浙江省湖州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2024學(xué)年第一學(xué)期期末調(diào)研測試卷高二數(shù)學(xué)注意事項：1.本科目考試分試題卷和答題卷，考生須在答題紙上作答.2.本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為()A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程即可求得焦準(zhǔn)距.【詳解】由拋物線可得，而拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為.故選：C.2.若直線與直線垂直，則實數(shù)a的值是（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由兩直線垂直得到，求解即可；【詳解】由題意可得：，解得：故選：A3.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基底的含義以及向量共面的判定，即可判斷出答案.【詳解】對于A，，故，，共面；對于B，，與共面，構(gòu)成空間的一個基底，即不共面，則與，不共面；對于C，，，，共面；對于D，，即，，共面，故選：B4.已知為數(shù)列的前項和，且（），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)與的關(guān)系求解即可.【詳解】因為，又，所以.故選：D.5.已知圓，，則與的公共弦的長是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合圓的方程求兩圓的圓心和半徑，判斷兩圓的位置關(guān)系，求兩圓的公共弦方程，再結(jié)合弦長公式求結(jié)論.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，因為，故圓與圓相交，將兩圓方程相減可得，故兩圓的公共弦方程為，圓心到直線的距離，所以公共弦的長為.故選：A.6.已知空間三點，，，則點到直線的距離是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求在上的投影向量，再結(jié)合勾股定理求結(jié)論.【詳解】因為，，，所以，，所以在向量上的投影向量的長為，所以點到直線的距離是.故選：C.7.已知等差數(shù)列，的前n項和分別是，，若（），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，，由條件確定關(guān)系，由此可求，由此可求結(jié)論.【詳解】因為數(shù)列，為等差數(shù)列，所以可設(shè)，，因為，所以，所以，所以，，，所以，，，所以，所以，.故選：D.8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，（，），若動點，滿足，（），則動直線與的交點（）A.在直線上B.在曲線上C.在曲線上D.在曲線上【答案】B【解析】【分析】求直線與直線的方程，消去參數(shù)可得交點軌跡.【詳解】因為，，，，，，所以的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，所以直線的方程為，即，直線的斜率為，所以直線的方程為，即，消去可得，即，所以動直線與的交點在曲線上.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列，都是公比不為1的正項等比數(shù)列，則下列結(jié)論中一定正確的是（）A.數(shù)列是等比數(shù)列B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列D.數(shù)列是等差數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項公式及其對數(shù)的運算分析判斷即可【詳解】對于A選項，不妨設(shè)，，滿足、都是正項等比數(shù)列，此時，因為，，所以，此時數(shù)列不是等比數(shù)列，故A不正確；，，不相等，故D不正確，對于B，設(shè)等比數(shù)列的公比分別為，因為，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，所以B正確，對于C，因為數(shù)列，都是公比不為1的正項等比數(shù)列，為常數(shù)，所以數(shù)列是等差數(shù)列，所以C正確，故選：BC10.如圖，平行六面體的底面是菱形，且，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.平面B.C.點到平面的距離為D.直線與直線所成角的余弦值為【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)，則，，對于A，，，，由，可得；對于B，可得；對于C，求邊長為1的正四面體的高可得；對于D，又，根據(jù)空間向量法求夾角即可.【詳解】，設(shè)，則，因，故，對于A，，，，，，故，，又，平面，故平面，故A正確；對于B，，，故B錯誤；對于C，由題意可知三棱錐為邊長為1的正四面體，如圖，為底面的中心，為的中點，由題意可知即為點到平面的距離，則，，故，故C正確；對于D，，，，，設(shè)直線與直線所成角為，則，故D正確.故選：ACD11.