高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)培優(yōu)全攻略(新高考專(zhuān)用)第17講　圓錐曲線的綜合問(wèn)題(4大考點(diǎn)母題突破+強(qiáng)化訓(xùn)練)(原卷版+解析)

第17講圓錐曲線的綜合問(wèn)題（4大考點(diǎn)母題突破+強(qiáng)化訓(xùn)練）[考情分析]1.圓錐曲線的綜合問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，常見(jiàn)的熱點(diǎn)題型有范圍、最值問(wèn)題，定點(diǎn)、定直線、定值問(wèn)題及探索性問(wèn)題.2.以解答題的形式壓軸出現(xiàn)，難度較大．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類(lèi)講解母題突破1：范圍、最值問(wèn)題規(guī)律方法求解范圍、最值問(wèn)題的常見(jiàn)方法(1)利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系．(2)利用已知參數(shù)的范圍，在兩個(gè)參數(shù)之間建立函數(shù)關(guān)系．(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式．(4)利用基本不等式．【例1】(2023·全國(guó)甲卷)已知直線x－2y＋1＝0與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝4eq\r(15).(1)求p；(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0，求△MFN面積的最小值．思路分析?聯(lián)立方程利用弦長(zhǎng)求p?設(shè)直線MN：x＝my＋n和點(diǎn)M，N的坐標(biāo)?利用eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0，得m，n的關(guān)系?寫(xiě)出S△MFN的面積?利用函數(shù)性質(zhì)求S△MFN面積的最小值解(1)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,y2＝2px，))可得y2－4py＋2p＝0，所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，所以|AB|＝eq\r(5)×eq\r(yA＋yB2－4yAyB)＝4eq\r(15)，即2p2－p－6＝0，解得p＝2(負(fù)值舍去)．(2)由(1)知y2＝4x，所以焦點(diǎn)F(1,0)，顯然直線MN的斜率不可能為零，設(shè)直線MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝my＋n，))可得y2－4my－4n＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，Δ＝16m2＋16n>0?m2＋n>0，因?yàn)閑q\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0，eq\o(FM,\s\up6(→))＝(x1－1，y1)，eq\o(FN,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，將y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得，4m2＝n2－6n＋1，所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0，所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2eq\r(2)或n≤3－2eq\r(2).設(shè)點(diǎn)F到直線MN的距離為d，所以d＝eq\f(|n－1|,\r(1＋m2))，|MN|＝eq\r(1＋m2)eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(1＋m2)eq\r(16m2＋16n)＝eq\r(1＋m2)eq\r(4n2－6n＋1＋16n)＝2eq\r(1＋m2)|n－1|，所以△MFN的面積S＝eq\f(1,2)×|MN|×d＝eq\f(1,2)×2eq\r(1＋m2)|n－1|×eq\f(|n－1|,\r(1＋m2))＝(n－1)2，而n≥3＋2eq\r(2)或n≤3－2eq\r(2)，所以當(dāng)n＝3－2eq\r(2)時(shí)，△MFN的面積最小，為Smin＝(2－2eq\r(2))2＝12－8eq\r(2)＝4(3－2eq\r(2))．【變式1】（2023·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且，則直線OM的斜率的最大值為（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為．(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1，當(dāng)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；(2)求內(nèi)切圓的圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最大值．【變式3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）第一象限的點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)．(1)求的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線的方程；(2)記的焦點(diǎn)分別為，則四邊形的面積是否有最值？母題突破2：定點(diǎn)(定直線)問(wèn)題規(guī)律方法動(dòng)線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的兩大類(lèi)型及解法(1)動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)(－m,0)．(2)動(dòng)曲線C過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．【例2】（2024·江西·一模）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)C在E上，點(diǎn)分別為直線上的點(diǎn).(1)求的值；(2)設(shè)直線與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為D，求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【變式1】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn).若過(guò)定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式2】（23-24高三下·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上，為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，不垂直軸，為焦點(diǎn)，且滿(mǎn)足．(1)求的值，并證明：線段的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)；(2)設(shè)（1）中定點(diǎn)為，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的方程．【變式3】（23-24高三下·江西·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)拋物線，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)、．當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)已知點(diǎn)，直線、分別與拋物線交于點(diǎn)、.①求證：直線過(guò)定點(diǎn)；②求與面積之和的最小值．母題突破3：定值問(wèn)題規(guī)律方法求解定值問(wèn)題的兩大途徑(1)由特例得出一個(gè)值(此值一般就是定值)→證明定值：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明待證式與參數(shù)(某些變量)無(wú)關(guān)．(2)先將式子用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參數(shù)表示，再利用其滿(mǎn)足的約束條件使其絕對(duì)值相等的正負(fù)項(xiàng)抵消或分子、分母約分得定值．【例3】（2024·遼寧撫順·一模）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，其右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，離心率為，(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)為雙曲線的右支上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線垂直于點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，【變式1】（23-24高三下·江西·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn).(1)若點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值與最小值；(2)若，求的斜率；(3)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式2】（2024·湖南邵陽(yáng)·二模）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，直線與雙曲線交于兩點(diǎn).(1)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，求；(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩點(diǎn)在雙曲線的左支上，則在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值.若存在，請(qǐng)求出面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式3】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，分別為有心二次曲線的左、右焦點(diǎn)，為曲線上任意一點(diǎn)，直線，分別交曲線于點(diǎn)（異于點(diǎn)），設(shè)，，求證：為定值．母題突破4：探究性問(wèn)題【例4】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)和直線，點(diǎn)到的距離.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)不經(jīng)過(guò)圓點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn).設(shè)直線，的斜率分別為，，記，是否存在值使得的面積為定值，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【變式1】（22-23高三下·浙江紹興·開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：.(1)設(shè)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；(2)設(shè)與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在滿(mǎn)足條件的直線，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式2】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線E的離心率為2，過(guò)E的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線，該直線被E截得的弦長(zhǎng)為6．(1)求E的方程；(2)若面積為3的的三個(gè)頂點(diǎn)均在E上，邊過(guò)F，邊過(guò)原點(diǎn)，求直線的方程：(3)已知，過(guò)點(diǎn)的直線l與E在y軸的右側(cè)交于不同的兩點(diǎn)P，Q，l上是否存在點(diǎn)S滿(mǎn)足，且？若存在，求點(diǎn)S的橫坐標(biāo)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式3】（2024·廣東佛山·二模）已知以下事實(shí)：反比例函數(shù)（）的圖象是雙曲線，兩條坐標(biāo)軸是其兩條漸近線．(1)（ⅰ）直接寫(xiě)出函數(shù)的圖象的實(shí)軸長(zhǎng)；（ⅱ）將曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)，得到曲線，直接寫(xiě)出曲線的方程．(2)已知點(diǎn)是曲線的左頂點(diǎn)．圓：（）與直線：交于、兩點(diǎn)，直線、分別與雙曲線交于、兩點(diǎn)．試問(wèn)：點(diǎn)A到直線的距離是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此時(shí)的值；若不存在，說(shuō)明理由．強(qiáng)化訓(xùn)練1.（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上異于的一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.(1)求的方程；(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，記的面積為，過(guò)線段的中點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，設(shè)直線的斜率分別為.