高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊單元形成性評價·模塊終結(jié)性評價單元形成性評價(四)含答案

高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊單元形成性評價·模塊終結(jié)性評價單元形成性評價(四)含答案單元形成性評價(四)(第四章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.已知2a=5,8b=3,則2a-3b的值為()A.25 B.5 C.259 D.【解析】選D.因?yàn)?b=3,所以(23)b=23b=3,所以2a-3b=2.函數(shù)f(x)=x22x【解析】選A.因?yàn)?x-2-x≠0,所以x≠0,定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞);因?yàn)閒(x)=x22x-2-x,所以f(-x)=x22-x-2由f(1)=23,f(12)=24,則f(1)>f(【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·昆明高一檢測)函數(shù)f(x)=3ex+e-xex+e-x,x∈[-5,5],記f(答案:4【解析】f(x)在x∈[-5,5]上一定有最值,f(x)=3ex+設(shè)g(x)=ex-e-xex+e-x,則g(-x所以在x∈[-5,5],g(x)max=-g(x)min,則M+m=[g(x)max+2]+[g(x)min+2]=4.3.(2024·上海高一檢測)已知函數(shù)f(x)=(13)

2x2-A.(-∞,8] B.(-∞,8)C.[8,+∞) D.(8,+∞)【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析可知,內(nèi)層函數(shù)u=2x2-ax在(2,+∞)上為增函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式,解不等式可得結(jié)果.【解析】選A.令u=2x2-ax,則二次函數(shù)u=2x2-ax的圖象開口向上,對稱軸為直線x=a4因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)y=(13)u為R上的減函數(shù),函數(shù)f(x)=(13)

2x2-ax在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞減,所以,函數(shù)u=2x2-4.(2024·無錫高一檢測)若x,y滿足ln(3x+y)=lnx+lny,則x+3y的最小值為()A.10+26 B.10+23C.12 D.16【解析】選D.因?yàn)閤,y滿足ln(3x+y)=lnx+lny,所以3x+y>0,x>0,y>0,所以ln(3x+y)=lnx+lny=lnxy,所以3x+y=xy,所以3y+1所以(3y+1x)(x+3y)=3xy+9+1+當(dāng)且僅當(dāng)3xy=3yx,即故x+3y的最小值為16.5.(2024·周口高一檢測)已知a=3log32,b=log25,c=(13)

15A.c<a<b B.b<c<aC.a<b<c D.b<a<c【解析】選A.因?yàn)閍=3log32=log38,由對數(shù)函數(shù)y=log3x的圖象與性質(zhì)知1=log33<log38<log39=2,所以1<a<2;因?yàn)橛蓪?shù)函數(shù)y=log2x的圖象與性質(zhì)知log25>log24=2,所以b>2;因?yàn)橛芍笖?shù)函數(shù)y=(13)x的圖象與性質(zhì)知0<(13)

15<(13綜上c<a<b.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·成都高一檢測)已知函數(shù)f(x)=log2|x|,設(shè)a=f(log23),b=f(7-0.1),c=f(log1425),則a,b,c的大小關(guān)系為(A.b<a<c B.c<a<bC.c<b<a D.a<c<b【解析】選A.依題意,得f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0},函數(shù)f(x)為偶函數(shù),且f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),而a=f(log23),因?yàn)?<3<4,所以log22<log23<log24,即1<log23<2,因?yàn)閥=7x在R上為增函數(shù),且-0.1<0,所以0<7-0.1<70=1,c=f(log1425)=f(-log425)=f(log因?yàn)?5>16,所以log425>log416=2,所以log425>log23>7-0.1>0,所以f(log425)>f(log23)>f(7-0.1),所以c>a>b.6.(2024·吉林高一檢測)下列命題中正確的是()A.命題“?x<1,都有x2<1”的否定是“?x≥1,使得x2≥1”B.函數(shù)f(x)=2x-x2的零點(diǎn)有2個C.用二分法求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間(2,3)內(nèi)的零點(diǎn)近似值,至少經(jīng)過3次二分后精確度達(dá)到0.1D.函數(shù)f(x)=ln(x+1)-2x在(0,+∞)上只有一個零點(diǎn),且該零點(diǎn)在區(qū)間(1【分析】根據(jù)全稱命題的否定判斷A,根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象判斷B,根據(jù)二分法的性質(zhì)判斷C,根據(jù)零點(diǎn)存在定理及函數(shù)單調(diào)性判斷D.【解析】選D.選項(xiàng)A:命題“?x<1,都有x2<1”的否定是“?x<1,使得x2≥1”,選項(xiàng)A錯誤;選項(xiàng)B:函數(shù)f(x)=2x-x2的零點(diǎn)的個數(shù)即y=2x與y=x2圖象交點(diǎn)的個數(shù),根據(jù)圖象可知函數(shù)f(x)=2x-x2的零點(diǎn)有3個,選項(xiàng)B錯誤;選項(xiàng)C:因?yàn)閰^(qū)間(2,3)的長度為1,1次二分后長度為0.5,2次二分后長度為0.25,3次二分后長度為0.125>0.1,4次二分后長度為0.0625<0.1,所以至少需要4次二分后,才能使精確度達(dá)到0.1,選項(xiàng)C錯誤;選項(xiàng)D:由對數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)=ln(x+1)-2x又f(12)=ln32-4<0,所以由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-2x在(0,+∞)上只有一個零點(diǎn),且該零點(diǎn)在區(qū)間(127.北京時間2023年2月10日0時16分,經(jīng)過約7小時的出艙活動,神舟十五號航天員費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸密切協(xié)同,圓滿完成出艙活動全部既定任務(wù),出艙活動取得圓滿成功.