高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊第六章　6.2　6.2.2　向量的減法運(yùn)算含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊第六章6.26.2.2向量的減法運(yùn)算含答案6.2.2向量的減法運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解相反向量的概念,能用相反向量定義向量的減法.2.掌握向量減法的運(yùn)算法則與幾何應(yīng)用.3.能熟練運(yùn)用向量的加、減運(yùn)算進(jìn)行化簡與求值.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象直觀想象、邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算一、相反向量1.定義:與向量a長度相等,方向相反的向量.零向量的相反向量仍是零向量.2.性質(zhì):(1)-(-a)=a;(2)對于相反向量有a+(-a)=0;(3)若a,b互為相反向量,則a=-b,a+b=0.二、向量的減法1.定義:a-b=a+(-b),即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量.2.作法:已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b,則=a-b,如圖所示.3.幾何意義:a-b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.4.向量a,b的模與a-b的模之間滿足不等式:||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.當(dāng)且僅當(dāng)a與b同向時(shí)左邊取等號,反向時(shí)右邊取等號.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)向量與是相反向量.(√)提示:與長度相等,方向相反,是相反向量.(2)兩個(gè)同向向量的差一定小于這兩個(gè)向量的和.(×)提示:兩個(gè)向量的差仍是向量,而向量不能比較大小,故錯誤.(3)在平行四邊形ABCD中,-等于.(√)提示:由平面向量減法的三角形法則,可得-=.(4)-+-+=0.(×)提示:-+-+=++++=≠0,故錯誤.類型一作差向量(直觀想象)【典例1】(教材提升·例3)如圖,已知向量a,b,求作a-b.【解析】(1)作=a,=b,則a-b=-=,即為所求作的向量.(2)作=a,=b,則a-b=-=,即為所求作的向量.(3)作=a,=b,則a-b=-=,即為所求作的向量.(4)作=a,=b,則a-b=-=,即為所求作的向量.【總結(jié)升華】作差向量的方法(1)利用向量減法的三角形法則:簡記為“共起點(diǎn),連終點(diǎn),指向被減”;(2)轉(zhuǎn)化為向量的加法:a-b=a+(-b).【即學(xué)即練】如圖,已知向量a,b,c不共線,求作向量a-b-c.【解析】如圖,作=a,=b,則即為a-b,再作=c,則向量即為a-b-c.類型二向量的表示(直觀想象)【典例2】(教材改編·例4)如圖,已知=a,=b,=c,=d,試用a,b,c,d表示以下向量:(1);(2);(3).【解析】(1)=-=c-a;(2)=-=d-a;(3)=-=d-b.【總結(jié)升華】向量的表示(1)觀察圖形的幾何特征,確定已知向量與要表示的向量之間的關(guān)系;(2)共起點(diǎn)的向量,若能構(gòu)成平行四邊形,可以利用向量的加法表示對角線所在的向量,若能構(gòu)成三角形,可以利用向量的減法表示第三邊所在的向量;(3)首尾相連的向量,能構(gòu)成三角形,可以利用向量的加法表示第三邊所在的向量.【即學(xué)即練】如圖所示,=a,=b,=c.(1)用a,b表示;(2)用b,c表示.【解析】(1)=-=--=-a-b;(2)=-=-(+)=-b-c.類型三向量減法的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1向量的化簡【典例3】(2024·烏魯木齊高一檢測)化簡:(1)-+;(2)(-)-(-);(3)(++)-(--).【解析】(1)-+=+-=-=.(2)(-)-(-)=-+-=++=+=-=0.(3)(++)-(--)=+-(-)=-=0.【總結(jié)升華】向量的化簡(1)首尾相連相加的向量,用向量加法的三角形法則化簡;(2)共起點(diǎn)相減的向量,用向量減法的三角形法則化簡;(3)必要時(shí)可以利用相等向量或相反向量等價(jià)轉(zhuǎn)化.角度2向量減法的幾何應(yīng)用【典例4】(易錯·對對碰)(1)已知O是四邊形ABCD內(nèi)的一點(diǎn),若-=-,則四邊形ABCD的形狀是__________.

(2)在四邊形ABCD中,=,若|-|=|-|,則四邊形ABCD的形狀是______;

(3)在四邊形ABCD中,=,若|+|=|-|,則四邊形ABCD的形狀是________.