①求的取值范圍；②求證：為定值.2.（22-23高三上·河南焦作·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，以線段為直徑的圓與橢圓僅有個(gè)不同的公共點(diǎn)，且橢圓上一點(diǎn)到的距離之和為．(1)求的方程；(2)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于，兩點(diǎn)，，若恒成立，求點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離．3.（2024·陜西西安·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線，其焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線S于A和B兩點(diǎn)，，角（如圖）．(1)求拋物線S的方程；(2)在拋物線S上是否存在關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)，若存在，求出該兩點(diǎn)所在直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4.（2024·安徽阜陽(yáng)·一模）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)當(dāng)直線與雙曲線交于異于的兩點(diǎn)時(shí)，記直線的斜率為，直線的斜率為．是否存在實(shí)數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5.．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，過(guò)橢圓上的定點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩直線，設(shè)其分別交橢圓于兩點(diǎn)，求證：直線的斜率是定值.6．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：.過(guò)點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為和.設(shè)E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之和為2，證明：直線EF恒過(guò)定點(diǎn)；(2)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之積為2，證明：直線EF恒過(guò)定點(diǎn).7．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)為，，其右準(zhǔn)線為，點(diǎn)到直線的距離為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．8．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)P是橢圓C:上的動(dòng)點(diǎn)，，求的最小值.9．（2024·北京豐臺(tái)·一模）已知橢圓()的焦距為，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)為16．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若雙曲線上動(dòng)點(diǎn)Q處的切線交C的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：的面積S是定值．11．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知橢圓：，是的一個(gè)焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，為的左頂點(diǎn)，直線與交于不同的兩點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)直線，分別交軸于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)；在軸上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．12．（2024·山東濟(jì)南·一模）已知雙曲線C：的左右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn).(1)若直線的斜率k存在，求k的取值范圍；(2)記直線，的斜率分別為，，求的值；(3)設(shè)G為直線與直線的交點(diǎn)，，的面積分別為，，求的最小值.13．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，下頂點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)均在橢圓上，且滿(mǎn)足直線與的斜率之積為，（?。┣笞C：直線過(guò)定點(diǎn)；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線的方程．14．（2024·貴州黔東南·二模）已知雙曲線的漸近線方程為的焦距為，且.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為上的一點(diǎn)，且為圓外一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，（斜率都存在），與交于另一點(diǎn)與交于另一點(diǎn)，證明：（i）的斜率之積為定值；（ii）存在定點(diǎn)，使得關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).15．（23-24高三下·浙江·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)在第一象限）.(1)當(dāng)時(shí)，求直線的方程;(2)若三角形OMN的外接圓與曲線交于點(diǎn)（異于點(diǎn)O，M，N），（i）證明:△MND的重心的縱坐標(biāo)為定值，并求出此定值;（ii）求凸四邊形OMDN的面積的取值范圍.16．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且在第一象限內(nèi)，滿(mǎn)足.(1)求的平分線所在的直線的方程；(2)在橢圓上是否存在關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的相異的兩點(diǎn)，若存在，請(qǐng)找出這兩點(diǎn)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)已知雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且雙曲線與橢圓相交于，若四邊形的面積最大時(shí)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.17．（2024·廣東廣州·一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的方程：(2)若直線與交于，兩點(diǎn)，且，求的取值范圍：(3)已知點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在定圓，使得當(dāng)過(guò)點(diǎn)能作圓的兩條切線，時(shí)（其中，分別是兩切線與的另一交點(diǎn)），總滿(mǎn)足？若存在，求出圓的半徑：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（2024·江蘇·一模）已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A，直線l：與x軸交于點(diǎn)M，且，(1)求C的方程；(2)B為l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)B作C的兩條切線，分別交y軸于點(diǎn)P，Q，①證明：直線BP，BF，BQ的斜率成等差數(shù)列；②⊙N經(jīng)過(guò)B，P，Q三點(diǎn)，是否存在點(diǎn)B，使得，？若存在，求；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）設(shè)、是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，線段的中垂線與橢圓交于，兩點(diǎn)；(1)求的方程，并確定的取值范圍：(2)判斷是否存在，使、、、四點(diǎn)共圓，若存在，則寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因．20．（2024·四川成都·二模）已知雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為.過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，且直線的斜率之積為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線分別與直線相交于兩點(diǎn)，求證：以為直徑的圓經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).第17講圓錐曲線的綜合問(wèn)題（4大考點(diǎn)母題突破+強(qiáng)化訓(xùn)練）[考情分析]1.圓錐曲線的綜合問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，常見(jiàn)的熱點(diǎn)題型有范圍、最值問(wèn)題，定點(diǎn)、定直線、定值問(wèn)題及探索性問(wèn)題.2.以解答題的形式壓軸出現(xiàn)，難度較大．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類(lèi)講解母題突破1：范圍、最值問(wèn)題規(guī)律方法求解范圍、最值問(wèn)題的常見(jiàn)方法(1)利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系．(2)利用已知參數(shù)的范圍，在兩個(gè)參數(shù)之間建立函數(shù)關(guān)系．(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式．(4)利用基本不等式．【例1】(2023·全國(guó)甲卷)已知直線x－2y＋1＝0與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝4eq\r(15).(1)求p；(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0，求△MFN面積的最小值．思路分析?聯(lián)立方程利用弦長(zhǎng)求p?設(shè)直線MN：x＝my＋n和點(diǎn)M，N的坐標(biāo)?利用eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0，得m，n的關(guān)系?寫(xiě)出S△MFN的面積?利用函數(shù)性質(zhì)求S△MFN面積的最小值解(1)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,y2＝2px，))可得y2－4py＋2p＝0，所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，所以|AB|＝eq\r(5)×eq\r(yA＋yB2－4yAyB)＝4eq\r(15)，即2p2－p－6＝0，解得p＝2(負(fù)值舍去)．(2)由(1)知y2＝4x，所以焦點(diǎn)F(1,0)，顯然直線MN的斜率不可能為零，設(shè)直線MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝my＋n，))可得y2－4my－4n＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，Δ＝16m2＋16n>0?m2＋n>0，因?yàn)閑q\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0，eq\o(FM,\s\up6(→))＝(x1－1，y1)，eq\o(FN,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，將y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得，4m2＝n2－6n＋1，所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0，所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋2eq\r(2)或n≤3－2eq\r(2).設(shè)點(diǎn)F到直線MN的距離為d，所以d＝eq\f(|n－1|,\r(1＋m2))，|MN|＝eq\r(1＋m2)eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(1＋m2)eq\r(16m2＋16n)＝eq\r(1＋m2)eq\r(4n2－6n＋1＋16n)＝2eq\r(1＋m2)|n－1|，所以△MFN的面積S＝eq\f(1,2)×|MN|×d＝eq\f(1,2)×2eq\r(1＋m2)|n－1|×eq\f(|n－1|,\r(1＋m2))＝(n－1)2，而n≥3＋2eq\r(2)或n≤3－2eq\r(2)，所以當(dāng)n＝3－2eq\r(2)時(shí)，△MFN的面積最小，為Smin＝(2－2eq\r(2))2＝12－8eq\r(2)＝4(3－2eq\r(2))．【變式1】（2023·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且，則直線OM的斜率的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，確定，根據(jù)向量之間的關(guān)系得到，得到，，利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】，設(shè)，顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，要想求解直線OM的斜率的最大值，此時(shí)．

