4類(lèi)三角函數(shù)選填解題技巧（圖象與性質(zhì)、異名伸縮平移、最值與值域、ω的取值范圍）-高考數(shù)學(xué)必考模型歸納

題型114類(lèi)三角函數(shù)選填解題技巧

（三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、異名伸縮平移、最值與值域、3的取值范圍）

技法01三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的解題技巧

技法02異名三角函數(shù)伸縮平移的解題技巧

技法03三角函數(shù)最值與值域的解題技巧

技法04三角函數(shù)3的取值范圍解題技巧

技法01三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的解題技巧

哨高年?常見(jiàn)題型解讀

在高考中經(jīng)常考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于利用整體思想快速求解，有時(shí)也可以用到函

數(shù)圖象的特有位置求解，例如檢驗(yàn)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心處函數(shù)值是否為0,對(duì)稱(chēng)軸處是否取得最值等都

是解題突破口.

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例1-1.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）下列區(qū)間中，函數(shù)〃x）=7sin單調(diào)遞增的區(qū)間是（）

7137r

A.嗚B.5"C.71F

解題

技巧點(diǎn)撥

--＜2^+—（G）,解得2人"一工＜元＜2左）+也（左E）

由2k?！?lt;x^ZZ,

6233

取左=0,可得函數(shù)/（%）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為

故選：A.

例1-2.(2023?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))(多選)已知函數(shù)/(x)=cos2%-6sinXCOSX，貝|()

A.的最小值為

B.的圖象關(guān)于點(diǎn)后,對(duì)稱(chēng)

C.直線是圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸

D.在區(qū)間,工］上單調(diào)遞減

解題

技巧點(diǎn)撥o

2

由題意得/(x)=cosx-A/3sinxcosx=1+__2.sjn2x=cos(2x+；)+；，

故了(%)的最小值為-1+；=-j,A正確；

將x=展代入/(x)=cos(2x+1)+g中，得/［春］=cos(e+|)+|=|>

即止)的圖象關(guān)于點(diǎn)住。對(duì)稱(chēng)，B錯(cuò)誤；

將X代入"X)=cos(2x+g)+；中，W/Q=cos(y+-|-)+|=-1,

即此時(shí)〃x)=cos(2x+5+；取到最小值，即直線是“X)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，C正確;

當(dāng)煢時(shí)，2x+］e(O,兀)，由于V=cosx在(0㈤上單調(diào)遞減，

故/(x)在區(qū)間(-右鼻上單調(diào)遞減，D正確，

故選：ACD

睛翁福?知識(shí)遷移強(qiáng)化

(多選)已知函數(shù)〃x)=2cos［2x+gj,則下列描述正確的是(

1.(2023?河北邯鄲?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))

A.函數(shù)的最小正周期為兀

B.x.是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸

C.［-三,。］是函數(shù)〃力圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心

D.若函數(shù)〃x）的圖象向左平移9個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）為奇函數(shù)

0

2.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）（多選）將函數(shù)/（%）=Ains-COSS（0<G<6）的圖象向左平移;個(gè)單位長(zhǎng)

6

度得到函數(shù)g（x）的圖象，且g［］=2,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.g（x）為奇函數(shù)B.當(dāng)xw-,7t時(shí)，/（X）的值域是［-2,1］

C.g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-/“對(duì)稱(chēng)D.g（x）在04上單調(diào)遞增

3.（2023?廣東汕頭??？家荒＃ǘ噙x）己知函數(shù)/（尤）=$也（8+夕）（0>0,網(wǎng)<3的最小正周期是兀，把

它圖象向右平移三個(gè)單位后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，下列正確的是（）

A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=［對(duì)稱(chēng)B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（展,0）寸稱(chēng)

C.函數(shù)“X）在區(qū)間-卞-1上單調(diào)遞減D.函數(shù)十）在py上有3個(gè)零點(diǎn)

4.（2023?山西呂梁?統(tǒng)考二模）（多選）若函數(shù)〃x）=2sinox（cos（yx-sinox）-l（a?>0）的最小正周期為

兀，則（）

A./（-三］=0B.〃尤）在上單調(diào)遞減

C.個(gè)）=-2在0,y內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)D.在-：金上的值域?yàn)椋?1,@

技法02異名三角函數(shù)伸縮平移的解題技巧

喟3?常見(jiàn)題型解讀

在三角函數(shù)的伸縮平移變換中，同名三角函數(shù)的伸縮平移變換相對(duì)簡(jiǎn)單，異名三角函數(shù)的伸縮平移變換

需要先轉(zhuǎn)化為同名三角函數(shù)，然后在進(jìn)行伸縮平移變化，是高考中的高頻考點(diǎn)，需強(qiáng)化練習(xí).

