2015-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：球體的外接與內(nèi)切小題綜合（解析版）

冷題12球體的外接層佝切斷集除合

十年考情-探規(guī)律1

考點(diǎn)十年考情(2015-2024)命題趨勢(shì)

考點(diǎn)1直接求球的

表面積與體積及相

2021?全國新I卷、2020?山東卷、2017?上海卷

關(guān)應(yīng)用

（10年3考）理解、掌握球體的表面積公

考點(diǎn)2正方體與長(zhǎng)式和體積公式，熟練掌握不

方體中的球體切接2023?全國甲卷、2020?天津卷、2017?天津卷同模型的球體的外接球和內(nèi)

問題2016?全國卷、2016?全國卷切球的相關(guān)計(jì)算，會(huì)利用（二

（10年4考）級(jí)）結(jié)論快速解題

考點(diǎn)3圓錐與圓柱

中的球體切接問題2021?天津卷、2020?全國卷、2017?江蘇卷本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？?/p>

（10年3考）內(nèi)容，一般有特殊幾何體、

考點(diǎn)4棱錐與棱臺(tái)墻角問題、對(duì)棱相等、側(cè)棱

2023?全國乙卷、2022?全國新H卷、2021?全國甲

中的球體切接問題垂直于底面、側(cè)面垂直于底

卷、2020?全國卷、2020?全國卷、2019?全國卷

（10年5考）面的外接內(nèi)切問題，需強(qiáng)化

考點(diǎn)5球體切接問復(fù)習(xí).

題中的最值及范圍2023?全國甲卷、2022?全國乙卷、2022?全國新I卷、

問題2018?全國卷、2016?全國卷、2015?全國卷

（10年5考）

分考點(diǎn)二精準(zhǔn)練￡

考點(diǎn)01直接求球的表面積與體積及相關(guān)應(yīng)用

L（2021?全國新I卷?高考真題）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)

中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表

面的距離）.將地球看作是一個(gè)球心為。，半徑r為6400km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指。4與赤道平面所成

角的度數(shù).地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為a,記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地

球表面的表面積為5=2萬/（l-cosa）（單位：km2）,則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【答案】C

【分析】由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：

16400

2w“l(fā)-cosa）=l-cosa=-6400+36000?°42=42%-

4%/一2一2~.一°

故選：C.

2.（2020?山東?高考真題）已知球的直徑為2,則該球的體積是.

47r

【答案】y

【分析】根據(jù)公式即可求解.

【詳解】解：球的體積為：V=§x;rxl3=奈，

47r

故答案為：

3.（2017?上海?高考真題）己知球的體積為36萬，則該球主視圖的面積等于

【答案】9萬

4

【詳解】由球的體積公式，可得耳夕3=36萬，則r=3,所以主視圖的面積為S=TTX32=9）.

考點(diǎn)02正方體與長(zhǎng)方體中的球體切接問題

1.（2023?全國甲卷?高考真題）在正方體ABC。-4月6。中，E,尸分別為AB,GR的中點(diǎn)，以所為直徑

的球的球面與該正方體的棱共有個(gè)公共點(diǎn).

【答案】12

【分析】根據(jù)正方體的對(duì)稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.

【詳解】不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,E尸中點(diǎn)為。，取8,CG中點(diǎn)G,M,側(cè)面34GC的中心為N,連接

FG,EG,OM,ON,MN,如圖，

由題意可知，。為球心，在正方體中，EF=qFG?+EG2=y1*+爰=20，

即R=0，

則球心。到CG的距離為OAf=y/oN2+MN2=A/12+12=V2，

所以球。與棱CG相切，球面與棱cq只有1個(gè)交點(diǎn)，

同理，根據(jù)正方體的對(duì)稱性知，其余各棱和球面也只有1個(gè)交點(diǎn)，

所以以E尸為直徑的球面與正方體棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.

故答案為：12

2.（2020?天津?高考真題）若棱長(zhǎng)為2看的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.127rB.24%C.36萬D.1447r

【答案】C

【分析】求出正方體的體對(duì)角線的一半，即為球的半徑，利用球的表面積公式，即可得解.

【詳解】這個(gè)球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對(duì)角線的一半，

2

所以，這個(gè)球的表面積為S=4萬叱=4萬*32=36%.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查正方體的外接球的表面積的求法，求出外接球的半徑是本題的解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.求

多面體的外接球的面積和體積問題，常用方法有：（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)

方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助

球的對(duì)稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計(jì)幾何

體有兩個(gè)面相交，可過兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線，垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心.

3.（2017?天津?高考真題）已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18,則這個(gè)

球的體積為—.