載人飛船進(jìn)入太空需要搭載運(yùn)載火箭,火箭在發(fā)射時會產(chǎn)生巨大的噪聲,用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱,定義聲壓級Lp=20×lgpp0,其中大于0的常數(shù)p0是聽覺下限閾值,p是實(shí)際聲壓.聲壓級的單位為分貝(dB),聲壓的單位為帕(Pa).若人正常說話的聲壓約為0.02Pa,且火箭發(fā)射時的聲壓級比人正常說話時的聲壓級約大100dB,則火箭發(fā)射時的聲壓約為(A.2Pa B.20Pa C.200Pa D.2000Pa【解析】選D.令人正常說話時的聲壓級為Lp1,火箭發(fā)射時的聲壓級為Lp2,則而人正常說話的聲壓p1=0.02Pa,火箭發(fā)射時的聲壓為p2,因?yàn)長plg0.02p0,Lp2=20×lgp2p0所以火箭發(fā)射時的聲壓約為2000Pa.8.(2024·南陽高一檢測)若方程x2+(k+2)x-k=0的兩實(shí)根均在區(qū)間(-1,1)內(nèi),則k的取值范圍為()A.(-4,-12) B.C.-4,-12 D.(-4+2【解析】選B.根據(jù)題意可知,一元二次函數(shù)f(x)=x2+(k+2)x-k在區(qū)間(-1,1)內(nèi)與x軸有交點(diǎn),需滿足Δ=解得-4+23≤k<-12所以k的取值范圍為-4+2二、多選題(每小題6分,共18分,全部選對得6分,選對但不全的得部分分,有選錯的得0分)9.已知函數(shù)f(x)=a-x,x<A.4 B.3 C.13 D.【解析】選CD.由題意得,1解得14≤a<1210.(2024·南昌高一檢測)已知函數(shù)f(x)=log12(x2-ax+3a)在[2,+∞)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的值可能是(A.-5 B.-4 C.1 D.4【解析】選CD.函數(shù)y=x2-ax+3a的圖象開口向上,對稱軸為x=a2y=log12x要使f(x)在[2,+∞)上是減函數(shù),根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知:a2≤22所以C,D選項(xiàng)符合題意,A,B選項(xiàng)不符合題意.11.在數(shù)學(xué)中,布勞威爾不動點(diǎn)定理可應(yīng)用到有限維空間,是構(gòu)成一般不動點(diǎn)定理的基石,它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾,簡單地講,就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f(x),存在一個點(diǎn)x0,使得f(x0)=x0,那么我們稱該函數(shù)為“不動點(diǎn)”函數(shù),下列函數(shù)是“不動點(diǎn)”函數(shù)的是()A.f(x)=2x+x B.f(x)=x2-x-3C.f(x)=x02+1 D.f(x)=|log2【解析】選BD.選項(xiàng)A,若f(x0)=x0,則2x選項(xiàng)B,若f(x0)=x0,則x02-2x0-3=0,解得x0=3或x選項(xiàng)C,若f(x0)=x0,則x02+1=x0,得x02-x選項(xiàng)D,若f(x0)=x0,則|log2x0|-1=x0,即|log2x0|=x0+1,在同一坐標(biāo)系中,作出y=|log2x|與y=x+1的函數(shù)圖象,如圖,由圖可知,方程|log2x|=x+1有實(shí)數(shù)根x0,即存在x0,使|log2x0|-1=x0,故該函數(shù)是“不動點(diǎn)”函數(shù).三、填空題(每小題5分,共15分)12.(2024·揚(yáng)州高一檢測)定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x≥0時,f(x)=2x-a·2-x,當(dāng)x<0時,f(x)=.

答案:2x-2-x【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù),所以f(0)=20-a·20=0,解得a=1.設(shè)x<0,則-x>0,所以f(-x)=2-x-2x,又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x)=2x-2-x,即當(dāng)x<0時,f(x)=2x-2-x.13.(2024·洛陽高一檢測)如圖,某池塘里浮萍的面積y(單位:m2)與時間t(單位:月)的關(guān)系為y=at.關(guān)于下列說法正確的是_________.(填序號)

①浮萍的面積每月的增長率為2;②浮萍每月增加的面積都相等;③第4個月時,浮萍面積不超過80m2;④若浮萍蔓延到2m2,4m2,8m2所經(jīng)過的時間分別是t1,t2,t3,則2t2=t1+t3.答案:①④【解析】將點(diǎn)(1,3)的坐標(biāo)代入函數(shù)y=at,解得a=3,則有y=3t.對于①,浮萍的每月增長率為3t+1-對于②,浮萍第1個月增加的面積為31-30=2(m2),第2個月增加的面積為32-31=6(m2),故②錯誤,對于③,第4個月時,浮萍的面積為34=81>80,故③錯誤,對于④,由題意可得,3t1=2,3t2=4,3t3=8,3t1+t3=3t1·3t3=2×8=16,32t2=(3t2)14.函數(shù)f(x)=|log12x|,x>0-2x-x2,x≤0,直線y=b與f(x)的圖象的四個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次為x1,x2,x3,x4,則x1+x2答案:-2(0,1)【解析】由題意,函數(shù)f(x)的圖象大致如圖:顯然欲使得y=b與f(x)有4個交點(diǎn),則必須滿足0<b<1,又x1,x2關(guān)于x=-1對稱,所以x1+x2=-2,又因?yàn)閤3<1,x4>1,|log12x3|=log12x3=b,|log12x4|=-lo所以x3=(12)b,x4=(12)-b,x3·x-x2-2x=b,x2+2x+b=0,所以x1x2=b,x1x2x3x4=x1x2∈(0,1).四、解答題(共77分)15.(13分)(2024·棗莊高一檢測)計(jì)算下列各式的值:(1)0.064-13+160.75【解析】(1)原式=(0.43)-13+(2)log22+log32·log43+3log3【解析】(2)原式=12log22+log32·(12log23)+8-5log5916.(15分)(2024·蘭州高一檢測)設(shè)f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2.(1)求a的值及f(x)的定義域;【解析】(1)因?yàn)閒(1)=2,所以loga4=2=logaa2(a>0,a≠1)?a2=4,解得a=2或a=-2(舍去),由1+x>0,所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,3);(2)求f(x)在區(qū)間12,【解析】(2)由(1)知f(x)=log2(1+x)+log2(3-x),x∈(-1,3).所以f(x)=log2[(1+x)(3-x)]=log2[-(x-1)2+4].因?yàn)槎魏瘮?shù)g(x)=-(x-1)2+4的圖象開口向下,對稱軸為x=1,所以g(x)在12,因?yàn)間(12)=154,g(1)=4,g(2)=3,所以g(x)min=g(2)=3,g(x)max=g(1)=4.