高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊5.5.1　第3課時　兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(二)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊5.5.1第3課時兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(二)含答案第3課時兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(二)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式.2.會用兩角和與差的正切公式進行簡單的三角函數(shù)的求值、化簡、計算等.3.能靈活運用兩角和與差的正切公式,了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、直觀想象數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算兩角和與差的正切公式名稱公式簡記符號條件兩角和的正切公式tan(α+β)=tanT(α+β)α,β,α+β≠kπ+π2(k∈兩角差的正切公式tan(α-β)=tanT(α-β)α,β,α-β≠kπ+π2(k∈教材挖掘(P218探究)問題1怎樣由兩角和的正弦、余弦公式得到兩角和的正切公式?提示:tan(α+β)=sin=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ-sin問題2由兩角和的正切公式如何得到兩角差的正切公式?提示:用-β來代替tan(α+β)中的β即可得到tan(α-β).【教材深化】(1)公式T(α-β)也可以這樣推導(dǎo):當(dāng)cos(α-β)≠0時,tan(α-β)=sin(α-若cosαcosβ≠0,則將上式的分子、分母都除以cosα·cosβ,得tan(α-β)=tanα(2)公式的結(jié)構(gòu)特征及符號特征如下:①公式T(α±β)的右側(cè)為分式形式,其中分子為tanα與tanβ的和或差,分母為1與tanαtanβ的差或和.②符號變化規(guī)律可簡記為“分子同,分母反”.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tanα+tanβ成立. (√)提示:當(dāng)α=0,β≠π2時成立(2)tanπ2-π3能根據(jù)公式tan(α-β提示:tanπ2沒有意義(3)tan83°+tan45°1提示:T(α+β)公式逆用.類型一化簡求值(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】化簡下列各式:(1)1-【解析】(1)原式=tan45°-(2)tan20°+tan40°+3tan20°·tan40°;【解析】(2)原式=tan(20°+40°)(1-tan20°·tan40°)+3tan20°·tan40°=3-3tan20°·tan40°+3tan20°·tan40°=3.(3)tanθ+tan(π4-θ)+tanθ·tan(π4-θ【解析】(3)原式=tan[θ+(π4-θ)][1-tanθ·tan(π4-θ)]+tanθ·tan(π4-θ)=1-tanθ·tan(π4-θ)+tanθ·tan(π【總結(jié)升華】利用公式T(α±β)化簡求值的兩點說明(1)分析式子結(jié)構(gòu),正確選用公式形式:T(α±β)是三角函數(shù)公式中應(yīng)用靈活程度較高的公式之一,因此在應(yīng)用時先從所化簡(求值)式子的結(jié)構(gòu)出發(fā),確定是正用、逆用還是變形用,并注意整體代換.(2)化簡求值中要注意“特殊值”的代換和應(yīng)用:當(dāng)所要化簡(求值)的式子中出現(xiàn)特殊的數(shù)值“1”“3”時,要考慮用這些特殊值所對應(yīng)的特殊角的正切值去代換.【即學(xué)即練】求下列各式的值:(1)tan10°+tan50°+3tan10°tan50°;【解析】(1)tan10°+tan50°+3tan10°tan50°=tan60°(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50°=3-3tan10°tan50°+3tan10°tan50°=3.(2)3-【解析】(2)3-tan15【補償訓(xùn)練】計算下列各式的值:(1)tan105°;【解析】(1)tan105°=tan(60°+45°)=tan60°+tan(2)tan【解析】(2)原式=tan(74°+76°)=tan150°=-33類型二給值求值(數(shù)學(xué)抽象)【典例2】(1)已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,則tan(θ-π4)=-【解析】因為θ是第四象限角,所以-π2+2kπ<θ<2kπ,則-π4+2kπ<θ+π4<π4+2k又sin(θ+π4)=3所以cos(θ+π4)==1-(3所以cos(π4-θ)=sin(θ+π4)=35,sin(π4-θ)=cos(θ+則tan(θ-π4)=-tan(π4-θ)=-sin(π4-(2)(2024·泰州高一檢測)若1-tan(α-π4)1+tan(αA.-35 B.35 C.-45 【解析】選A.由1-tan(α-π4)1+tan(α-π4)=12可得,tan(α-π4)=13,所以tanα=tan(π4+α-π4)=【總結(jié)升華】給值求值的解題策略觀察題目所給條件,運用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式直接求解得到對應(yīng)角的正切值,然后運用正切的差角公式計算.同時要注意角的象限,正確判斷三角函數(shù)值的正負(fù).【即學(xué)即練】1.已知α,β為銳角,tanα=43,cos(α+β)=-55,則tanβ= (A.2 B.255 C.23 【解析】選A.