【答案】？

2

【詳解】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為。，則6a2=i8n/=3,

l4477o

夕卜接球直徑為2氏=6。=3,丫=彳兀氏3=兀乂丁=彳兀.

3382

【考點(diǎn)】球

【名師點(diǎn)睛】求多面體的外接球的面積和體積問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)

方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底

面平行，借助球的對(duì)稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）

如果設(shè)計(jì)幾何體有兩個(gè)面相交，可過兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線，垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心，本

題就是第三種方法.

4.（2016?全國?高考真題）體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的表面積為

32

A.12萬B.一兀C.8萬D.4萬

3

【答案】A

【詳解】試題分析：因?yàn)檎襟w的體積為8,所以棱長(zhǎng)為2,所以正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2石，所以正方體

的外接球的半徑為百，所以該球的表面積為4萬?（舊）2=12萬，故選A.

【考點(diǎn)】正方體的性質(zhì)，球的表面積

【名師點(diǎn)睛】與棱長(zhǎng)為。的正方體相關(guān)的球有三個(gè)：外接球、內(nèi)切球和與各條棱都相切的球，其半徑分別

為《紅、區(qū)和國

222

5.（2016?全國?高考真題）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為3,2,1,其頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的表面積

為.

【答案】14萬

【詳解】長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為球的直徑，則2火=律言方=9，R=--，則球O的表面積為

考點(diǎn)03圓錐與圓柱中的球體切接問題

1.（2021?天津?高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為學(xué)，兩

個(gè)圓錐的高之比為1:3,則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（）

A.3萬B.4〃C.9〃D.12%

【答案】B

【分析】作出圖形，計(jì)算球體的半徑，可計(jì)算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計(jì)算出圓錐的底面圓半徑，

再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)。，

設(shè)圓錐AD和圓錐的高之比為3:1,即AD=33。,

設(shè)球的半徑為R,則----=——，可得尺=2,所以，AB=AD+BD=4BD=4,

33

所以，BD=1,AD=3,

CDLAB,貝!]/04￡>+48=/88+4?！?gt;=90,所以，ZCAD=ZBCD,

又因?yàn)?ADC=/3DC,所以，AACD-ACBZ),

“ntAU/----------I-

所以，-=---,CD=VAD-BD=v3,

CDBD

因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為:%xCZ）2?（AD+BD）=j7rx3x4=47T.

故選：B.

2.（2020?全國?高考真題）已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為

【答案】變?nèi)f

3

【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值.

【詳解】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，

其中BC=2,AB=AC=3,且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，

設(shè)內(nèi)切圓的圓心為。，

由于AM=A/32—I2=2V2，故除ABC=]X2x2\/2=2A/2,

設(shè)內(nèi)切圓半徑為小則:

SAABc=SAAOB+SABoc+SAAoc=-x^xr+-xBCxr+-xACxr

=：x（3+3+2）xr=20,

解得：r=^-,其體積：V=—7rr3.

233

故答案為：，^乃.

3

【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的

位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中

心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于

球的直徑.

3.（2017?江蘇?高考真題）如圖，在圓柱。102內(nèi)有一個(gè)球。，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記

圓柱01。2的體積為以，球。的體積為M2,則乎的值是____

丫2

匕_nr2x2r_3鼻

【詳解】設(shè)球半徑為小則已故答案為:.

2—nr2

3

點(diǎn)睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略：①若給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或

臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解；②若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、

分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.

考點(diǎn)04棱錐與棱臺(tái)中的球體切接問題

1.（2023?全國乙卷?高考真題）已知點(diǎn)S,A,B,C均在半徑為2的球面上，ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,

SA_L平面ABC,則91=.

【答案】2

【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運(yùn)算求解.

【詳解】如圖，將三棱錐S-ABC轉(zhuǎn)化為正三棱柱SMV-ABC,

設(shè),ABC的外接圓圓心為。一半徑為小

2r=_=_J_=2J3

則sinZACB在,可得r=g,

了

設(shè)三棱錐5-ABC的外接球球心為。，連接。A。。一則。4=2,。。］=（&4,

因?yàn)椤?2=00：+。］萬，即4=3+』SA2,解得&1=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問題的求解方法

（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線作截面，

把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；

（2）若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的三條線段B4、PB、PC兩兩垂直，且B4=a,PB=b,PC=c,一般

把有關(guān)元素"補(bǔ)形"成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，根據(jù)4穴2=/+抉+/求解；

（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)；

（4）球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)；

（5）利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位

置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.