設(shè)，，，則，即，解得．，故，即，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故直線OM的斜率的最大值為．故選：B.【變式2】（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為．(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1，當(dāng)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；(2)求內(nèi)切圓的圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最大值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）設(shè)，依題意得到關(guān)于的方程組，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，結(jié)合即可得解；（2）聯(lián)立直線與拋物線的方程，證得內(nèi)切圓的圓心在軸上，再利用角平分線定理得到，分析的取值情況，從而得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【詳解】（1）由題意，知，設(shè)，則，又，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程，得，聯(lián)立，解得或，所以或，又，所以或，所以直線的方程為或，即或.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理，得，所以，所以，所以，即內(nèi)切圓的圓心在軸上，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，由角平分線定理，得，過(guò)點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為，則，即，故當(dāng)最大時(shí)，最小，所以只有當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，取得最小值，此時(shí)直線斜率存在，設(shè)切線為，聯(lián)立，消去，得，則，解得，則的最小值為，易知，則，解得，所以?xún)?nèi)切圓的圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.【變式3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）第一象限的點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)．(1)求的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線的方程；(2)記的焦點(diǎn)分別為，則四邊形的面積是否有最值？【答案】(1)(2)在上沒(méi)有最值．【分析】（1）設(shè)，得到，求出，，得到軌跡方程；（2）根據(jù)四邊形為梯形，表達(dá)出面積，求導(dǎo)得到單調(diào)性，在上沒(méi)有最值.【詳解】（1）設(shè)，，則有，其中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，則，即，，故的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線的方程．（2）因?yàn)榕c平行，所以四邊形是梯形，

其上底為，下底為，高為，所以其面積，又，所以，令，則，所以即關(guān)于單調(diào)遞增，

又當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，所以在上沒(méi)有最值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法，（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．母題突破2：定點(diǎn)(定直線)問(wèn)題規(guī)律方法動(dòng)線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的兩大類(lèi)型及解法(1)動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)(－m,0)．(2)動(dòng)曲線C過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．【例2】（2024·江西·一模）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)C在E上，點(diǎn)分別為直線上的點(diǎn).(1)求的值；(2)設(shè)直線與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為D，求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）解法一：設(shè)，根據(jù)斜率公式得，然后根據(jù)點(diǎn)C在橢圓上化簡(jiǎn)即可求解；解法二：設(shè)，利用三點(diǎn)共線的向量形式求得，，結(jié)合點(diǎn)C在橢圓上化簡(jiǎn)即可求解；（2）解法一：聯(lián)立直線MA與橢圓E方程，利用韋達(dá)定理得，同理得點(diǎn)的坐標(biāo)為，分類(lèi)討論求得直線的方程，即可求得直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)；解法二：設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓E方程，結(jié)合韋達(dá)定理利用求得，從而求得直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn).【詳解】（1）解法一：設(shè)，由題可知，，又，由，在上，則，，.解法二：設(shè)，則，∵A、C、M三點(diǎn)共線，∴，同理：，∴，又在曲線E上，∴，代入上式得：.（2）解法一：由題可知，直線MA的方程為：，聯(lián)立方程可得：，=45>0，，，又，，，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，（i）當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，，即，，，此時(shí)直線的方程為；（ii）當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，，故直線的方程為，令，則，整理得，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)綜上，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).解法二：由，又，∴，由題可得直線顯然不與x軸平行，設(shè)直線的方程為：，由得，，又，由得或（舍去），∴直線：，∴直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【變式1】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，，為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn).若過(guò)定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】過(guò)定點(diǎn)，【分析】根據(jù)題意，平移坐標(biāo)系，得到直線與橢圓方程，聯(lián)立之后結(jié)合韋達(dá)定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】將坐標(biāo)系左移2個(gè)單位長(zhǎng)度（即橢圓右移），則橢圓方程變?yōu)?，?設(shè)直線為直線，平移后為直線，聯(lián)立齊次化得，整理可得，兩邊同除以，得，則，解得.把代入直線中，得，當(dāng)時(shí)，，所以過(guò)定點(diǎn)，則直線過(guò)定點(diǎn).【變式2】（23-24高三下·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上，為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，不垂直軸，為焦點(diǎn)，且滿(mǎn)足．(1)求的值，并證明：線段的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)；(2)設(shè)（1）中定點(diǎn)為，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的方程．【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）代入點(diǎn)的坐標(biāo)可得拋物線方程，聯(lián)立方程，利用垂直和平分求出垂直平分線的方程可得答案；（2）先求出弦長(zhǎng)和高，表示出三角形的面積，利用導(dǎo)數(shù)求解可得答案.【詳解】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程，可得，解得，所以拋物線方程為，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，消去得，，由韋達(dá)定理得，根據(jù)拋物線定義：，可得，此時(shí)，解得或，設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，可得的垂直平分線方程為：，將代入整理得：，故的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)．（2）由（1）可得，且點(diǎn)到直線的距離，則的面積為，可得，

