高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)5.2.1　三角函數(shù)的概念(二)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)5.2.1三角函數(shù)的概念(二)含答案5.2.1三角函數(shù)的概念(二)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.熟練掌握各象限角三角函數(shù)值的符號(hào).2.理解誘導(dǎo)公式一,并能解決相關(guān)問題.3.會(huì)用三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式一解決相關(guān)的綜合問題.【素養(yǎng)達(dá)成】直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算1.正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)2.終邊相同角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系(1)終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等;(2)公式一sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=tanα,其中k∈Z.

教材挖掘(P180)通過公式一,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?提示:由公式一可知,三角函數(shù)值有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律,即角α的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周,函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn).【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若α是三角形的內(nèi)角,則必有sinα>0.(√)提示:因?yàn)?<α<π,所以sinα>0.(2)若sinα>0,則α為第一、二象限角.(×)提示:α的終邊位于第一、二象限或y軸正半軸.(3)sinα=sinβ,則α=β.(×)提示:比如α=30°,β=150°,sinα=sinβ,但α≠β.類型一三角函數(shù)值符號(hào)的應(yīng)用(邏輯推理)【典例1】(1)(教材提升例3)已知點(diǎn)P(cosα,tanα)在第三象限,則角α的終邊在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.由題意可得cosα<0tanα<0,則(2)(2024·商丘高一檢測(cè))若sinθcosθ>0,tanθcosθ<0,則角θA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.根據(jù)sinθcosθ>0,可知角θ的終邊可能在第一或第三象限,再根據(jù)tanθcosθ<0,可知角θ的終邊可能在第三或第四象限,故角【總結(jié)升華】確定象限角及三角函數(shù)值符號(hào)的方法(1)由角α終邊所在的象限判斷角α的三角函數(shù)值的符號(hào)問題,要依據(jù)三角函數(shù)的定義;(2)由三角函數(shù)值的符號(hào)確定角α在第幾象限,先由題中三角函數(shù)值的符號(hào)分別確定角α的終邊位置,進(jìn)而找出它們的公共部分.【即學(xué)即練】1.已知角θ的終邊在第四象限,則y=sinθ|sinθ|+cosA.1 B.-1 C.3 D.-3【解析】選B.由角θ的終邊在第四象限,得sinθ<0,cosθ>0,tanθ<0,故y=-1+1+(-1)=-1.2.若角α滿足sinα·cosα<0,cosα-sinα<0,則α在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.因?yàn)閟inα·cosα<0,所以α是第二或第四象限角;當(dāng)α是第二象限角時(shí),cosα<0,sinα>0,滿足cosα-sinα<0;當(dāng)α是第四象限角時(shí),cosα>0,sinα<0,則cosα-sinα>0,不合題意.綜上所述,α是第二象限角.類型二公式一的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】(1)(2024·南昌高一檢測(cè))sin(-1380°)的值為()A.-12 B.12 C.-32 【分析】因?yàn)?1380°=-4×360°+60°,利用誘導(dǎo)公式一化簡(jiǎn)即可得解.【解析】選D.sin(-1380°)=sin(-4×360°+60°)=sin60°=32(2)(教材提升例5)求下列各三角函數(shù)的值.①sin(-2820°);②tan33π4③cos17π4【解析】①sin(-2820°)=sin(-8×360°+60°)=sin60°=32②tan33π4=tan(8π+π4)=tan③cos17π4=cos(4π+π4)=cosπ4【總結(jié)升華】關(guān)于公式一的應(yīng)用當(dāng)|α|>2π時(shí),可先利用公式一轉(zhuǎn)化為0~2π的角,然后利用三角函數(shù)的定義或特殊角的三角函數(shù)值求解.【即學(xué)即練】1.(2024·天津高一檢測(cè))cos540°的值為()A.1 B.0 C.-1 D.不存在【解析】選C.cos540°=cos(540°-360°)=cos180°=-1.2.求下列各式的值.(1)cos25π3+tan(-15π【解析】(1)cos25π3+tan(-15π4)=cosπ3+tanπ4=(2)sin810°+tan765°-cos360°.【解析】(2)sin810°+tan765°-cos360°=sin90°+tan45°-cos0°=1+1-1=1.類型三三角函數(shù)概念的綜合應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例3】(1)(2024·沈陽高一檢測(cè))點(diǎn)P(tan2023°,cos2023°)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.因?yàn)?023°=5×360°+223°,則2023°為第三象限角,可得tan2023°>0,cos2023°<0,所以P(tan2023°,cos2023°)位于第四象限.(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,單位圓上一點(diǎn)P從點(diǎn)(0,1)出發(fā),逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)π6弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn),則Q的坐標(biāo)為(A.