2.（2022?全國新H卷?高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為和4B，其頂點(diǎn)都在

同一球面上，則該球的表面積為（）

A.IOOTIB.1287rC.144mD.192兀

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑、々再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑

之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑小所以入=白叵一,24=2-,即4=3,々=4,設(shè)球心

sin60sin60

到上下底面的距離分別為4,4，球的半徑為R，所以4=,店_9，心=JR2-16，故|4-聞=1或4+4=1，

即向2一9一行2叫=1或病與+正丁=1，解得尺2=25符合題意，所以球的表面積為

3.（2021,全國甲卷?高考真題）己知A,8,C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC±BC,AC=BC=1,

則三棱錐O-MC的體積為（）

A.@B.BC.@D."

121244

【答案】A

【分析】由題可得AFC為等腰直角三角形，得出ABC外接圓的半徑，則可求得。到平面ABC的距離，

進(jìn)而求得體積.

【詳解】ACLBC,AC=BC=\,ABC為等腰直角三角形，,

則，ABC外接圓的半徑為正，又球的半徑為1,

2

設(shè)。到平面A5C的距離為d,

所以％ABC=!SABC=—X—X1X1X.

/izic3/IDC322]2

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查球內(nèi)幾何體問題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面

距離的勾股關(guān)系求解.

4.（2020?全國?高考真題）已知A,5,C為球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，回01為ASC的外接圓，若回。的面積為4兀，

AB=BC=AC=OOl,則球。的表面積為（）

A.64兀B.48兀C.36兀D.32兀

【答案】A

【分析】由已知可得等邊二ABC的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長(zhǎng)，得出。。的值，根據(jù)球的截面性質(zhì)，求出

球的半徑，即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)圓。半徑為小球的半徑為R,依題意，

得萬/=4萬,=2,ASC為等邊三角形，

由正弦定理可得48=2七畝60。=26，

,OQ=，根據(jù)球的截面性質(zhì)。。1平面ABC,

OO]±OIA,R=OA=Joo：+OW=Joo：+產(chǎn)=4,

???球0的表面積s=4%R2=64萬.

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2020?全國?高考真題）己知MBC是面積為逑的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球。的球面上.若球。的表

4

面積為16TT,則。到平面ABC的距離為（）

A.J3B.-C.1D.—

22

【答案】C

【分析】根據(jù)球。的表面積和ABC的面積可求得球。的半徑R和,.ASC外接圓半徑小由球的性質(zhì)可知所

求距離d=，箝一產(chǎn).

設(shè)球。的半徑為R,則4萬玄=16%，解得：R=2.

設(shè)，ABC外接圓半徑為「，邊長(zhǎng)為。，

ABC是面積為越的等邊三角形，

4

:=正,解得：a=3,…幺，Z=2x[1=5

2243、43V4

???球心0到平面ABC的距離d=五_/=注與=].

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查球的相關(guān)問題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是明

確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面.

6.（2019?全國?高考真題）已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，PA=PB=PC,是邊長(zhǎng)為2

的正三角形，E,P分別是B4,A8的中點(diǎn)，0CEF=9O°,則球。的體積為

A.8底兀B.4卡萬C.2娓兀D.疵）兀

【答案】D

【分析】先證得尸3,平面PAC,再求得===從而得尸-ABC為正方體一部分，進(jìn)而知正

方體的體對(duì)角線即為球直徑，從而得解.

【詳解】解法一:,.,/%=P3=PC,AA5C為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，.1P-ABC為正三棱錐，

S.PBLAC,又E,尸分別為E4、中點(diǎn)，

:.EFHPB,:.EF1AC,又EFLCE,CEAC=C,..所_L平面R4C,BB_L平面PAC,

:.NAPB=90°,;.PA=PB=PC=也，；.尸―ABC為正方體一部分，2R=,2+2+2=",即

R=^-,:.V=—nR3=—^x=46n,故選D.

2338

B

設(shè)PA=P3=PC=2x,E,尸分別為尸A,48中點(diǎn),

：.EFHPB,AEF=^PB=x,AABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,

:.CF=6又NCEF=90。:.CE=△-x2,AE=^PA=x

AAEC中余弦定理COS/￡AC="+4—（3一*）,作于。，PA=PC,

2x2xx

yrA萬晶上/Z74A。1+4一3+%21

。為AC中點(diǎn)，cosX.EAC-=—------------=—,

PA2x94x2x

2X2+1=2x2=-x=—,；.PA=PB=PC=y/i，又AB=5C=AC=2,，PA,P8,PC兩兩垂直，

22

2R=J2+2+2=后,:.V=-nR3=-nx-^=V6TT,故選D.

2338

【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生空間想象能力，補(bǔ)體法解決外接球問題.可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩互相

垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長(zhǎng)，進(jìn)而補(bǔ)體成正方體解決.

