2015-2024年高考數(shù)學(xué)好題分類匯編：圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）大題綜合（解析版）

當(dāng)題24圖布［曲餞（摘圓，孰曲餞，擷物核）

大泉徐合

十年考情-探規(guī)律

考點(diǎn)十年考情(2015-2024)命題趨勢(shì)

考點(diǎn)1第二問求曲線2022?天津卷、2020?全國(guó)卷、2019?全國(guó)卷、2019?天津卷

方程2018?全國(guó)卷、2017?全國(guó)卷、2017?天津卷、2015?天津卷

（10年6考）2015?安徽卷

考點(diǎn)2求軌跡方程2023?全國(guó)新I卷、2021?全國(guó)新I卷、2019?全國(guó)卷

1.熟練掌握橢圓、

（10年5考）2017?全國(guó)卷、2015?湖北卷

雙曲線、拋物線的定

2024?全國(guó)新I卷、2023?天津卷、2022?全國(guó)甲卷、2021?天津

義及方程的求解，通

考點(diǎn)3求直線方程卷

常大題第一問考查

（10年8考）2020?天津卷、2018?江蘇卷、2017?全國(guó)卷、2017?天津卷

方程求解

2015?江蘇卷

2.掌握軌跡方程的

2021?全國(guó)新I卷、2021?北京卷、2021?全國(guó)乙卷、2019?天津

求解，近年該考點(diǎn)多

考點(diǎn)4求斜率值或范卷

次考查

圍2018?天津卷、2018?天津卷、2017?天津卷、2017?山東卷

3.熟練掌握直線方

（10年6考）2016?山東卷、2016?上海卷、2016?天津卷、2016?全國(guó)卷

程的求解，會(huì)求斜率

2016?上海卷、2016?天津卷、2015?天津卷、2015?北京卷

值或范圍

考點(diǎn)5離心率求值或2024?北京卷、2023?天津卷、2022?天津卷、2020?全國(guó)卷

會(huì)弦長(zhǎng)等距離的求

范圍綜合2019?天津卷、2019?全國(guó)卷、2016?四川卷、2016?浙江卷

解，會(huì)定值定點(diǎn)定直

（10年7考）2015?重慶卷、2015?重慶卷

線的求解及證明，該

考點(diǎn)6弦長(zhǎng)類求值或

2022?浙江卷、2020?北京卷、2019?全國(guó)卷、2017?浙江卷內(nèi)容也是高考命題

范圍綜合

2016?北京卷、2016?全國(guó)卷、2015?四川卷、2015?山東卷熱點(diǎn)

