2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)高三年級上冊10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷

一、選擇題共10小題,每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的

一項.

_(7=(xlx>0)_.J1=[x\2<x<3)A=,、

1.已知全集11兀集合11則%()

A.(O,2]U[3,+(x>)B.(O,2)u(3,+⑹

C.(-00,2]U[3,+00)D.(-00,2)U(3,+00)

2.若等差數(shù)列｛%｝和等比數(shù)列也｝滿足q=偽，?2=b2=2,%=8，則也｝的公比為

()

A.2B.-2C.4D.-4

3.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，角a與角尸均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于直線V=x對

3八

稱.若sina=不，則cos夕=()

4433

A.——B.-C.--D.-

5555

4.若點"(1,1)為圓C:X2+J?-4X=0的弦AB的中點，則直線AB的方程是()

A.x-y-2=0B.x+y-2=0

C.x-y=0D,x+y=0

5.已知。是邊長為2的正△ZBC邊5C上的動點，則方石的取值范圍是()

A.[V3,4]B.[V3,2]

C.[0,2]D.[2,4]

6.若a〉b〉0,則①：〉一；②；>,--；@y/a+1—Jb+1>\[a—y[b■上述結(jié)論中,

babb+1

所有正確結(jié)論的序號是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

7.若命題“HxeR,x2+2x+加K0”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是()

Am<lB.“zWlC.m>\D.m>\

戶+a

8.“a=1”是“函數(shù)/（燈=土型具有奇偶性，，的（

2x-a

A充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分

也不必要條件

9.已知函數(shù)/（x）=3，一2",則（）

A./（x）在R上單調(diào)遞增B,對VxeRJ（x）＞-l恒成立

C.不存在正實數(shù)a,使得函數(shù)y=/9。為奇函數(shù)D.方程/（X）=X只有一個解

ax

10.如圖為某無人機飛行時，從某時刻開始15分鐘內(nèi)的速度憶（x）（單位：米/分鐘）與時間X

（單位：分鐘）的關(guān)系.若定義“速度差函數(shù)”V（x）為無人機在時間段［0,司內(nèi)的最大速度與

最小速度的差，則v（x）的圖像為（）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)/（x）='+lnx的定義域是.

12,直線I:x+y=l截圓x2+y2-2x-2y=0的弦長=.

13.如圖，在四棱錐尸-48CZ）中，底面ABCD為正方形，底面ABCD,PA=AB=2,

E為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點，平面AEF與平面PBC（填“垂直”

或“不垂直，，)；的面積的最大值為

,,“、X

14.設(shè)函數(shù)/(x)=2<-2l.x<a

[x+a,x>a

①若a=—2,則f(x)的最小值為.

②若/(x)有最小值，則實數(shù)。的取值范圍是.

15.設(shè)數(shù)列｛%,｝的前〃項和為S1,，％〉0,給出下列四個結(jié)論：

①｛%｝是遞增數(shù)列；②V2eR,｛%｝都不是等差數(shù)列；

③當(dāng)2=1時，%是｛4｝中的最小項；④當(dāng)時，52023>2022.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在V48C中，角4瓦。所對的邊分別為華“c,已知從+°2=/+加.

(1)求A的大小；

(2)如果cos3=46,b=2,求V48C的面積.

3

17.已知函數(shù)/(x)=sin(ox+9)，〉0，M<[,x=?是函數(shù)/(x)的對稱軸，且/(x)在

區(qū)間序和上單調(diào).

(1)從條件①、條件②、條件③中選一個作為已知，使得/(x)的解析式存在，并求出其解

析式；

條件①：函數(shù)/(x)的圖象經(jīng)過點

條件②：。,0是/(X)的對稱中心;

條件③：是的對稱中心?

/r-|\

7T

（2）根據(jù)（1）中確定的/Xx）,求函數(shù)y=/（x）xe0,-的值域.

VL2

18.如圖，矩形ABCD和梯形平面ABEF_L平面ABCD,且

AB=AF=2,AD=EF=1,過DC的平面交平面ABEF于MN.

(1)求證:。C//4W；

(2)當(dāng)M為BE中點時，求平面ABCD與平面。CW的夾角的余弦值;

(3)當(dāng)M為BE中點時，求點E到平面。CW的距離;

19.已知函數(shù)/1（無）=1（研2-x+1）.

