江西省贛州市2024-2025學年高三上學期1月期末考試數(shù)學試卷含答案

江西省贛州市屆高三上學期1月期末考試數(shù)學試題85分在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)為純虛數(shù)，則（）A.B.0C.2D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得出，即可求出結果.【詳解】由復數(shù)是純虛數(shù)，得，解得，則，，所以.故選：D2.“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等性質及命題的充分必要性直接可判斷.【詳解】當時，若，則，即“”不是“”充分條件；當時，，即“”是“”必要條件，綜上所述，“”是“”的必要不充分條件，故選：B.3.若向量，的夾角為，且，，則（）A.B.2C.4D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，根據(jù)向量的模長公式即可求出結果.【詳解】，，兩邊平方得：，即，解得，故選：B4.某普通高中高二年級學生參加體育學業(yè)水平考試立定跳遠項目模擬測試，甲、乙兩位同學連續(xù)5次的測試數(shù)據(jù)如下表單位：甲210220216220230乙215212216223249下列說法錯誤的是（）A.甲同學測試數(shù)據(jù)的眾數(shù)為220B.乙同學測試數(shù)據(jù)的極差為37C.甲同學測試數(shù)據(jù)的分位數(shù)為220D.乙同學測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)為223【答案】C【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)、極差、百分位數(shù)及平均數(shù)的計算方法計算即可判斷.【詳解】對于A，220出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以為眾數(shù)，故A正確；對于B，因為，所以極差為37，故B正確；對于C，將甲同學測試數(shù)據(jù)從小到大排列：.因為，所以分位數(shù)為，故C錯誤；對于D，因為，故D正確.故選：C5.已知橢圓與直線交于ABM滿足M）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先設點再聯(lián)立方程組求出得，，結合向量關系得出坐標關系換元即可求出軌跡方程.【詳解】設，，，由消去x可得，，，，，，，，，，，，，點不在軸上，，的軌跡方程為故選：C.6.當時，曲線與的交點個數(shù)為（）A.7B.6C.5D.4【答案】B【解析】【分析】分別畫出與在上的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷即可.【詳解】與在上的函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知，兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)為6個.故選：B7.已知四面體ABCD的四個頂點都在同一球面上，，平面當該球的體積最小時，四面體ABCD體積的最大值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】ABCD的高和體積.【詳解】因為平面平面BCD，所以點A在平面BCD的射影E落在BD上，當點E為BD的中點時，AE最大，此時四面體ABCD的體積取最大，如圖所示：在中，設其外接圓的圓心為O，取BC的中點F，連接DF，則點O在DF的直線上，由余弦定理得，，且，則，設外接圓的半徑為r，則，得，當四面體ABCD的外接球的體積最小時，此時球心應為點O，則，且，得，，此時四面體ABCD體積的最大值為：故選：B.【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法1.涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題求解；2.若球面上四點P、A、B、C構成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，一般把有關元素“補形”成為一個球內接長方體求解；3.正方體的內切球的直徑為正方體的棱長；4.球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長；5.利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解．8.已知函數(shù)滿足，，，當時，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由，列舉遞推出，再由，列舉遞推出，又因為當時，，即可得到答案.