【解析】(1)因?yàn)?=-,即=,故四邊形ABCD一定為平行四邊形.答案:平行四邊形(2)因?yàn)?,所以四邊形ABCD為平行四邊形,又因?yàn)閨-|=|-|,所以||=||,所以四邊形ABCD為菱形.答案:菱形(3)因?yàn)?,所以四邊形ABCD為平行四邊形.又因?yàn)閨+|=|-|,所以||=||,所以四邊形ABCD為矩形.答案:矩形【總結(jié)升華】向量減法的幾何應(yīng)用(1)利用相等向量證明線段平行且相等,從而證明四邊形為平行四邊形.(2)以平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB,AD分別表示向量=a,=b,則兩條對角線表示的向量分別為=a+b,=b-a,則=a-b.(3)對于菱形、矩形、正方形可以根據(jù)平行四邊形的鄰邊相等或?qū)蔷€相等來判斷.角度3差向量模的性質(zhì)【典例5】若||=12,||=5,則||的取值范圍是()A.[7,17] B.(7,17) C.[7,12] D.(7,12)【解析】選A.由向量模長的三角不等式可得||≥|||-|||=7,當(dāng)且僅當(dāng),的方向相同時(shí),等號成立;||≤||+||=17,當(dāng)且僅當(dāng),的方向相反時(shí),等號成立,因此,||的取值范圍是[7,17].【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知|a|=7,|b|=2,且a∥b,則|a-b|的值為__________.

【解析】當(dāng)a與b方向相同時(shí),|a-b|=||a|-|b||=7-2=5;當(dāng)a與b方向相反時(shí),|a-b|=|a|+|b|=7+2=9.答案:5或9【總結(jié)升華】差向量模的性質(zhì)(1)當(dāng)非零向量a,b不共線時(shí),a-b的方向與向量a,b的方向都不相同,模的關(guān)系是||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|,其幾何意義是三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.(2)當(dāng)向量a,b同向或至少一個(gè)是零向量時(shí),a+b的方向與向量a,b(或其中的非零向量)的方向相同,模的關(guān)系是|a+b|=|a|+|b|.(3)當(dāng)向量a,b反向或至少一個(gè)是零向量時(shí),a+b的方向與向量a,b中模較大的方向相同,模的關(guān)系是|a+b|=||a|-|b||.【即學(xué)即練】已知||=6,||=3,則||的取值范圍是()A.[3,6] B.(3,6) C.[3,9] D.(3,9)【解析】選C.由題意得=-,所以||=|-|,所以|||-|||≤|-|≤|||+|||,則3≤||≤9,故C正確.6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解向量數(shù)乘運(yùn)算的概念與幾何意義.2.掌握向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律,會進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算.3.理解向量共線定理的含義,能解決相關(guān)的證明與計(jì)算問題.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算一、向量的數(shù)乘運(yùn)算1.定義:規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作λa,它的長度與方向規(guī)定如下:(1)|λa|=|λ||a|;(2)當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向相反.2.運(yùn)算律:設(shè)λ,μ為實(shí)數(shù),則有:(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;

