安徽省宿州市省、市示范高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題 含解析

宿州市省、市示范高中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測高一數(shù)學(xué)試題命題人：周樹審核人：許利虎本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.請?jiān)诖痤}卡上作答.第I卷選擇題（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分式不等式的解法求解即可.【詳解】由，得，解得或，故選：D2.若冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m等于（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用冪函數(shù)的定義及性質(zhì)列式計(jì)算即可.【詳解】由冪函數(shù)在上是減函數(shù)，得，所以.故選：A3.點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】判斷、的符號，即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，即為第二象限角，為第四象限角，所以，，所以點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中位于第三象限.故選：C.4.已知是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】通過舉反例證明充分性不成立，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，再由得到，必要性成立.【詳解】當(dāng)，時，滿足，此時，即充分性不滿足；因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，即必要性滿足，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.已知，，，則、、的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)閷?shù)函數(shù)、在上均為增函數(shù)，所以，，，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上為減函數(shù)，則，即，因此，.故選：D.6.函數(shù)在區(qū)間的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判斷為奇函數(shù)，可以先考慮時的情況，由于此時單調(diào)遞增且大于0，再由的正負(fù)情況得出正確結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且定義域?yàn)镽，所以為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，C錯誤；觀察A，B，D項(xiàng)圖象的差異，主要在于函數(shù)值的正負(fù)．當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，而當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，可得B，D錯誤.故選：A．7.已知，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用換元法可得函數(shù)解析式，進(jìn)而可得值域.【詳解】設(shè)，則，，，，函數(shù)的值域?yàn)?，故選：C.8.已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用整體法，結(jié)合三角函數(shù)圖象性質(zhì)對進(jìn)行最值分析，對區(qū)間上進(jìn)行單調(diào)分析，得到，其中，求得，進(jìn)而求得的取值范圍．【詳解】因?yàn)?，?dāng)時，，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在最值，則，解得，當(dāng)時，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，則，所以其中，解得，所以，解得，又因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．又因?yàn)?，所以的取值范圍?故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若集合，集合，則下列說法正確的是（）A. B.C.， D.，【答案】BC【解析】【分析】利用列舉法表示集合，再結(jié)合集合交并運(yùn)算判斷AB；確定命題真假判斷CD.【詳解】對于AB，，則，，A錯誤，B正確；對于C，，，C正確；對于D，，，D錯誤.故選：BC10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.函數(shù)的圖象向右移個單位長度后，圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值為D.若關(guān)于的方程在上有兩個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)倍角公式和輔助角公式將化成單角單函數(shù)即，由正弦型函數(shù)的最小正周期判斷A選項(xiàng)；利用代入檢驗(yàn)的思想判斷B選項(xiàng)；根據(jù)圖象平移得到平移后的函數(shù)，再根據(jù)偶函數(shù)得到，根據(jù)的范圍求得的值，判斷C選項(xiàng)；轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，結(jié)合正弦函數(shù)圖象求得的取值范圍，判斷D選項(xiàng).【詳解】對A，，則的最小正周期為，故A正確；對B,因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故B錯誤；對C,將函數(shù)的圖象向右移個單位長度后可得函數(shù)的圖象，因?yàn)榈膱D象關(guān)于軸對稱，所以，即，又，所以的最小值為，故C正確；對D,由得，，若，則，若關(guān)于的方程有兩個實(shí)數(shù)根，則與圖象有兩個交點(diǎn)，所以，解得，故D正確.故選：ACD.11.已知定義在上函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且滿足，，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】推導(dǎo)出，在等式中，令可求得的值，在等式中，令可求得的值，可判斷A選項(xiàng)；由函數(shù)的周期性結(jié)合函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；利用函數(shù)的單調(diào)性與對稱性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，可判斷C選項(xiàng)；在等式中，令，可得出，再由可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，取，?