因為α,β為銳角,所以0<α+β<π,所以sin(α+β)=1-costan(α+β)=sin(則tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(α+β2.已知α,β為銳角,cosα=45,tan(α-β)=-13,則tanβ的值為13【解析】因為α,β為銳角,cosα=45,所以sinα=3所以tanα=34,tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=-1類型三給值求角(邏輯推理)【典例3】已知α,β均為銳角,tanα=12,tanβ=13,則α+β=π【解析】因為tanα=12,tanβ=1所以tan(α+β)=tanα+tanβ因為α,β均為銳角,即α,β∈(0,π2所以0<α+β<π,則α+β=π4【總結(jié)升華】解決給值求角問題的方法關(guān)于求角問題,解題時一定要重視角的取值范圍對三角函數(shù)值的制約,從而恰當(dāng)、準(zhǔn)確地求出角的值.【即學(xué)即練】已知tanα,tanβ是方程x2+33x+4=0的兩個根,且-π2<α<π2,-π2<β<π2,則α+A.π3 B.-C.-2π3或π3 D【解析】選B.由題意知,tanα+tanβ=-33,tanαtanβ=4,則tanα<0,tanβ<0,所以α∈(-π2,0),β∈(-π所以α+β∈(-π,0).因為tan(α+β)=tanα+tanβ1-所以α+β=-2π3類型四兩角和與差正切公式的綜合應(yīng)用(邏輯推理)【典例4】△ABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,若tanA,tanB是方程3x2-6x+2=0的兩根,試判斷△ABC的形狀.【解析】依題意tanA所以tanA>0,tanB>0,又A,B,C∈(0,π),所以A∈(0,π2),B∈(0,π又tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-tanA+tanB1所以C∈(π2,π),所以△ABC為鈍角三角形【總結(jié)升華】關(guān)于化簡問題的方法當(dāng)化簡的式子中出現(xiàn)“tanα±tanβ”與“tanα·tanβ”的形式時,要把它們看成兩個整體,這兩個整體一是與兩角和與差的正切公式有關(guān),通過公式能相互轉(zhuǎn)換,二是這兩個整體還與根與系數(shù)的關(guān)系相似,在應(yīng)用時要注意隱含的條件,能縮小角的范圍.【即學(xué)即練】在銳角三角形ABC中,sinA=3cosBcosC,則tanAtanBtanC的最小值是 ()A.3 B.275 C.163 D【解析】選B.因為sinA=3cosBcosC,所以sinBcosC+cosBsinC=3cosBcosC,所以tanB+tanC=3,所以tanAtanBtanC=tanB+tanCtanBtanC-1tanBtanC=3tanBtanCtanBtanC-1=3+3tanBtanC-1【補償訓(xùn)練】(多選)在△ABC中,C=120°,tanA+tanB=233,下列各式中正確的是 (A.A+B=2C B.tan(A+B)=-3C.tanA=tanB D.cosB=3sinA【解析】選CD.因為C=120°,所以A+B=60°,所以2(A+B)=C,所以tan(A+B)=3,所以選項A,B錯誤;因為tanA+tanB=3(1-tanA·tanB)=233,所以tanA·tanB=1又tanA+tanB=233所以聯(lián)立①②解得tanA=tanB=33所以cosB=3sinA,故選項C,D正確.第4課時二倍角的正弦、余弦、正切公式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能通過兩角和的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式的結(jié)構(gòu)形式,并能利用公式進行簡單的化簡、求值、證明.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、直觀想象數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算1.二倍角的正弦、余弦、正切公式項目公式簡記正弦sin2α=2sinαcosαS2α余弦cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αC2α正切tan2α=2T2α2.常見二倍角公式的變形cos2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα);1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2;降冪公式:sinαcosα=12sin2αcos2α=1+cos2α2;sin2α=升冪公式:1+cos2α=2cos2α;1-cos2α=2sin2α.【教材深化】(1)二倍角的“廣義理解”:二倍角是相對的,如4α是2α的二倍角,α是α2的二倍角等,“倍”是描述兩個數(shù)量之間關(guān)系的,這里蘊含著換元思想(2)對于S2α和C2α,α∈R,但是在使用T2α?xí)r,要保證分母1-tan2α≠0且tanα有意義,即α≠π4+kπ且α≠-π4+kπ且α≠π2+kπ(k∈Z).當(dāng)α=π4+kπ及α=-π4+kπ(k∈Z)時,tan2α的值不存在;當(dāng)α=π2+kπ(k∈Z)時,tanα的值不存在,故不能用二倍角公式求tan2α(3)二倍角的余弦公式的三種形式容易混淆,尤其是后兩種.若對后兩種形式不確定,可以記住第一種,再結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系推導(dǎo)出后兩種.(4)一般情況下,sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.(5)倍角公式的逆用能開拓思路,我們要熟悉這組公式的逆用形式.