拋物線的光學(xué)性質(zhì)：從焦點出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上的一點（不同于頂點）反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.如圖，已知拋物線C的準(zhǔn)線為，焦點為F，過C上任意一點P（不同于頂點）的切線與交于Q，與x軸交于點R，過點P作的垂線與x軸交于點T，點P在上的投影為點A，則下列說法正確的是（）A.以線段為直徑的圓過定點B.點F是線段中點C.y軸上存在一點M，使得D.若平行于拋物線對稱軸的光線（不與對稱軸重合）經(jīng)拋物線兩次反射后，且入射光線與最后的反射光線間的最小距離為2，則該拋物線的方程為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)點，分別求出切線方程、過點與切線垂直直線方程，依次求解相關(guān)點坐標(biāo).A項轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)化求解可得；B項由中點坐標(biāo)公式可知；C項由數(shù)量積坐標(biāo)運算可判斷；D項由光學(xué)性質(zhì)，將兩光線間的距離用表示，再設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)求最值可得.【詳解】設(shè)拋物線方程為，則焦點，準(zhǔn)線，設(shè)上任意一點，，則.由題意知切線斜率存在，設(shè)切線方程為，聯(lián)立，消得，，且，則，解得，則在點處的切線方程為，令，得，即，令，得，即.過點與垂直的直線，令，得，即，A項，，，則，所以，即以為直徑的圓過定點，故A正確；B項，，由，可知是線段的中點，故B正確；C項，設(shè)軸上任一點，則，則，故C錯誤；D項，由光學(xué)性質(zhì)，經(jīng)拋物線兩次反射后，入射光線與最后的反射光線均平行于軸.設(shè)平行于拋物線對稱軸的入、反射光線分別與交于，則過焦點，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，則，所以兩平行光線間的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時，即與軸垂直時，兩光線間的距離最小，且最小值為.由題意，最小距離為2，即，故此時拋物線方程為，故D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決此題的關(guān)鍵在于理解題意，利用拋物線的光學(xué)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化兩平行光線間的距離為，設(shè)而不求利用韋達定理求解最值.第Ⅱ卷（非選擇題部分，共92分）注意事項：用鋼筆或簽字筆將試題卷中的題目做在答題紙上，做在試題卷上無效.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列中，，（），則______.【答案】【解析】【分析】將化為，采用累加相消的方法，即可求得答案.【詳解】由題意知數(shù)列中，，，故，故，故答案為：13.由曲線圍成的圖形的面積為_______________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：當(dāng)時，曲線表示的圖形為以為圓心，以為半徑的圓在第一象限的部分，所以面積為，根據(jù)對稱性，可知由曲線圍成的圖形的面積為考點：本小題主要考查曲線表示的平面圖形的面積的求法，考查學(xué)生分類討論思想的運用和運算求解能力.點評：解決此題的關(guān)鍵是看出所求圖形在四個象限內(nèi)是相同的，然后求出在一個象限內(nèi)的圖形的面積即可解決問題.14.已知雙曲線（，）的左右焦點分別為，，O為坐標(biāo)原點，P為C上一點，右頂點A到直線的距離為（），點P到直線x軸的距離為.若，且，，成等比數(shù)列，則雙曲線C的離心率為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)出點坐標(biāo)，利用點到直線距離公式可得，再利用雙曲線定義及數(shù)量積的運算律列式求出離心率.【詳解】設(shè)點，則直線方程為，而，又，則，于是，由，，成等比數(shù)列，得，而，則，令雙曲線半焦距為c，由，得，因此，解得，所以雙曲線C的離心率為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓，過點作直線交于，兩點.（1）若，求直線的方程；（2）若點是上的一動點，點是線段的中點，求動點的軌跡方程.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）由圓的方程求圓心及半徑，結(jié)合弦長公式求圓心到直線的距離，驗證斜率不存在與條件矛盾，設(shè)直線，結(jié)合點到直線距離公式列方程求斜率，可得結(jié)論；（2）設(shè)，，由條件利用表示，將結(jié)果代入圓的方程可得軌跡方程.【小問1詳解】由題意得，圓的半徑，圓心，故直線與圓心的距離，若斜率不存，即，顯然不滿足要求；若斜率存在，設(shè)直線，即.由，得，因此所求直線的方程為，即或.【小問2詳解】設(shè)，，因為是線段的中點，所以，故，又點在圓上，故有，將（*）代入得，因此點軌跡方程為.16.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為正方形且邊長為2，，.