知識(shí)遷移

通常用sinx=costx~~進(jìn)行正弦化余弦，用cosx=sinx+1進(jìn)行余弦化正弦

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例2-1.(2022?四川模擬)若要得到函數(shù)/(x)=sin12x+Ej的圖象，只需將函數(shù)g(x)=cos(2x+]J的圖

6

象()

A.向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度

00

C.向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移!■個(gè)單位長(zhǎng)度

解題

技巧點(diǎn)撥o

2x+|J進(jìn)行變換，g(x)=(_兀).(C兀兀=sin|2x+—L

我們可以對(duì)平移前g(x)=coscos2x+—=sin2x-\-------1--

332(6J

從而轉(zhuǎn)化為g(x)=sin|2x+—??“x)=sin[2x+Ej的變換;

I6

(_7171

我們同樣也對(duì)平移后“X)=Sink%+進(jìn)行變換,/(x)=sin(2x+已=COS2x+---=--c--os2x--\,

6I62I3j

從而轉(zhuǎn)化為g(x)=cos2x+—?(x)=cospx-mJ的變換，進(jìn)而求解變換過(guò)程

I3

【答案】D

例22(2022?江蘇?模擬)為了得到函數(shù)y=sin12尤+71的圖象，可以將函數(shù)y=cos(2x+^J的圖象(

)

4

7兀

A.向左平陪個(gè)單位B.向右平移個(gè)單位

24

Sir7兀

c-向右平移五個(gè)單位D.向左平移?個(gè)單位

24

技巧點(diǎn)撥o

c兀兀.c兀兀=sin。若,

【詳解】y=cos2x+—=sin2x-\----F—

332

(5兀

設(shè)平移了0個(gè)單位，得至Ug(x)=sin〔2x+7+，則*20號(hào)解得：展得,

7兀

即向右平移了五個(gè)單位.

【答案】B

你來(lái)練?知識(shí)遷移強(qiáng)化

1.（全國(guó)?高考真題）為得到函數(shù)y=cos（2x+]J的圖像，只需將函數(shù)y=sin2尤的圖像（）

A.向左平移匕個(gè)長(zhǎng)度單位B.向右平移當(dāng)個(gè)長(zhǎng)度單位

1212

SirSIT

C.向左平移?個(gè)長(zhǎng)度單位D.向右平移?個(gè)長(zhǎng)度單位

o6

2.（天津?高考真題）要得到函數(shù)y=0cos尤的圖象，只需將函數(shù)y=0sin（2x+?）的圖象上所有的點(diǎn)的

TT

A.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動(dòng)。個(gè)單位長(zhǎng)度

4

TT

B.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動(dòng)g個(gè)單位長(zhǎng)度

O

C.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的J倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動(dòng)g個(gè)單位長(zhǎng)度

D.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的;倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動(dòng)[個(gè)單位長(zhǎng)度

24

3.（全國(guó)?高考真題）為了得到函數(shù)y=sin,，的圖象，可以將函數(shù)y=cos2x的圖象

A.向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度

63

nn

C.向左平移9個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度

63

2兀...

4.（全國(guó)?高考真題）已知曲線Ci：y=cosx,Ci：y=sin（2x+—）,則下面結(jié)論正確的是

A.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移;個(gè)單位長(zhǎng)度，得

6

到曲線C2

JT

B.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移二個(gè)單位長(zhǎng)度,

得到曲線C2

1兀

C.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的;倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移;個(gè)單位長(zhǎng)度，得

26

到曲線C2

1兀

D.把G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的5倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，

得到曲線C2

技法03三角函數(shù)最值與值域的解題技巧

需高N?常見(jiàn)題型解讀

在三角函數(shù)及三角恒等變換的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)遇到求解三角函數(shù)型的值域問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)于在于整

體思想或換元思想，本內(nèi)容在高考中也是重要考點(diǎn).