(-12,32) B.(32C.(12,32) D.(-32【解析】選A.由題可知OP與x軸正半軸的夾角為π2,則點(diǎn)P逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)π6弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)后OQ與x軸正半軸的夾角為α,此時(shí)α=π2+πxQ=cosα=cos2π3=-12,yQ=sinα=sin2π3故此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-12,32【總結(jié)升華】三角函數(shù)概念的綜合應(yīng)用(1)三角函數(shù)的概念包括三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)值的符號(hào)、誘導(dǎo)公式一;(2)一般先利用誘導(dǎo)公式一轉(zhuǎn)化,再結(jié)合三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律解決問題.【即學(xué)即練】1.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3,4t),且sin(2kπ+α)=-35(k∈Z),則t=【解析】sin(2kπ+α)=sinα=-35<0,則α的終邊在第三或第四象限又點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是正數(shù),所以α是第四象限角,所以t<0.又sinα=4t9+16t2,所以4t9+16t答案:-9【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·重慶高一檢測(cè))如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-35(1)求sinα,cosα的值;【解析】(1)因?yàn)镻在單位圓上,且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-35,所以P(-35,所以cosα=-35,sinα=4(2)求sin2(-2π+α【解析】(2)原式=sin2αsinα=(sinα+cosα)(sinα2.已知角α,β的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,始邊落在x軸的非負(fù)半軸上.角α的終邊繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)3π4后與角β的終邊重合,且cos(α+β)=1,則角α的一個(gè)取值為【解析】依題意,β=α+3π4因此cos(α+β)=cos(2α+3π4則2α+3π4=2kπ,k∈解得α=kπ-3π8,k∈Z,當(dāng)k=0時(shí),α=-3π所以角α的一個(gè)取值為-3π8答案:-3π8課時(shí)鞏固訓(xùn)練,請(qǐng)使用“課時(shí)過程性評(píng)價(jià)四十四”5.2三角函數(shù)的概念5.2.1三角函數(shù)的概念(一)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能夠通過單位圓理解三角函數(shù)的概念.2.會(huì)用坐標(biāo)法求任意角的三角函數(shù).3.掌握三角函數(shù)概念的簡(jiǎn)單應(yīng)用.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算任意角的三角函數(shù)條件如圖,設(shè)α是一個(gè)任意角,α∈R,它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y)結(jié)論正弦把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù),記作sinα,即y=sinα余弦把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù),記作cosα,即x=cosα正切把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值yx叫做α的正切,記作tanα,即yx=tanα(三角函數(shù)將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù),通常將它們記為:正弦函數(shù)y=sinx,x∈R余弦函數(shù)y=cosx,x∈R正切函數(shù)y=tanx,x∈{x|x≠π2+kπ(k∈教材挖掘(P178探究)按初中所學(xué)的銳角三角函數(shù)定義求得的銳角的正弦、余弦、正切與按本節(jié)三角函數(shù)定義求得的結(jié)果相等嗎?提示:相等版本交融(人BP14嘗試與發(fā)現(xiàn))初中的時(shí)候我們學(xué)過,在一個(gè)直角三角形中,如果銳角α的對(duì)邊為a,鄰邊為b,斜邊為c,則有sinα=ac,cosα=bc,tanα=當(dāng)α是一個(gè)銳角時(shí),上述正弦、余弦與正切,能否通過α終邊上任意的點(diǎn)的坐標(biāo)來定義呢?這種定義的方式能否推廣到任意角?提示:若P(x,y)是角α終邊上任意一點(diǎn),則sinα=yr,cosα=xr,tanα=yx(x≠0),其中r=x【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若α是第二象限角,且P(x,y)是其終邊與單位圓的交點(diǎn),則cosα=-x.(×)提示:根據(jù)余弦函數(shù)定義可知cosα=x,錯(cuò)誤.(2)同一個(gè)三角函數(shù)值能找到無數(shù)個(gè)角與之對(duì)應(yīng).(√)提示:終邊相同的角的三角函數(shù)值都相同,正確.(3)任意一個(gè)角都有三角函數(shù)值.(×)提示:90°的正切函數(shù)值不存在.(4)sinπ=0.(√)提示:角π的終邊與單位圓的交點(diǎn)為(-1,0),故sinπ=0.類型一已知終邊與單位圓交點(diǎn)求三角函數(shù)值(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(1)已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(-55,-255),則sinα-cosαA.-55 B.55 C.355 【解析】選A.