設(shè)，設(shè)，則令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，的面積取最大值，此時(shí)，即．此時(shí).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題求解方法：先把目標(biāo)式表示出來(lái)，根據(jù)目標(biāo)式的特點(diǎn)選擇合適的方法進(jìn)行求解，常用方法有：①二次函數(shù)法：利用換元法，目標(biāo)式化成二次型，結(jié)合二次函數(shù)求解；②基本不等式法：把目標(biāo)式化成能使用基本不等式的結(jié)構(gòu)，利用基本不等式求解；③導(dǎo)數(shù)法：求解導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值.【變式3】（23-24高三下·江西·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)拋物線，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)、．當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)已知點(diǎn)，直線、分別與拋物線交于點(diǎn)、.①求證：直線過(guò)定點(diǎn)；②求與面積之和的最小值．【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)解析；②.【分析】（1）利用弦長(zhǎng)求解，即可求解拋物線方程；（2）①設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，韋達(dá)定理找到坐標(biāo)關(guān)系，表示出直線方程，即可求出定點(diǎn)；②利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得與面積之和的最小值．【詳解】（1）解：由題意，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立可得，則，所以，即，所以拋物線的方程為.（2）證明：①若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，同理可知，直線也不與軸重合，易知點(diǎn)，設(shè)、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，，因此，.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則，因此，，則，同理可得.所以.因此直線的方程為，由對(duì)稱(chēng)性知，定點(diǎn)在軸上，令得，，所以，直線過(guò)定點(diǎn).解：②記點(diǎn)，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故與面積之和的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.母題突破3：定值問(wèn)題規(guī)律方法求解定值問(wèn)題的兩大途徑(1)由特例得出一個(gè)值(此值一般就是定值)→證明定值：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明待證式與參數(shù)(某些變量)無(wú)關(guān)．(2)先將式子用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參數(shù)表示，再利用其滿(mǎn)足的約束條件使其絕對(duì)值相等的正負(fù)項(xiàng)抵消或分子、分母約分得定值．【例3】（2024·遼寧撫順·一模）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，其右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，離心率為，(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)為雙曲線的右支上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線垂直于點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，【答案】(1)(2)存在點(diǎn)使為定值3，的坐標(biāo)為【分析】（1）利用待定系數(shù)法，結(jié)合點(diǎn)線距離公式與雙曲線的離心率得到關(guān)于的方程組，解之即可得解；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，得到，再由三點(diǎn)共線與三點(diǎn)共線得關(guān)于的方程，分析得，從而得到直線過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而求得點(diǎn)，由此得解.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則其漸近線為，由已知可得，結(jié)合，可得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）由已知，直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，由消去并整理得，①則，且由這個(gè)方程的判別式可得，設(shè)，則，由已知可得，設(shè)，由三點(diǎn)共線可得，由三點(diǎn)共線可得，消去并整理得，又，所以上式可化為，即，整理可得，若，則，代入①式可得，因?yàn)辄c(diǎn)不與點(diǎn)重合，所以，即，所以，所以，即，所以直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)橹本€垂直于直線，垂足為點(diǎn)，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，所以存在點(diǎn)使為定值3，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.【變式1】（23-24高三下·江西·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn).(1)若點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值與最小值；(2)若，求的斜率；(3)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)最大值為，最小值為；(2)(3)存在定點(diǎn)【分析】（1）由題意，根據(jù)橢圓的定義可得，則，當(dāng)點(diǎn)與的左、右頂點(diǎn)重合時(shí)取到最值；（2）設(shè)，根據(jù)平面共線向量的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)表示斜率公式計(jì)算即可求解；（3）假設(shè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)存在，易知直線的斜率不存在時(shí)；設(shè)，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示出，代入，化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解.【詳解】（1）設(shè)的左焦點(diǎn)為，則，由橢圓的定義知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與的左頂點(diǎn)重合時(shí)取等號(hào)，即的最大值為；，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與的右頂點(diǎn)重合時(shí)取等號(hào).即的最小值為.（2）設(shè)，則由，得，所以，即，又在上，所以，即解得即.故直線的斜率為.（3）假設(shè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)存在，設(shè)，則，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，把代入，得，所以，，，所以為定值，所以，解得，存在定點(diǎn)，使得為定值；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得滿(mǎn)足為定值.綜上，存在定點(diǎn)，使得為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．【變式2】（2024·湖南邵陽(yáng)·二模）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，直線與雙曲線交于兩點(diǎn).(1)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，求；(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩點(diǎn)在雙曲線的左支上，則在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值.若存在，請(qǐng)求出面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）先利用點(diǎn)在雙曲線上和雙曲線的性質(zhì)求出雙曲線方程，然后分直線的斜率存在與否討論，存在時(shí)，設(shè)出直線方程，利用韋達(dá)定理法表示出，再代入直線方程表示出，最后利用向量的數(shù)量積為零求出斜率，再代入弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)；（2）假設(shè)存在，設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理法表示出，要使為定值，則，解出后得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再用弦長(zhǎng)公式表示出三角形的面積，最后利用換元法和分離常數(shù)法結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出面積的最小值.【詳解】（1）

把代入得：，又.又，解得.雙曲線方程為.若直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)不妨設(shè).，舍去.若的斜率存在，設(shè)方程為，代入，化簡(jiǎn)得，，設(shè)，則，.，得，即.則..（2）

