高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)第六章　6.4　6.4.3　第1課時(shí)　余弦定理含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第二冊(cè)第六章6.46.4.3第1課時(shí)余弦定理含答案6.4.3余弦定理、正弦定理第1課時(shí)余弦定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握余弦定理的推導(dǎo)過(guò)程.2.會(huì)用余弦定理及其推論,解決三角形中的邊角問(wèn)題.3.能夠利用余弦定理判斷三角形的形狀.【素養(yǎng)達(dá)成】邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理一、余弦定理文字語(yǔ)言三角形中任何一邊的平方,等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍符號(hào)語(yǔ)言a2=b2+c2-2bccos__Ab2=a2+c2-2accos__Bc2=a2+b2-2abcos__C變形推論cosA=b2+c2-a22bc【教材挖掘】(P43)勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關(guān)系,余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系,你能說(shuō)說(shuō)這兩個(gè)定理之間的關(guān)系嗎?提示:余弦定理是勾股定理的推廣,而勾股定理是余弦定理的特例.二、解三角形(1)三角形的元素三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素.(2)解三角形已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)余弦定理不適用于直角三角形.(×)提示:余弦定理適用任意三角形.(2)在△ABC中,若b2+c2>a2,則此三角形是銳角三角形.(×)提示:在△ABC中,若b2+c2>a2,只能說(shuō)明cosA=b2+c2(3)若b2+c2-a2=0,則A=90°.(√)提示:由余弦定理知cosA=0,A=90°.(4)在△ABC中,已知兩邊及夾角時(shí),△ABC不一定唯一.(×)提示:在△ABC中,已知兩邊及夾角時(shí),由余弦定理知第三邊確定,三角形是確定的.類(lèi)型一利用余弦定理解三角形(數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1已知兩邊及夾角【典例1】(2024·晉城高一檢測(cè))在△ABC中,已知a=22,b=23,C=15°,解此三角形.【解析】因?yàn)閏2=a2+b2-2abcosC=(22)2+(2=8-43=(6-2)2,所以c由余弦定理可得,cosA=b2+c2-a22bc=(2【總結(jié)升華】已知兩邊及其夾角解三角形的步驟(1)求第三邊;(2)利用余弦定理的推論求另一個(gè)角的余弦,并求出角;(3)利用三角形內(nèi)角和等于180°求第三個(gè)角.【即學(xué)即練】已知在△ABC中,AB=2,AC=1,cosA=56,則BC=(A.1 B.52 C.53 D【解析】選D.由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA=4+1-2×2×1×56=53,所以BC=角度2已知三邊【典例2】在△ABC中,已知a=23,b=22,c=6+2,求A,B,C.【解析】由余弦定理,得cosA=b2+c2-又0°<A<180°,所以A=60°.cosB=a2+c2-b22ac所以C=180°-A-B=75°.【總結(jié)升華】已知三邊解三角形的步驟(1)利用余弦定理的推論求其中兩個(gè)角的余弦值,并求出角;(2)利用三角形內(nèi)角和等于180°求第三個(gè)角.【即學(xué)即練】已知△ABC的三邊之比為3∶5∶7.求這個(gè)三角形的最大角.【解析】△ABC的三邊之比為3∶5∶7,不妨設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)為3k,5k,7k(k>0),由大邊對(duì)大角可知,長(zhǎng)度為7k的邊所對(duì)角為最大角,設(shè)最大角為θ,則cosθ=(3k)2+(5k)2-(故這個(gè)三角形的最大角為2π3類(lèi)型二余弦定理的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1求角或邊【典例3】(1)已知△ABC中,a2=b2+c2-3bc,則角A等于()A.π6 B.π3 C.2π3 【解析】選A.由△ABC中,a2=b2+c2-3bc,可得cosA=b2+c由于A∈(0,π),故A=π6(2)(2024·上海高一檢測(cè))在△ABC中,已知a=2,b=23,A=30°.求B,C及c.【解析】由余弦定理,得22=(23)2+c2-2×2即c2-6c+8=0,所以c=4或c=2.①當(dāng)c=4時(shí),cosB=22+4所以B=60°,從而C=180°-30°-60°=90°;②當(dāng)c=2時(shí),cosB=22+2所以B=120°,從而C=180°-30°-120°=30°.【總結(jié)升華】利用余弦定理求邊或角(1)已知含有a,b,c的平方關(guān)系的等式,可以代入余弦定理的某個(gè)推論,求出角的余弦值后求角;(2)已知角的正弦時(shí),可以用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出余弦,再進(jìn)一步用余弦定理求其他的邊或角.