（10年6考）

考點(diǎn)7其他綜合類求

2024?上海卷、2024?北京卷、2020?北京卷、2020?浙江卷

值或范圍綜合

2019?全國(guó)卷、2016?四川卷、2015?四川卷

（10年5考）

1

2023?全國(guó)新H卷、2023?全國(guó)乙卷、2022?全國(guó)乙卷

考點(diǎn)8定值定點(diǎn)定直

2020?全國(guó)新I卷、2020?全國(guó)卷、2019?北京卷、2019?北京卷

線問題

2017?全國(guó)卷、2017?北京卷、2017?全國(guó)卷、2016?北京卷

（10年7考）

2016?北京卷、2015?陜西卷、2015?全國(guó)卷

2024?全國(guó)甲卷、2023?全國(guó)新I卷、2023?北京卷、

2022?全國(guó)新H卷、2021?全國(guó)新H卷、2019?全國(guó)卷

考點(diǎn)9其他證明綜合2018?北京卷、2018?全國(guó)卷、2018?全國(guó)卷、2018?全國(guó)卷

（10年9考）2017?北京卷、2017?全國(guó)卷、2016?四川卷、2016?四川卷

2016?江蘇卷、2016?全國(guó)卷、2016?四川卷、2015?湖南卷

2015?全國(guó)卷、2015?福建卷

考點(diǎn)10圓錐曲線與

其他知識(shí)點(diǎn)雜糅問題2024?全國(guó)新H卷、2018?全國(guó)卷、2016?四川卷

（10年3考）

分考點(diǎn)?精準(zhǔn)練

考點(diǎn)01第二問求曲線方程

22BF

L（2022?天津?高考真題）橢圓會(huì)+芯=1（〃>6>0）的右焦點(diǎn)為尸、右頂點(diǎn)為，，上頂點(diǎn)為5,且滿足

~AB一2

（1）求橢圓的離心率e；

（2）直線/與橢圓有唯一公共點(diǎn)與y軸相交于N（N異于"）.記。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OM=|ON|,且AOW

的面積為百，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】（l）e=，

22

（2）?1

62

【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于。、b的等量關(guān)系，由此可求得該橢圓的離心率的值；

（2）由（1）可知橢圓的方程為/+3/=/，設(shè)直線’的方程為、=h+加，將直線/的方程與橢圓方程聯(lián)立,

由△=（）可得出3蘇=/（1+3左B，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式以及已知條件可求得片的值，

即可得出橢圓的方程.

【詳解】（1）解：.竺.==-j—'——=坐=4/=3,2+a2）=3b\

AB揚(yáng)+/ylb2+a22'）

2

la2-b2V6

離心率為e=￡

aVa2-V

（2）解：由（1）可知橢圓的方程為尤2+3/=",

易知直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為>=h+"?,

y=kx+m

得（1+3左2）x?+6版x+（3加,-a2）=0,

聯(lián)立22

x+3y2=a

22

由A=36/機(jī)2-4（l+3F）（3m-a）=0n3療=a\1+3H，①

3km7m

罰’-k，

9加2（9左2+1）

由QM二|ON|可得加=（3）+/，②

由%MV=△可得;帆卜l3hwl-③

1+3/"3,U

22

聯(lián)立①②③可得/=4,/=6,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

62

22

2.（2020?全國(guó)?高考真題）已知橢圓Q：=+彳=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，Q的中心與

ab

4

C2的頂點(diǎn)重合.過F且與x軸垂直的直線交Q于A,B兩點(diǎn)，交C2于C,。兩點(diǎn)，且|CD|=］|AB|.

（1）求G的離心率;

（2）設(shè)M是G與C2的公共點(diǎn)，若|MF|=5,求G與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】（1）（2）C：二+片=1,C2:/=12X.

213627

【分析】（1）求出恒同、\CD\,利用|。必=三”即可得出關(guān)于。、c的齊次等式，可解得橢圓￡的離心率的

值；

/2

（2）［方法四］由（1）可得出。的方程為己+皆V=1,聯(lián)立曲線G與的方程，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用

拋物線的定義結(jié)合|九機(jī)|=5可求得C的值，進(jìn)而可得出G與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】（1）,.〃（c,0）,N81x軸且與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn),

則直線的方程為》=4

x=c

22{x=C

聯(lián)立，+方=1,解得=+Q,則空2,

a2=b2+c21一a”

3

拋物線。2的方程為/=4cx,聯(lián)立2，，

[y=4cx

\x=c??

解得,;.CD\=4c,

[y=±2c

?.?|。|=力/同，BP4c=—,2b2=3ac,

33Q

BP2c2+3ac-2a2=0,即2e?+3e-2=0,

Q0<e<l,解得e=g,因此，橢圓。的離心率為g；

(2)[方法一]:橢圓的第二定義

\MIL=e七2:

由橢圓的第二定義知。2一，則有|MF|=e—-x0=a-ex0,

c

■yxoyJ

所以a-；%=5,即/=2〃-10.

又由|MF|=x0+c=5,得xo=5’.

從而2。-10=5-三，解得。=6.

所以c=3,a—6,b=3y/3,p=6.

故橢圓G與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別是||+，=1,y=12尤.

