北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)期末考試試題附答案解析

北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)期末考試試卷一、選擇題。（每小題只有一個正確答案，每小題3分）1．下列函數(shù)中，表示y是x的反比例函數(shù)的是（）A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝ D．y＝2．黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，人體結(jié)構(gòu)中有許多比例關(guān)系接近黃金比．如圖，當(dāng)人體的下半身長a與身高b的比值越接近黃金比時越美．若圖中b為1.7米，則a約為（）A．1.05米 B．1.06米 C．1.07米 D．1.08米3．用配方法解方程，下列配方正確的是（）A． B． C． D．4．反比例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象經(jīng)過點(2，-4)，若點(4，n)在反比例函數(shù)的圖象上，則n等于()A．﹣8 B．﹣4 C．﹣ D．﹣25．如圖，點P在反比例函數(shù)的圖象上，且橫坐標(biāo)為1，過點P作兩條坐標(biāo)軸的平行線，分別與x軸、y軸交于A、B兩點，則直線AB與x軸所夾銳角的正切值為（）A．3 B． C．﹣3 D．﹣6．三角形兩邊的長是3和4，第三邊的長是方程的根，則該三角形的周長為（）A．10 B．12 C．14 D．12或147．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D，AD＝3，BD＝2，則CD的長為（）A．2 B．3 C． D．8．已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)根且，則的值為（）A．0或1 B．0 C．1 D．9．如圖，在長方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，動點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)，點P以3cm/s的速度沿AB，BC向點C運動，點Q以1cm/s的速度沿BC向點C運動．設(shè)P，Q運動的時間是t秒，當(dāng)點P與點Q重合時t的值是()A． B．4 C．5 D．610．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)且）的圖象都經(jīng)過，結(jié)合圖象，則不等式的解集是（）A．B．C．或D．或11．如圖，△ABC中AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中點，點E在AC上，DE⊥AB，則cosA的值為()A． B． C． D．12．如圖，在正方形中，是等邊三角形，，的延長線分別交于點，，連接，，與相交于點．有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題13．一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項之和為______．14．為了對1000件某品牌襯衣進(jìn)行抽檢，統(tǒng)計合格襯衣的件數(shù)，在相同條件下，經(jīng)過大量的重復(fù)抽檢，發(fā)現(xiàn)一件合格襯衣的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.98附近，由此可估計這1000件中不合格的襯衣約為__________件．15．△ABC中，已知，∠A、∠B為銳角，則∠C=______°16．一塊矩形耕地大小尺寸如圖所示，要在這塊地上沿東西、南北方向分別挖3條和4條水渠．如果水渠的寬相等，而且要保證余下的可耕地面積為8700m2，那么水渠應(yīng)挖的寬度是_________米．17．如圖，有一塊三角形的土地，它的一條邊米，邊上的高米，某單位要沿著邊修一座底面是矩形的大樓，點，在邊上，點，分別在邊，上，若大樓的寬是40米（即米），則這個矩形的面積是______平方米．18．如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形對角線的交點，分別交，于點、．若四邊形的面積為12，則的值為______．三、解答題19．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）x2+4x＝2；（2）2x（x﹣3）＝7（3﹣x）．20．如圖，在的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1，點和的頂點均為小正方形的頂點．（1）以為位似中心，在網(wǎng)格圖中作，使和位似，且位似比為；（2）連接（1）中的，求四邊形的周長．（結(jié)果保留根號）21．已知關(guān)于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若該方程的一個根為1，求a的值及該方程的另一根．22．如圖，為測量一段筆直自西向東的河流的河面寬度，小明在南岸處測得對岸處一棵柳樹位于北偏東方向，他以每秒1.5米的速度沿著河岸向東步行40秒后到達(dá)處，此時測得柳樹位于北偏東方向，試計算此段河面的寬度．23．如圖，點C在反比例函數(shù)y的圖象上，CA∥y軸，交反比例函數(shù)y的圖象于點A，CB∥x軸，交反比例函數(shù)y的圖象于點B，連結(jié)AB、OA和OB，已知CA＝2，則△ABO的面積為__．24．某種商品的標(biāo)價為400元/件，經(jīng)過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同．