由三角函數(shù)的定義得cosα=-55,sinα=-255,因此sinα-cosα(2)已知角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(-12,y),求sinα·tanα的值【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P(-12,y所以(-12)2+y2=1,所以y2=3由三角函數(shù)的定義可得sinα=y,tanα=-2y,因此sinα·tanα=-2y2=-32【總結(jié)升華】已知終邊與單位圓交點(diǎn)求三角函數(shù)值(1)若已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo),利用三角函數(shù)定義寫出三角函數(shù)值;(2)若角的終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)未全部已知,可以根據(jù)單位圓的半徑為1,求出未知量,然后再用三角函數(shù)的定義寫出三角函數(shù)值.【即學(xué)即練】1.已知角θ以坐標(biāo)系中Ox為始邊,終邊與單位圓交于點(diǎn)(35,45),則下列各式正確的是(A.sinθ+cosθ=-7B.sinθ-cosθ=-1C.sinθcosθ=12D.sinθtanθ=9【解析】選C.因?yàn)榻铅纫宰鴺?biāo)系中Ox為始邊,終邊與單位圓交于點(diǎn)(35,4所以sinθ=45,cosθ=35,tanθ=所以sinθ+cosθ=75sinθ-cosθ=15sinθcosθ=1225sinθtanθ=45×43=162.(2024·北京高一檢測(cè))已知角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊在x軸的非負(fù)半軸上,終邊與單位圓交于第二象限的點(diǎn)P,且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為12,則cosα=【解析】由題設(shè)知P(-32,12),故cosα=-答案:-3【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·綏化高一檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中,若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(sinπ6,cosπ6),則cosα=【解析】角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(sinπ6,cosπ6),點(diǎn)P在單位圓上,則cosα=sinπ6答案:1類型二已知終邊上任意一點(diǎn)求三角函數(shù)值(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】(類題·節(jié)節(jié)高)(1)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4,-3),求2sinα+cosα的值;【解析】(1)因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P(4,-3),所以|OP|=42所以sinα=-35,cosα=45,所以2sinα+cosα=-(2)已知角α終邊上一點(diǎn)P與x軸的距離和與y軸的距離之比為3∶4,求2sinα+cosα的值.【解析】(2)因?yàn)榻铅两K邊上一點(diǎn)P與x軸的距離和與y軸的距離之比為3∶4,所以設(shè)P(±4a,±3a)(a≠0),當(dāng)角α終邊在第一象限時(shí),cosα=45,sinα=35,2sinα+cos當(dāng)角α終邊在第二象限時(shí),cosα=-45,sinα=35,2sinα+cosα=當(dāng)角α終邊在第三象限時(shí),cosα=-45,sinα=-35,2sinα+cos當(dāng)角α終邊在第四象限時(shí),cosα=45,sinα=-35,2sinα+cosα=-【總結(jié)升華】已知終邊上任意一點(diǎn)求三角函數(shù)值(1)若已知角α終邊上任意一點(diǎn)P(x,y),則sinα=yr,cosα=xr,tanα=yx其中r=x2(2)若已知角α終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)含參數(shù),則需進(jìn)行分類討論.【即學(xué)即練】1.(2024·重慶高一檢測(cè))已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸的非負(fù)半軸,若P(2,y)是角θ終邊上一點(diǎn),且sinθ=-255,則y=【解析】根據(jù)正弦值為負(fù)數(shù),判斷角在第三、四象限,再加上橫坐標(biāo)為正,斷定該角為第四象限角.sinθ=y4+y2=-25答案:-42.(2024·桂林高一檢測(cè))已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(5m,12m),其中m≠0,求sinα,cosα,tanα的值.【解析】令x=5m,y=12m,則r=x2+y2=①當(dāng)m>0時(shí),r=13m,sinα=yr=12m13m=1213,cosα=xr=5m13m②當(dāng)m<0時(shí),r=-13m,sinα=yr=-12m13m=-1213,cosα=xr=-5m13m【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·徐州高一檢測(cè))已知角α的終邊過點(diǎn)A(-4,3),則sinα·tanα=()A.-45 B.45 C.-920 【解析】選C.由題意可得,sinα=3(-4)2+32=35,tanα=3-類型三三角函數(shù)定義的簡(jiǎn)單應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1求特殊角的三角函數(shù)值【典例3】(教材例1改編)求7π4的正弦、余弦和正切值【解析】在平面直角坐標(biāo)系中作∠AOB=7π4,在終邊OB上取點(diǎn)P,使OP的長(zhǎng)為1由于點(diǎn)P在第四象限,OP與x軸正方向的夾角為∠POA=π4因此可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(22,-22因?yàn)閞=OP=1,所以sin7π4=yr=-22,cos7π4=xr=22【總結(jié)升華】特殊角三角函數(shù)值的求法(1)在角的終邊上取點(diǎn)P,使OP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的長(zhǎng)為1;(2)根據(jù)角的終邊所在象限,構(gòu)造直角三角形,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)結(jié)合三角函數(shù)的定義,