［方法二］:圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)公式

以尸(c,0)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.

)-x3c

由(I)知。=2°,又由圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)公式得2c=5-5cosO,由.....

1-coseJose

2

得3c=10+5cos6,兩式聯(lián)立解得c=3.

故C,的標(biāo)準(zhǔn)方程為(+提=1，Q的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=12x.

4

［方法三］:參數(shù)方程

22

由（1）知a=2c,b=a,橢圓儲(chǔ)的方程為三+|=1

x=2c-cos3,

（。為參數(shù)）,

y=V3c?sind

2

將它代入拋物線C2:y=4cx的方程并化簡(jiǎn)得3cos2。+8cos。-3=0,

解得cos6=g或cos9=—3（舍去）,

所以sin6=2后

即點(diǎn)A/的坐標(biāo)為

3

又|MF|=5,所以由拋物線焦半徑公式有x〃+c=5,即§+。=5,解得。=3.

故G的標(biāo)準(zhǔn)方程為（+；=1，J的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=12x.

［方法四］【最優(yōu)解】：利用韋達(dá)定理

x2y2

由（1）知a=2c,b=y/3c,橢圓￡的方程為后+京=1,

2

y=4cx

聯(lián)立-2消去了并整理得貨+165-12c2=0,

----F——二1

4/3。2

2

解得x=或x=-6c（舍去），

由拋物線的定義可得|兒根卜：C+C=自=5,解得c=3.

22

因此，曲線C］的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+匕=1,

3627

曲線G的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=12x.

【整體點(diǎn)評(píng)】⑵方法一：橢圓的第二定義是聯(lián)系準(zhǔn)線與離心率的重要工具，涉及離心率的問題不妨考慮使

用第二定義，很多時(shí)候會(huì)使得問題簡(jiǎn)單明了.

方法二：圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)公式充分體現(xiàn)了圓錐曲線的統(tǒng)一特征，同時(shí)它也是解決圓錐曲線問題的一

個(gè)不錯(cuò)的思考方向.

方法三：參數(shù)方程是一種重要的數(shù)學(xué)工具，它將圓錐曲線的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題，使得原來抽象的

問題更加具體化.

方法四：韋達(dá)定理是最常用的處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系的方法，聯(lián)立方程之后充分利用韋達(dá)定理可以

達(dá)到設(shè)而不求的效果.

3.（2019?全國(guó)?高考真題）已知曲線Uy：5。，為直線V=-5上的動(dòng)點(diǎn)，過。作。的兩條切線，切點(diǎn)分

5

別為4瓦

(1)證明：直線45過定點(diǎn)：

(2)若以為圓心的圓與直線NB相切，且切點(diǎn)為線段NB的中點(diǎn)，求該圓的方程.

【答案】⑴見詳解；(2)/+(了告=4或暫=2.

【解析】(1)可設(shè)4匹,%)，3(/$)，然后求出A,B兩點(diǎn)處的切線方程，比如ND：乂+；=占(不一)，

又因?yàn)?。也有類似的形式，從而求出帶參數(shù)直線N2方程，最后求出它所過的定點(diǎn).

(2)由⑴得帶參數(shù)的直線方程和拋物線方程聯(lián)立，再通過M為線段NB的中點(diǎn)，由J.而得出f的值,

從而求出M坐標(biāo)和畫7|的值，最后求出圓的方程.

【詳解】⑴證明：設(shè)。&-；),/(不,%)，則％又因?yàn)閥=所以V=x.則切線DA的斜率為4，

故M+g=xG-t),整理得2%-2必+1=0.設(shè)3(%,%)，同理得物-2必+1=0./(%,乂)，8(工2，%)都滿足

直線方程2田-2了+1=0.于是直線2n-2了+1=0過點(diǎn)48,而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線，所以直線方

程為2n-2y+1=0.即2n+(-2了+1)=0,當(dāng)2x=0,-2y+1=0時(shí)等式恒成立.所以直線恒過定點(diǎn)(0,1).