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由勾股定理得到，再通過平面，得到，即可求證；（2）建系，求得平面法向量，代入夾角公式即可；【小問1詳解】由，，，由勾股定理可得.又平面平面，平面平面，又平面，且，可得平面，又平面，所以.因為且平面.所以平面，平面，所以.【小問2詳解】過P作交于O，因為平面平面且交于，，所以平面，易得，，，如圖以O(shè)為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，，，.故，.設(shè)平面的法向量，則，得，解得又平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則.因此平面與平面夾角的余弦值為.17.已知數(shù)列的首項，且滿足（）.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）若，求滿足條件的最大整數(shù)n.【答案】（1）證明見解析，（2）2024【解析】【分析】（1）遞推關(guān)系可變形為，結(jié)合等比數(shù)列定義證明結(jié)論，再求，變形可得的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和，由此可得，再研究數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性解不等式求的最大值.【小問1詳解】因為，所以，，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比等比數(shù)列；所以，所以；【小問2詳解】由（1）知，則，記，則，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則滿足條件的最大整數(shù).18.如圖，已知點，在雙曲線（，）上，過點作直線交曲線C于M，N兩點，過N作x軸的垂線交直線于點Q.（1）求曲線C的方程；（2）若點P為線段的中點，求線段的長度；（3）求證：直線過定點.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線上的點，列出方程組，即可求得答案；（2）設(shè)直線方程并聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系以及弦長公式，即可求得答案；另解：可用點差法求解；（3）設(shè)直線方程并聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，求出的方程，即可表示出Q點坐標(biāo)，進而可得直線的方程，即可證明結(jié)論；另解：結(jié)合圖設(shè)，證明直線恒過定點，故只要證明，結(jié)合斜率公式化簡即可.【小問1詳解】將A，B代入曲線C的方程可得：，解得，所以曲線C的方程為：.【小問2詳解】直線的斜率顯然存在，故設(shè)的斜率為k，，得：消元得：，所以.若點P為線段的中點，則，所以.經(jīng)驗證，滿足，符合題意；則：消元得：，所以.另解：直線的斜率顯然存在，故設(shè)的斜率為k，，得：變形得：，即，所以.所以得：消元得：所以.【小問3詳解】直線的斜率顯然存在，故設(shè)直線的方程為，，，得：消元得：，所以.由直線的方程為，所以，所以直線的方程為，令，得.又，得，消去，整理得即直線恒過定點.另解：直線的斜率顯然存在，故設(shè)直線的方程為，，，得：消元得：，所以.由直線的方程為，所以，以下證明：直線恒過定點.只要證明，即證，只要證明，只要證明，只要證明.上式顯然恒成立，即直線恒過定點.【點睛】難點點睛：有關(guān)圓錐曲線綜合應(yīng)用問題，解答的思路并不難想到，難點在于復(fù)雜的計算，并且基本都是有關(guān)字母參數(shù)的計算，需要十分細(xì)心.19.無窮數(shù)列滿足：若存在正數(shù)，使得對任意，，不等式恒成立，則稱數(shù)列為數(shù)列.（1）請判斷公差為4的等差數(shù)列是否為數(shù)列，并說明理由；（2）若首項為1，公比為的正項等比數(shù)列為數(shù)列.（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）記數(shù)列的前n項和為，求證：存在一個正數(shù)，使得數(shù)列為數(shù)列.【答案】（1）是，理由見解析（2）（i）（ii）證明見解析【解析】【分析】（1））直接利用定義判斷結(jié)論是否成立；（2）（i），根據(jù)的單調(diào)性去掉絕對值，通過構(gòu)造新數(shù)列，由不等式恒成立得到新數(shù)列的單調(diào)性，求的取值范圍；（ⅱ）根據(jù)（i）的結(jié)果分類討論，時，易證，當(dāng)時，要數(shù)列符合數(shù)列，只要，構(gòu)造新數(shù)列，由不等式恒成立得到新數(shù)列的單調(diào)性，由條件只要證即可.【小問1詳解】公差為4的等差數(shù)列，設(shè)，由，所以公差為4的等差數(shù)列是數(shù)列.【小問2詳解】（i）首項為1，公比為q的正項等比數(shù)列，，由對，恒成立，得若，則，符合.若，由數(shù)列單調(diào)遞增，不妨設(shè)，故，得（*），設(shè)，由（*）式中的i，j任意性得數(shù)列不遞増，所以，，但當(dāng)，，矛盾.若，則數(shù)列單調(diào)遞減，不妨設(shè)，，即（**），設(shè)，