假設(shè)存在，使得為定值.設(shè)方程為，代入，化簡(jiǎn)得.由題意..由題意.要使為定值，則，解之得.存在，使得為定值.此時(shí)令，..由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在遞減，在時(shí)取得最大值1.的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）求弦長(zhǎng)時(shí)，可用弦長(zhǎng)公式，韋達(dá)定理表示出兩根之和和兩根之積；（2）對(duì)于直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，可采用向量垂直數(shù)量積為零，求出關(guān)于參數(shù)的方程，再討論定點(diǎn)問(wèn)題；（3）求圓錐曲線中三角形的面積最值問(wèn)題時(shí)，可用弦長(zhǎng)公式表示出面積，再結(jié)合換元法或基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性求出面積的最值.【變式3】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，分別為有心二次曲線的左、右焦點(diǎn)，為曲線上任意一點(diǎn)，直線，分別交曲線于點(diǎn)（異于點(diǎn)），設(shè)，，求證：為定值．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】將，代入曲線方程,，然后結(jié)合定比分點(diǎn)公式化簡(jiǎn)整理求.【詳解】設(shè)，，．因?yàn)?，所以，將，代入曲線方程，得，，得．兩邊同除以，并整理得，所以，即．又，即，兩式相加，得．同理，所以為定值．定比分點(diǎn)公式：若，則稱(chēng)點(diǎn)M為AB的定比分點(diǎn)，若，，則.母題突破4：探究性問(wèn)題【例4】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)和直線，點(diǎn)到的距離.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)不經(jīng)過(guò)圓點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn).設(shè)直線，的斜率分別為，，記，是否存在值使得的面積為定值，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）利用直接法求得軌跡方程；（2）設(shè)，，分別表示，及，進(jìn)而表示，可知，當(dāng)時(shí)，為定值，即面積為定值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由，當(dāng)時(shí)，，不成立，所以，則，即；（2）設(shè)，，則，，又點(diǎn)在橢圓上，則，則，同理，設(shè)直線與的傾斜角分別為，，則，則，則，所以當(dāng)時(shí)，為定值，即面積為定值.

【變式1】（22-23高三下·浙江紹興·開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：.(1)設(shè)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；(2)設(shè)與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在滿(mǎn)足條件的直線，使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，將轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，求取值范圍；（2）設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)中點(diǎn)為D，若是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則，，解出直線方程.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則，，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.（2）設(shè)直線l：（），，，，消去y得，，由題，，，，，，若是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則，，所以，①設(shè)中點(diǎn)為D，則，因?yàn)?，所以，即，②由①②，得，或，，滿(mǎn)足，所以存在直線l使得是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，直線方程為或.【變式2】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線E的離心率為2，過(guò)E的右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線，該直線被E截得的弦長(zhǎng)為6．(1)求E的方程；(2)若面積為3的的三個(gè)頂點(diǎn)均在E上，邊過(guò)F，邊過(guò)原點(diǎn)，求直線的方程：(3)已知，過(guò)點(diǎn)的直線l與E在y軸的右側(cè)交于不同的兩點(diǎn)P，Q，l上是否存在點(diǎn)S滿(mǎn)足，且？若存在，求點(diǎn)S的橫坐標(biāo)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)或；(3)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）依題意設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)條件即可得結(jié)果；（2）根據(jù)直線與雙曲線相交，由弦長(zhǎng)公式及三角形面積公式可得結(jié)果；（3）根據(jù)直線與雙曲線相交，由條件得出點(diǎn)S的軌跡可判斷結(jié)果.【詳解】（1）圓錐曲線E的離心率為2，故E為雙曲線，

因?yàn)镋中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)E的方程為，

令，解得，所以有

①

又由離心率為2，得

②，由①②解得，所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）設(shè)，，由已知，得，根據(jù)直線過(guò)原點(diǎn)及對(duì)稱(chēng)性，知，

聯(lián)立方程，得，化簡(jiǎn)整理，得，

所以，且，

所以，解得，

所以直線的方程是或．

（3）若直線l斜率不存在，此時(shí)直線l與雙曲線右支無(wú)交點(diǎn)，不合題意，故直線l斜率存在，設(shè)直線l方程，聯(lián)立方程，得，化簡(jiǎn)整理，得，依題意有，因?yàn)楹愠闪?，所以，故，解得：?/p>

設(shè)，，則由韋達(dá)定理，得，設(shè)點(diǎn)S的坐標(biāo)為，由，得，則，變形得到，將，代入，解得，將代入中，解得，消去k，得到點(diǎn)S的軌跡為定直線：上的一段線段（不含線段端點(diǎn)，，設(shè)直線與雙曲線切于，直線與漸近線平行時(shí)于交點(diǎn)為）．

因?yàn)椋?，且，取中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，故，即S的軌跡方程為，表示以點(diǎn)H為圓心，半徑為的圓H，設(shè)直線與y軸，x軸分別交于，，依次作出直線，，，，且四條直線的斜率分別為：，，，，因?yàn)?，所以線段是線段的一部分

經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)，均在圓H內(nèi)部，所以線段也必在圓H內(nèi)部，因此線段也必在圓H內(nèi)部，所以滿(mǎn)足條件的點(diǎn)S始終在圓H內(nèi)部，故不存在這樣的點(diǎn)S，使得，且成立．

