中職高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)8.5 橢圓（講）（解析版）

8.5橢圓【考點(diǎn)梳理】1．橢圓的定義(1)定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a(2a＞|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上(1)圖形(2)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)(3)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－a≤y≤a，－b≤x≤b(4)軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)：2a短軸長(zhǎng)：2b(5)中心原點(diǎn)O(0，0)(7)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)(6)對(duì)稱(chēng)軸x軸，y軸(8)焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)(9)焦距2c＝2eq\r(a2－b2)(10)離心率e＝eq\f(c,a)(0＜e＜1)考點(diǎn)一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程【例題】（1）P是橢圓上一點(diǎn)，，是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則（

）A．1 B．3 C．5 D．9【答案】A【解析】對(duì)橢圓方程變形得，易知橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)為4，由橢圓的定義可得，又，故，故選：A.（2）焦點(diǎn)在軸上，且，的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．或C．或 D．【答案】D【解析】由于，，且焦點(diǎn)在軸上，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：D.（3）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是和，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為和，所以.橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且焦點(diǎn)在x軸上，所以，所以，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選:A.（4）已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)左焦點(diǎn)F1，作直線(xiàn)交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，則三角形ABF2的周長(zhǎng)為（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【解析】由題意橢圓的長(zhǎng)軸為，由橢圓定義知，∴，故選：C.（5）下列與橢圓焦點(diǎn)相同的橢圓是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，橢圓C中，，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為和；對(duì)于A選項(xiàng)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，不滿(mǎn)足題意；對(duì)于B選項(xiàng)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，，，，不滿(mǎn)足題意；對(duì)于C選項(xiàng)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，，，不滿(mǎn)足題意；對(duì)于D選項(xiàng)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，，，，滿(mǎn)足題意；故答案為：D.（6）若方程表示橢圓，求的取值范圍為．【答案】且【解析】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，則，解得且，故答案為：且.【變式】（1）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為是橢圓上一點(diǎn)，，且離心率為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)橢圓定義可得，所以，由離心率，所以，由，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：B.（2）若表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】由題只需，解得，故選：D.（3）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上任意一點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為.【答案】18【解析】根據(jù)題意，橢圓，其中，，則，是上任意一點(diǎn)，則的周長(zhǎng)，故答案為：．（4）以，為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以C不正確；又因?yàn)閏=1，故排除D；將代入得，故A錯(cuò)誤，所以選B，故選：B.（5）已知橢圓的焦距是8，橢圓上的某點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于16，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【答案】或【解析】由題設(shè)，，則，而，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是或，故答案為：或.（6）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為，則橢圓C的方程為．【答案】【解析】橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，則，，則，，此時(shí)，橢圓C的方程為，故答案為：.考點(diǎn)二橢圓的性質(zhì)【例題】（1）已知橢圓方程為，則焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．（0，±1） B．（0，±） C．（±1，0） D．（±，0）【答案】C【解析】由題意知，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即（±1，0），故選：C.（2）橢圓與橢圓的（

）A．長(zhǎng)軸相等 B．焦距相等C．短軸相等 D．長(zhǎng)軸、短軸、焦距均不等【答案】B【解析】對(duì)于橢圓：，a=3，b=2，，對(duì)于橢圓：，，，，所以?xún)蓹E圓焦距相等，故選：B.（3）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知可得，，則，所以，則離心率，故選：C.（4）已知橢圓的短軸長(zhǎng)和焦距相等，則a的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)易知：橢圓參數(shù)，即有，可得，故選：A.（5）已知橢圓的離心率，則m的值為_(kāi)_____．【答案】或【解析】已知橢圓方程為當(dāng)焦點(diǎn)在軸上，即時(shí)，有，則，依題意得，解得m＝3；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上，即時(shí)，有，則，依題意有解得，即的值為或，故答案為：或.（6）已知橢圓的離心率為，則的短軸長(zhǎng)為.【答案】【解析】由題意得，又∵，解得，∴橢圓的方程為，則的短軸長(zhǎng)為，故答案為：.【變式】（1）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由橢圓方程知：，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故選：A.（2）已知橢圓，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 B．焦距為C．短軸長(zhǎng)為 D．離心率為【答案】D【解析】依題意橢圓，所以，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為，短軸長(zhǎng)為，ABC選項(xiàng)錯(cuò)誤，離心率為，D選項(xiàng)正確，故選：D.（3）已知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則（

）A．2 B．1 C． D．4【答案】C【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，故，且橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以，所以，故，故選：C.（4）若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則______.【答案】4【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以有，因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，所以有，故答案為：4.（5）已知橢圓C的離心率為，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值為．【答案】【解析】由題設(shè)，解得，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值為，故答案為：.（6）若橢圓的長(zhǎng)軸是短軸的2倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則橢圓的離心率為.【答案】【解析】因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，可知，，所以，所以，當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，同理可得，故答案為：.【方法總結(jié)】1．在運(yùn)用橢圓的定義時(shí)，要注意“|F1F2|＜2a”這個(gè)條件，若|F1F2|＝2a，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡不是橢圓，而是連結(jié)兩定點(diǎn)的線(xiàn)段(包括端點(diǎn))；若|F1F2|＞2a，則軌跡不存在．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，兩種形式可以統(tǒng)一為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，具體是哪種形式，由m與n的大小而定．3．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法是待定系數(shù)法和定義法，即(1)先設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b的兩個(gè)方程，求參數(shù)a，b的值；(2)由橢圓的定義及幾何性質(zhì)直接求出參數(shù)a，b的值．4．充分利用圖形的幾何性質(zhì)可以減少計(jì)算量，橢圓中可以用來(lái)減少計(jì)算量的幾何性質(zhì)主要體現(xiàn)在橢圓的定義中．5．直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，可通過(guò)討論橢圓方程與直線(xiàn)方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)來(lái)確定．通常用消元后的關(guān)于x(或y)的一元二次方程的判別式Δ與零的大小關(guān)系來(lái)判定．6．直線(xiàn)和橢圓相交時(shí)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)或弦中點(diǎn)軌跡方程可由韋達(dá)定理來(lái)解決．設(shè)而不求(設(shè)點(diǎn)而不求點(diǎn))的方法是解析幾何中最重要的解題方法之一．7．橢圓中幾個(gè)常用的結(jié)論：(1)焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)：焦點(diǎn)弦中以通徑(垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦)最短，弦長(zhǎng)lmin＝eq\f(2b2,a).(2)AB為橢圓eq\f(x