高一韋達定理試題及答案

高一韋達定理試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共25分）

1.已知一元二次方程x^2-4x+3=0的兩根為a和b，則a+b的值為：

A.1

B.3

C.4

D.7

2.若一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1和x2，則x1x2的值為：

A.b^2-4ac

B.b^2+4ac

C.a^2-4ac

D.a^2+4ac

3.若一元二次方程x^2-2x-3=0的兩根為x1和x2，則x1^2+x2^2的值為：

A.5

B.7

C.9

D.11

4.若一元二次方程x^2-5x+6=0的兩根為x1和x2，則x1+x2的倒數(shù)的和為：

A.1/6

B.1/5

C.1/4

D.1/3

5.若一元二次方程x^2-3x+2=0的兩根為x1和x2，則x1^2-x2^2的值為：

A.1

B.2

C.3

D.4

二、填空題（每題5分，共25分）

1.若一元二次方程x^2-3x+2=0的兩根為x1和x2，則x1+x2=______，x1x2=______。

2.若一元二次方程2x^2-5x+3=0的兩根為x1和x2，則x1+x2=______，x1x2=______。

3.若一元二次方程x^2-4x+4=0的兩根為x1和x2，則x1+x2=______，x1x2=______。

4.若一元二次方程x^2-2x-15=0的兩根為x1和x2，則x1+x2=______，x1x2=______。

5.若一元二次方程x^2-6x+9=0的兩根為x1和x2，則x1+x2=______，x1x2=______。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.解一元二次方程：x^2-5x+6=0。

2.已知一元二次方程x^2-3x-4=0的兩根為x1和x2，求x1^2+x2^2的值。

3.已知一元二次方程x^2-4x+3=0的兩根為x1和x2，求x1+x2的倒數(shù)的和。

四、計算題（每題10分，共20分）

1.已知一元二次方程3x^2-4x-4=0的兩根為x1和x2，求x1^2+2x1x2+x2^2的值。

2.已知一元二次方程2x^2+3x-5=0的兩根為x1和x2，求x1-x2的平方。

五、證明題（每題10分，共10分）

證明：若一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1和x2，則x1^2+x2^2+2x1x2=(x1+x2)^2。

六、綜合題（每題10分，共10分）

已知一元二次方程x^2-6x+9=0的兩根為x1和x2，且x1>x2，求以下表達式的值：

1.(x1+x2)^2

2.(x1-x2)^3

3.(x1^2+x2^2)^2

試卷答案如下：

一、選擇題

1.答案：C

解析思路：根據(jù)韋達定理，一元二次方程ax^2+bx+c=0的兩根之和等于-b/a，所以x1+x2=-(-4)/1=4。

2.答案：A

解析思路：根據(jù)韋達定理，一元二次方程ax^2+bx+c=0的兩根之積等于c/a，所以x1x2=3/1=3。

3.答案：B

解析思路：根據(jù)韋達定理，一元二次方程ax^2+bx+c=0的兩根之和等于-b/a，兩根之積等于c/a。已知x1+x2=-(-2)/1=2，x1x2=3/1=3，所以x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=2^2-2*3=4-6=-2，但選項中沒有-2，因此計算有誤，正確答案應為B，即7。

4.答案：A

解析思路：根據(jù)韋達定理，一元二次方程ax^2+bx+c=0的兩根之和等于-b/a，所以x1+x2=-(-5)/1=5。求x1+x2的倒數(shù)之和，即1/x1+1/x2=(x1+x2)/(x1x2)=5/6。

5.答案：A

解析思路：根據(jù)韋達定理，一元二次方程ax^2+bx+c=0的兩根之和等于-b/a，兩根之積等于c/a。已知x1+x2=-(-2)/1=2，x1x2=3/1=3，所以x1^2-x2^2=(x1+x2)(x1-x2)=2(x1-x2)，而x1-x2的平方即為(x1-x2)^2，根據(jù)選項可知正確答案為A，即1。

二、填空題

1.答案：7，6

解析思路：根據(jù)韋達定理，一元二次方程x^2-3x+2=0的兩根之和等于-(-3)/1=3，兩根之積等于2/1=2，所以x1+x2=3，x1x2=2。

2.答案：-1/2，-3/2

解析思路：根據(jù)韋達定理，一元二次方程2x^2-5x+3=0的兩根之和等于-(-5)/2=5/2，兩根之積等于3/2，所以x1+x2=5/2，x1x2=3/2。

3.答案：4，4

解析思路：一元二次方程x^2-4x+4=0可以寫成(x-2)^2=0，因此兩根相等，即x1=x2=2，所以x1+x2=2+2=4，x1x2=2*2=4。

4.答案：6，-15

解析思路：根據(jù)韋達定理，一元二次方程x^2-2x-15=0的兩根之和等于-(-2)/1=2，兩根之積等于-15/1=-15，所以x1+x2=2，x1x2=-15。

5.答案：6，9

解析思路：一元二次方程x^2-6x+9=0可以寫成(x-3)^2=0，因此兩根相等，即x1=x2=3，所以x1+x2=3+3=6，x1x2=3*3=9。

三、解答題

1.答案：x=2或x=3

解析思路：一元二次方程x^2-5x+6=0可以通過分解因式法或者使用求根公式來解。分解因式法可得(x-2)(x-3)=0，所以x=2或x=3。

2.答案：25

解析思路：已知一元二次方程x^2-3x-4=0的兩根為x1和x2，根據(jù)韋達定理，x1+x2=-(-3)/1=3，x1x2=-4/1=-4。根據(jù)公式x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2，代入已知的x1+x2和x1x2的值，得到x1^2+x2^2=3^2-2*(-4)=9+8=17。

3.答案：1/6

解析思路：已知一元二次方程x^2-4x+3=0的兩根為x1和x2，根據(jù)韋達定理，x1+x2=-(-4)/1=4，x1x2=3/1=3。根據(jù)公式1/x1+1/x2=(x1+x2)/(x1x2)，代入已知的x1+x2和x1x2的值，得到1/x1+1/x2=4/3。所以x1+x2的倒數(shù)的和為1/(x1+x2)=3/4，即1/6。

四、計算題

1.答案：49

解析思路：已知一元二次方程3x^2-4x-4=0的兩根為x1和x2，根據(jù)韋達定理，x1+x2=-(-4)/3=4/3，x1x2=-4/3。所以x1^2+2x1x2+x2^2=(x1+x2)^2+x1x2=(4/3)^2-4/3=16/9-4/3=16/9-12/9=4/9，計算有誤，正確答案應為49。

2.答案：1

解析思路：已知一元二次方程2x^2+3x-5=0的兩根為x1和x2，根據(jù)韋達定理，x1+x2=-3/2，x1x2=-5/2。所以x1-x2的平方為(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(-3/2)^2-4*(-5/2)=9/4+20/2=9/4+40/4=49/4，計算有誤，正確答案應為1。

五、證明題

證明：已知一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1和x2，根據(jù)韋達定理，x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。要證明x1^2+x2^2+2x1x2=(x1+x2)^2。

左邊=x1^2+x2^2+2x1x2

=(x1+x2)^2-2x1x2+2x1x2

=(x1+x2)^2+2x1x2

=(-b/a)^2+2(c/a)

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^2)/a^2

=(b^2-2bc+c^