【詳解】由題意得，，故，，，，，，，，，，，，，，綜上，當時，，當時，，，，故選：A二、多選題：本題共3小題，共分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.小華是一位籃球愛好者，每天堅持投籃訓練，每天至少訓練10組，每組投籃50次，且每一組投籃命中的次數(shù)X服從正態(tài)分布，則（）參考數(shù)據(jù)：，，A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】對于A、B選項，根據(jù)變量符合正態(tài)分布，可得出和的值，對于C、D選項，根據(jù)原則，可計算出、的值.【詳解】由題意可得，X服從正態(tài)分布，則，，故A正確，B錯誤，，故C錯誤，，故D正確.故選：10.已知p，r為正數(shù)，圓，拋物線，則（）A.當圓C與E有公共點時，B.當E在點處的切線與圓C相切時，C.E上一點M到點和圓心C距離之和的最小值為3pD.當時，直線被圓C所截弦長的最小值為【答案】BC【解析】【分析】對于A，圓心為的焦點，故只需滿足即可；對于B，設出E在點處的切線方程，與拋物線聯(lián)立，令求解即可判斷；對于C，問題可轉化為E上一點M到點和焦點距離之和的最小值，用拋物線定義即可判斷；對于D，直線恒過點，求出圓心與直線的最大距離，再求出弦長的最小值即可判斷.【詳解】對于選項A，由題意可知圓心為拋物線的焦點，要使圓C與E有公共點時，只需頂點在圓上或圓內，則，即，故選項A錯誤;對于選項B，由題意可知點在拋物線E上，設E在點處的切線方程為，聯(lián)立，消去y得，則C到切線的距離，所以，故選項B正確;對于選項C，由題意可知拋物線E的焦點為，準線方程為，則M到點和圓心C距離之和的最小值為點到準線的距離，即為3p，故選項C正確;對于選項D，直線可化為，則直線恒過點時，點在圓內，圓心與直線的最大距離，所以直線被圓C所截弦長的最小值為，故選項D錯誤.故選：BC.已知函數(shù)，則（）A.，B.當時，有三個零點C.若圖象上存在四點構成正方形，則a的最大值為D.存在a，b使得滿足方程的曲線與y軸有三個交點【答案】ACD【解析】ABBC離參數(shù)法求a的取值范圍即可得到a的最大值；對于D選項，令，則，令，利用導數(shù)研究性質，從而得解.【詳解】對于A，，故A正確;對于B，，當時，，單調遞增，故至多有一個零點，故B錯誤;對于C，若圖象上存在四點A、B、C、D構成正方形，易得直線AC、BD的斜率存在且不為0，由A選項可得的圖象關于點對稱，設直線，則，設，，正方形的對角線互相平分，，，則，聯(lián)立，，故，，，故，所以，則，，，，；對于D，令，則，令，，令得，，在上，，故在上單調遞增，在上，，故在上單調遞減，在上，，故在上單調遞增，又，，故時，有三個不同的解，，，令，則等價于，根據(jù)的圖象特征知，存在a使得有3個不同的解，故D正確，故選：【點睛】關鍵點點睛：對于D選項，令，則，令，利用導數(shù)研究函數(shù)性質，從而得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則公差__________.【答案】2【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，列出方程組，即可求解公差.【詳解】解：因為，，所以，即，解得，即等差數(shù)列的公差故答案為：13.若曲線與曲線存在公切線，則a的取值范圍為__________．【答案】【解析】與曲線存【詳解】由，則，設切點為，切線斜率為，所以，切線為，即，由，則，設切點為，切線斜率為，所以，切線為，即，根據(jù)題設，若它們切線為公切線，則有，即，又，即且，即，由上關系式并消去并整理得在上有解，令，則，當，則，即，此時遞增；當，則或，即或，此時遞減；又，，所以，即.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：設切點并寫出兩曲線對應的切線方程，根據(jù)公切線列方程組，注意切點橫坐標及參數(shù)a范圍，進而轉化為方程在某區(qū)內有解問題.14.陳某喜歡打排球和踢足球，他打算在連續(xù)三天假期中每天下午選其中一項進行體育鍛煉.如果某天選排球，第二天還選排球的概率為；如果某天選足球，第二天還選足球的概率為.若陳某第天隨機選其中一項，則陳某第天選排球的概率為__________.【答案】【解析】【詳解】利用相互獨立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式即可得出.【分析】設表示第天選排球，表示第天選足球，設陳某第3天選排球為事件，則，則事件是由，，，四個互斥事件和構成，即，所以.故答案為：事件是由，，，四個互斥事件和構成.