(1)求曲線歹=/(%)在點(0,/(0))處的切線的方程；

(2)若函數(shù)/(x)在x=0處取得極大值，求。的取值范圍；

(3)若函數(shù)/(x)存在最小值，直接寫出。的取值范圍.

20.已知/(x)=Asinx+2x.

(1)當(dāng)k=2時，判斷函數(shù)/(x)零點的個數(shù)；

(2)求證：-sinx+2x>ln(x+l)(xe(0,3)；

(3)若〃x)>ln(x+l)在恒成立，求k的最小值.

21.若數(shù)列｛an｝的子列K_J(Z=0,1,2,---,A;-1)均為等差數(shù)列,則稱｛%｝為k階等差數(shù)列.

⑴若%=〃,數(shù)列｛*｝的前15項與｛%｝的前15項中相同的項構(gòu)成數(shù)列也｝,寫出也｝

的各項，并求也｝的各項和；

(2)若數(shù)列｛4｝既是3階也是4階等差數(shù)列，設(shè)｛%"一2｝，｛。3”一1｝，K｝的公差分別為4，4，?

(i)判斷4,d2“3的大小關(guān)系并證明；

(ii)求證：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列.

2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測試卷

一、選擇題共10小題,每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的

一項.

_(7=(xlx>0)_.J1=[x\2<x<3)A=,、

1.已知全集11兀集合11則%()

A.(O,2]U[3,+(x>)B.(O,2)u(3,+⑹

C.(-00,2]U[3,+00)D.(-00,2)U(3,+00)

【正確答案】B

【分析】由補集定義可直接求得結(jié)果.

【詳解】???。=(0,+8),/=[2,3],.Z=(0,2)U(3,+8).

故選：B.

2.若等差數(shù)列｛2｝和等比數(shù)列也｝滿足q=4，4=8=2,%=8，則也｝的公比為

()

A.2B.-2C.4D.-4

【正確答案】B

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量運算可得見=濟=-1,然后利用等比數(shù)列的概念結(jié)合條件即

得.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,等比數(shù)列也“｝的公比為q,

則&=8=g+2d=2+2d,

所以d=3,

a2=b2=2=^+3,ax=bx=—1,

所以q=U=-2?

故選：B.

3.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，角a與角廳均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于直線V=x對

3

稱.若sin(z=M，貝ijcos，=()

4433

A.——B.-C.——D.-

5555

【正確答案】D

【分析】根據(jù)對稱關(guān)系可得。+夕=?+2左左（左eZ）,利用誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.

【詳解】?"二》的傾斜角為工，\a與萬滿足&+夕=2x^+2版^=-+2左〃（keZ）,

442

故選：D.

4.若點為圓C：/+y2-4x=0的弦4B的中點，則直線48的方程是（）

A.x—y—2—0B.x+y—2=0

C.x-y=0D.x+y=Q

【正確答案】C

【分析】由垂徑定理可知MC,45,求出直線45的斜率，利用點斜式可得出直線48的方

程.

【詳解】圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程方程為（x—2『+/=4,—2『+12<4,即點M在圓C內(nèi)，

圓心C（2,0）,kMC=^=-1,由垂徑定理可知貝！IKB=1,

1—2

故直線48的方程為y—l=x—1,即X—y=o.

故選：C.

5.已知。是邊長為2的正△48。邊上的動點，則在萬的取值范圍是（）

A.[A4]B.[V3,2]

C.[0,2]D.[2,4]

【正確答案】D

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可得|4D|cosND45e[l,2],再由

AB-AD=\AD\\AB\cosZDAB即可求范圍.

【詳解】由。在邊8C上運動，且△48。為邊長為2的正三角形，

所以0WZDZ8W2,貝”萬卜os/ZX48e[l,2],

由刀.而=|而||刀|cosZDA8e[2,4].