（1）求該種商品每次降價的百分率；（2）若該種商品進(jìn)價為300元/件，兩次降價共售出此種商品100件，為使兩次降價銷售的總利潤不少于3210元．問第一次降價后至少要售出該種商品多少件？25．如圖，在中，，點是斜邊的中點，，且，于點，連接，，．（1）求證：；（2）求證：；（3）設(shè)的面積為，四邊形的面積為，當(dāng)時，求的值．26．如圖，在平行四邊形中，點、分別為邊，的中點，連接，，．（1）求證：；（2）若，求證：四邊形為菱形．參考答案1．C【分析】利用反比例函數(shù)定義進(jìn)行解答即可，一般地，形如（為常數(shù)，）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)．【詳解】解：A、是正比例函數(shù)，不是反比例函數(shù)，故此選項不合題意；B、是二次函數(shù)，不是反比例函數(shù)，故此選項不合題意；C、是反比例函數(shù)，故此選項符合題意；D、不是反比例函數(shù)，故此選項不合題意；故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，掌握反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．A【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值叫做黃金比．【詳解】解：∵人體的下半身長a與身高b的比值越接近黃金比時越美，∴≈0.618，∴a≈0.618b＝0.618×1.7≈1.05（米），故選：A．【點睛】本題考查了黃金分割的概念，熟練掌握黃金比是解答本題的關(guān)鍵．3．A【分析】先把方程變形為x2-4x=-2，再把兩方程兩邊加上4，然后把方程左邊用完全平方公式表示即可．【詳解】解：x2-4x=-2，x2-4x+4=2，（x-2）2=2．故選：A．【點睛】本題考查了解一元二次方程-配方法：將一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．4．D【分析】利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得到4n=2×(-4)，然后解關(guān)于n的方程即可．【詳解】∵點（2，-4）和點（4，n）在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴4n=2×(-4)，∴n=-2．故選D．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．5．A【分析】點P在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且橫坐標(biāo)為1，則點P（1，3），則點A、B的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，3），求出OB，OA的值，然后即可求解．【詳解】解：如圖，∵點P在反比例函數(shù)y＝的圖象上，且橫坐標(biāo)為1，∴∴點P（1，3），∴點A、B的坐標(biāo)分別為（1，0），（0，3），∴OB=3，OA=1∴故直線AB與x軸所夾銳角的正切值為3，故選：A．【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，求出OB，OA的值是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】用因式分解法求得方程的根，后根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷三角形的存在性，后計算周長.【詳解】∵，∴（x-7）(x-5)=0,∴x=7或x=5；當(dāng)x=7時,3+4=7，∴三角形不存在；當(dāng)x=5時,3+4＞5，∴三角形存在，∴三角形的周長為3+4+5=12；故選B.【點睛】本題考查了一元二次方程的因式分解求解法和三角形的存在性，熟練求方程的根，準(zhǔn)確判斷三角形的存在性是解題的關(guān)鍵.7．D【分析】先證明△BDA∽△ADC，然后再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，最后代入已知數(shù)據(jù)計算即可．【詳解】解：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAD＝90°，∴∠C＝∠BAD，∵∠BDA＝∠ADC＝90°，∴△BDA∽△ADC，∴，即，解得：DC＝．故選：D．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知條件證得△BDA∽△ADC是解答本題的關(guān)鍵．8．B【分析】根據(jù)韋達(dá)定理，可得出，，再根據(jù)得出一個關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值.【詳解】∵，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，，∵∴m=0．故選B.【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出，的值是解題的關(guān)鍵.9．C【詳解】解：設(shè)當(dāng)點P與點Q重合時t的值是x秒，由題意得：3x﹣x=10，解得：x=5，故選C．點睛：此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用．解答本題的關(guān)鍵是，找出等量關(guān)系：點P與點Q重合時，P、Q的路程之差等于AB．10．C【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方的的取值范圍便是不等式的解集．