四、解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（1）求（2）若，，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】1）利用二倍角的正弦、余弦公式以及輔助角公式可得，從而可求的值；（2，求的周長.【小問1詳解】由可得從而化簡得，，，故【小問2詳解】由，可得，即即，，，所以，在中，由正弦定理，，解得，故的周長為16.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，焦距為4，P為C上一點，，的面積為（1）求C的方程;（2）已知點，斜率為1的直線l與C交于A，B兩點，若的面積為，求l的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】1）根據(jù)余弦定理和面積公式列方程求解即可；（2）利用弦長公式和點到直線的距離公式表示的面積即可求解.【小問1詳解】由題意可知，，在中，由，得，由，解得，又由余弦定理得，，化簡得，即，，從而，所以，雙曲線方程為.【小問2詳解】設直線l的方程為，與雙曲線相交于，，聯(lián)立化簡可得，由，可得，，，所以，，第14頁/共20頁設點到直線l的距離為d，則，故，解得故l的方程為.17.如圖，在三棱錐中，，E為棱SB的中點，O為棱AB上一點，平面（1）若，證明：平面（2）若，，求直線OE與平面SAC所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1）連接OC，借助全等三角形和三角形中位線性質推出，根據(jù)線面平行的判定定理，即可求證；（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)向量法求解.【小問1詳解】連接OC，平面ABC，，又，，，所以O為AB的中點，而E為SB中點，又平面SAC，平面SAC，平面SAC.【小問2詳解】由題意，，，，又平面ABC，平面ABC，，在中，，，如圖，以點C為坐標原點，CA，CB所在直線為x軸、y軸，過點C且平行于SO的直線為z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，設平面SAC的一個法向量為，則，即，取，設直線OE與平面SAB所成角為，則，18.已知函數(shù)（1）當，時，證明：；（2）若，對，不等式恒成立，求的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】1）構造函數(shù)，利用導數(shù)研究的單調性，再研究原函數(shù)的單調性可得結果；（2）當時，不等式可化為，不妨設，則，當時，，在R上單調遞增，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究最值可得.【小問1詳解】證明：由題意，因為，，所以，所以只需證，即證，設，則，令，則，故在單調遞增，而，，從而存在，使得，即，所以，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，因此，，所以，，即原不等式得證.【小問2詳解】當時，不等式可化為，不妨設，則，當，即時，，在R上單調遞增，此時當時，，與矛盾，故不符題意；當時，則，當時，，解得，于是當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減.故，即，由于，故，于是，令，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.所以，，此時，，因此，當，時，的最大值為【點睛】思路點睛：利用導數(shù)證明不等式和恒成立問題時，經(jīng)常轉化為函數(shù)最值問題，利用導數(shù)進行研究，有時需要多次求導，利用二次導數(shù)判斷一次導數(shù)的單調性和最值，進而判斷原函數(shù)的單調性和最值.19.給定數(shù)列，，，，定義“變換”為將數(shù)列變換成，，，這種“變換”記作數(shù)列進行“變換”，得到數(shù)列，，依此類推，當?shù)玫降臄?shù)列各項為0時變換結束.（1）求數(shù)列，4，2，9經(jīng)過4次“變換”后得到的數(shù)列;（2）證明：數(shù)列，，經(jīng)過有限次“變換”后能夠結束的充要條件是（3）已知數(shù)列，2，2028經(jīng)過K次“變換”后得到的數(shù)列各項之和最小，求K的最小值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）508【解析】1）根據(jù)定義直接寫出即可;（2）從充分性和必要性兩方面求證即可;（3）求出數(shù)列a，4經(jīng)過6次“變換”后得到的數(shù)列結構也是形如a，4的數(shù)列，僅除4之外的兩項均減小24，得數(shù)列經(jīng)過次“變換”后得到數(shù)列6，10，4，接下來經(jīng)過“變換”依次得到4，6，2，2，4，2，2，2，