⑵由⑴得直線AB方程為2n-2y+1=0,和拋物線方程聯(lián)立得：

2tx-2j+1=0

'1化簡(jiǎn)得x?-2tr-l=0.于是否+%=2乙乂+%=/(占+%)+1=2/+1設(shè)M為線段48的中點(diǎn)，

V=-X2

I2

則W/+;)

由于兩_L方，而施=億〃—2),方與向量(1/)平行，所以看+/(r—2)=0,

解得，=0或￡=±1.

____s

當(dāng)f=0時(shí)，兩=(0,-2),|EM|=2所求圓的方程為Y+(y-V=4;

當(dāng)/=±1時(shí)，?=(1,-1)或由=(-1,-1),忸叫=也所求圓的方程為一+(尸］)2=2.

所以圓的方程為/+3-$2=4或/+(了-$2=2.

【點(diǎn)睛】此題第一問是圓錐曲線中的定點(diǎn)問題和第二問是求面積類型，屬于常規(guī)題型，按部就班的求解就

可以.思路較為清晰，但計(jì)算量不小.

4.(2019?天津?高考真題)設(shè)橢圓［+5=l(a>b>0)的左焦點(diǎn)為尸，左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知

ab

61CM|=21OB|(。為原點(diǎn)).

6

(I)求橢圓的離心率;

3

(II)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)尸且斜率為1的直線/與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P,圓C同時(shí)與x軸和直線/相切，圓心C

4

在直線x=4上，且OC〃/尸，求橢圓的方程.

【答案】(I)(II)—+^=1.

21A1?

【分析】(I)根據(jù)題意得到也a=26,結(jié)合橢圓中。也c的關(guān)系，得到/=(@qy+c2,化簡(jiǎn)得出￡=(,

2a2

從而求得其離心率；

22

(II)結(jié)合(I)的結(jié)論，設(shè)出橢圓的方程己+9=1,寫出直線的方程，兩個(gè)方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)的坐方

利用直線與圓相切的條件，列出等量關(guān)系式，求得c=2,從而得到橢圓的方程.

【詳解】(I)解：設(shè)橢圓的半焦距為。，由已知有&a=26,

又由力—消去6得入亭…,解得鴻，

所以，橢圓的離心率為g.

22

(II)解：由(I)知，a=2c,b=耳,故橢圓方程為3+9=1,

3

由題意，F(xiàn)(-c,O),則直線/的方程為y==(尤+c),

點(diǎn)尸的坐標(biāo)滿足＜,消去丁并化簡(jiǎn)，得至1]7—+65-13c2=0,

y=~(x+c)

代入到/的方程，解得m=：3。,%9=-己。，

3

因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸的上方，所以尸(q^c),

由圓心在直線x=4上，可設(shè)C(4,f),因?yàn)镺C〃/尸,

3

且由(I)知/(-2c,0),故J：2c，解得：=2,

4。+2。

因?yàn)閳AC與X軸相切，所以圓的半徑為2,

自4+c)一

又由圓C與/相切，得?)-------,解得c=2,

7

22

所以橢圓的方程為：土+匕=1.

1612

【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓

錐曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力.

5.（2018?全國(guó)?高考真題）設(shè)拋物線Gj?=4x的焦點(diǎn)為尸，過尸且斜率為左/>0）的直線/與C交于B

兩點(diǎn),“1=8.

（1）求/的方程；

（2）求過點(diǎn)/,8且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

【答案】（1）V=xT;（2）（x-3『+（y-2）2=16或（x-ll『+（y+6）2=144.

【分析】（1）方法一：根據(jù)拋物線定義得MB|=』+x］p,再聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理代

入求出斜率，即得直線/的方程；

（2）方法一：先求N3中垂線方程，即得圓心坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)圓心到準(zhǔn)線距離等于半徑得等量關(guān)系，解

方程組可得圓心坐標(biāo)以及半徑，最后寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】（1）［方法一］:【通性通法】焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用

由題意得尸（1,0）,設(shè)直線/的方程為y=k（x-i）（k>0）.