故選：D

6.若a〉b〉O,則①：〉一；②不>；—-；@-Ja+1—y/b+1>y[a—y/b-上述結(jié)論中,

babb+1

所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【正確答案】A

【分析】對①，由兩邊同除ab化簡即可判斷；

對②，由。>6得。+的〉6+品，兩邊同除6伍+1)化簡即可判斷；

對③，先移項得Ja+1—>J/+1—，可化為//=>/尸，即可比較

'\a+l+y/a-Jb+1+y/b

分母大小判斷

【詳解】對①，a>b>Q^—>—,即工>1，①對；

ababba

對②，由a>b>0na+ab>b+abna(b+l)>b(a+1),貝(J

Q0+1)Z)(tz+1)aa+1_

b[b+\)>b[b+\)^b>'b+\，②對；

對③，由

Ja+1-J/)+1〉yju--\[bJa+1--\/u>y/b+1—yjb<=^>-/---廣〉-/---『,

Ja+l+Ja或+1+逃

則J^TT+JF>而開+G，與。>力>0矛盾，③錯；

故選：A

7.若命題“1IWR,X2+2X+加工0”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是（）

A.m<lB.W1C.m>lD.m>l

【正確答案】B

【分析】不等式能成立，等價于方程有實數(shù)解，用判別式計算求參數(shù)即可.

【詳解】由題可知，不等式f+2x+加W0在實數(shù)范圍內(nèi)有解，

等價于方程-+2x+加=0有實數(shù)解，

即A=4-4m>0,解得加W1.

故選：B.

8.“4=1”是“函數(shù)片》）=3^具有奇偶性”的（）

'）2x-a

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C,充分必要條件D.既不充分

也不必要條件

【正確答案】A

【分析】根據(jù)充分、必要性的定義，及奇偶性的定義求參數(shù)a,判斷題設(shè)條件間的關(guān)系即可.

V1

【詳解】當(dāng)0=1時/（X）=土+上，則定義域為{x|xwO},

2X-1

xX

/（—x）=上y-上+1=上1+二2=—T3+三1=—/（x）,故/（x）為奇函數(shù)，充分性成立；

2"x-l]-2，2*-1

若/（X）=立tq具有奇偶性，

2、-a

當(dāng)/（X）為偶函數(shù)，則/（—x）=z二q=?上2=/（x）,

Tx-a\-a-T

1

g,P+a\+a-2卜—十一-T-H

所以-----=--------恒成"，可得a=0A；

T-a\-a-T

當(dāng)/（x）為奇函數(shù)，則/（_》）=與±3=*三=—/（x）,

所以—±±3=[+入2、恒成立,可得。=1或。=一1；

T-a\-a-T

所以必要性不成立;

綜上，“0=1”是“函數(shù)/(%)=尸Y區(qū)+a具有奇偶性”的充分而不必要條件.

故選：A

9.已知函數(shù)/(乃=3工—2工，則()

A./(x)在R上單調(diào)遞增B,對VxeR,/(x)>-l恒成立

C.不存在正實數(shù)a,使得函數(shù)y=(因為奇函數(shù)D.方程f(%)=X只有一個解

ax

【正確答案】B

【分析】對/(x)求導(dǎo)，研究/'(X)在x20、x<0上的符號，結(jié)合指數(shù)幕的性質(zhì)判斷/'(X)零

點的存在性，進而確定單調(diào)性區(qū)間、最小值，進而判斷A、B的正誤；利用奇偶性定義求參數(shù)

a判斷C；由/(0)=0、/⑴=1即可排除D.

3

【詳解】由/'(x)=3Un3—2、In2=2、[(萬)Un3—In2],而2、>0，

當(dāng)xNO時/'(x)〉0,即(0,+8)上遞增,且"x)=3"-2、>0恒成立;

而x<0,令/'(x)=0,可得所以*=/<0使(3戶=電2,

2In32In3

綜上，(-8"0)上/'><0*/(X)遞減；(%,+8)上/'0)>0,/(X)遞增；故在R上不

單調(diào)遞增，A錯誤;

所以x二/時，有最小值/(%)=3與一2%。—(4)X°]=3*°(1—上士)，而0<3/<1，

3In2

i3<o,

ln2

所以----->1-----=—1,故Vx￡RJ(x)>—1恒成立，B正確;

In2In2

令y=g(x)=一乎為奇函數(shù)且。>0，則g(—x)=3一、—2r/、3%—2\一卡一

^z^=-g(x)=一『恒成

a

所以/(2'—3、)=2工恒成立,則。=后滿足要求，C錯誤;

6rxXa

顯然/(0)=3°—2°=0,故x=0為一個解，且/(1)=3—2=1,即x=l為另一個解，顯然

不止有一個解，D錯誤.