提醒:已知正弦求余弦時(shí)有兩種情況,需要根據(jù)條件判斷或分類(lèi)討論.【即學(xué)即練】(2024·成都高一檢測(cè))已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且c(c-a)=(b-a)(b+a),求角B.【解析】由c(c-a)=(b-a)(b+a)得a2+c2-b2=ac,由余弦定理cosB=a2+c2-又B∈(0,π),所以B=π3角度2判斷三角形的形狀【典例4】(1)若a,b,c是△ABC的三邊,且ca2+b2>1,則A.直角三角形 B.等邊三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形【解析】選D.因?yàn)閏a2+b2>1,即a2+b2<c2,a2+b2-c2<0,于是cos所以C為鈍角,即△ABC為鈍角三角形.(2)(2024·寶雞高一檢測(cè))在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且bcosC=ccosB,則△ABC為()A.等腰三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】選A.在△ABC中,由余弦定理得,cosC=a2+b2-因?yàn)閎cosC=ccosB,所以b·a2+b2-即a2+b2-c2=a2+c2-b2,即b2=c2,又因?yàn)閎>0,c>0,所以b=c,所以△ABC為等腰三角形.【總結(jié)升華】利用余弦定理判斷三角形形狀(1)化角為邊,通過(guò)恒等變換,求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷;(2)化邊為角,通過(guò)恒等變換,得到三個(gè)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.提醒:在上面兩種方法的等式變形中,在等號(hào)兩邊同時(shí)約去公因式時(shí),一定要考慮所約公因式是否為0.【即學(xué)即練】(2024·宿遷高一檢測(cè))在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若a+ccosA=b+ccosB,則△ABC為()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【解析】選D.由余弦定理可得:a+c×b2+c2-a2即2a2b+ab2+ac2-a3=2ab2+a2b+c2b-b3,整理得(a-b)(a2+b2-c2)=0,得a=b或a2+b2=c2,所以△ABC為等腰或直角三角形.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·商洛高一檢測(cè))在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若bcosC+ccosB=b2+c2a,則A.等腰三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形【解析】選B.根據(jù)余弦定理知,bcosC+ccosB=b×a2+b2=a2+=a=b2所以a2=b2+c2,則A=π2故△ABC為直角三角形.第2課時(shí)正弦定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解向量法推導(dǎo)正弦定理的過(guò)程.2.掌握正弦定理及其變形,會(huì)用它們求三角形中的邊角問(wèn)題.3.能夠利用正弦定理判斷三角形的形狀.【素養(yǎng)達(dá)成】邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理一、正弦定理?xiàng)l件在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c結(jié)論asinA=b文字?jǐn)⑹鲈谝粋€(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等【教材挖掘】(P47)關(guān)于正弦定理的推導(dǎo)過(guò)程,你還能想到其他方法嗎?提示:(1)當(dāng)三角形為銳角或鈍角三角形時(shí),作三角形的外接圓圓O,連接AO并延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)D,連接BD,則三角形ABD為直角三角形,則sinD=ABAD=AB2R,又sinD所以sinC=c2R,即2R=同理2R=bsinB,2R=即asinA=bsinB(2)當(dāng)三角形為直角三角形時(shí),asinA=bsinB=c,又sinπ2=1,即asin綜上,asinA=bsinB二、正弦定理的變形正弦定理拓展:asinA=bsinB(R是△ABC的外接圓半徑)邊化角a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC角化邊sinA=a2R,sinB=b2R,sinC【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)在△ABC中,a>b?A>B?sinA>sinB.(√)提示:在△ABC中,A>B?a>b?a2R>b2R?(2)在△ABC中,必有asinC=csinA.(√)提示:由正弦定理得asinA=csinC,得asinC(3)正弦定理只適用于銳角三角形和鈍角三角形,不適用于直角三角形.(×)提示:正弦定理適用于任意三角形,故錯(cuò)誤.(4)在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,則a∶b∶c=1∶2∶3.