Y方-1）得心2一（2/+4卜+1=0.

設(shè)工（再,必）,8色,力），由

2左2+4

2

A=16^+16=0,故無］+工2=

k2

4〃+4

所以以兇=|/尸|+忸尸卜d+1）+（x+1）=

2k2

由題設(shè)知史二=8,解得左=-1（舍去）或左=1.因此/的方程為尸x-1.

k2

［方法二］:弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用

由題意得尸（1,0）,設(shè)直線I的方程為y=k（x-l）（k>0）.

1

設(shè)/（再,必）,B七,巴）,貝I由）'得Ex一（2左2+4）x+F=0,A=16/+16>0.

IABi=7T7F-^16^+—=,由"：’）=8,解得左=-1（舍去）或斤=1.因此直線/的方程為

11k2Ek2

y=x-i.

［方法三］:【最優(yōu)解】焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用

設(shè)直線/的傾斜角為a,則焦點(diǎn)弦|/8|=二^=二［=8,解得sin2a=1,即sina=變.因?yàn)樾甭?>0,

smasina22

所以左=tana=1.

而拋物線焦點(diǎn)為尸（1,0）,故直線/的方程為1-歹-1=0.

8

［方法四］:直線參數(shù)方程中的弦長(zhǎng)公式應(yīng)用

x=l+%cosa,

由題意知尸(1,0),可設(shè)直線/的參數(shù)方程為尸sinaG為參虹

代入J/=4x整理得sin2a?/-4cosa?/—4=0,A=16>0.

4cosn4

設(shè)兩根為％目，則％+f2=W4，柩2=-=^.

sinasina

I-------------------J?

由1451=卜i一U=+/2)2-4y2=8，解得sina=—.

一行

x—1+----1,

因?yàn)槿?gt;0,所以cosa=正，因此直線/的參數(shù)方程為，2

2_V2

y------to

2

故直線/的普通方程為y=xT.

［方法五］:【最優(yōu)解】極坐標(biāo)方程的應(yīng)用

2

以點(diǎn)尸為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，此時(shí)拋物線的極坐標(biāo)方程為0=

1-coscr

22

設(shè)/(0i，c),8(0,a+萬)，由題意得0+02="I---------+;--------:-------7=8,解得a=45°,即左=tana=1.

1-cosa1-cos(a+乃)

所以直線/的方程為y=x-L

(2)［方法一］:【最優(yōu)解】利用圓的幾何性質(zhì)求方程

由(1)得48的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以的垂直平分線方程為

y-2=-(x-3),Bpy=-x+5.

設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(%,%),則

因此所求圓的方程為(工一3『+(>-2>=16或(x-ll)2+(>+6)2=144.

［方法二］:硬算求解

由題意可知，拋物線C的準(zhǔn)線為x=-l,所求圓與準(zhǔn)線相切.

設(shè)圓心為(。力)，則所求圓的半徑為"1.

由產(chǎn)2二1得4(3+2&,2+2偽,3(3-2也2-2揚(yáng).

f(3+2A/2-a)2+(2+2&_6)2=(a+l)2

所以〈r-r--

(3-2V2-a)2+(2-2^y2-ft)2=(?+l)

9

a=\\

b=-6

所以，所求圓的方程為（X-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+3+6）2=144.

【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：根據(jù)弦過焦點(diǎn)，選擇焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式運(yùn)算，屬于通性通法；

方法二：直接根據(jù)一般的弦長(zhǎng)公式硬算，是解決弦長(zhǎng)問題的一般解法；

方法三：根據(jù)弦過焦點(diǎn)，選擇含直線傾斜角的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，計(jì)算簡(jiǎn)單，屬于最優(yōu)解；

方法四：根據(jù)直線參數(shù)方程中的弦長(zhǎng)公式，利用參數(shù)的幾何意義運(yùn)算；

方法五：根據(jù)拋物線的極坐標(biāo)方程，利用極徑的意義求解，計(jì)算簡(jiǎn)單，也是該題的最優(yōu)解.