所以當(dāng)x∈12,2時,3≤-(又因?yàn)閥=log2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x∈12,2時,log23≤log2[-(x-1)2+4]≤log所以f(x)在區(qū)間12,2上的最小值是log17.(15分)為了給廣大市民提供優(yōu)質(zhì)的飲用水,某礦泉水廠特別重視生產(chǎn)過程的除雜質(zhì)工序,過濾前水含有雜質(zhì)a%(其中a為常數(shù)),每經(jīng)過一次過濾均可使水的雜質(zhì)含量減少23,設(shè)水過濾前的量為1,過濾次數(shù)為x(x∈N+)時,水的雜質(zhì)含量為(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;【解析】(1)因?yàn)槊拷?jīng)過一次過濾均可使水的雜質(zhì)含量減少23,所以每次過濾后所含的雜質(zhì)是前一次的13,故y=a%·(13)x,x∈(2)假設(shè)出廠礦泉水的雜質(zhì)含量不能超過0.002a%,問至少經(jīng)過幾次過濾才能使礦泉水達(dá)到要求?(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301,lg3≈0.477)【解析】(2)設(shè)至少經(jīng)過x次過濾才能使礦泉水達(dá)到要求,則y=a%·(13)x≤0.002a所以(13)x≤2所以lg(13)x≤lg21000,即xlg所以xlg3≥3-lg2,所以x≥3-lg2lg3≈3又x∈N*,所以x≥6.故至少經(jīng)過6次過濾才能使礦泉水達(dá)到要求.18.(17分)已知二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+4,求下列條件下,實(shí)數(shù)a的取值范圍.(1)零點(diǎn)均大于1;【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)均大于1,所以Δ=4a2-16≥0所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2,52(2)一個零點(diǎn)大于1,一個零點(diǎn)小于1;【解析】(2)因?yàn)楹瘮?shù)的一個零點(diǎn)大于1,一個零點(diǎn)小于1,所以f(1)=1-2a+4<0,解得a>52所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(52(3)一個零點(diǎn)在(0,1)內(nèi),另一個零點(diǎn)在(6,8)內(nèi).【解析】(3)因?yàn)楹瘮?shù)的一個零點(diǎn)在(0,1)內(nèi),另一個零點(diǎn)在(6,8)內(nèi),所以f(0)=4>0f(1)=1-2a+4<0f19.(17分)(2024·黃石高一檢測)已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=ax-a-xax+a-x+b在R上是單調(diào)遞減函數(shù),且滿足下列三個條件中的兩個:①函數(shù)f(x(1)從中選擇的兩個條件的序號為_________,依所選擇的條件求得a=_________,b=_________.

答案:①②12【解析】(1)因?yàn)閒(x)=ax-a故②f(1)=-35,③f(-1)=-35不會同時成立,故函數(shù)一定滿足①函數(shù)f(x因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽,所以f(0)=0,則f(1)<0,f(-1)>0,故一定滿足②.選擇①②,f(-x)+f(x)=a-x-axa-x+而f(1)=a-a-1a+a-1(2)在(1)的情況下,關(guān)于x的方程f(x)=m-4x在x∈[-1,1]上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍.【解析】(2)由(1)可得f(x)=(12)由f(x)=m-4x,則1-4x1+4即m=1-4x1+4x+4令r=4x+1,因?yàn)閤∈[-1,1],所以r∈54則問題轉(zhuǎn)化為m=2r+r-2在54,5上有兩個解,顯然,函數(shù)g(t)=2t+t所以g(t)min=g(2)=22-2,又g(54)=1720,g(5)=要使m=2r+r-2在5則22-2<m≤1720所以m的取值范圍是22【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·北京高一檢測)已知函數(shù)f(x)=ax+bx2+1是定義域?yàn)?-1,1)的奇函數(shù),滿足f(1)求函數(shù)f(x)的解析式;【解析】(1)因?yàn)閒(x)=ax+所以f(0)=b1=0,所以b又因?yàn)閒(12)=12a54=25,解得a=1,所以f(-x)=-xx2+1=-f(x),經(jīng)檢驗(yàn),f(x)是奇函數(shù),故f((2)用定義證明f(x)在(-1,1)上是增函數(shù);【解析】(2)設(shè)-1<x1<x2<1,則f(x1)-f(x2)=x1x12+1因?yàn)?1<x1<x2<1,所以x1-x2<0,1-x1x2>0,(x12+1)(所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)=xx2(3)求不等式f(log2(2t-1))+f(log2t)<0的解集.【解析】(3)由于f(x)=xx所以-1<log2(2t-由f(x)為奇函數(shù)以及f(log2(2t-1))+f(log2t)<0得f(log2(2t-1))<-f(log2t)=f(log2t-1),又f(x)=xx2所以log2(2t-1)<log2t-1,故0<2t-1<1t,解得12<綜上,34<t所以不等式解集為t3單元形成性評價(五)(第五章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.已知扇形的圓心角為2rad,且弧長為5,則扇形的面積為()A.25 B.5 C.254 D.【解析】選C.設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l=5,由題意得α=lr=2,所以r=5所以S扇=12rl=12×522.如圖,角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)M,M的縱坐標(biāo)為45,則cosα=(A.35 B.-35 C.45 D【解析】選B.由單位圓定義得,M的橫坐標(biāo)為-35,則cosα=-33.已知α為第二象限角,sinα=35,則sin(α-π6)的值為(A.4+3310 BC.33-410 【解析】選A.因?yàn)棣潦堑诙笙藿?sinα=35所以cosα=-45所以sin(α-π6)=sinαcosπ6-cosαsinπ6=35×32-(-44.如圖,被稱為“天津之眼”的天津永樂橋摩天輪,是一座跨河建設(shè)、橋輪合一的摩天輪.假設(shè)“天津之眼”旋轉(zhuǎn)一周需30分鐘,且是勻速轉(zhuǎn)動的,則經(jīng)過5分鐘,點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的角的弧度是()A.π6 B.π3 C.2π3 【解析】選B.由題意可知,點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的角的弧度是530×2π=π5.