【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線相交，常利用“設(shè)而不求”的方法解決弦長(zhǎng)，面積，數(shù)量積，斜率等問(wèn)題.【變式3】（2024·廣東佛山·二模）已知以下事實(shí)：反比例函數(shù)（）的圖象是雙曲線，兩條坐標(biāo)軸是其兩條漸近線．(1)（ⅰ）直接寫(xiě)出函數(shù)的圖象的實(shí)軸長(zhǎng)；（ⅱ）將曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)，得到曲線，直接寫(xiě)出曲線的方程．(2)已知點(diǎn)是曲線的左頂點(diǎn)．圓：（）與直線：交于、兩點(diǎn)，直線、分別與雙曲線交于、兩點(diǎn)．試問(wèn)：點(diǎn)A到直線的距離是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此時(shí)的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)（ⅰ）2；（ⅱ）．(2)存在，點(diǎn)A到直線距離的最大值為2，．【分析】（1）由題意結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，即可求得答案；（2）方法一：設(shè)，，，設(shè)：，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，結(jié)合，即可求得參數(shù)之間的關(guān)系，代入，即可求得答案；方法二：設(shè)，，，，，利用，的方程求出，，的表達(dá)式，即可得的坐標(biāo)，從而求出的方程，可推出過(guò)定點(diǎn)，即可求得答案；方法三：設(shè)，，，，，可得，設(shè)：，聯(lián)立雙曲線方程化簡(jiǎn)得出，變形后利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出，求出n，即可推出過(guò)定點(diǎn)，即可求得答案..【詳解】（1）（?。┯深}意可知雙曲線的實(shí)軸在上，聯(lián)立，解得或，即雙曲線的兩頂點(diǎn)為，故實(shí)軸長(zhǎng)為；（ⅱ）將曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)，得到曲線，曲線的方程為；（2）方法一：設(shè)，，，顯然直線的斜率存在，設(shè)：，聯(lián)立：得，所以，，①，因?yàn)椋?，令，則，同理，，②依題意得，③由①②③得，，所以，即或，若，則：過(guò)點(diǎn)A，不合題意；若，則：．所以，恒過(guò)，所以，．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得，此時(shí)方程為，結(jié)合，解得，，，綜上所述，點(diǎn)A到直線距離的最大值為2，此時(shí)圓的半徑為；方法二：設(shè)，，，，，則：，：，聯(lián)立，得，為此方程的一根，另外一根為，則，代入方程得，，同理可得，，即，，則，所以直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn),所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得，解得,綜上所述，點(diǎn)A到直線距離的最大值為2，此時(shí)圓的半徑為；方法三：設(shè)，，，，，則，依題意，直線不過(guò)點(diǎn)A，可設(shè)：，曲線的方程改寫(xiě)為，即，聯(lián)立直線的方程得，所以，若，則，代入直線方程，無(wú)解；故，兩邊同時(shí)除以得，則，得，在直線：中，令，則，所以，恒過(guò)，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得，此時(shí)，符合題意，且方程為，解得，，，綜上所述，點(diǎn)A到直線距離的最大值為2，此時(shí)圓的半徑為．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線方程的求解以及直線和雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，其中的難點(diǎn)是求解最值問(wèn)題，解答時(shí)要注意利用直線方程和雙曲線方程的聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，難點(diǎn)就在于化簡(jiǎn)的過(guò)程十分復(fù)雜，計(jì)算量大，并且基本上都是有關(guān)字母參數(shù)的運(yùn)算，需要有較強(qiáng)的計(jì)算能力.強(qiáng)化訓(xùn)練1.（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上異于的一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.(1)求的方程；(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，記的面積為，過(guò)線段的中點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，設(shè)直線的斜率分別為.①求的取值范圍；②求證：為定值.【答案】(1)(2)①；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)離心率以及面積的最大值，構(gòu)造方程解方程可得的方程為；（2）①聯(lián)立橢圓與直線方程得出的面積的表達(dá)式，利用對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性即可求得的取值范圍為；②利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，得出斜率表達(dá)式即可得，可得為定值.【詳解】（1）由題意知，解得，所以的方程為；（2）①易知，設(shè)直線方程為，如下圖所示：聯(lián)立，消去可得，所以，且，可得，令，可得，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得在時(shí)單調(diào)遞增；所以可得；即的取值范圍為.②易知，可得；所以；因此為定值.2.（22-23高三上·河南焦作·期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，以線段為直徑的圓與橢圓僅有個(gè)不同的公共點(diǎn)，且橢圓上一點(diǎn)到的距離之和為．(1)求的方程；(2)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于，兩點(diǎn)，，若恒成立，求點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圓與橢圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)可知，結(jié)合橢圓定義和橢圓之間關(guān)系即可求得橢圓方程；（2）易知在橢圓內(nèi)部；當(dāng)直線斜率為時(shí)，不是定點(diǎn)，不合題意，由此可設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論；根據(jù)可知，由斜率公式和韋達(dá)定理的結(jié)論可化簡(jiǎn)得到或；分析可知滿(mǎn)足題意，由此確定；設(shè)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最小值的求解問(wèn)題，由此可得結(jié)果.【詳解】（1）以為直徑的圓與橢圓僅有個(gè)不同的公共點(diǎn)，，由橢圓定義知：，解得：，，解得：，的方程為：.（2）若點(diǎn)在橢圓上或橢圓外，此時(shí)，不合題意，在橢圓內(nèi)部，即；當(dāng)直線斜率為時(shí)，為橢圓左右頂點(diǎn)，此時(shí)恒成立，則不是定點(diǎn)，不合題意；當(dāng)直線斜率不為時(shí)，設(shè)，由得：，，則；設(shè)，，則，；，，，.或；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)恒成立，則不是定點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足；綜上所述：定點(diǎn)的坐標(biāo)為；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定點(diǎn)問(wèn)題的求解，求解此類(lèi)問(wèn)題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系或求得變量的值；④利用變量間的關(guān)系或變量值確定定點(diǎn)坐標(biāo).3.（2024·陜西西安·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線，其焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線S于A和B兩點(diǎn)，，角（如圖）．(1)求拋物線S的方程；(2)在拋物線S上是否存在關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)，若存在，求出該兩點(diǎn)所在直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)不存在，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線定義及給定弦長(zhǎng)求出即得.（2）假設(shè)存在符合要求的兩點(diǎn)，并設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用對(duì)稱(chēng)思想列式求解判斷即得.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，直線方程為，設(shè)，由消去得：，則，，，于是，解得，所以拋物線S的方程為.（2）由（1）知直線：，假設(shè)在拋物線S上存在關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)，設(shè)這兩點(diǎn)坐標(biāo)為，于是直線的斜率，解得，線段的中點(diǎn)在直線上，則，而應(yīng)在線段上，必有與矛盾，所以在拋物線S上不存在關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式（或），若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式.4.（2024·安徽阜陽(yáng)·一模）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)當(dāng)直線與雙曲線交于異于的兩點(diǎn)時(shí)，記直線的斜率為，直線的斜率為．是否存在實(shí)數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而可得，根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式表達(dá)斜率，進(jìn)而代入化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】（1），故當(dāng)直線過(guò)且與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，與的漸近線平行．設(shè)直線，則點(diǎn)到直線的距離為，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題可知，直線的斜率不為0，設(shè)直線，由得．成立，則，．，．故存在實(shí)數(shù)，使得成立．