（2）方法一：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)確定圓心位置，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系算出，是求圓的方程的最優(yōu)解；

方法二：直接根據(jù)圓經(jīng)過兩點(diǎn)，硬算，思想簡(jiǎn)單，運(yùn)算相對(duì)復(fù)雜.

6.（2017?全國(guó)?高考真題）已知拋物線C：f=2x,過點(diǎn)（2,0）的直線/交C于4臺(tái)兩點(diǎn)，圓M是以線段4B

為直徑的圓.

（1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓”上；

（2）設(shè)圓M過點(diǎn)P（4,-2）,求直線/與圓M的方程.

【答案】（1）證明見解析；（2）x-y-2=Q,（x_3y+（y-l）2=10或2x+y-4=0,+^+|J=

【詳解】（1）設(shè)/（%1M,5（肛%），/：x=「y+2.

可得＞2-2町一4=0,貝

又石=

因此04的斜率與OB的斜率之積為”/-1,所以。。瓦

故坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓”上.

（2）由（1）可得%+%=2〃2,再+z=〃z（必+%）+4=2〃/+4.

故圓心M的坐標(biāo)為（優(yōu)2+2,?。?，圓M的半徑,?=4m2+2）2+m2.

由于圓M過點(diǎn)尸（4,—2）,因止匕方.麗=0，故（玉―4）（X2—4）+（必+2）（%+2）=0,

即再％2-4（演+x2）+yxy2+2（%+）+20=0,

由（1）可得必為=-4,玉％=4.

所以2加2—加一1=0,解得次=1或加=一式.

2

當(dāng)加=1時(shí)，直線/的方程為x-y-2=0,圓心M的坐標(biāo)為（3,1）,圓〃的半徑為何，圓〃的方程為

（X-3）2+（J-1）2=10.

10

當(dāng)加=-；時(shí)，直線/的方程為2x+y-4=0,圓心M的坐標(biāo)為圓W的半徑為平，圓M的

方程為W+J2嚏

【名師點(diǎn)睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)

系；在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí)，要特別注意直線與拋物線的對(duì)稱軸平行的特殊情況.中點(diǎn)弦問題，

可以利用"點(diǎn)差法"，但不要忘記驗(yàn)證△>()或說明中點(diǎn)在曲線內(nèi)部.

7.(2017?天津?高考真題)已知橢圓[+與=1(。>6>0)的左焦點(diǎn)為廠(-c,0),右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,c),

ab

△￡7弘的面積為

2

(I)求橢圓的離心率；

(II)設(shè)點(diǎn)。在線段NE上，出。|='，延長(zhǎng)線段尸。與橢圓交于點(diǎn)P,點(diǎn)/，N在x軸上，PM||QN,且

直線PM與直線QN間的距離為c,四邊形PQNM的面積為3c.

(i)求直線尸P的斜率；

(ii)求橢圓的方程.

o22

【答案】(I)：.(II)(i)士.(ii)土+匕=1.

241612

【分析】根據(jù)△￡/2的面積為Q列出一個(gè)關(guān)于的等式，削去6求出離心率；根據(jù)凡。關(guān)系巧設(shè)直線NE

2

的方程，與直線FP的方程聯(lián)立解出焦點(diǎn)。的坐標(biāo)，利用|FQ|=+解出斜率加，把直線FP的方程與橢圓方

程聯(lián)立，解出尸點(diǎn)坐標(biāo)，分別求出△/QN和AEPM的面積，利用四邊形尸。7W的面積為3c,解出c,得出

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】(I)設(shè)橢圓的離心率為e.由已知，可得g(c+a)c=[.乂由可得2c②+如一/=0,

即2e2+e-l=0.又因?yàn)?<e<l,解得e==.

