處理多極值點(diǎn)函數(shù)最值問題的五種途徑講義-高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

處理多極值點(diǎn)函數(shù)最值問題的五種途徑一．基本原理1.消元，找到極值點(diǎn)與的關(guān)系（根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)來建構(gòu)，常為韋達(dá)定理），構(gòu)建單個極值點(diǎn)或的函數(shù)，最終將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為或的函數(shù).2.消元，構(gòu)建極值點(diǎn)與與有關(guān)參數(shù)的函數(shù)（根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)來建構(gòu)，常為韋達(dá)定理），最終將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為參數(shù)的函數(shù)3.構(gòu)造齊次式消元方法1.已知函數(shù)，若，不妨設(shè)，則令，可得：.于是，我們需要進(jìn)一步找尋與的關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)比值代換.方法2.對數(shù)減法：或是方法3.齊次分式：例如：等；方法4.合分比結(jié)構(gòu)：如果，則.方法5.非對稱型：如或者商型結(jié)構(gòu)：或分式型等是應(yīng)用比值代換的天然沃土.4.對數(shù)均值不等式兩個正數(shù)和的對數(shù)平均定義：，對數(shù)平均與算術(shù)平均?幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對數(shù)平均不等式），取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．5.兩個重要的三變量命題函數(shù)先介紹兩個函數(shù)：，.這兩個函數(shù)的零點(diǎn)要注意，首先，一定是一個零點(diǎn)，其次，當(dāng)滿足一定條件時，還會再有兩個零點(diǎn)出現(xiàn)，并且，這兩個函數(shù)有一個很重要的特點(diǎn)，若，則有，這就意味著剩下的兩個零點(diǎn)會有隱含關(guān)系：，這個關(guān)系在解決相關(guān)多極值點(diǎn)問題時至關(guān)重要！二．典例分析★1.消元，構(gòu)建單個極值點(diǎn)或的函數(shù)例1.（2018全國1卷）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點(diǎn)，證明：.解析：（2）由（1）知，存在兩個極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).由于的兩個極值點(diǎn)滿足，所以，不妨設(shè)，則.由于，所以等價于.設(shè)函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時，.所以，即.★2.消元，構(gòu)建有關(guān)參數(shù)的函數(shù)例2．已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，.（1）求的取值范圍；（2）證明：.解析：（1）∵，∴有兩個不等正根，，∴，解得.（2）由已知得，，，，，，令，則，，，，∴是增函數(shù)，，即.★3.構(gòu)造齊次式消元例3.已知函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)、.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求證：，且.解：（1）因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）由題意可知，、為方程的兩個實(shí)根，由于，則，當(dāng)時，，，由（1）可知，，，令，設(shè)，.，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，因此，.★4.對數(shù)均值不等式例6.（2018全國1卷）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點(diǎn)，證明：.（1）略.（2）證明：由（1）可得，當(dāng)時，存在兩個極值點(diǎn).且是導(dǎo)函數(shù)的兩零點(diǎn)，故.由于，由對數(shù)均值不等式可知，代入可得：，證畢.★5.三極值點(diǎn)問題中的奧秘例7.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，證明：；（2）已知恰好有個極值點(diǎn).（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：.解析：（?。┯捎诠剩áⅲ┳C明：此時有，設(shè)，則只需證明，求導(dǎo)得，所以在上單調(diào)遞增，注意得到，所以，所以只需證明，實(shí)際上，上式等價于成立，所以原不等式得證.★6.新定義問題例8．定義：如果函數(shù)在定義域內(nèi)，存在極大值和極小值且存在一個常數(shù)，使成立，則稱函數(shù)為極值可差比函數(shù)，常數(shù)稱為該函數(shù)的極值差比系數(shù)．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，判斷是否為極值可差比函數(shù)，并說明理由；（2）是否存在使的極值差比系數(shù)為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（3）若，求的極值差比系數(shù)的取值范圍．解析：（1）當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為，極小值為，所以，因此極值可差比函數(shù)．（2）的定義域?yàn)?，，即，假設(shè)存在，使得的極值差比系數(shù)為，則是方程的兩個不等正實(shí)根，，解得，不妨設(shè)，則，由于，所以，從而，得，令，則，所以在上單調(diào)遞增，有，因此式無解，即不存在使的極值差比系數(shù)為．（3）由（2）知極值差比系數(shù)為，即極值差比系數(shù)為，不妨設(shè)，令，則，極值差比系數(shù)可化為，，又，即，解得，令，則，設(shè)，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，從而，所以在上單調(diào)遞增，所以，即．故的極值差比系數(shù)的取值范圍為三．習(xí)題演練1.（安徽省合肥市2025屆高三一模）已知函數(shù)f(x)=lnx?a(x?（1）討論f(x)的單調(diào)性;（2）若函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)x1，x22.已知函數(shù)，其中．（1）求的極值；（2）設(shè)函數(shù)有三個不同的極值點(diǎn)．（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：．3．定義運(yùn)算：，已知函數(shù).（1）若函數(shù)的最大值為0，求實(shí)數(shù)a的值；（2）證明：；（3）若函數(shù)存在兩個極值點(diǎn)，證明：.參考答案1.（安徽省合肥市2025屆高三一模）已知函數(shù)f(x)=lnx?a(x?(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)x1，x2解析：(1)函數(shù)f(x)定義域?yàn)?0,+∞)，且a>0，f′(x)=1x?a?ax2=?ax2+x?ax2，

令g(x)=?ax2+x?a，

當(dāng)1?4a2≤0，即a≥12時，g(x)≤0恒成立，則f′(x)≤0，所以f(x)在(0,+∞)x(0,x(x(f′(x)0+0f(x)單調(diào)遞減f(單調(diào)遞增f(單調(diào)遞減所以，當(dāng)0<a<12時，f(x)在(1?1?4a22a,1+1?4a22a)內(nèi)單調(diào)遞增，

在(0,1?1?4a22a)和(1+1?4a22a,+∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a≥12時，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減；

(2)由(1)知，當(dāng)0<a<12時，f(x)有兩個極值點(diǎn)x1，x2(x1<x2)，

則x1，x2是方程2.已知函數(shù)，其中．（1）求的極值；（2）設(shè)函數(shù)有三個不同的極值點(diǎn)．（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：．解析：（1）由題可得，∴在單調(diào)遞增，∵，∴時，時，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，無極大值；（2）（?。?，由題可知有三個不同的正實(shí)根，令，則，令，有三個不同的正實(shí)根、、，，∴有兩個不同的正實(shí)根，∴∴，設(shè)的兩個不同的正實(shí)根為m、n，且，此時在和單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，又∵，∵，且，∴有三個不同的正實(shí)根，滿足題意，∴a的取值范圍是；（ⅱ）令、，由（?。┲?，且、為的正實(shí)根，，令，則，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，令，則∵，∴，令，，∴在單調(diào)遞增，∴，∴在單調(diào)遞減，∵，∴，∵，∴，∵在單調(diào)遞增，∴，∴.3．定義運(yùn)算：，已知函數(shù).(1)若函數(shù)的最大值為0，求實(shí)數(shù)a的值；(2)證明：；(3)若函數(shù)存在兩個極值點(diǎn)，證明：.解析：（1）由題意知：，，①當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，不存在最大值．②當(dāng)時，由得，當(dāng)，；，，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．，令，則，當(dāng)時，，函數(shù)遞減，