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線相交的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情況，強(qiáng)化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．5.．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，過(guò)橢圓上的定點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩直線，設(shè)其分別交橢圓于兩點(diǎn)，求證：直線的斜率是定值.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】設(shè)直線的方程為，，將橢圓方程化為，與直線方程聯(lián)立，齊次化并整理，再利用韋達(dá)定理求出，再結(jié)合，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意可得直線不過(guò)點(diǎn)，且直線的斜率都存在，設(shè)直線的方程為，，因?yàn)?，所以橢圓方程可化為，聯(lián)立，齊次化并整理可得，由韋達(dá)定理得，又因?yàn)椋?，所以，故直線的斜率為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．6．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓C：.過(guò)點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為和.設(shè)E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之和為2，證明：直線EF恒過(guò)定點(diǎn)；(2)如果直線AE的斜率與直線AF的斜率之積為2，證明：直線EF恒過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）將直線方程與橢圓方程齊次化，利用韋達(dá)定理可得直線EF的方程為，可得結(jié)論；（2）由（1）中的結(jié)論由韋達(dá)定理可得直線EF的方程為，得出證明.【詳解】（1）設(shè)直線EF方程為，即，從而.又橢圓過(guò)點(diǎn)，可得整理可得所以即則顯然這是一個(gè)關(guān)于的一元二次方程.對(duì)于問(wèn)題（1），由韋達(dá)定理得所以，故，則所以直線EF恒過(guò)定點(diǎn).（2）對(duì)于問(wèn)題（2），由韋達(dá)定理得所以，則，所以直線EF恒過(guò)定點(diǎn).7．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)為，，其右準(zhǔn)線為，點(diǎn)到直線的距離為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】（1）由右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離以及通徑長(zhǎng)度，結(jié)合之間的平方關(guān)系即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立雙曲線方程結(jié)合韋達(dá)定理得，用以及的坐標(biāo)表示出點(diǎn)以及的方程，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，只需在的直線方程中，令，證明相應(yīng)的為定值即可求解.【詳解】（1）由題意，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，直線，當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，所以，直線的方程為：，所以的方程為，由對(duì)稱(chēng)性可知過(guò)的定點(diǎn)一定在軸上，令，又，所以，所以直線過(guò)定點(diǎn).8．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)P是橢圓C:上的動(dòng)點(diǎn)，，求的最小值.【答案】【分析】首先得出的表達(dá)式，再對(duì)其分類(lèi)討論求最小值即可解決.【詳解】設(shè)，則則==，當(dāng)時(shí)，，在時(shí)取最小值，當(dāng)時(shí)，，在時(shí)取最小值，當(dāng)時(shí)，，在時(shí)取最小值綜上，9．（2024·北京豐臺(tái)·一模）已知橢圓()的焦距為，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)為16．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【分析】(1)根據(jù)焦距可求c，根據(jù)已知四邊形周長(zhǎng)及a、b、c的關(guān)系可求出a、b，從而可求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)由題可知，若存在定點(diǎn)，使得，等價(jià)于以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)．從而只需從直線l斜率不存著時(shí)入手求出該定點(diǎn)D，斜率存在時(shí)驗(yàn)算即可．【詳解】（1）由題意得解得∴橢圓的方程為．（2）若存在定點(diǎn)，使得，等價(jià)于以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，為直徑的圓的方程為①，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，令，得，因此為直徑的圓的方程為②．聯(lián)立①②，得猜測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)直線的方程為，由得．設(shè)，則∴綜上，存在定點(diǎn)，使得．10．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若雙曲線上動(dòng)點(diǎn)Q處的切線交C的兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：的面積S是定值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由雙曲線的漸近線方程結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求雙曲線方程；（2）討論直線的斜率是否存在，且當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)，找到參數(shù)之間的關(guān)系，線段的長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，求得面積，即可證明.【詳解】（1）由已知得漸近線方程為，右焦點(diǎn)，，，，解得．，，，雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①當(dāng)直線經(jīng)過(guò)雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)直線的斜率不存在，此時(shí)直線方程為，此時(shí)易得，點(diǎn)到直線的距離為，所以此時(shí)；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，由得，因?yàn)橹本€于雙曲線相切，所以且，整理得且，即，由得，則，同理得到，所以點(diǎn)到直線的距離所以，所以的面積為定值.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用，找到參數(shù)之間的關(guān)系，再利用公式求得，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出三角形的高，進(jìn)而求出面積是解題關(guān)鍵.11．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知橢圓：，是的一個(gè)焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，為的左頂點(diǎn)，直線與交于不同的兩點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)直線，分別交軸于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)；在軸上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，H的坐標(biāo)為和．【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，再結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，解方程組即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，表示出直線的方程，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，同理得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再由得到，坐標(biāo)代入后結(jié)合題中條件進(jìn)一步計(jì)算求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解.【詳解】（1）由題意可知，橢圓C的半焦距，由得，把D的坐標(biāo)代入C的方程得，由解得所以C的方程為．（2）假設(shè)在軸上存在點(diǎn)H，使得．設(shè)，由，可知，所以，即，所以．因?yàn)橹本€交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．設(shè)，，（，且），由題意得，則直線RP的方程為，令，得，直線RQ的方程為，令，得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵贑上，所以，即，所以，得．當(dāng)時(shí)，由，得，，，所以，，所以，又，為銳角，所以，所以，滿(mǎn)足題意，同理當(dāng)時(shí)，也滿(mǎn)足題意．所以，在軸上存在點(diǎn)H，使得，且H的坐標(biāo)為和．12．（2024·山東濟(jì)南·一模）已知雙曲線C：的左右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn).(1)若直線的斜率k存在，求k的取值范圍；(2)記直線，的斜率分別為，，求的值；(3)設(shè)G為直線與直線的交點(diǎn)，，的面積分別為，，求的最小值.【答案】(1)；(2)；(3)3.【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合題意列出不等式組，即可求解；（2）由（1）得到，求得，結(jié)合斜率公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解；（3）由（2）可知，設(shè)與的方程分別為和，兩兩方程組，求得，結(jié)合三角形的面積公式和不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，可得，解得，又由直線的斜率為，可得的取值范圍是.（2）解：由雙曲線，可得，，由（1）可得，，則.所以.（3）解：由（2）可知，所以直線與直線的方程分別為和，聯(lián)立兩直線方程可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，于是，故的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)成立.

