湖南省常德市學(xué)校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁常德市優(yōu)質(zhì)高中學(xué)校聯(lián)盟·2024年下學(xué)期高一期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)本試卷共4頁.全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】由誘導(dǎo)公式可得，則.故選：A2.已知集合，，則（）A. B.?C.? D.【答案】C【解析】【分析】將集合化簡(jiǎn)變形即可求解.【詳解】由題意可得，故?.故選：C.3.已知命題，命題，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)先判斷出命題為假命題，根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定的概念可知是真命題；再指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷命題為真命題，即可求解．【詳解】對(duì)于命題，由于，，所以是假命題，是真命題；對(duì)于命題，令，由于，所以，命題等價(jià)于：，，為真命題，所以為假命題.故選：B.4.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)可得，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意可得，當(dāng)時(shí)，.由在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，即的最大值為.故選：B.5.設(shè)，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由換底公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解.【詳解】由換底公式可得.故選：D.6.已知是第三象限角，是方程的兩根，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩根之積可確定的值，再根據(jù)兩根之和可求的值.【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，則由韋達(dá)定理得.又因?yàn)槭堑谌笙藿牵?，故，?故選：B7.在房屋裝修時(shí)常需要噴灑藥劑消毒.已知某種藥劑的平衡濃度為（單位：摩爾/升），噴灑后的濃度與滯留時(shí)間（單位：天）滿足關(guān)系式.現(xiàn)用該種藥劑進(jìn)行室內(nèi)消毒，則其濃度從降至所需要的時(shí)間大約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.0.46天 B.0.56天 C.0.73天 D.0.88天【答案】A【解析】【分析】利用藥劑濃度從降至所需要的時(shí)間減去濃度從降至所需要的時(shí)間即可求解.【詳解】設(shè)藥劑濃度從降至所需要的時(shí)間為，濃度從降至所需要的時(shí)間為，則濃度從降至所需要的時(shí)間為.由題意可得，兩式相除，得到0.46，故所需要的時(shí)間大約為0.46天，故選：A.8.已知正數(shù)滿足，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)原等式為，構(gòu)造函數(shù)fx=2【詳解】由，可得，構(gòu)造函數(shù)fx因?yàn)槎际窃龊瘮?shù)，所以在0,+∞上遞增，則，且，所以，又在0,+∞單調(diào)遞增，所以，故，故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知某扇形紙片周長(zhǎng)和圓心角分別為44和2，則（）A.該扇形紙片的半徑為12 B.該扇形紙片的半徑為11C.該扇形紙片的面積為121 D.該扇形紙片的面積為125【答案】BC【解析】【分析】設(shè)該扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，根據(jù)題意列式求，進(jìn)而可得面積.【詳解】設(shè)該扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，則，解得，所以該扇形的面積.結(jié)合選項(xiàng)可知AD錯(cuò)誤，BC正確故選：BC.10.在下列區(qū)間中，函數(shù)一定存在零點(diǎn)的有（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A：分析可知當(dāng)時(shí)，；對(duì)于BD：根據(jù)零點(diǎn)存在性定理分析判斷；對(duì)于C：令，可得，結(jié)合函數(shù)圖像分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，可得，所以函數(shù)在上一定不存在零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，，可知函?shù)在上一定存在零點(diǎn)，所以函數(shù)在上一定存在零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：令，即，由圖像可知：在上無交點(diǎn)，所以函數(shù)在上一定不存在零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以函?shù)在上一定存在零點(diǎn)，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù)B.在上單調(diào)遞增C.若，則的最小值為3D.若恒成立，則的最大值為6【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)單調(diào)性的定義即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng)C；分離參數(shù)后結(jié)合基本不等式即可求解，進(jìn)而判斷選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，故A正確；設(shè)，則，因?yàn)?，所?因?yàn)?，，所以，因此，所以，故在上單調(diào)遞增，故B正確；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，所以，兩邊同時(shí)平方，整理得，故，故無最小值，故C錯(cuò)誤；由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故可整理為，令，則，故在上恒成立.因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故，即的最大值為6.故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解函數(shù)函數(shù)不等式以及函數(shù)不等式恒成立問題.（1）定義法證明函數(shù)的奇偶性時(shí)，需要先說明函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟：假設(shè)、作差、變形、判斷符號(hào)、得出結(jié)論.（3）不等式恒成立問題通?？蓞⒆兎蛛x求最值.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的定義域?yàn)開_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)運(yùn)算可知函數(shù)，求使有意義的取值范圍即可求解定義域.【詳解】因?yàn)?，所以，即，故函?shù)的定義域?yàn)?故答案為：.13.若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后與原圖象重合，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】由題可知是該函數(shù)周期的整數(shù)倍，結(jié)合計(jì)算即可求解.【詳解】由題可知是該函數(shù)周期的整數(shù)倍，即，解得.又，故其最小值為.故答案為：.14.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】【分析】分析可知的定義域?yàn)?，且，即可得結(jié)果.【詳解】令，解得，可知的定義域?yàn)?，又因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（1）已知，求的值；（2）已知，且，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)齊次式，結(jié)合弦切互化即可求解，（2）平方可得，即可求解.【詳解】（1）由，可得.（2），，因?yàn)?16.設(shè)集合A=x（1）若，求；（2）若是的必要條件，求的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】(1)先求集合，再求，根據(jù)集合的運(yùn)算即可求；（2）若是的必要條件，則，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋?，解得，所以，則或，若，則，故；【小問2詳解】因?yàn)?，若是的必要條件，則，故，故.17.已知冪函數(shù).（1）用定義法證明在上單調(diào)遞增；（2）設(shè)函數(shù)，求在上的值域.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義求，再結(jié)合單調(diào)性的定義分析證明；（2）根據(jù)題意化簡(jiǎn)的解析式，進(jìn)而判斷單調(diào)性和最值.【小問1詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，則，解得或，又因?yàn)?，則，所以，可知的定義域?yàn)?，設(shè)，則，因，則，且，可得，即，所以在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由題意可得gx因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則在0,4上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上的最小值為，且，可知在上的最大值為1，所以在上的值域?yàn)?18.已知函數(shù).（1）將的圖象向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，求的最小值；（2）若函數(shù)在上的最大值為大于4的整數(shù)，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助三角恒等變換可將原函數(shù)化為正弦型函數(shù)，再利用函數(shù)平移變換的性質(zhì)得到平移后解析式，最后借助關(guān)于軸對(duì)稱性質(zhì)計(jì)算即可得解；（2）結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得，再借助換元法設(shè)，則，結(jié)合單調(diào)性計(jì)算即可得解.小問1詳解】由題意可得，將的圖象向左平移個(gè)單位后得到，依題意可得，則，因?yàn)?，所以的最小值為；【小?詳解】因?yàn)?，則，則.設(shè)，則，因?yàn)椋詾闇p函數(shù)，故的最大值為，又的最大值為大于4的整數(shù)，且，所以，即.19.若對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：，則稱為“月光函數(shù)”.若對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：，則稱為“玫瑰函數(shù)”.（1）探究函數(shù)是否為“月光函數(shù)”；（2）證明：函數(shù)是“玫瑰函數(shù)”；（3）判斷值域?yàn)榈摹霸鹿夂瘮?shù)”是否為“玫瑰函數(shù)”？若是，給出證明；若不是，說明理由.【答案】（1）不是（2）證明見解析（3）函數(shù)是“玫瑰函數(shù)”，證明見解析【解析】【分析】（1）利用作差法，結(jié)合“月光函數(shù)”的定義即可判斷，（2）根據(jù)