專(zhuān)題23 圓錐曲線(xiàn)與向量結(jié)合問(wèn)題【一題一專(zhuān)題 技巧全突破】 熱點(diǎn)題型 專(zhuān)項(xiàng)突破（原卷版）

專(zhuān)題23圓錐曲線(xiàn)與向量結(jié)合問(wèn)題高考定位向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重身份，平面向量與解析幾何的交匯是新課程高考命中的熱點(diǎn)問(wèn)題。專(zhuān)題解析它們具體結(jié)合體現(xiàn)在夾角、平行、垂直、共線(xiàn)、軌跡等問(wèn)題的處理，目標(biāo)是將向量語(yǔ)言坐標(biāo)化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為運(yùn)算，或者考慮向量運(yùn)算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關(guān)問(wèn)題.

基礎(chǔ)類(lèi)型一、垂直例1-1.已知橢圓C：的離心率為，且其右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為1.（1）求C的方程；（2）點(diǎn)M、N在C上，且，證明：存在定點(diǎn)P，使得P到直線(xiàn)的距離為定值.練．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8．（1）求橢圓的方程；（2）若一條直線(xiàn)與橢圓分別交于，兩點(diǎn)，且，試問(wèn)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是否為定值，證明你的結(jié)論．練．已知?jiǎng)狱c(diǎn)(其中)到定點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大1.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作直線(xiàn)交曲線(xiàn)于?兩點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)①求證：；②設(shè)?分別與橢圓相交于點(diǎn)?，證明：原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為定值.例1-2．（廣東省東莞市光明中學(xué)2021屆高三下學(xué)期期初T21）．已知橢圓的離心率為，其左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且，(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為k的動(dòng)直線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.練．設(shè)分別是平面直角坐標(biāo)系中軸正方向上的單位向量，若向量，，且，其中.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與軌跡交于，兩點(diǎn)，設(shè)，是否存在直線(xiàn)，使得四邊形是矩形？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，試說(shuō)明理由.練．在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)段，為垂足，當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段上有一點(diǎn)，使得，（1）求的軌跡的方程；（2）若直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求證：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為定值.練。（2021南寧模擬）已知雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為．若在的漸近線(xiàn)上存在點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．基礎(chǔ)類(lèi)型二、平行共線(xiàn)例2-1（2021?長(zhǎng)寧區(qū)二模）設(shè)、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)、在橢圓上，且不是橢圓的頂點(diǎn)．若，且，則實(shí)數(shù)的值為．練（廣東省2021屆高三下學(xué)期六校第三次聯(lián)考T16）已知雙曲線(xiàn)的兩焦點(diǎn)分別為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，若且為等腰三角形，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____.例2-2．已知點(diǎn)F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，若，則（）A．9 B． C． D．練．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn).橢圓以橢圓的長(zhǎng)軸為短軸，且與橢圓有相同的離心率.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率分別為的兩條直線(xiàn)，直線(xiàn)與橢圓分別交于點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓分別交于點(diǎn).（i）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)；（ii）若兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求證：為定值.【答案】（1）；（2）（i）點(diǎn)A的縱坐標(biāo)：；（ii）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)列出方程組，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（i）設(shè)出直線(xiàn)的方程，并分別與的方程聯(lián)立求出的橫坐標(biāo)，由代基礎(chǔ)類(lèi)型三、夾角例3-1.（2021錦州一模）如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，為橢圓的頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，若為鈍角，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．練.已知點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，過(guò)且垂直于軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，若是鈍角三角形，則該雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．基礎(chǔ)類(lèi)型四、數(shù)量積例4-1．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，上頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，問(wèn)：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是否為定值？若是，求出的值；若不是．請(qǐng)說(shuō)明理由．練．已知橢圓與直線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，，，且的最小值為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)與橢圓交于不同兩點(diǎn)，，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，判斷是否為定值，若是求出其值并證明，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.提高類(lèi)型一、向量幾何化（三角形法則、平四法則、模距離、零數(shù)量積垂直、數(shù)乘平行）例1-1．設(shè)分別是平面直角坐標(biāo)系中軸正方向上的單位向量，若向量，，且，其中.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與軌跡交于，兩點(diǎn)，設(shè)，是否存在直線(xiàn)，使得四邊形是矩形？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，試說(shuō)明理由.例1-2．已知點(diǎn)在橢圓：（）上，左頂點(diǎn)為，點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，的最大值和最小值分別為4和．直線(xiàn)點(diǎn)，且與平行，過(guò)，兩點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足分別為，，當(dāng)矩形的面積為時(shí)，則直線(xiàn)的斜率是______．練.(廣東省2021屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題T12)已知雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與的一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)，直線(xiàn)與的一個(gè)交點(diǎn)為，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線(xiàn)與軸垂直 B．的離心率為C．的漸近線(xiàn)方程為 D．（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）練.（廣東省汕頭市金山中學(xué)2021屆高三下學(xué)期學(xué)科素養(yǎng)測(cè)試T21）．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足：（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與軌跡交于點(diǎn)，若是等腰三角形，求直線(xiàn)的方程.練.(廣東省2021屆高三下學(xué)期六校第三次聯(lián)考T22)．已知，，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且焦距為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，求的最小值；（3）如圖是橢圓旋轉(zhuǎn)一定角度的圖形，請(qǐng)寫(xiě)出一種尺規(guī)作圖方案以確定其對(duì)稱(chēng)中心的位置，并在答卷的圖中畫(huà)出來(lái)，（不必說(shuō)明理由）.練.已知雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是（）A． B． C． D．練．已知橢圓：（）上的點(diǎn)到的兩焦點(diǎn)的距離之和為6，的離心率為．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)滿(mǎn)足，且直線(xiàn)，的斜率之積為，證明：為定值．提高類(lèi)型二、向量坐標(biāo)化例2-1.已知橢圓C：，，且橢圓C右焦點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)的直線(xiàn)l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若，求直線(xiàn)l的方程.練．如圖，過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F任作直線(xiàn)l，與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，AB與x軸不垂直，且點(diǎn)A位于x軸上方.AB的垂直平分線(xiàn)與x軸交于D點(diǎn).（1）若求AB所在的直線(xiàn)方程；（2）求證：為定值.練．已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)A作斜率為的直線(xiàn)與C相交于A，B，且，O坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的離心率e；（2）若，過(guò)點(diǎn)F作與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)l，l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn).（ⅰ）求的值；（ⅱ）點(diǎn)M滿(mǎn)足，直線(xiàn)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求的值.