(3)λ(a+b)=λa+λb.特別地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb.【教材挖掘】(P15)引入向量數(shù)乘運(yùn)算后,你能發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)與向量的積與原向量之間的位置關(guān)系嗎?提示:實(shí)數(shù)與原向量的積與原向量共線.【版本交融】(人BP150)數(shù)乘向量的幾何意義是什么?提示:把向量沿著它的方向或反方向放大或縮小.二、線性運(yùn)算1.定義:向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算,向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.2.運(yùn)算律:對于任意向量a,b,以及任意實(shí)數(shù)λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.三、向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa.【版本交融】(北師P92)在非零向量a方向上的單位向量如何表示?提示:a|【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)實(shí)數(shù)λ與向量a的乘積還是向量.(√)提示:由向量的數(shù)乘的定義知,實(shí)數(shù)λ與向量a的乘積還是向量.(2)對于任意實(shí)數(shù)m和向量a,b,若ma=mb,則a=b.(×)提示:當(dāng)m=0時(shí),ma=mb成立,a,b不一定相等.(3)對于非零向量a,-8a的模是4a的模的2倍.(√)提示:一個(gè)數(shù)m乘一個(gè)向量a,結(jié)果是一個(gè)向量ma,其模是|m||a|,所以對于非零向量a,-8a的模是4a的模的2倍.(4)若a∥b,則一定存在λ∈R,使得b=λa.(×)提示:當(dāng)a=0,b≠0時(shí),λa=0,此時(shí)不存在λ∈R,使得b=λa.類型一向量的線性運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(教材提升·例5)計(jì)算:(1)5(3a-2b)+4(2b-3a);(2)13(a-2b)-14(3a-2b)-12(a(3)(x+y)a-(x-y)a.【解析】(1)5(3a-2b)+4(2b-3a)=(15a-12a)+(-10b+8b)=3a-2b.(2)13(a-2b)-14(3a-2b)-12(a=(13a-34a-12a)+(-23b+12=-1112a+13(3)(x+y)a-(x-y)a=(xa-xa)+(ya+ya)=2ya.【總結(jié)升華】向量的線性運(yùn)算(1)向量的線性運(yùn)算類似于實(shí)數(shù)運(yùn)算,遵循括號內(nèi)的運(yùn)算優(yōu)先的原則,將共線的向量看作“同類項(xiàng)”進(jìn)行合并;(2)要注意向量數(shù)乘的結(jié)果仍是向量,同時(shí)要在理解幾何意義的基礎(chǔ)上,熟練運(yùn)用運(yùn)算律.【即學(xué)即練】計(jì)算:(1)2(a-b)+3(a+b);(2)12(a+b)+12(a-(3)3(a+2b)-2(a+3b)-2(a+b).【解析】(1)2(a-b)+3(a+b)=2a-2b+3a+3b=5a+b;(2)12(a+b)+12(a-=12a+12b+12a=a;(3)3(a+2b)-2(a+3b)-2(a+b)=3a+6b-2a-6b-2a-2b=-a-2b.類型二向量的線性表示(直觀想象)【典例2】(教材提升·例6)如圖,四邊形ABCD中,已知=2.(1)用,表示;(2)若=2,=34,用,表示.【解析】(1)因?yàn)?++,所以=++12=-12;(2)因?yàn)?+=-14=-14(-),所以=34+14=34·23+14=12+14.【總結(jié)升華】向量的線性表示(1)觀察幾何圖形的特征,確定已知向量與要表示向量之間的關(guān)系;(2)結(jié)合向量運(yùn)算的三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理,用已知向量表示所求向量.【即學(xué)即練】如圖所示,在△ABC中,D,F分別是BC,AC的中點(diǎn),=23,=a,=b.用a,b表示,,,,.【解析】在△ABC中,D,F分別是BC,AC的中點(diǎn),則=+=+12=+12(-)=12+12=12a+12b,故=23=13a+13b=12=12b,=-=13a+13b-a=13b-23a=-=12b-a.類型三向量共線定理的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1證明三點(diǎn)共線【典例3】設(shè)a,b是兩個(gè)不共線的非零向量,已知=3a-2b,=-2a+4b,=-2a-4b,試判斷A,C,D三點(diǎn)是否共線.【解析】共線.理由如下:因?yàn)?-2a-4b,且=+=(3a-2b)+(-2a+4b)=a+2b,故=-2,所以與共線,因?yàn)榕c有公共點(diǎn)C,所以A,C,D三點(diǎn)共線.【總結(jié)升華】證明三點(diǎn)共線(1)利用向量共線定理證明三點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)向量共線;(2)說明兩個(gè)向量有公共點(diǎn).【即學(xué)即練】已知e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,若=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2,求證:A,B,D三點(diǎn)共線.【證明】因?yàn)?e1+3e2,=2e1-e2,所以=-=e1-4e2,又=2e1-8e2=2(e1-4e2),所以=2,因?yàn)榕c有公共點(diǎn)B,所以A,B,D三點(diǎn)共線.角度2求參數(shù)的值【典例4】(2024·朔州高一檢測)已知兩個(gè)非零向量a,b不共線,且ka+3b與2a+kb共線,求實(shí)數(shù)k的值.【解析】因?yàn)閗a+3b與2a+kb共線,所以存在實(shí)數(shù)λ,使ka+3b=λ(2a+kb),即(k-2λ)a=(λk-3)b.由于a,b不共線,所以k-2λ=0λk即實(shí)數(shù)k的值為6或-6.【總結(jié)升華】求參數(shù)的值(1)利用向量共線定理引入?yún)?shù),得到兩個(gè)向量的關(guān)系式;(2)根據(jù)已知向量不共線得到對應(yīng)系數(shù)相等,解方程組求出參數(shù)的值.【即學(xué)即練】設(shè)兩個(gè)不共線的向量e1,e2,若向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,問是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ,μ,使向量d=λa+ub與向量c共線?【解析】存在,λ=-2μ.理由如下:因?yàn)閐=λ(2e1-3e2)+u(2e1+3e2)=(2λ+2u)e1+(3u-3λ)e2,要使d與c共線,則存在實(shí)