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例3-1.(2019?全國(guó)?高考真題)函數(shù)/(%)=sin(2%+《~)-3cosx的最小值為

技巧點(diǎn)撥o

【詳解】/(x)=sin(2x+~3coscos2x—3cosx=-2cos2x-3cosx+1=-2(cosx+-^-)2+*,

V-1<COSX<1,.?.當(dāng)COS。=1時(shí),Znin(%)=—4,

故函數(shù)了(%)的最小值為T(mén).

例3-2.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=sinx+cosx+2sinxcosx+2,則()

A.的最大值為3,最小值為1

B./(%)的最大值為3,最小值為-1

c.“X)的最大值為3+點(diǎn)，最小值為工

D.“X)的最大值為3+0，最小值為3-0

解題

技巧點(diǎn)撥

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(X)=sinx+cosx+2sinxcosx+2,

設(shè)sin兀+cosx=A/2sin

則2sinxcosx=〃-1

2

所以y=r+/+l=|+|,百］

當(dāng)/=1時(shí)，〃*=；；當(dāng)f=應(yīng)時(shí)，〃％=3+后.

故選：c

片篇i?知識(shí)遷移強(qiáng)化

7T

1.（全國(guó)局考真題）函數(shù)/（%）=32%+68$（5-%）的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

1IT1T

2.（全國(guó)?高考真題）函數(shù)/（x）=[Sin（x+；）+cos（x-：）的最大值為（）

536

631

A.—B.1C.-D.-

555

3.（全國(guó)?高考真題）函數(shù)〃％）=S加2%+&QS%—_|（X￡0,g）的最大值是.

4.（全國(guó)?高考真題）函數(shù)y=cos2x-3cosx+2的最小值為（）

A.2B.0C.—D.6

4

5.（2023春?河南商丘?高三臨潁縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)/（x）=cos2X-6cos2^+5的最小值為

（）

1

A.——B.0C.2D.6

4

技法04三角函數(shù)3的取值范圍解題技巧

哨高黑贏藁蔽

在近幾年的高考中，三角函數(shù)中參數(shù)3的取值范圍問(wèn)題常以小題的形式呈現(xiàn)，解題過(guò)程滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、

邏輯推理等核心素養(yǎng)，因而有一定的難度.我們知道3影響三角函數(shù)的周期，進(jìn)而影響同一周期中函數(shù)

的單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心、最值、零點(diǎn)等.解決此類(lèi)問(wèn)題最為直接的方法是通過(guò)整體換元將問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為正弦、余弦、正切函數(shù)問(wèn)題，再通過(guò)圖像的性質(zhì)列出相關(guān)約束條件.由此可知掌握正弦、余弦、正切

函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是關(guān)鍵.

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例4-1.（2023?山西?高三?？迹┮阎瘮?shù)/⑺=cos0x-gsins（G>O）,若/（%）在區(qū)間[0,2兀|上有且

僅有4個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

一523]「19131「5131

A.不二B.—C.-?-D.里叫

1312；L126；L36J12'6)

技巧點(diǎn)撥o

先用輔助角公式把函數(shù)名統(tǒng)一，即〃x）=cos0x-JGsin0x=2cos（5：+|o,此時(shí)我們可以換元作圖，令

t=a）x+^,由xi[0,2K],則fey,2n（y+-1,則/⑺=2cosf,Zey,27i（y+-1,作圖如下：

TVTTIM

有4個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn)，即右端點(diǎn);427to+=<4無(wú)，解得

故。的取值范圍是12'6)'

故選：D.

（2023秋?四川模擬）已知函數(shù)"X）=^sincoxcoscox（^co〉0）,若在g,與）上無(wú)零點(diǎn),

例4-2.

則。的取值范圍是（）

A.［。］U|,+?。328

B.

39

28

c.D.U［L+8)

99'9

解題

技巧點(diǎn)撥o

【詳解】因?yàn)?（x）=gsinox-等

coscox=sin

lli11.7T37r697171713。兀71

所以右77<%<二~，貝niI---