因?yàn)椋?，得，又，所以，故A正確；由在區(qū)間上單調(diào)遞減，得，又，且，所以，故B正確；因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)椋瑒t，所以，故C錯誤；由，取，得，又，所以，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對稱性與周期性之間的常用結(jié)論：（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和對稱，則函數(shù)的周期為；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)對稱，則函數(shù)的周期為；（3）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和點(diǎn)對稱，則函數(shù)的周期為.第II卷非選擇題（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則_______.【答案】1【解析】【分析】利用奇函數(shù)的定義求解即可.【詳解】由題意得，，解得，所以，故答案為：113.已知，且，，則_______.【答案】##【解析】【分析】同時平方，根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系得到，再利用兩角和的正弦公式的逆用求得，再根據(jù)的范圍求得的值.【詳解】因?yàn)?，，所以，即，所以，由，得，則.故答案為：.14.已知關(guān)于函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以上單調(diào)遞減，且，所以，解得，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知關(guān)于的不等式的解集為.（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）若正實(shí)數(shù)，滿足，求的最小值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法和韋達(dá)定理求解即可；（2）利用將轉(zhuǎn)化基本不等式形式求解即可.【小問1詳解】由題意得，，是方程的兩根,則,解得.【小問2詳解】由（1）得，正實(shí)數(shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時等號成立，所以的最小值為.16.“大禹門前樹，千年苔子茶.”11月21日18時許，中央廣播電視總臺綜合頻道推出系列紀(jì)錄片《農(nóng)耕探文明》，本期正好關(guān)注到《四川北川苔子茶復(fù)合栽培系統(tǒng)》.北川苔子茶的“毛峰綠茶”以其外形勻整、挺秀，湯色碧綠，香氣濃烈等優(yōu)異品質(zhì)聞名遐邇，深受廣大消費(fèi)者青睞.經(jīng)驗(yàn)表明，在室溫下，該茶用的水泡制，湯色青綠明亮，入口滋味較薄有熟栗子香，無苦澀感，再等到茶水溫度降至50°C時飲用，可以產(chǎn)生最佳飲用口感.經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，設(shè)茶水溫度從開始，經(jīng)過分鐘后的溫度為且滿足.（1）求常數(shù)的值；（2）經(jīng)過測試可知，求在室溫下，剛泡好的該茶大約需要放置多長時間才能達(dá)到最佳飲用口感？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）（2）9.5分鐘【解析】【分析】（1）代入求解即可；（2）根據(jù)題意列式求解方程即可.【小問1詳解】茶水溫度從開始當(dāng)時，，小問2詳解】當(dāng)時，當(dāng)時，剛泡好的茶水大約需要放置9.5分鐘才能達(dá)到最佳飲用口感17.已知.（1）化簡；（2）若，求的值；（3）若為第三象限角，且，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡即可；（2）利用誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值求解即可；（3）利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系求出，，再根據(jù)余弦的兩角和公式求解即可.【小問1詳解】由題意可得.【小問2詳解】若，則.【小問3詳解】因?yàn)椋?，又為第三象限角，所以，所?18.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先可得函數(shù)的定義域，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，求出參數(shù)的值，再檢驗(yàn)即可；（2）首先求出在上的值域，再利用換元法求出在上的值域，依題意，即可得到不等式組，解答即可.【小問1詳解】由題意可得，函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，可得，經(jīng)檢驗(yàn)，對于，成立，所以．【小問2詳解】由（1）可得，因?yàn)?，所以，，，，，所以?dāng)時的值域，又，，設(shè)，，則，當(dāng)時，取最小值為，當(dāng)時，取最大值為，即在上的值域，又對任意的，總存在，使得成立，即，所以，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是．19.若函數(shù)滿足：存在實(shí)數(shù)，，使得對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，均有成立，則稱函數(shù)為“可平衡”函數(shù)；有序數(shù)對稱為函數(shù)的“平衡”數(shù)對.（1）若，當(dāng)滿足什么條件時，為“可平衡”函數(shù)，并說明理由；（2）是否存在為函數(shù)的“平衡”數(shù)對，若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1），理由見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)“可平衡”函數(shù)的定義結(jié)合兩角和差的正弦公式求解即可；（2）先根據(jù)余弦的二倍角公式轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)，令系數(shù)為0時恒等于0判斷即可.【小問1詳解】當(dāng)為“可平衡”函數(shù)時，由題意可得對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)成立，即對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)成立，所以，即對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)