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)（為常數(shù)且）的圖象上方時，的取值范圍是：或，∴不等式的解集是或.故選C．【點睛】本題是一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點問題：主要考查了由函數(shù)圖象求不等式的解集．利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．11．C【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與判定以及三角形內(nèi)角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC．再證明△BCE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，求出AE，然后在△ADE中利用余弦函數(shù)定義求出cosA的值．【詳解】解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，∵D是AB中點，DE⊥AB，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=36°，∠BEC=180°-∠EBC-∠C=72°，∴∠BEC=∠C=72°，∴BE=BC，∴AE=BE=BC．設(shè)AE=x，則BE=BC=x，EC=4-x．在△BCE與△ABC中，∴△BCE∽△ABC，∴，即，解得x=-2+2（負(fù)值舍去），∴AE=-2+2，在△ADE中，∵∠ADE=90°，∴cosA=，故選：C．【點睛】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．證明△BCE∽△ABC是解題的關(guān)鍵．12．C【分析】利用直角三角形30度角的性質(zhì)即可解決①；證明∠FDP=∠PBD，根據(jù)∠DFP=∠BPC，∠FDP=∠PBD即可判斷②；通過計算證明∠PFD≠∠PDB，即可判斷③；證明△DPH∽△CPD即可判斷④．【詳解】解：∵△BPC是等邊三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°，∴BE=2AE；故①正確；∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH；故②正確；∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，∴∠PFD≠∠PDB，∴△PFD與△PDB不會相似；故③錯誤；∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴DP2=PH?PC，故④正確；故選：C．【點睛】本題考查的正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì)和定理．13．5【分析】確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項以后即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，可得一元二次方程2x2+4x-1=0的二次項系數(shù)為2，一次項系數(shù)為4，及常數(shù)項為-1則其和為2+4-1=5；故答案為：5．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，利用二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項之和出算式是解題關(guān)鍵．14．20【分析】用總件數(shù)乘以不合格襯衣的頻率即可得出答案．【詳解】這1000件中不合格的襯衣約為：(件)；

故答案為：20．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．15．105【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值、三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】∵，∴，，∴，，∴∠A=45°，∠B=30°，

∴∠C=180°-30°-45°=105°，

故答案為：105．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．16．1．【分析】由題意，設(shè)水渠的寬度為xm，然后列出方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)水渠的寬度為xm，即可耕土地的長為（1204x）m，寬為（783x）m．（1204x）（783x）=8700，即x256x+55=0，解得：x1=1，x2=55．當(dāng)x=55時，3×55=165＞78，（不合題意，舍去），∴x=1．答：水渠應(yīng)挖1m寬．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．17．2000【分析】由于四邊形DEFG是矩形，即DG∥EF，此時有∠ADG=∠B，∠AGD=∠C，所以△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)求得線段DG的長，最后求得矩形的面積．【詳解】解：設(shè)AH與DE交于點M，由已知得，DG∥BC∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠C，∴△ADG∽△ABC，∵AH⊥BC∴AH⊥DG，且AM=AH-MH=80-40=40（m），即DG==50（m），∴S矩形DEFG=DE×DG=2000（m2）．故答案為：2000．