考點(diǎn)05球體切接問題中的最值及范圍問題

1.（2023?全國甲卷?高考真題）在正方體A3CD-4B1GR中，A8=4,。為AQ的中點(diǎn)，若該正方體的棱與

球。的球面有公共點(diǎn)，則球。的半徑的取值范圍是.

【答案】［2在2我

【分析】當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)半徑最大，當(dāng)邊長(zhǎng)為4的正方形是球的大圓的內(nèi)接正方形時(shí)半徑達(dá)到最小.

【詳解】設(shè)球的半徑為R.

當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會(huì)包

含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒有交點(diǎn)，

正方體的外接球直徑2R為體對(duì)角線長(zhǎng)=,42+42+42=4石,即2R'=46,R'=2g,故凡?=2G;

分別取側(cè)棱M,BBi,CG,DDX的中點(diǎn)",H,G,N,顯然四邊形MNGH是邊長(zhǎng)為4的正方形，且。為正方形

肱VG”的對(duì)角線交點(diǎn)，

連接MG,則MG=40，當(dāng)球的一個(gè)大圓恰好是四邊形MNG"的外接圓，球的半徑達(dá)到最小，即R的最

小值為2亞.

綜上，7?e［2V2,273］.

故答案為：［20,2我

3.（2022?全國乙卷?高考真題）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面

上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.-B.|C.—D.—

3232

【答案】C

【分析】方法一:先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)。到底面A8C。所在小圓距離一定時(shí)，底面ABC。面積最大值為2，，

進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大

時(shí)其高的值.

【詳解】［方法一］:【最優(yōu)解】基本不等式

設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD四邊形ABC。所在小圓半徑為r,

設(shè)四邊形ABC。對(duì)角線夾角為a,

2

則SABCD=~ACBDsina<-ACBD<^-2r-2.r=2r

（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）

即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCO所在小圓距離一定時(shí)，底面ABC。面積最大值為2/

又設(shè)四棱錐的高為仇則/=1，

也

V詆。=--2r2-h=\/r2-r2-2h2<j_4

1o7—AoGlJ33,3I一三

當(dāng)且僅當(dāng)戶=2h2即"邛時(shí)等號(hào)成立.

故選：C

［方法二］:統(tǒng)一變量+基本不等式

由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,底面所在圓的半徑為,，貝1）廠=變.,

2

所以該四棱錐的高〃

4

V

3

（當(dāng)且僅當(dāng)4=1-即/=:時(shí)，等號(hào)成立）

所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高〃

故選：C.［方法三］:利用導(dǎo)數(shù)求最值

由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,底面所在圓的半徑為r,則廠=受0,

2

所以該四棱錐的高。=3工，V=ia2/-T,令。2="0<f<2）,丫=#_；,設(shè)/⑺=/_；,則

o<f<1,/”）>o,單調(diào)遞增，1</<2,r（r）<o,單調(diào)遞減，

所以當(dāng)/=：時(shí)，V最大，此時(shí)心=

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】方法一：思維嚴(yán)謹(jǐn)，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；

方法二：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；

方法三：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問題的常用解法，操作簡(jiǎn)便，是通性通法.

3.（2022?全國新I卷?高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為I,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36萬,

且3W”3如，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

【答案】C

【分析】設(shè)正四棱錐的高為心由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定正四

棱錐體積的取值范圍.

【詳解】回球的體積為36萬，所以球的半徑R=3,

設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a,高為

貝U尸=1a~+/?2,32=26r+（3—,

所以6〃=〃，2〃=尸-〃2

ii2/4/21r/6

所以正四棱錐的體積V=wS/2=wx4/x/z=wX（/2-或）=xZ4--

3333669136

所以個(gè)㈠門審）

當(dāng)3W/W2#時(shí)，r>0,當(dāng)2#</（3如時(shí)，丫'<0,

所以當(dāng)/=2#時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為理，

27Q1

又/=3時(shí)，v=――,I=3^/3時(shí)，y——

44

所以正四棱錐的體積V的最小值為2今7，

4

所以該正四棱錐體積的取值范圍是彳，F(xiàn)

故選：C.

［方法二］:基本不等式法

由方法一故所以丫二乎“二^^一⑹八三0/外展反白（12-2?+〃+人=當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)%=4取到），

當(dāng)"J時(shí),得。=筌，則*=$，=（（弩2曰*

I—3Q

當(dāng)/=36時(shí)，球心在正四棱錐圖線上，此時(shí)〃=^+3=5，

/"=乎=>"=平，正四棱錐體積用二為二（平）"上?<?故該正四棱錐體積的取值范圍是耳片］.

22,233,224343

4.（2018?全國?高考真題）設(shè)A，B,C,。是同一個(gè)半徑為4