如果函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)(4π3,0)中心對稱,那么|φ|的最小值為(A.π6 B.π4 C.π3 【解析】選A.由題意得cos(2×4π3+φ)=0?8π3+φ=π2+kπ,k∈Z?φ=-13π6+kπ,當(dāng)k=2時,|φ|最小,最小值為π66.若點(diǎn)(8,tanθ)在函數(shù)y=log2x的圖象上,則sin2θcosA.8 B.6 C.4 D.2【解析】選B.由題意tanθ=log28=3,所以sin2θcos2θ=7.要得到y(tǒng)=sin2x-cos2x的圖象,只需將y=2sin2x的圖象()A.向左平移π4B.向左平移π8C.向右平移π4D.向右平移π8【解析】選D.y=sin2x-cos2x=2sin(2x-π4),因此只需將y=2sin2x的圖象向右平移π88.已知函數(shù)f(x)=2sin(π2+x)cos(3π2+x)+23cos2x-3,若x1,x2∈[-2π,2π],且滿足f(x1)+f(x2)<0,f(x1)·f(x2)≥4,則x1-2x2的最大值為(A.35π12 B.53π12 C.59π12 【解析】選B.f(x)=2cosxsinx+3cos2x=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π3由題意得f(x1)+f(x2)<0,f(x1)·f(x2)≥4.得f(x1)=f(x2)=-2,所以f(x)=2sin(2x+π3所以2x+π3=2kπ+3π2(k所以x=7π12+kπ(k∈Z),由x1,x2∈所以x1,x2∈{-17π12,-5π12,7π12,19π12},所以(x1-2x2)max=(x1)max-2(x2)min=19π12二、多選題(每小題6分,共18分,全部選對得6分,選對但不全的得部分分,有選錯的得0分)9.下列結(jié)論正確的是()A.-7π6B.若圓心角為π3的扇形的弧長為π,則該扇形的面積為C.若角α的終邊過點(diǎn)P(-3,4),則cosα=-3D.若角α為銳角,則角2α為鈍角【解析】選BC.選項(xiàng)A,-7π6的終邊與5π選項(xiàng)B,設(shè)扇形的半徑為r,π3r=π,所以r扇形的面積為12×3×π=3π選項(xiàng)C,角α的終邊過點(diǎn)P(-3,4),根據(jù)三角函數(shù)的定義,cosα=-35選項(xiàng)D,當(dāng)角α為銳角時,0<α<π2,0<2α<π,所以D不正確10.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)滿足f(5π8-x)=f(5π8+xA.函數(shù)y=f(x)的最小正周期為πB.函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6個單位長度得到函數(shù)g(x)=sin(2x-πC.若ω>0時,函數(shù)f(ωx)在區(qū)間[π2,π]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是(0,1D.函數(shù)y=f(x)+f(2x-π8)的值域?yàn)閇-98【解析】選ABD.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)滿足f(5π8-x)=f(5π8故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=5π8所以2×5π8+φ=kπ+π2,k∈Z,即φ=kπ-3π4,令k=1,可得φ=π4所以函數(shù)f(x)=sin(2x+π4)顯然,f(x)的最小正周期為2π2函數(shù)f(x)=sin(2x+π4)的圖象向右平移π6個單位長度得到函數(shù)g(x)=sin(2x+π4-π3)=sin(2若ω>0時,函數(shù)f(ωx)=sin(2ωx+π4)在區(qū)間[π2,π]上單調(diào)遞減,2ωx+π4∈(ωπ+π4,2ωπ+π4],則2ω×π2+π4≥π2且2ω×π+π4≤3π2,解得14≤ω因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)+f(2x-π8)=sin(2x+π4)+sin[2(2x-π8)+π4]=sin(2x+π4)+sin4x=22(sin2x+cos2令sin2x+cos2x=t∈[-2,2],則1+2sin2xcos2x=t2,即2sin2xcos2x=t2-1,所以函數(shù)y=22t+t2-1=(t+24)2-故當(dāng)t=-24時,函數(shù)y取得最小值為-98,當(dāng)t=2時,函數(shù)所以函數(shù)的值域?yàn)閇-98,2],故D正確11.已知函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)·|sinx-cosx|,下列說法正確的是()A.f(x)是周期函數(shù)B.若|f(x1)|+|f(x2)|=2,則x1+x2=kπ2(kC.f(x)在區(qū)間[-π2,π2D.函數(shù)g(x)=f(x)+1在區(qū)間[0,2π]上有且僅有一個零點(diǎn)【解析】選AB.將函數(shù)f(x)化作分段函數(shù),即f(x)=-對于A,f(x+2π)=[sin(x+2π)+cos(x+2π)]·|sin(x+2π)-cos(x+2π)|=f(x),所以f(x)是最小正周期為2π的函數(shù),故A正確;對于B,由|f(x1)|+|f(x2)|=2得|f(x1)|=|f(x2)|=1,則|cos2x1|=|cos2x2|=1,此時2x1=k1π,2x2=k2π(k1,k2∈Z),可得x1+x2=(k1+k2)π2對于C,由解析式得f(0)=f(π2)=1,f(x)在[-π2,π對于D,由解析式知f(π)=f(3π2)=-1,即g(x)=f(x)+1在區(qū)間[0,2π]上至少有兩個零點(diǎn),故D錯誤三、填空題(每小題5分,共15分)12.已知函數(shù)f(x)=2sin(x+π4),若對于閉區(qū)間[a,b]中的任意兩個不同的數(shù)x1,x2,都有f(x答案:[π4,5π4【解析】由題意知f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,所以令2kπ+π2≤x+π4≤2kπ+3π2,所以2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k令k=0,π4≤x≤5π4,即函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為[π4,13.已知函數(shù)f(x)=2sinωx(ω>0)在區(qū)間[-π3,π4]上的最小值為-2,則ω的取值范圍為答案:[32【解析】當(dāng)ω>0時,-π3≤x≤π4,-π3ω≤ωx由題意知-π3ω≤-π2,即ω≥所以ω的取值范圍為[32,+∞)14.(2024·南昌高一檢測)在三角形中,定義正割secα=1cosα,余割cscα=1sinα.已知函數(shù)f(x)=①f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ,k∈Z};②f(x)的最小正周期為2π;③f(x)的值域?yàn)閇-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2];④f(x)圖象的對稱軸為直線x=-π4+kπ(k∈Z)其中所有正確說法的序號為_________.