【點(diǎn)睛】方法技巧：求解圓錐曲線的最值問(wèn)題的解答策略與技巧：1、幾何方法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓、圓錐曲線的定義、圖形，以及幾何性質(zhì)求解；2、代數(shù)方法：當(dāng)題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③單調(diào)性法；④三角換元法；⑤導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.13．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，下頂點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)均在橢圓上，且滿(mǎn)足直線與的斜率之積為，（?。┣笞C：直線過(guò)定點(diǎn)；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線的方程．【答案】(1)(2)（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）【分析】（1）首先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到，再由橢圓過(guò)點(diǎn)，求出；（2）（ⅰ）設(shè)直線的方程為，、，直線方程代入橢圓方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入后化簡(jiǎn)得的值，代入直線方程可得定點(diǎn)坐標(biāo)；（ⅱ）設(shè)直線恒過(guò)定點(diǎn)為，由，可得，結(jié)合（ⅰ）中韋達(dá)定理求出、，即可求出，從而求出直線方程.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，所以橢圓的下頂點(diǎn)，則，又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓方程為；（2）（ⅰ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，所以，則，與矛盾，所以直線的斜率存在，由已知直線斜率同號(hào)，因此直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由得，由，可得，所以，，則，，所以，即，所以，解得或，當(dāng)時(shí)直線方程為，令，可得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)直線方程為，令，可得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，符合題意．綜上可得直線恒過(guò)定點(diǎn).（ⅱ）設(shè)直線恒過(guò)定點(diǎn)為，此時(shí)，解得，由，可得，又，，所以，，所以，解得，滿(mǎn)足，所以，所以直線方程為.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理圓錐曲線上直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的方法．設(shè)出直線方程為，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立方程組，消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入題中關(guān)于交點(diǎn)的滿(mǎn)足的的條件可得出關(guān)系，從而代入直線方程后得定點(diǎn)坐標(biāo)．14．（2024·貴州黔東南·二模）已知雙曲線的漸近線方程為的焦距為，且.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為上的一點(diǎn)，且為圓外一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，（斜率都存在），與交于另一點(diǎn)與交于另一點(diǎn)，證明：（i）的斜率之積為定值；（ii）存在定點(diǎn)，使得關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用漸近線方程可得，再由焦距為以及即可求得，，可得的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）（i）設(shè)切線方程為，利用直線和圓相切可得，再由韋達(dá)定理整理可得的斜率之積為定值，且定值為2；（ii）聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得，同理可求出，化簡(jiǎn)得，所以，因此關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).【詳解】（1）因?yàn)榈臐u近線方程為，所以，則，所以，因?yàn)?，所以，?因?yàn)椋?，可得，所以，故的?biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：（i）設(shè)，如下圖所示：設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為，則切線方程為，即，所以，即，因此的斜率是上式中方程的兩根，即.又因?yàn)樗运缘男甭手e為定值，且定值為2.（ii）不妨設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，聯(lián)立，得.因?yàn)?，所以，則，同理可得，所以.因?yàn)?，所?所以，得.因?yàn)槎荚谏?，所以或（舍去），所以存在定點(diǎn)，使得關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理圓錐曲線中定點(diǎn)、定值時(shí)，經(jīng)常聯(lián)立直線和曲線方程利用韋達(dá)定理對(duì)表達(dá)式進(jìn)行整理化簡(jiǎn)，便可得出結(jié)論.15．（23-24高三下·浙江·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)在第一象限）.(1)當(dāng)時(shí)，求直線的方程;(2)若三角形OMN的外接圓與曲線交于點(diǎn)（異于點(diǎn)O，M，N），（i）證明:△MND的重心的縱坐標(biāo)為定值，并求出此定值;（ii）求凸四邊形OMDN的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；縱坐標(biāo)為0；（ii）.【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理和已知關(guān)系即可求解.（2）（i）由O，M，D，N四點(diǎn)共圓，設(shè)該圓的方程為，聯(lián)立，消去，得，由方程根的思想即可求解.或O，M，C，N四點(diǎn)共圓，由，，也可求解.（2）（ii）記的面積分別為，分別聯(lián)立方程先求出，所以，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)一步化簡(jiǎn)為，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)而求解.【詳解】（1）解:設(shè)直線聯(lián)立，消去，得，所以，，則，則，又由題意，直線的方程是;（2）（1）方法1:設(shè)因?yàn)镺，M，D，N四點(diǎn)共圓，設(shè)該圓的方程為，聯(lián)立，消去，得，即，所以即為關(guān)于的方程的3個(gè)根，則，因?yàn)?，由的系?shù)對(duì)應(yīng)相等得，，所以的重心的縱坐標(biāo)為0.方法2:設(shè)，則，因?yàn)镺，M，C，N四點(diǎn)共圓，所以，即，化簡(jiǎn)可得:，所以的重心的縱坐標(biāo)為0.（2）記的面積分別為，由已知得直線MN的斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，消去，得，所以，所以，由（1）得，，所以，即，因?yàn)椋c(diǎn)到直線MN的距離，所以，所以在第一象限，即，依次連接O，M，D，N構(gòu)成凸四邊形OMDN，所以，即，又因?yàn)椋?，即，所以，即，即，所以，設(shè)，則，令，則，因?yàn)?，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以的取值范圍為.16．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且在第一象限內(nèi)，滿(mǎn)足.(1)求的平分線所在的直線的方程；(2)在橢圓上是否存在關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的相異的兩點(diǎn)，若存在，請(qǐng)找出這兩點(diǎn)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)已知雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且雙曲線與橢圓相交于，若四邊形的面積最大時(shí)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1)(2)不存在滿(mǎn)足題設(shè)條件相異的兩點(diǎn)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）結(jié)合橢圓定義與角平分線性質(zhì)計(jì)算即可得；（2）利用反證法，假設(shè)存在，設(shè)出該直線，聯(lián)立后借助韋達(dá)定理找出矛盾點(diǎn)即可得假設(shè)不成立；（3）設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，表示出四邊形的面積后借助基本不等式計(jì)算即可得.【詳解】（1）設(shè)的平分線與軸交于點(diǎn)，由，則，由，有，故，故，則，解得，故，由角平分線的性質(zhì)可得，所以，解得，故，則有，即直線的方程為；

（2）假設(shè)存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，則，即，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在直線，所以，所以，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，與點(diǎn)重合，矛盾，所以不存在滿(mǎn)足題設(shè)條件相異的兩點(diǎn)；（3）由題意知，，設(shè)與橢圓共焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)它們的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，它們的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積記，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.17．（2024·廣東廣州·一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的方程：(2)若直線與交于，兩點(diǎn)，且，求的取值范圍：(3)已知點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在定圓，使得當(dāng)過(guò)點(diǎn)能作圓的兩條切線，時(shí)（其中，分別是兩切線與的另一交點(diǎn)），總滿(mǎn)足？若存在，求出圓的半徑：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）根據(jù)焦距以及經(jīng)過(guò)的點(diǎn)即可聯(lián)立