練．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線(xiàn)y＝kx交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，M是橢圓上不同于P，Q的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)MP和直線(xiàn)MQ的斜率分別為k1，k2．（1）證明：k1·k2為定值；（2）過(guò)F2的直線(xiàn)l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且，求|AB|．例2-2．已知橢圓C：()的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l交橢圓于A?B兩點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn)，設(shè)，，試判斷是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由.練．已知橢圓的離心率為，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程;（Ⅱ）已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，與直線(xiàn)交于點(diǎn)Q，設(shè)，，求證：為定值．練．已知直線(xiàn)與圓相切，動(dòng)點(diǎn)到與兩點(diǎn)的距離之和等于、兩點(diǎn)到直線(xiàn)的距離之和．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交軌跡于不同兩點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，已知，，試問(wèn)是否等于定值，并說(shuō)明理由．練．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)作直線(xiàn)l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若為定值．練．已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)．（1）若直線(xiàn)與圓：相切，求直線(xiàn)的方程；（2）若直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為．且，，試探究：是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說(shuō)明理由．練．已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，且直線(xiàn)PA交軸于M，直線(xiàn)PB交軸于N.（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）求直線(xiàn)的斜率的取值范圍；（3）設(shè)O為原點(diǎn)，，求證：為定值.練．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為2，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線(xiàn)與橢圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)，若，．證明：為定值．練．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，直線(xiàn)的傾斜角為60°，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是．（1）求的方程；（2）過(guò)上任一點(diǎn)作直線(xiàn)，分別交于，（異于的兩點(diǎn)），且，，探究是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．提高類(lèi)型三、探索“向量關(guān)系”例3-1．已知橢圓C：的離心率為，且是C上一點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)右焦點(diǎn)作直線(xiàn)l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)M，使為定值？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及該定值；若不存在，試說(shuō)明理由．練．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作直線(xiàn)，且直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，問(wèn)軸上是否存在一點(diǎn)，使得為常數(shù)，若存在，求出坐標(biāo)及該常數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由．練．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)連線(xiàn)構(gòu)成等邊三角形，且橢圓C的短軸長(zhǎng)為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M，N，且滿(mǎn)足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.練．已知橢圓的離心率為，兩焦點(diǎn)，與橢圓上的頂點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的等邊.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與相交于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得為定值？如果有，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及定值；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.練．橢圓的上下焦點(diǎn)分別為，，離心率為，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的面積最大值為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)，是否存在軸上的點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由．練．已知橢圓過(guò)，兩點(diǎn)，直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得為定值，若存在，求的值及定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.練．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B．（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在直線(xiàn)l，滿(mǎn)足，若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．練．已知橢圓：（）的離心率為，長(zhǎng)軸端點(diǎn)和短軸端點(diǎn)的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上異于橢圓端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于的直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)），是否存在實(shí)數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．練．已知橢圓的右焦點(diǎn)F2是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線(xiàn)被橢圓所截得的線(xiàn)段長(zhǎng)度為3．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線(xiàn)相交于點(diǎn)．請(qǐng)問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．練．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與上、下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，以橢圓的短軸為直徑的圓與直線(xiàn)相切．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且不重合于軸的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn)，探究在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．練．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)的距離與到直線(xiàn)的距離之比為.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交于M，N兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，直線(xiàn)BM，BN分別交x軸于點(diǎn)E，F(xiàn).試問(wèn)在軸上是否存在一點(diǎn)G，使得？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.練．已知橢圓C：，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交橢圓C于點(diǎn)A，B.（1）當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，求；（2）在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使為定值？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及的值；若不存在，說(shuō)明理由.練．已知雙曲線(xiàn)的離心率為，點(diǎn)在上．（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)交于M，N兩點(diǎn)，問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得為常數(shù)？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)及此常數(shù)的值，若不存在，說(shuō)明理由．練．已知橢圓的離心率，過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，在第一象限，且．（1）求橢圓的方程；（2）在軸上是否存在點(diǎn)，滿(mǎn)足對(duì)于過(guò)點(diǎn)的任一直線(xiàn)與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，，都有為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．練．已知雙曲線(xiàn)，直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn).（1）求雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離；（2）若過(guò)原點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)上異于的一點(diǎn)，且直線(xiàn)的斜率均存在，求證：為定值；（3）若過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，是否存在軸上的點(diǎn)，使得直線(xiàn)繞點(diǎn)無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有成立？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例3-2．橢圓與拋物線(xiàn)有一個(gè)公共焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程及其離心率；（2）直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，是否存在點(diǎn)滿(mǎn)足，，若存在，求出的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由練．已知曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離比到點(diǎn)的距