答案:②③【解析】f(x)=1secx+1cscx=cosx+sinx=2sin(x+π4),由cosx≠0,sinx≠0,得x≠kπ2(k∈Z),即ff(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,故f(x)的最小正周期與函數(shù)y=2sin(x+π4)的最小正周期一致,均為2π,②當(dāng)x=0,π2,π,3π2時,y=2sin(x+π4)的值分別為1,1,-1,-1,考慮周期性可知,f(x)的值域?yàn)閇-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2令x+π4=π2+kπ(k∈Z),得x=π4+kπ(k∈Z),即f(x)圖象的對稱軸為直線x=π4+kπ(k∈四、解答題(共77分)15.(13分)已知f(α)=tan((1)化簡f(α);【解析】(1)f(α)=(-tanα(2)若f(α)=45,且α是第二象限角,求cos(2α+π3【解析】(2)因?yàn)棣潦堑诙笙藿?f(α)=sinα=45所以cosα=-1-sin所以cos2α=2cos2α-1=-725sin2α=2sinαcosα=-2425所以cos(2α+π3)=cos2αcosπ3-sin2αsinπ3=-725×12+2416.(15分)在①f(x)圖象的一條對稱軸是直線x=π4,②f(x)的圖象過點(diǎn)(π2,1已知函數(shù)f(x)=cos(2ωx+π3)+sin2ωx(ω>0),,且f(x)在(π4,3π(1)求ω的值和f(x)的最大值;【解析】(1)選①:f(x)=cos2ωx·cosπ3-sin2ωx·sinπ3+1-cos2ωx2=-由于直線x=π4是f(x故2ω(π4)=kπ+π2,k所以ω=2k+1(k∈Z).又f(x)在(π4,3π所以3π4-π4≤T2所以ω≤1,且ω>0,故ω=1,所以f(x)=-32sin2x+1所以f(x)max=12+3選②:f(x)=-32sin2ωx+1因?yàn)閒(x)過點(diǎn)(π2,1所以sin2ω(π2所以ωπ=kπ,k∈Z,所以ω=k,k∈Z.又f(x)在(π4,3π所以3π4-π4≤T2所以ω≤1,且ω>0,故ω=1,所以f(x)=-32sin2x+12,所以f(x)max=12(2)設(shè)A,B,C為△ABC的三個內(nèi)角,若cosB=13,f(C2)=-14,且【解析】(2)f(C2)=-32sinC+12=-14,所以sin因?yàn)镃為△ABC的內(nèi)角,C為銳角,所以C=π3因?yàn)閏osB=13,所以sinB=2所以sinA=sin(B+C)=sin(B+π3)=217.(15分)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)-b(ω>0,0<φ<π)的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離為π2,將f(x)的圖象先向右平移π6個單位長度,再向上平移3個單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)g(x(1)求f(x)的解析式;【解析】(1)由題意知T2=π2,所以T=π,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ又g(x)=sin[2(x-π6)+φ]-b+3為奇函數(shù),且0<φ所以φ=π3,b=3所以f(x)=sin(2x+π3)-3(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;【解析】(2)由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-5π12+kπ,π12+kπ],k∈(3)若對任意的x∈[0,π3],f2(x)-(2+m)f(x)+2+m≤0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍【解析】(3)由x∈[0,π3]得π3≤2x+所以0≤sin(2x+π3所以-3≤f(x)≤1-3,所以-1-3≤f(x)-1≤-3.由f2(x)-(2+m)f(x)+2+m≤0恒成立,整理得m≤1f(x)-1+由-1-3≤f(x)-1≤-3,所以-1-332≤1f(所以m≤-1即m的取值范圍為(-∞,-1-18.(17分)設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)在x=π6處取得最大值2,其圖象與x軸的相鄰兩個交點(diǎn)的距離為π(1)求f(x)的解析式;【解析】(1)由題意得T=2×π2=π,所以ω所以f(x)=Asin(2x+φ).又f(x)在x=π6所以A=2.且sin(2×π6+φ所以π3+φ=2kπ+π2,k所以φ=2kπ+π6,k∈Z又因?yàn)?π<φ<π,所以φ=π6所以f(x)=2sin(2x+π6)(2)求函數(shù)g(x)=6cos4【解析】(2)由(1)得f(x2+π6)=2sin[2(x2+π=2sin(x+π2)=2cosx故g(x)=6cos4=(3cos2x+2)(2cos2x-令t=cos2x,0≤t≤1且t≠12即cos2x∈[0,12)∪(12,1故g(x)∈[1,74)∪(74,5因此函數(shù)g(x)的值域?yàn)閇1,74)∪(74,519.(17分)如圖所示的是一個纜車示意圖,該纜車半徑為4.8m,圓上最低點(diǎn)與地面的距離為0.8m,60s轉(zhuǎn)動一圈,圖中OA與地面垂直,以O(shè)A為始邊,逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB,設(shè)點(diǎn)B與地面的距離是h.(1)求函數(shù)h=f(θ)的解析式;【解析】(1)以圓心O為原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則以O(shè)x為始邊,OB為終邊的角為θ-π2故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4.8cos(θ-π2),4.8sin(θ-π2)),即B(4.8sinθ,-4.8cos所以h=5.6-4.8cosθ.(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動,經(jīng)過ts后到達(dá)OB,求函數(shù)h=g(t)的解析式,并求纜車到達(dá)最高點(diǎn)時所用時間最少是多少.【解析】(2)點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是π30,故ts轉(zhuǎn)過的弧度為π所以h=5.6-4.8cosπt30,t∈到達(dá)最高點(diǎn)時,h=10.4,此時cosπt30=-1,得πt30=π+2k解得t=30+60k,k∈N.當(dāng)k=0時,tmin=30.故纜車到達(dá)最高點(diǎn)時所用時間最少是30s.關(guān)閉Word文檔返回原板塊單元形成性評價(五)(第五章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.已知扇形的圓心角為2rad,且弧長為5,則扇形的面積為()A.25 B.5 C.254 D.【解析】選C.設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l=5,由題意得α=lr=2,所以r=5所以S扇=12rl=12×522.如圖,角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)M,M的縱坐標(biāo)為45,則cosα=(A.35 B.-35 C.45 D【解析】選B.由單位圓定義得,M的橫坐標(biāo)為-35,則cosα=-33.已知α為第二象限角,sinα=35,則sin(α-π6)的值為(A.4+3310 BC.33-410 【解析】選A.因?yàn)棣潦堑诙笙藿?sinα=35所以cosα=-45所以sin(α-π6)=sinαcosπ6-cosαsinπ6=35×32-(-44.