(×)提示:在△ABC中,A∶B∶C=1∶2∶3,由三角形內(nèi)角和為180°知A=30°,B=60°,C=90°,由正弦定理得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=sin30°∶sin60°∶sin90°=1∶3∶2.故錯(cuò)誤.類(lèi)型一利用正弦定理解三角形(數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1已知兩角一邊【典例1】(教材提升·例7)在△ABC中,已知B=30°,C=105°,b=4,解這個(gè)三角形.【解析】因?yàn)锽=30°,C=105°,所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°.由正弦定理,得asin45°=4sin30解得a=4sin45°sin30°c=4sin105°sin30°=2(6+【總結(jié)升華】已知兩角一邊解三角形的步驟(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°求第三角;(2)利用已知邊及正弦定理求另外兩邊.【即學(xué)即練】(2024·泰州高一檢測(cè))在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=2,A=π6,cosB=154,則b=(A.33 B.1 C.2 D.2【解析】選B.因?yàn)閏osB=154,B∈所以sinB=1-cos2B=14,由正弦定理asinA=bsin角度2已知兩邊及一邊的對(duì)角【典例2】(教材提升·例8)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a=1,c=3,A=π6,求b的值【解析】方法一:由正弦定理,得sinC=csinAa=31×因?yàn)镃∈(0,π),所以C=π3或C=2π當(dāng)C=π3時(shí),B=π2,所以b=a2當(dāng)C=2π3時(shí),A=B=π6,所以b=a綜上,b=2或1.方法二:在△ABC中,因?yàn)閍=1,c=3,A=π6由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即1=b2+3-2b×3cosπ6,可得b2-3b+2=0,解得b=1或b=2【總結(jié)升華】已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形的步驟(1)利用正弦定理求另一邊對(duì)角的正弦,根據(jù)邊的大小確定該角是銳角還是鈍角,并求出該角,如果不確定,則分兩種情況;(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求第三個(gè)角;(3)利用正弦定理求第三邊.提醒:三角形中“大邊對(duì)大角,小邊對(duì)小角”.【即學(xué)即練】(2024·咸陽(yáng)高一檢測(cè))在△ABC中,角A,B,C分別對(duì)應(yīng)邊a,b,c,已知a=2,b=3.B=60°,求C.【解析】由正弦定理得asinA=即2sinA=3sin60因?yàn)閎>a,則A必為銳角,所以A=45°,所以C=180°-B-A=180°-60°-45°=75°.類(lèi)型二正弦定理的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1三角形解的個(gè)數(shù)【典例3】判斷下列三角形解的個(gè)數(shù).(1)a=5,b=4,A=120°;(2)a=9,b=10,A=60°;(3)b=72,c=50,C=135°.【解析】(1)由正弦定理asinA=所以sinB=basinA=45×32因?yàn)锳=120°,所以B=180°-(A+C)=60°-C<60°,所以B只有一個(gè)解,此三角形有一個(gè)解.(2)由正弦定理asinA=所以sinB=basinA=109×32所以32<sinB因?yàn)锳=60°,a<b,所以60°<B<120°,所以B有兩個(gè)解,此三角形有兩個(gè)解.(3)因?yàn)閎>c,所以B>C=135°,所以B+C>270°,所以B無(wú)解,此三角形無(wú)解.【總結(jié)升華】已知兩邊及其中一邊的對(duì)角判斷三角形解的個(gè)數(shù)的方法(1)利用正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦;(2)根據(jù)正弦函數(shù)的值域及三角形大邊對(duì)大角的性質(zhì)判斷三角形解的個(gè)數(shù).【即學(xué)即練】(2024·石家莊高一檢測(cè))在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且b=2,A=45°,當(dāng)△ABC有兩個(gè)解時(shí),a的取值范圍是________.

答案:(2,2)【解析】由正弦定理可知asinA=bsinB,即a22=因?yàn)椤鰽BC有兩個(gè)解,即B有兩個(gè)解,又A=45°,則0°<B<135°,由正弦函數(shù)y=sinx的性質(zhì),可得45°<B<135°且B≠90°,所以22<sinB<1,即22<2a<1,解得2<a<2,即a的取值范圍是(角度2判斷三角形的形狀【典例4】(易錯(cuò)·對(duì)對(duì)碰)(1)若acosB=bcosA,則△ABC是________三角形;

(2)若acosA=bcosB,則△ABC是________三角形.

答案:(1)等腰(2)等腰或直角【解析】(1)由正弦定理asinA=bsinB,得又acosB=bcosA,所以ab=cos所以sinAsinB所以sinAcosB=sinBcosA