2

所以，橢圓的離心率為g.

(II)(i)依題意，設(shè)直線FP的方程為x=%y-c(優(yōu)>0),則直線FP的斜率為工.

m

由(I)知a=2c,可得直線AE的方程為上+2=1,

2cc

即x+2y-2c=0,與直線FP的方程聯(lián)立，

可解得x=(2>2)c,即點(diǎn)。的坐標(biāo)為產(chǎn)：)c,三

m+2m+2\冽+2m+2

11

由已知|FQ|=f,有產(chǎn)-2,+j+[上]=]至j,

2m+21加+2J\2J

整理得3/-4加=0,所以，"=，即直線FP的斜率為

34

_22

(ii)解：由a=2c,可得6=6C,故橢圓方程可以表示為券+9=1.

由⑴得直線FP的方程為3x-4y+3c=0,

3x-4y+3c=0,

與橢圓方程聯(lián)立x2y2消去了，

整理得7/+6cx-l3c2=0,解得x=-^-(舍去)

或》=已因此可得點(diǎn)進(jìn)而可得忸尸|=j(c+c)2+[+：=],所以|P@=|尸尸卜但。|=+-+=。.

由已知，線段尸。的長(zhǎng)即為尸M與0N這兩條平行直線間的距離，

故直線PM和QN都垂直于直線FP.

因?yàn)樗詜QM=「0|.tanNQnV=+xj=M，所以AFQV的面積為子尸例”|=等，同理

75r275r2?7r2

的面積等于2幺，由四邊形尸。Ml1的面積為3c,得2J—￡=3C,整理得°2=2C,又由?！?,

323232

得c=2.

22

所以，橢圓的方程為二+匕=1.

1612

【點(diǎn)睛】列出一個(gè)關(guān)于仇。的等式，可以求離心率；列出一個(gè)關(guān)于a,6,c的不等式，可以求離心率的取

值范圍."減元"思想是解決解析幾何問題的重要思想，巧設(shè)直線方程利用題目條件列方程求解斜率，求橢圓

方程的基本方法就是待定系數(shù)法，根據(jù)已知條件列方程通過解方程求出待定系數(shù).

8.(2015?天津?高考真題)已知橢圓￡+[=13>0)的上頂點(diǎn)為8,左焦點(diǎn)為尸，離心率為好，

/b~5

(I)求直線BF的斜率；

(II)設(shè)直線3歹與橢圓交于點(diǎn)P(尸異于點(diǎn)8)，過點(diǎn)8且垂直于的直線與橢圓交于點(diǎn)。(。異于點(diǎn)8)

直線尸。與y軸交于點(diǎn)M,\PM\=1\MQ\.

(i)求/I的值；

(H)若1PMisinZBQP=筲，求橢圓的方程.

【答案】(I)2;(II)(i)];(ii)—+^=1.

854

12

廠.b-0b.

【詳解】（I）先由￡及/=萬+/,得4=氐,6=2°,直線BF的斜率左=0_（_。）=發(fā)=2；（II）先把

a5

\PM\XM-XpxP7

直線BF,BQ的方程與橢圓方程聯(lián)立,求出點(diǎn)BQ橫坐標(biāo)，可得丸=島=——=g-(II)先由

\MQ\XQ~XM和8

1PMsinDBQ尸=手得忸刊=儼0卜m/30尸=?『河畫1140尸=半，由止匕求出c=l,故橢圓方程為

試題解析:（I）設(shè)廠（-。,0），由已知￡及°2=/+°2,可得"A,6=2C，又因?yàn)?（0,6）,F（-c,0）,

a5

7b-0b.

故直線BF的斜率_=0_（_.=]=2.