故選：B

關(guān)鍵點點睛：A、B判斷注意分類討論/'(x)的符號，結(jié)合指數(shù)幕的性質(zhì)確定導(dǎo)函數(shù)的零點位

置，C、D應(yīng)用奇偶性定義得到等式恒成立求參、特殊值法直接確定/(x)=x的解.

10.如圖為某無人機飛行時，從某時刻開始15分鐘內(nèi)的速度憶(x)(單位：米/分鐘)與時間x

(單位：分鐘)的關(guān)系.若定義“速度差函數(shù)”v(x)為無人機在時間段[0,司內(nèi)的最大速度與

最小速度的差，則v(x)的圖像為()

【正確答案】C

【分析】根據(jù)速度差函數(shù)的定義，分xe[0,6],XG[6,10],Xe[10,12],xe[12,15]四種情況,

分別求得函數(shù)解析式，從而得到函數(shù)圖像.

40

【詳解】由題意可得，當(dāng)xe[0,6]時，無人機做勻加速運動，V(x)=60+—x,“速度差函

皿，、40

數(shù)"v(x)=§x；

當(dāng)xe[6,10]時，無人機做勻速運動，K(x)=140,“速度差函數(shù)”v(x)=80；

當(dāng)xe[10,12]時,無人機做勻加速運動，F(xiàn)(x)=40+10%,“速度差函數(shù)”v(x)=-20+10x；

當(dāng)xe[12,15]時，無人機做勻減速運動，“速度差函數(shù)“v(x)=100,結(jié)合選項C滿足“速度差

函數(shù)”解析式，

故選：C.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)/(x)=—匚+lnx的定義域是.

X1

【正確答案】(O,l)u(l,+s).

【分析】

根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.

x-lH0

【詳解】由題意得，｛八

故答案為.(o,i)U(i,+s)

本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

12,直線/：X+>=1截圓/+y2—2x—2y=。的弦長=.

【正確答案】V6

【分析】由圓的弦長與半徑、弦心距的關(guān)系，求直線1被圓C截得的弦長.

【詳解】線1的方程為x+y—l=0,圓心C(l,l)到直線1的距離dJ二

712+122

此時直線1被圓C截得的弦長為2飛戶—虐=2*—g=R.

故答案為.6

13.如圖，在四棱錐P—中，底面ABCD為正方形，P/工底面ABCD,PA=AB=2,

E為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點，平面AEF與平面PBC(填“垂直”

或“不垂直”)；/\AEF的面積的最大值為.

【正確答案】①.垂直②.V3

【分析】根據(jù)線面垂直的的性質(zhì)定理，判定定理，可證平面PBC,根據(jù)面面垂直的判

定定理，即可得證.分析可得，當(dāng)點F位于點C時，面積最大，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.

【詳解】因為尸/l底面ABCD,平面ABCD,

所以

又底面ABCD為正方形，

所以48L8C,

又45npz=4,4B,R4u平面04g,

所以平面尸45,

因為ZEu平面048,

所以

又PA=AB=2,

所以△尸48為等腰直角三角形，且E為線段PB的中點，

所以,

又BCcPB=B,8。,必＜=平面PBC,

所以ZE，平面PBC,

因為ZEu平面AEF,

所以平面AEF1與平面PBC.

因為平面PBC,EEu平面PBC,

所以/￡_LEF,

所以當(dāng)即最大時，△ZEE的面積的最大，

當(dāng)F位于點C時，EF最大且EF==戈，

所以△ZEE的面積的最大為工xj^x遍=V3.

2

故垂直；V3

,,“/、[2X-l.x<a

14.設(shè)函數(shù)/(%)=<7

[x+a.x>a

①若a=—2,則/(x)的最小值為.

②若/(x)有最小值，則實數(shù)。的取值范圍是.

【正確答案】①.-2②.a<-l

【分析】對①，分別計算出每段的范圍或最小值即可得；對②，由指數(shù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)沒有

最小值，可得存在最小值則最小值一定在x2。段，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得.

