jí)修正和二級(jí)修正.它們具有不同的數(shù)量級(jí).二、關(guān)聯(lián)方程下面我們建立零級(jí)近似，各級(jí)修正之間的互相聯(lián)系的方程，將（4）（5）代入（3）式得（并把同數(shù)量級(jí)的寫(xiě)在一起）這個(gè)等式的兩邊同級(jí)修正的項(xiàng)應(yīng)相等，由此可得到下面一系列的關(guān)聯(lián)奉承.零級(jí)（6）一級(jí)（7）二級(jí)（8）三、能量和波函數(shù)的一級(jí)修正下面討論無(wú)簡(jiǎn)并的情況上面的（6）式就是的本征方程，可精確求解（已知），（7）式是一級(jí)修正所滿足的方程.將（7）式移項(xiàng)可化為：（9）將波函數(shù)的一級(jí)修正按的本征函數(shù)系展開(kāi)，即（10）將（10）式代入（9），則得（11）以左乘上式兩邊，并對(duì)全空間積分，利用的正交歸一性，可得或(12)