例如,sin3αcos3α=12sin6(6)和角公式與二倍角公式之間的聯(lián)系:【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦公式的適用范圍是任意角. (√)提示:二倍角的正弦、余弦公式中,角的取值范圍是任意實數(shù).(2)存在角α,使得sin2α=2sinα成立. (√)提示:取α=kπ(k∈Z),則等式成立.(3)對任意角α,總有tan2α=2tanα1-提示:在二倍角的正切公式中,α≠kπ+π2且α≠kπ2+π4((4)sin2π12-cos2π12=32提示:sin2π12-cos2π12=-(cos2π12-sin2π12)=-cos(2×類型一給角求值(數(shù)學(xué)抽象)【典例1】求下列各式的值:(1)sinπ12cosπ【解析】(1)原式=12×2sinπ12cosπ12=12×sin(2)tan【解析】(2)原式=12×2tan22.5(3)cos4π12-sin4π【解析】(3)原式=(cos2π12-sin2π12)(cos2π12+sin2π12)=cos2π12-sin2π【總結(jié)升華】給角求值的解題策略(1)直接正用、逆用二倍角公式,結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對已知式子進行轉(zhuǎn)化,一般可以化為特殊角.(2)若形式為幾個非特殊角的三角函數(shù)式相乘,則一般逆用二倍角的正弦公式,在求解過程中,需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件,使得問題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式.【即學(xué)即練】求下列各式的值:(1)cos8π7·cos16π7·cos【解析】(1)cos8π7·cos16π7=-cosπ7·cos2π7=-2sin=-2sin=-2sin4π7cos4π7(2)cos5π16sin【解析】(2)cos5π16sinπ16-sin5π16cosπ16類型二給值求值(條件求值)(數(shù)學(xué)抽象)【典例2】(教材P221例5改編)已知cosα4=35,0<α<2π,求sinα2,cosα2【解析】由0<α<2π,得0<α4<π所以sinα4=4所以sinα2=2sinα4cosα4=2×45×cosα2=cos2α4-sin2α4=(35)2-(45tanα2=sinα2cosα【總結(jié)升華】給值求值的解題策略(1)給值求值問題,注意尋找已知式與未知式之間的聯(lián)系,有兩個觀察方向:①有方向地將已知式或未知式化簡,使關(guān)系明朗化;②尋找角之間的關(guān)系,看是否適合相關(guān)公式的使用,注意常見角的變換和角之間的二倍關(guān)系.(2)注意幾種公式的靈活應(yīng)用,如:①sin2x=cos(π2-2x)=cos[2(π4-x)2cos2(π4-x)-1=1-2sin2(π4-x②cos2x=sin(π2-2x)=sin[2(π4-x)2sin(π4-x)cos(π4-x【即學(xué)即練】1.已知sin(x+π6)=m,則cos(2x-2π3)= (A.1-2m2 B.2m2-1C.m D.2m-1【解析】選B.cos(2x-2π3)=cos[2(x+π6)-π]=-cos2(x+π6)=2sin2(x+π6)-1=22.已知tan(α-π3)=33,則tan2α= (A.-43 B.-3C.43 D.3【解析】選A.已知tan(α-π3)=tanα-tanπ31+tanαtanπ3=33【補償訓(xùn)練】1.(教材提升·例5)已知sin(α+π2)=55,α∈(-π2,0),則sin2α= A.45 B.-45 C.455 【解析】選B.因為sin(α+π2)=cosα=55,α∈(-π2,0),所以sinα=-1所以sin2α=2sinαcosα=2×(-255)×552.已知tanα+1tanα=52,α∈(π4,π2),求cos2α和sin(2【解析】由tanα+1tanα=52,得sinαcos則2sin2α=52,即sin2α因為α∈(π4,π2),所以2α∈(所以cos2α=-1-sin22α=-35,sin(2α+π4)=sin2α·cosπ4+cos2α·sinπ4=類型三利用倍角公式化簡與證明(邏輯推理)【典例3】(1)化簡:①sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-12cos2α·cos2β②12-1212-【解析】(1)①方法一(從“角”入手,“倍角”變“單角”):原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-12(2cos2α-1)·(2cos2β=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β-12(4cos2α·cos2β-2cos2α-2cos2β=sin2α·sin2β-cos2α·cos2β+cos2α+cos2β-1=sin2αsin2β+cos2αsin2β+cos2β-12=sin2β+cos2β-12=方法二(從“名”入手,“異名”化“同名”):原式=sin2αsin2β+(1-sin2α)cos2β-12cos2αcos2=sin2α(sin2β-cos2β)+cos2β-12cos2αcos2=cos2β-sin2αcos2β-12(1-2sin2α)cos2=cos2β-12cos2β=cos2β-12(2cos2β-1)=方法三(從“冪”入手,利用降冪公式先降次):原式=1-cos2α2·1-cos2β2+1+cos2=14×(1+cos2α·cos2β-cos2α-cos2β)+14×(1+cos2α·cos2β+cos2α+cos2β)-12cos2α·cos2β方法四(從“形”入手,利用配方法,先對二次項配方):原式=(sinα·sinβ-cosα·cosβ)2+2sinα·sinβ·cosα·cosβ-12cos2α·cos2=cos2(α+β)+12sin2α·sin2β-12cos2α=cos2(α+β)-12·