2、-1x<-2

【詳解】①當(dāng)〃=—2時，/(')=2'，

x—2,x2—2

則當(dāng)x<—2時，/(x)=2'—1,—

當(dāng)xN—2時，/(X)=X2-2>-2,

故/(x)的最小值為—2；

2X_1x<a

②由/(%)=｛,則當(dāng)x<a時，/(x)=2x-le(-l,2a-l),

[x+a,x>a

由/(X)有最小值，故當(dāng)X2a時，/(x)的最小值小于等于-1,

則當(dāng)aW—l且xNa時，有/(%,諱=a<-1,符合要求；

當(dāng)。>一1時，y=X2+a>a>,故不符合要求，故舍去.

綜上所述，a<-l.

故—2；aV-1.

15.設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為J,q〉0,%+]4—a：=%(%eR).給出下列四個結(jié)論：

①｛%｝是遞增數(shù)列；②VXeR,｛%｝都不是等差數(shù)列；

③當(dāng);1=1時，%是｛4｝中的最小項；④當(dāng)22；時，52023>2022.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【正確答案】③④

【分析】利用特殊數(shù)列排除①②，當(dāng)2/0時顯然有%w0,對數(shù)列遞推關(guān)系變形得到

%+1=—+%，再判斷③④即可.

an

【詳解】當(dāng)數(shù)列｛%｝為常數(shù)列時，4+性“一1=0，｛%｝不是遞增數(shù)列，是公差為0的等差

數(shù)列，①②錯誤；

,1

當(dāng);1=1時，an+ian-a；=1,顯然有a.wO,所以%+1=—+%,,又因為為〉0,所以由遞

an

推關(guān)系得％〉0,

所以an+\~an~〉0,故數(shù)列｛%,｝是遞增數(shù)列，為是｛?！埃械淖钚№?，③正確；

an

當(dāng)時，由③得％〉0,所以由基本不等式得4+1=4+4=2忘21,

4%

2

當(dāng)且僅當(dāng)一=%時等號成立，所以的+%+…+々02322022,所以與23>2022,④正確.

an

故選：③④.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在V4BC中，角48,C所對的邊分別為“c,已知/+'2=/+兒.

（1）求A的大??；

（2）如果cosB=YS,6=2,求V48C的面積.

3

【正確答案】（1）-；（2）3行+百

32

【分析】（1）利用余弦定理的變形：cos/=.+c—―礦即可求解.

2bc

(2)利用正弦定理求出。=3,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和性質(zhì)以及兩角和的正弦公式求出sinC,

由三角形的面積公式即可求解.

【詳解】(1)b2+c2=a2+bc。

由余弦定理可得cosZ="+b

2bc2

77

又因為0<4<乃，所以/=彳.

3

(2)由cos3=^^，0<B<7if

3

_______反

所以sin5=Vl-cos2B-——，

3

在VZBC中，由正弦定理可得一乙

sinAsinB

sinC=sin(^4+=sin^4cosB+cosAsinB

V3V61V33V2+V3

二X--------1——X=---------------------

23236

所以V4BC的面積SARC=-absmC=^^

△/toe22

本題考查了余弦定理、正弦定理解三角形、三角形的面積公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

17.己知函數(shù)/(x)=sin(s:+9)[①〉0,附<彳],x=工是函數(shù)/1(x)的對稱軸，且/(x)在

上單調(diào).

6'3

(1)從條件①、條件②、條件③中選一個作為已知，使得/(x)的解析式存在，并求出其解

析式；

條件①：函數(shù)/(X)的圖象經(jīng)過點

條件②：是/（X）的對稱中心；

條件③：是/（X）的對稱中心?

7T

（2）根據(jù)（1）中確定的/Xx）,求函數(shù)y=/（x）xe0,-的值域.

\L2

【正確答案】（1）/（x）=sin（2x+-）

6

-1/

（2）--,1

【分析】⑴根據(jù)題意得到0<0<2和不X0+片左左+萬（左eZ）,

再根據(jù)選擇的條件得到第三個方程，分析方程組即可求解；

7T

（2）先求出2x+—所在的范圍，再根據(jù)圖像求出函數(shù)值域即可.