【點睛】本題主要考查利用矩形的性質(zhì)得出兩個角相等，進(jìn)而證明兩個三角形相似，再利用相似三角形的性質(zhì)得出比例關(guān)系，最終求得DG或DE的長，進(jìn)而求得矩形的面積．18．4【分析】本題可從反比例函數(shù)圖象上的點、、入手，分別找出、、的面積與的關(guān)系，列出等式求出值．【詳解】∵、、位于反比例函數(shù)圖象上，∴，，過點作軸于點，作軸于點，∴四邊形ONMG是矩形，∴，∵為矩形對角線的交點，∴，∵函數(shù)圖象在第一象限，∴，∴++S四邊形ODBE=，解得：．故答案為4【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k|．19．（1）；（2）【分析】（1）利用配方法求解可得答案；（2）利用因式分解法求解即可．【詳解】解：（1）∵x2+4x＝2，∴x2+4x+4＝2+4，即（x+2）2＝6，∴x+2＝，∴；（2）∵2x（x﹣3）＝7（3﹣x），∴2x（x﹣3）+7（x﹣3）＝0，則（x﹣3）（2x+7）＝0，∴x﹣3＝0或2x+7＝0，∴．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．20．（1）見解析；（2）【分析】(1)分別取OA，OC，OB的中點即可；(2)根據(jù)勾股定理計算即可.【詳解】（1）取OA得中點，取OB得中點，取OC得中點，依次連接，，，即為所求作的三角形．如圖所示，（2）根據(jù)勾股定理得，，所以，四邊形AA′C′C的周長.【點睛】本題考查了位似變換，位似作圖，熟練掌握位似比，靈活作位似圖形是解題的關(guān)鍵.21．（1）見解析；（2）a=，x1=﹣【分析】（1）根據(jù)根的判別式即可求解；（2）將x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根與系數(shù)的關(guān)系求出方程的另一根．【詳解】解：（1）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0，∴不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．（2）將x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得1+a+a﹣2=0，解得a=；∴方程為x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，設(shè)另一根為x1，則1×x1==﹣，∴另一根x1=﹣．【點睛】此題主要考查一元二次方程根的求解，解題的關(guān)鍵是熟知根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系．22．【分析】如圖，作AD⊥于BC于D．由題意得到BC=1.5×40=60米，∠ABD=30°，∠ACD=60°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠BAC=∠ACD-∠ABC=30°，求得∠ABC=∠BAC，得到BC=AC=60米．在Rt△ACD中，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．【詳解】如圖，作于．由題意可知：米，，∴，∴，∴米．在中，（米）．答：這條河的寬度為米．【點睛】此題主要考查了解直角三角形-方向角問題，解題時首先正確理解題意，然后作出輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題．23．4【分析】設(shè)A（a，），則C（a，），根據(jù)題意求得a＝1，從而求得A（1，3），C（1，1），進(jìn)一步求得B（3，1），然后作BE⊥x軸于E，延長AC交x軸于D，根據(jù)S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED﹣S△BOE和反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出S△ABO＝S梯形ABED，即可求得結(jié)果．【詳解】解：設(shè)A（a，），則C（a，），∵CA＝2，∴2，解得a＝1，∴A（1，3），C（1，1），∴B（3，1），作BE⊥x軸于E，延長AC交x軸于D，∵S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED﹣S△BOE，S△AOD＝S△BOE，∴S△ABO＝S梯形ABED（1＋3）（3﹣1）＝4；故答案為：4.【點睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義和三角形的面積，得出S△ABO=S梯形ABED是解題的關(guān)鍵．24．（1）10%；（2）23．【詳解】試題分析：（1）設(shè)該種商品每次降價的百分率為x%，根據(jù)“兩次降價后的售價=原價×（1﹣降價百分比）2”，列出方程，解方程即可得出結(jié)論；（2）設(shè)第一次降價后售出該種商品m件，則第二次降價后售出該種商品件，根據(jù)“總利潤=第一次降價后的單件利潤×銷售數(shù)量+第二次降價后的單件利潤×銷售數(shù)量”表示出總利潤，再根據(jù)總利潤不少于3210元，即可的出關(guān)于m的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論．試題解析：（1）設(shè)該種商品每次降價的百分率為x%，依題意得：400×（1﹣x%）2=324，解得：x=10，或x=190（舍去）．答：該種商品每次降價的百分率為10%．（2）設(shè)第一次降價后售出該種商品m件，則第二次降價后售出該種商品件，第一次降價后的單件利潤為：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；第二次降價后的單件利潤為：324﹣300=24（