22

（II）設(shè)點(diǎn)尸（辱，為加），（I）由（I）可得橢圓方程為白+方=1,直線8F的方程

為y=2x+2c，兩方程聯(lián)立消去y得3/+55=0,解得xp=-y.因?yàn)?。，8尸，所以直線BQ方程為

140c

尸-;x+2c,與橢圓方程聯(lián)立消去y得21--40次=0懈得和=笠.又因?yàn)閹譢=PM扁\，及%=。得

|,又因?yàn)閨PMkinE>50尸=毛7一Is,所

，因止匕—c=—,c=1,所以橢圓

33

22

方程為土+匕=1.

54

考點(diǎn)：本題主要考查直線與橢圓等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力及用方程思想和化歸思想解決問題的能力.

22

9.（2015?安徽?高考真題）設(shè)橢圓E的方程為下方=1（“>6>0）,點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（砌,

點(diǎn)B的坐標(biāo)為

（0,6）,點(diǎn)M在線段AB上，滿足|W|=2|M4|,直線OM的斜率為

（I）求E的離心率e；

13

7

（II）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,-6）,N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為求E的方

程.

【答案】（I）—;（II）—+^=1.

5459

【詳解】試題分析：（I）由題設(shè)條件，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為Eo'b）,利用心”="，從而2=趙，進(jìn)

330M102a10

而得。=島。=及2一尸=26,算出e=g=￡l.（D）由題設(shè)條件和（I）的計(jì)算結(jié)果知，直線ZB的方

a5

程為總+汽=1,得出點(diǎn)N的坐標(biāo)為（當(dāng)設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為則線段

NS的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為（手6+5,_9+：）.利用點(diǎn)T在直線N3上，以及G?心=T，解得6=3,所以

a=3右，從而得到橢圓E的方程為二+片=1.

459

試題解析：（I）由題設(shè)條件知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為:。二與，又后”="，從而_L=Y1,進(jìn)而得

330M102a10

a=45b,c=^a2-b2=26，故e=*=2".

a5

（ID由題設(shè)條件和（I）的計(jì)算結(jié)果可得，直線的方程為怠+,=1,點(diǎn)N的坐標(biāo)為（咚

設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為（％,：）,則線段NS的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為（好方+土,一：+馬.又點(diǎn)T在

24244

rL4------=1

45bb_

直線上，且"S，KB=T,從而有｛71,解得6=3,所以°=3若，故橢圓E的方程為

—+—b

”11

---1----1.

459

考點(diǎn)：1.橢圓的離心率；2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3.點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的應(yīng)用.

考點(diǎn)02求軌跡方程

1.（2023?全國(guó)新I卷?高考真題）在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)尸到無軸的距離等于點(diǎn)尸到點(diǎn)（0,g）的距離，記

動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為少.

（1）求少的方程；

14

⑵已知矩形/8CD有三個(gè)頂點(diǎn)在次上，證明：矩形/BCD的周長(zhǎng)大于3TL

【答案】(i)y=/+；

⑵見解析

【分析】(1)設(shè)尸(x,y),根據(jù)題意列出方程/+,-口=必，化簡(jiǎn)即可；

(2)法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)/(。,/+；|石9,62+口,(％2+3，且a<b<c,分別令3=。+6=用<0,

左Bc=b+c=〃>0,且加〃=_1,利用放縮法得gcz'+jVi：7,設(shè)函數(shù)/(月=1+1|2(1+/)，利用導(dǎo)

數(shù)求出其最小值，則得C的最小值，再排除邊界值即可.

法二：設(shè)直線的方程為>=左。-。)+/+；,將其與拋物線方程聯(lián)立，再利用弦長(zhǎng)公式和放縮法得

陰山味,利用換元法和求導(dǎo)即可求出周長(zhǎng)最值，再排除邊界值即可?

法三：利用平移坐標(biāo)系法，再設(shè)點(diǎn)，利用三角換元再對(duì)角度分類討論，結(jié)合基本不等式即可證明.

【詳解】(1)設(shè)尸(羽口,則