6

【小問1詳解】

（JT27rA27rTC

因為/（X）在區(qū)間7,k上單調(diào)，所以T一2二上一工71

163J236~2

―,271jr

因為廠同且。解得。<旌2；又因為、=不是函數(shù)/⑴的對稱軸,

所以不、刃+0=左"+,（左€Z）;

若選條件①：因為函數(shù)/（X）的圖象經(jīng)過點所以sin0=；,

因為|0|<三，所以0二工，所以巴X①+巴=kyr+三,即刃=6左+2（左wZ）,

26662

當(dāng)左=0時，2,滿足題意，故f（x）=sin（2x-\—）.

6

若選條件②：因為［0,0）是/（X）的對稱中心，所以gx①+°=加萬（加eZ）,

717兀

一X"r(P=k兀+一

62

所以《0<@42,此方程無解，故條件②無法解出滿足題意得函數(shù)解析式.

7C

—xa)+(p=m7r

若條件③：因為-4,0是/(%)的對稱中心，所以一x3+(p=m7i:{mwZ、,

717兀

—xa)+(p=k7i+一

6271

(0———71

所以<0<刃(2解得｛6,所以/(x)=sin(2x+-).

c6

5%

——乂3+3=匕1兀

12

【小問2詳解】

.71

由(1)知，/(x)=sin(2x+—),

6

/rTT-|\rrrJT

所以y=/(x)xe0—等價于/(x)=sin(2x+—),XG0—

IL92」J6L?2.

cnnIn.711

所以,所以sin(2x+7)￡——,1

66662

(九)1

即函數(shù)y=/(x)xe0,—的值域為.一5，1

IL2」JL2-

18.如圖，矩形ABCD和梯形48￡尸,4^_1_48,所//48,平面ABEFJ_平面ABCD,且

AB=AF=2,AD=EF=1,過DC的平面交平面ABEF于MN.

(1)求證:DC//4W;

(2)當(dāng)M為BE中點時，求平面ABCD與平面。CW的夾角的余弦值;

(3)當(dāng)M為BE中點時，求點E到平面￡>CW的距離；

【正確答案】(1)證明見解析

V21

V21

【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量求二面角即可；

(3)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)關(guān)系求解點E到平面。CW的距離即可.

【小問1詳解】

因為矩形Z8CZ),所以。C//48,

48匚平面/3跖，。。＜/平面48￡/，

所以。C//平面/3EF.

因為過。C的平面交平面ABE尸于MN，

由線面平行性質(zhì)定理，得。C//MN；

【小問2詳解】

由平面ABEF1平面ABCD其交線為AB,AF1AB,AFu平面ABEF

所以/P_L平面45cD,

又四邊形4BCD為矩形，所以以A為原點，以Z。、AB、/9為x，N，z軸建立空間直角坐

由四=4戶=2,力〃=砂=1,得8(0,2,0),￡(0,1,2),

D(l,0,0),C(l,2,0),則皮=(0,2,0),W=(-l,j,l)

2y=0

n-DC=0

設(shè)平面。CMV法向量萬=(x/,z),貝卜—.即＜3八，取z=l得

ii-DM=0-x+—y+z=0

萬=(1,0,1).因為2/上平面/BCD,設(shè)平面Z8CD法向量1^=(0,0,2),

記平面ABCD與平面DCMN的夾角為，,

n-AF2亞

所以cos。=

AF||?|-2xViZl_2，

即平面ABCD與平面DCMN的夾角的余弦值為—.

2

【小問3詳解】

因為平面。CW法向量為=(1,0,1).

\^CE\_1_V2

又因為赤=(—1,—1,2),所以點E到平面。CW的距離d=

問一正一3

19.已知函數(shù)/1（無）=1（研2-x+1）.

(1)求曲線歹=/(x)在點(0,/(0))處的切線的方程；

(2)若函數(shù)/(x)在x=0處取得極大值，求。的取值范圍;

(3)若函數(shù)/(x)存在最小值，直接寫出。的取值范圍.

【正確答案】(1)y=l

(2)(-co,-)

【分析】(1)先求導(dǎo)后求出切線的斜率/'(0)=0,然后求出直線上該點的坐標(biāo)即可寫出直線

方程；

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值分類討論；

(3)分情況討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和極限求解.

【小問1詳解】

解：由題意得：

f(x)=eT(ax2-x+1+2ax-1)=ex(ax2+2ax-x)

/(0)=0,/(0)=l

故曲線y=/(X)在點(0,/(0))處的切線的方程J=l.