如圖,被稱為“天津之眼”的天津永樂橋摩天輪,是一座跨河建設(shè)、橋輪合一的摩天輪.假設(shè)“天津之眼”旋轉(zhuǎn)一周需30分鐘,且是勻速轉(zhuǎn)動的,則經(jīng)過5分鐘,點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的角的弧度是()A.π6 B.π3 C.2π3 【解析】選B.由題意可知,點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的角的弧度是530×2π=π5.如果函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)(4π3,0)中心對稱,那么|φ|的最小值為(A.π6 B.π4 C.π3 【解析】選A.由題意得cos(2×4π3+φ)=0?8π3+φ=π2+kπ,k∈Z?φ=-13π6+kπ,當(dāng)k=2時,|φ|最小,最小值為π66.若點(diǎn)(8,tanθ)在函數(shù)y=log2x的圖象上,則sin2θcosA.8 B.6 C.4 D.2【解析】選B.由題意tanθ=log28=3,所以sin2θcos2θ=7.要得到y(tǒng)=sin2x-cos2x的圖象,只需將y=2sin2x的圖象()A.向左平移π4B.向左平移π8C.向右平移π4D.向右平移π8【解析】選D.y=sin2x-cos2x=2sin(2x-π4),因此只需將y=2sin2x的圖象向右平移π88.已知函數(shù)f(x)=2sin(π2+x)cos(3π2+x)+23cos2x-3,若x1,x2∈[-2π,2π],且滿足f(x1)+f(x2)<0,f(x1)·f(x2)≥4,則x1-2x2的最大值為(A.35π12 B.53π12 C.59π12 【解析】選B.f(x)=2cosxsinx+3cos2x=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π3由題意得f(x1)+f(x2)<0,f(x1)·f(x2)≥4.得f(x1)=f(x2)=-2,所以f(x)=2sin(2x+π3所以2x+π3=2kπ+3π2(k所以x=7π12+kπ(k∈Z),由x1,x2∈所以x1,x2∈{-17π12,-5π12,7π12,19π12},所以(x1-2x2)max=(x1)max-2(x2)min=19π12二、多選題(每小題6分,共18分,全部選對得6分,選對但不全的得部分分,有選錯的得0分)9.下列結(jié)論正確的是()A.-7π6B.若圓心角為π3的扇形的弧長為π,則該扇形的面積為C.若角α的終邊過點(diǎn)P(-3,4),則cosα=-3D.若角α為銳角,則角2α為鈍角【解析】選BC.選項(xiàng)A,-7π6的終邊與5π選項(xiàng)B,設(shè)扇形的半徑為r,π3r=π,所以r扇形的面積為12×3×π=3π選項(xiàng)C,角α的終邊過點(diǎn)P(-3,4),根據(jù)三角函數(shù)的定義,cosα=-35選項(xiàng)D,當(dāng)角α為銳角時,0<α<π2,0<2α<π,所以D不正確10.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)滿足f(5π8-x)=f(5π8+xA.函數(shù)y=f(x)的最小正周期為πB.函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6個單位長度得到函數(shù)g(x)=sin(2x-πC.若ω>0時,函數(shù)f(ωx)在區(qū)間[π2,π]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是(0,1D.函數(shù)y=f(x)+f(2x-π8)的值域?yàn)閇-98【解析】選ABD.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)滿足f(5π8-x)=f(5π8故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=5π8所以2×5π8+φ=kπ+π2,k∈Z,即φ=kπ-3π4,令k=1,可得φ=π4所以函數(shù)f(x)=sin(2x+π4)顯然,f(x)的最小正周期為2π2函數(shù)f(x)=sin(2x+π4)的圖象向右平移π6個單位長度得到函數(shù)g(x)=sin(2x+π4-π3)=sin(2若ω>0時,函數(shù)f(ωx)=sin(2ωx+π4)在區(qū)間[π2,π]上單調(diào)遞減,2ωx+π4∈(ωπ+π4,2ωπ+π4],則2ω×π2+π4≥π2且2ω×π+π4≤3π2,解得14≤ω因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)+f(2x-π8)=sin(2x+π4)+sin[2(2x-π8)+π4]=sin(2x+π4)+sin4x=22(sin2x+cos2令sin2x+cos2x=t∈[-2,2],則1+2sin2xcos2x=t2,即2sin2xcos2x=t2-1,所以函數(shù)y=22t+t2-1=(t+24)2-故當(dāng)t=-24時,函數(shù)y取得最小值為-98,當(dāng)t=2時,函數(shù)所以函數(shù)的值域?yàn)閇-98,2],故D正確11.已知函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)·|sinx-cosx|,下列說法正確的是()A.f(x)是周期函數(shù)B.若|f(x1)|+|f(x2)|=2,則x1+x2=kπ2(kC.f(x)在區(qū)間[-π2,π2D.函數(shù)g(x)=f(x)+1在區(qū)間[0,2π]上有且僅有一個零點(diǎn)【解析】選AB.將函數(shù)f(x)化作分段函數(shù),即f(x)=-對于A,f(x+2π)=[sin(x+2π)+cos(x+2π)]·|sin(x+2π)-cos(x+2π)|=f(x),所以f(x)是最小正周期為2π的函數(shù),故A正確;對于B,由|f(x1)|+|f(x2)|=2得|f(x1)|=|f(x2)|=1,則|cos2x1|=|cos2x2|=1,此時2x1=k1π,2x2=k2π(k1,k2∈Z),可得x1+x2=(k1+k2)π2對于C,由解析式得f(0)=f(π2)=1,f(x)在[-π2,π對于D,由解析式知f(π)=f(3π2)=-1,即g(x)=f(x)+1在區(qū)間[0,2π]上至少有兩個零點(diǎn),故D錯誤三、填空題(每小題5分,共15分)12.已知函數(shù)f(x)=2sin(x+π4),若對于閉區(qū)間[a,b]中的任意兩個不同的數(shù)x1,x2,都有f(x答案:[π4,5π4【解析】由題意知f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,所以令2kπ+π2≤x+π4≤2kπ+3π2,所以2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k令k=0,π4≤x≤5π4,即函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為[π4,13.已知函數(shù)f(x)=2sinωx(ω>0)在區(qū)間[-π3,π4]上的最小值為-2,則ω的取值范圍為答案:[32【解析】當(dāng)ω>0時,-π3≤x≤π4,-π3ω≤ωx由題意知-π3ω≤-π2,即ω≥所以ω的取值范圍為[32,+∞)14.(2024·南昌高一檢測)在三角形中,定義正割secα=1cosα,余割cscα=1sinα.已知函數(shù)f(x)=①f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ,k∈Z};②f(x)的最小正周期為2π;③f(x)的值域?yàn)閇-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2];④f(x)圖象的對稱軸為直線x=-π4+kπ(k∈Z)其中所有正確說法的序號為_________.

