中職高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測9.4 空間幾何體的表面積和體積（講）（原卷版）

9.4空間幾何體的表面積和體積【考點(diǎn)梳理】1．棱柱、棱錐的概念(1)棱柱：有兩個面互相，其余各面都是，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．（注：棱柱又分為斜棱柱和直棱柱．側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱）．(2)棱錐：有一個面是，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．（注：如果棱錐的底面是正多邊形，且它的頂點(diǎn)在過底面中心且與底面垂直的直線上，則這個棱錐叫做正棱錐）．2.棱柱、棱錐的性質(zhì)(1)棱柱的性質(zhì)：側(cè)棱都相等，側(cè)面是；兩個底面與平行于底面的截面是的多邊形；過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是；直棱柱的側(cè)棱長與高相等且側(cè)面、對角面都是．(2)正棱錐的性質(zhì)：側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的；棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影構(gòu)成一個；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的射影也構(gòu)成一個；斜高、側(cè)棱及底面邊長的一半也構(gòu)成一個；側(cè)棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面邊長的一半也構(gòu)成一個．3．圓柱、圓錐(1)圓柱、圓錐的概念：分別以的一邊、的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐．(2)圓柱、圓錐的性質(zhì)：圓柱、圓錐的軸截面分別是、；平行于底面的截面都是．4．球(1)球面與球的概念：以半圓的所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球．半圓的圓心叫做球的．(2)球的截面性質(zhì)：球心和截面圓心的連線截面；球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r的關(guān)系為．5．表面積、體積(1)柱體、錐體的表面積①直棱柱、正棱錐的側(cè)面積：S直棱柱側(cè)＝Ch，S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′(其中C為底面周長,h為高，h′為斜高)．②圓柱、圓錐的側(cè)面積：S圓柱側(cè)＝，S圓錐側(cè)＝(其中r為底面半徑，l為母線長)．③柱的表面積等于與的和，錐體的表面積等于與的和．(2)柱體、錐體的體積①棱柱、棱錐的體積：V棱柱＝Sh，V棱錐＝eq\f(1,3)Sh(其中S為底面積，h為高)．②圓柱、圓錐的體積：V圓柱＝πr2h，V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h(其中r為底面圓的半徑，h為高)．(3)球的表面積與體積：①半徑為R的球的表面積S球＝4πR2．②半徑為R的球的體積V球＝eq\f(4,3)πR3.考點(diǎn)一空間幾何體的面積【例題】（1）已知某圓柱體的底面半徑為，高為，則該圓柱體的側(cè)面的面積為（

）A． B． C． D．（2）若一個正方體的體對角線長為a，則這個正方體的全面積為（

）A． B． C． D．（3）一個正方體的頂點(diǎn)都在同一個球的球面上，該正方體的棱長為a，則球的表面積是（

）A． B． C． D．（4）若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，且直角邊長為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．（5）半徑為2cm的小金屬球共有125個，熔化后鑄成一個大金屬球，如果不計(jì)損耗，可鑄成的大金屬球的表面積為（

）A．100 B．400 C．100 D．400（6）三棱錐中，已知兩兩垂直，且，則三棱錐的外接球的表面積為.【變式】（1）已知長方體的長、寬、高分別為5，4，3，那么該長方體的表面積為（

）A．20 B．47 C．60 D．94（2）用長為4，寬為2的矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個圓柱，則此圓柱的側(cè)面積為（

）A．8π B．16π C．24π D．32π（3）正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比是（

）A． B．3 C． D．（4）已知圓錐的軸截面是邊長為1的等邊三角形，則該圓錐表面積為（

）A． B． C． D．（5）長?寬?高分別為1，2，3的長方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為.（6）已知圓柱的軸截面是正方形，若圓柱的高與球的直徑相等，則圓柱的表面積與球的表面積之比為．考點(diǎn)二空間幾何體的體積【例題】（1）已知某圓柱的高為5，底面半徑為，則該圓柱的體積為（

）A．6π B．9πC．12π D．15π（2）若一個圓錐的底面半徑為1，母線長為，則圓錐的體積是（

）A． B． C． D．（3）如圖所示，正方體的棱長為1，則三棱錐D-ACD1的體積是（

）A． B． C． D．1（4）三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，長分別為a，b，c，則這個三棱錐的體積是.（5）已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，則該圓柱的外接球的體積為（

）A． B． C． D．（6）已知一個圓柱的表面積等于側(cè)面積的，且其軸截面（過其軸的一個平面與該圓柱形成的截面）的周長為16，則該圓柱的體積為.【變式】（1）如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是，那么圓柱的體積等于（

）A． B． C． D．（2）若球的最大截面圓面積擴(kuò)大為原來的2倍，則球體積擴(kuò)大為原來的（

）A．倍 B．4倍 C．倍 D．倍（3）已知一個圓錐的母線長為6，側(cè)面積為，則此圓錐的體積為（

）A． B． C． D．（4）一平面截一球得到直徑為的圓面，球心到這個平面的距離是，則該球的體積是（

）A． B． C． D．（5）在底面半徑為1的圓錐中，若該圓錐側(cè)面展開圖的面積是2π，則該圓錐的體積為.（6）“圓柱容球”是指圓柱形容器里放了一個球，且球與圓柱的側(cè)面及上、下底面均相切，則該圓柱的體積與球的體積之比為（

）A．2 B． C． D．【方法總結(jié)】1．幾何體的展開與折疊(1)幾何體的表面積，除球以外，一般都是利用展開圖求得的，利用空間問題平面化的思想，把一個平面圖形折疊成一個幾何體，再研究其性質(zhì)，是考查空間想象能力的常用方法．(2)多面體的展開圖①直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形；②正棱錐的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多邊形；③正棱臺的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多邊形．(3)旋轉(zhuǎn)體的展開圖①圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，矩形的長(或?qū)?是底面圓周長，寬(或長)是圓柱的母線長；②圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，扇形的半徑長是圓錐的母線長，弧長是圓錐的底面周長；③圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，扇環(huán)的上、下弧長分別為圓臺的上、下底面周長．2．空間幾何體的表面積的計(jì)算方法有關(guān)空間幾何體的表面積的計(jì)算通常是將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，這是解決立體幾何問題常用的基本方法．(1)計(jì)算棱柱、棱錐、棱臺等多面體的表面積，可以分別求各面面積，再求和，對于直棱柱、正棱錐、正棱臺也可直接利用公式；(2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計(jì)算其側(cè)面積時需將曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和；(3)組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．3．空間幾何體的體積的計(jì)算方法(1)計(jì)算柱、錐、臺體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面，特別是軸截面，將空間問