【小問2詳解】

由(1)得要使得/(x)在x=0處取得極大值，/'(x)在x<0時應(yīng)該/(x)〉0,(x)在x〉0

時應(yīng)該/'(x)<0,

,//(x)=xex(ax+2a-1)

1—2a

故①Q(mào)<0且-----<0,解得〃<0

a

10-i

②a〉0且二^>0,解得0<。<—

a2

當(dāng)。=0時，/(x)=-xex,滿足題意；

當(dāng)。=—時，/(x)=-x2e\不滿足題意；

22

綜上：。的取值范圍為(-*g).

【小問3詳解】

可以分三種情況討論：①a<0②0<。(!③

22

1—2〃1—2a

若a<0,7(X)在(-叫一巴)上單調(diào)遞減，在(一巴,0)單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減,

aa

無最小值；

若0<。<,時，當(dāng)x<0時，X趨向時，/(X)趨向于0；當(dāng)x>0,要使函數(shù)取得存在

2

1r\l—2dir\ir\1—2a1

最小值/(匕二)=6?。?(上二)2—工^+1］=枇丁(4〃—1)(0,解得OvaV—,故

aaa4

x=匕網(wǎng)處取得最小值，故。的取值范圍.

aI4j

若a時，/(x)在x趨向—s時，/(x)趨向于0,又/(0)=1故無最小值；

綜上所述函數(shù)/(x)存在最小值，。的取值范圍］(),；.

20.已知己(x)=)sinx+2%.

(1)當(dāng)左=2時，判斷函數(shù)“X)零點的個數(shù)；

(2)求證：-sinx+2x〉ln(x+l)卜］。［)；

(3)若〃x)>ln(x+l)在xeO,］恒成立，求后的最小值.

【正確答案】(1)一個零點

(2)證明見解析(3)-1

【分析】(1)當(dāng)左=2時，求導(dǎo)得在R上單調(diào)遞增，又因為/(0)=0,即可求出/(x)零

點的個數(shù).

(2)^g(x)=2x-sinx-ln(x+l),求導(dǎo)得g(x)在xe上單調(diào)遞增，貝！|

g(x)>g(0)=0,即可證明.

(3)解法一：當(dāng)左2-1時，由(2)/(x)>-sinx+2x>ln(x+1),恒成立.

當(dāng)無<—1時,設(shè)〃(x)=/(x)—ln(X+l),判斷力(X)min〉O是否成立，即可求出答案.

解法二：/。)>皿》+1)在%€［()微］恒成立，令力(x)=/(x)—ln(x+l),轉(zhuǎn)化為求

〃(x)min>0.

【小問1詳解】

當(dāng)左=2時，/'(X)=2cosx+220,〃x)=2sinx+2x在R上單調(diào)遞增，/(0)=0,/(x)只

有一個零點x=0；

【小問2詳解】

設(shè)g(x)=2x-sinx-ln(x+l),當(dāng)xe［o,5］時，g'(x)=2-cosx———>0,所以g(x)在

(2)x+1

xe上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(。)=。，所以2x-sinx-ln(x+l)>0,

-sinx+2x>ln(x+1).

【小問3詳解】

解法一*當(dāng)左2-1時，由(2)/(x)>-sinx+2x>ln(x+1),恒成立.

當(dāng)上<_［時，設(shè)h(x)=f(x)-ln(x+1)=>h\x)=2+A：cos尤-nh\x)=-左sinxH---~~->0.

”(x)在上單增，〃(0)=4+1<0,"弓)=2-彳>o,

由零點存在性定理，存在/使得"(%)=0,

所以以X)在(0,%)上遞減，/z(xo)</z(O)=O,不等式不恒成立，所以左的最小值為-1.

解法二：設(shè)h(x)=f(x)-ln(x+1)=>h'(x)=2+Lcosx-----.

x+1

①當(dāng)左之一1時，h\x)=kcosx+2----->0,〃(x)在(0,—)單增，/z(x)>//(())=0,

x+12'

TT

/?>ln(x+1)在xe(0,9恒成立.

②當(dāng)上<—1時，設(shè)

A(x)=/(x)-ln(x+1)=>h\x)=2+左cosx---nh"(x)=一斤sinxH-----~->0

x+1(x+

"(x)遞增，h'(o)=k+i<o,"(5)=2-=>O,

1H-