答案:②③【解析】f(x)=1secx+1cscx=cosx+sinx=2sin(x+π4),由cosx≠0,sinx≠0,得x≠kπ2(k∈Z),即ff(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,故f(x)的最小正周期與函數(shù)y=2sin(x+π4)的最小正周期一致,均為2π,②當(dāng)x=0,π2,π,3π2時,y=2sin(x+π4)的值分別為1,1,-1,-1,考慮周期性可知,f(x)的值域?yàn)閇-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2令x+π4=π2+kπ(k∈Z),得x=π4+kπ(k∈Z),即f(x)圖象的對稱軸為直線x=π4+kπ(k∈四、解答題(共77分)15.(13分)已知f(α)=tan((1)化簡f(α);【解析】(1)f(α)=(-tanα(2)若f(α)=45,且α是第二象限角,求cos(2α+π3【解析】(2)因?yàn)棣潦堑诙笙藿?f(α)=sinα=45所以cosα=-1-sin所以cos2α=2cos2α-1=-725sin2α=2sinαcosα=-2425所以cos(2α+π3)=cos2αcosπ3-sin2αsinπ3=-725×12+2416.(15分)在①f(x)圖象的一條對稱軸是直線x=π4,②f(x)的圖象過點(diǎn)(π2,1已知函數(shù)f(x)=cos(2ωx+π3)+sin2ωx(ω>0),,且f(x)在(π4,3π(1)求ω的值和f(x)的最大值;【解析】(1)選①:f(x)=cos2ωx·cosπ3-sin2ωx·sinπ3+1-cos2ωx2=-由于直線x=π4是f(x故2ω(π4)=kπ+π2,k所以ω=2k+1(k∈Z).又f(x)在(π4,3π所以3π4-π4≤T2所以ω≤1,且ω>0,故ω=1,所以f(x)=-32sin2x+1所以f(x)max=12+3選②:f(x)=-32sin2ωx+1因?yàn)閒(x)過點(diǎn)(π2,1所以sin2ω(π2所以ωπ=kπ,k∈Z,所以ω=k,k∈Z.又f(x)在(π4,3π所以3π4-π4≤T2所以ω≤1,且ω>0,故ω=1,所以f(x)=-32sin2x+12,所以f(x)max=12(2)設(shè)A,B,C為△ABC的三個內(nèi)角,若cosB=13,f(C2)=-14,且【解析】(2)f(C2)=-32sinC+12=-14,所以sin因?yàn)镃為△ABC的內(nèi)角,C為銳角,所以C=π3因?yàn)閏osB=13,所以sinB=2所以sinA=sin(B+C)=sin(B+π3)=217.(15分)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)-b(ω>0,0<φ<π)的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離為π2,將f(x)的圖象先向右平移π6個單位長度,再向上平移3個單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)g(x(1)求f(x)的解析式;【解析】(1)由題意知T2=π2,所以T=π,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ又g(x)=sin[2(x-π6)+φ]-b+3為奇函數(shù),且0<φ所以φ=π3,b=3所以f(x)=sin(2x+π3)-3(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;【解析】(2)由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-5π12+kπ,π12+kπ],k∈(3)若對任意的x∈[0,π3],f2(x)-(2+m)f(x)+2+m≤0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍【解析】(3)由x∈[0,π3]得π3≤2x+所以0≤sin(2x+π3所以-3≤f(x)≤1-3,所以-1-3≤f(x)-1≤-3.由f2(x)-(2+m)f(x)+2+m≤0恒成立,整理得m≤1f(x)-1+由-1-3≤f(x)-1≤-3,所以-1-332≤1f(所以m≤-1即m的取值范圍為(-∞,-1-18.(17分)設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)在x=π6處取得最大值2,其圖象與x軸的相鄰兩個交點(diǎn)的距離為π(1)求f(x)的解析式;【解析】(1)由題意得T=2×π2=π,所以ω所以f(x)=Asin(2x+φ).又f(x)在x=π6所以A=2.且sin(2×π6+φ所以π3+φ=2kπ+π2,k所以φ=2kπ+π6,k∈Z又因?yàn)?π<φ<π,所以φ=π6所以f(x)=2sin(2x+π6)(2)求函數(shù)g(x)=6cos4【解析】(2)由(1)得f(x2+π6)=2sin[2(x2+π=2sin(x+π2)=2cosx故g(x)=6cos4=(3cos2x+2)(2cos2x-令t=cos2x,0≤t≤1且t≠12即cos2x∈[0,12)∪(12,1故g(x)∈[1,74)∪(74,5因此函數(shù)g(x)的值域?yàn)閇1,74)∪(74,519.(17分)如圖所示的是一個纜車示意圖,該纜車半徑為4.8m,圓上最低點(diǎn)與地面的距離為0.8m,60s轉(zhuǎn)動一圈,圖中OA與地面垂直,以O(shè)A為始邊,逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB,設(shè)點(diǎn)B與地面的距離是h.(1)求函數(shù)h=f(θ)的解析式;【解析】(1)以圓心O為原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則以O(shè)x為始邊,OB為終邊的角為θ-π2故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4.8cos(θ-π2),4.8sin(θ-π2)),即B(4.8sinθ,-4.8cos所以h=5.6-4.8cosθ.(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動,經(jīng)過ts后到達(dá)OB,求函數(shù)h=g(t)的解析式,并求纜車到達(dá)最高點(diǎn)時所用時間最少是多少.【解析】(2)點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是π30,故ts轉(zhuǎn)過的弧度為π所以h=5.6-4.8cosπt30,t∈到達(dá)最高點(diǎn)時,h=10.4,此時cosπt30=-1,得πt30=π+2k解得t=30+60k,k∈N.當(dāng)k=0時,tmin=30.故纜車到達(dá)最高點(diǎn)時所用時間最少是30s.單元形成性評價(五)(第五章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.已知扇形的圓心角為2rad,且弧長為5,則扇形的面積為()A.25 B.5 C.254 D.【解析】選C.設(shè)扇形的半徑為r,弧長為l=5,由題意得α=lr=2,所以r=5所以S扇=12rl=12×522.如圖,角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)M,M的縱坐標(biāo)為45,則cosα=(A.35 B.-35 C.45 D【解析】選B.由單位圓定義得,M的橫坐標(biāo)為-35,則cosα=-33.已知α為第二象限角,sinα=35,則sin(α-π6)的值為(A.4+3310 BC.33-410 【解析】選A.因?yàn)棣潦堑诙笙藿?sinα=35所以cosα=-45所以sin(α-π6)=sinαcosπ6-cosαsinπ6=35×32-(-44.如圖,被稱為“天津之眼”的天津永樂橋摩天輪,是一座跨河建設(shè)、橋輪合一的摩天輪.假設(shè)“天津之眼”旋轉(zhuǎn)一周需30分鐘,且是勻速轉(zhuǎn)動的,則經(jīng)過5分鐘,點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的角的弧度是()A.π6 B.π3 C.2π3 【解析】選B.由題意可知,點(diǎn)B轉(zhuǎn)過的角的弧度是530×2π=π5.如果函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)(4π3,0)中心對稱,那么|φ|的最小值為(A.π6 B.π4 C.π3 【解析】選A.由題意得cos(2×4π3+φ)=0?8π3+φ=π2+kπ,k∈Z?φ=-13π6+kπ,當(dāng)k=2時,|φ|最小,最小值為π66.若點(diǎn)(8,tanθ)在函數(shù)y=log2x的圖象上,則sin2θcosA.8 B.6 C.4 D.2【解析】選B.由題意tanθ=log28=3,所以sin2θcos2θ=7.要得到y(tǒng)=sin2x-cos2x的圖象,只需將y=2sin2x的圖象()A.向左平移π4B.向左平移π8C.向右平移π4D.向右平移π8【解析】選D.y=sin2x-cos2x=2sin(2x-π4),因此只需將y=2sin2x的圖象向右平移π88.已知函數(shù)f(x)=2sin(π2+x)cos(3π2+x)+23cos2x-3,若x1,x2∈[-2π,2π],且滿足f(x1)+f(x2)<0,f(x1)·f(x2)≥4,則x1-2x2的最大值為(A.35π12 B.53π12 C.59π12 【解析】選B.f(x)=2cosxsinx+3cos2x=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π3由題意得f(x1)+f(x2)<0,f(x1)·f(x2)≥4.得f(x1)=f(x2)=-2,所以f(x)=2sin(2x+π3所以2x+π3=2kπ+3π2(k所以x=7π12+kπ(k∈Z),由x1,x2∈所以x1,x2∈{-17π12,-5π12,7π12,19π12},所以(x1-2x2)max=(x1)max-2(x2)min=19π12二、多選題(每小題6分,共18分,全部選對得6分,選對但不全的得部分分,有選錯的得0分)9.下列結(jié)論正確的是()A.-7π6B.若圓心角為π3的扇形的弧長為π,則該扇形的面積為C.若角α的終邊過點(diǎn)P(-3,4),則cosα=-3D.若角α為銳角,則角2α為鈍角【解析】選BC.選項(xiàng)A,-7π6的終邊與5π選項(xiàng)B,設(shè)扇形的半徑為r,π3r=π,所以r扇形的面積為12×3×π=3π選項(xiàng)C,角α的終邊過點(diǎn)P(-3,4),根據(jù)三角函數(shù)的定義,cosα=-35選項(xiàng)D,當(dāng)角α為銳角時,0<α<π2,0<2α<π,所以D不正確10.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)滿足f(5π8-x)=f(5π8+xA.函數(shù)y=f(x)的最小正周期為πB.函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6個單位長度得到函數(shù)g(x)=sin(2x-πC.若ω>0時,函數(shù)f(ωx)在區(qū)間[π2,π]上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是(0,1D.函數(shù)y=f(x)+f(2x-π8)的值域?yàn)閇-98【解析】選ABD.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)滿足f(5π8-x)=f(5π8故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=5π8所以2×5π8+φ=kπ+π2,k∈Z,即φ=kπ-3π4,令k=1,可得φ=π4所以函數(shù)f(x)=sin(2x+π4)顯然,f(x)的最小正周期為2π2函數(shù)f(x)=sin(2x+π4)的圖象向右平移π6個單位長度得到函數(shù)g(x)=sin(2x+π4-π3)=sin(2若ω>0時,函數(shù)f(ωx)=sin(2ωx+π4)在區(qū)間[π2,π]上單調(diào)遞減,2ωx+π4∈(ωπ+π4,2ωπ+π4],則2ω×π2+π4≥π2且2ω×π+π4≤3π2,解得14≤ω因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)+f(2x-π8)=sin(2x+π4)+sin[2(2x-π8)+π4]=sin(2x+π4)+sin4x=22(sin2x+cos2令sin2x+cos2x=t∈[-2,2],則1+2sin2xcos2x=t2,即2sin2xcos2x=t2-1,所以函數(shù)y=22t+t2-1=(t+24)2-故當(dāng)t=-24時,函數(shù)y取得最小值為-98,當(dāng)t=2時,函數(shù)所以函數(shù)的值域?yàn)閇-98,2],故D正確11.已知函數(shù)f(x)=(sinx+cosx)·|sinx-cosx|,下列說法正確的是()A.f(x)是周期函數(shù)B.若|f(x1)|+|f(x2)|=2,則x1+x2=kπ2(kC.f(x)在區(qū)間[-π2,π2D.函數(shù)g(x)=f(x)+1在區(qū)間[0,2π]上有且僅有一個零點(diǎn)【解析】選AB.將函數(shù)f(x)化作分段函數(shù),即f(x)=-對于A,f(x+2π)=[sin(x+2π)+cos(x+2π)]·|sin(x+2π)-cos(x+2π)|=f(x),所以f(x)是最小正周期為2π的函數(shù),故A正確;對于B,由|f(x1)|+|f(x2)|=2得|f(x1)|=|f(x2)|=1,則|cos2x1|=|cos2x2|=1,此時2x1=k1π,2x2=k2π(k1,k2∈Z),可得x1+x2=(k1+k2)π2對于C,由解析式得f(0)=f(π2)=1,f(x)在[-π2,π對于D,由解析式知f(π)=f(3π2)=-1,即g(x)=f(x)+1在區(qū)間[0,2π]上至少有兩個零點(diǎn),故D錯誤三、填空題(每小題5分,共15分)12.已知函數(shù)f(x)=2sin(x+π4),若對于閉區(qū)間[a,b]中的任意兩個不同的數(shù)x1,x2,都有f(x答案:[π4,5π4【解析】由題意知f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減,所以令2kπ+π2≤x+π4≤2kπ+3π2,所以2kπ+π4≤x≤2kπ+5π4,k令k=0,π4≤x≤5π4,即函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為[π4,13.已知函數(shù)f(x)=2sinωx(ω>0)在區(qū)間[-π3,π4]上的最小值為-2,則ω的取值范圍為答案:[32【解析】當(dāng)ω>0時,-π3≤x≤π4,-π3ω≤ωx由題意知-π3ω≤-π2,即ω≥所以ω的取值范圍為[32,+∞)14.(2024·南昌高一檢測)在三角形中,定義正割secα=1cosα,余割cscα=1sinα.已知函數(shù)f(x)=①f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ,k∈Z};②f(x)的最小正周期為2π;③f(x)的值域?yàn)閇-2,-1)∪(-1,1)∪(1,2];④f(x)圖象的對稱軸為直線x=-π4+kπ(k∈Z)其中所有正確說法的序號為_________.

答案:②③【解析】f(x)=1secx+1cscx=cosx+sinx=2sin(x+π4),由cosx≠0,sinx≠0,得x≠k