上海市閔行區(qū)2024-2025學年高一上學期期末考試數(shù)學試題 含解析

閔行區(qū)高一期末數(shù)學區(qū)統(tǒng)考試卷2025.01一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙相應位置直接填寫結果．1.已知全集，集合，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)補集概念進行求解.【詳解】.故答案為：2.若，用有理數(shù)指數(shù)冪的形式表示______【答案】【解析】【分析】，結合指數(shù)冪運算法則進行求解.【詳解】，.故答案為：3.對任意，冪函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第______象限【答案】四【解析】【分析】分和兩種情況，得到圖像一定不經(jīng)過第四象限.【詳解】當時，若，則，此時冪函數(shù)經(jīng)過第二象限，若，則，此時冪函數(shù)經(jīng)過第三象限，當時，恒成立，此時冪函數(shù)經(jīng)過第一象限，故圖象一定不經(jīng)過第四象限.故答案為：四4.已知，則函數(shù)的值域為______【答案】【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得結論．【詳解】，值域是．故答案為：．5.命題“若，則”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為______【答案】【解析】【分析】根據(jù)命題的真假得出結論．【詳解】命題“若，則”是真命題，則，故答案為：．6.若，對任意且，函數(shù)的圖像必過定點______【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】令，則，，圖象過定點，故答案為：．7.已知是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則當時，______【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件得到時，，又f?x=?fx，求出答案【詳解】當時，，故，又y=fx是定義在R上的奇函數(shù)，故f所以，故.故答案為：8.用函數(shù)的觀點解關于x的不等式，可得解集為______【答案】【解析】【分析】設函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可解所求不等式.【詳解】設函數(shù)，定義域為，根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性可得，和都是上增函數(shù)，所以函數(shù)是上增函數(shù)，又，則不等式的解集為.故答案為：9.若，，則______【答案】1【解析】【分析】指數(shù)式化為對數(shù)式，結合換底公式得到.【詳解】由，得，，故，，故.故答案為：110.設，且函數(shù)是偶函數(shù)，若，則______【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)列出方程求解即可.【詳解】因為函數(shù)y=gx是偶函數(shù)，所以，即，又因為，所以，故答案為：.11.雅各布·伯努利（JakobBemoulli）是17世紀著名的數(shù)學家，他在概率論、數(shù)學分析及無窮級數(shù)等多個領域作出了重大的貢獻，對后世數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響．1689年，他提出了一個著名的不等式稱為伯努利不等式，其內(nèi)容如下：設，且，n為大于1的正整數(shù)，則．由此可知，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是______【答案】1【解析】【分析】由題意得當且時，，并得到當時，，當時，，從而得到最小值.【詳解】由題意得，當且時，，故，當時，，當時，，綜上，在上的最小值為1，此時.故答案為：112.若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則實數(shù)a的取值范圍為______【答案】【解析】【分析】先得到在上恒成立，參變分離得到，求出，故，再由在上有根，即在上有根，求出，需滿足，故.【詳解】由題意得在上恒成立，故，，故只需求出，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且或2時，，故的最大值為3，故，故，另外，在上有根，即，，故在上有根，根據(jù)的單調(diào)性可知，在處取得最小值，故，，要想在上有根，需滿足，綜上，.故答案為：【點睛】方法點睛：分離參數(shù)法基本步驟為：第一步：首先對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達式的不等式，第二步：先求出含變量一邊的式子的最值，通常使用函數(shù)單調(diào)性或基本不等式進行求解.第三步：由此推出參數(shù)的取值范圍即可得到結論.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只—個正確選項．考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13.下列四組函數(shù)中，同組的兩個函數(shù)是相同函數(shù)的是（）A.與 B.與C與 D.與【答案】D【解析】【分析】A選項，對應法則不同；BC選項，定義域不同，D選項，兩函數(shù)定義域和對應法則均相同，為同一函數(shù).【詳解】A選項，，，兩函數(shù)對應法則不同，故不是同一函數(shù)，A錯誤；B選項，令，解得，的定義域為，的定義域為R，兩函數(shù)定義域不同，不是同一函數(shù)，B錯誤；C選項，的定義域為0,+∞，的定義域為，兩函數(shù)定義域不同，不是同一函數(shù)，C錯誤；D選項，，，兩函數(shù)定義域和對應法則均相同，為同一函數(shù)，D正確.故選：D14.小明同學在用二分法研究函數(shù)在區(qū)間的零點時，發(fā)現(xiàn)，，，那么他下一步應計算（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由二分法的概念判斷．【詳解】由題意零點在區(qū)間上，因此應計算，故選：C．15.設、、、為實數(shù)，下列命題中成立的是（）A.如果，那么 B.如果，那么C.如果，，那么 D.如果，，那么【答案】A【解析】【分析】對于A、B選項，利用不等式的性質(zhì)可判斷原命題的真假；對于C、D選項，取特殊值可判斷原命題的真假.詳解】對于A，若，則，顯然成立，選項A正確；對于B，若，當時，，當時，，選項B錯誤；對于C，令，滿足，，但是，不滿足，選項C錯誤；對于D，令，滿足，，但是，不滿足，選項D錯誤，故選：A.16.已知m、n都是實數(shù)，，若函數(shù)的值域為R，且對任意的實數(shù)t，關于x的方程有且只有一個實數(shù)解，則滿足題意的實數(shù)對的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)【答案】B【解析】【分析】再同一坐標系內(nèi)畫出和的圖象，數(shù)形結合得到，且時滿足題目中的兩個條件，其他情況不合要求，得到答案.【詳解】定義域為，其在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，定義域為R，且，故為偶函數(shù)，當x∈0,+∞時，單調(diào)遞增，由復合函數(shù)單調(diào)性得單調(diào)遞減，同一坐標系內(nèi)，畫出和的圖象，如下：的值域為R，顯然，若，此時不滿足值域為R，若，此時y=fx圖象如下：滿足值域為R，但不滿足關于x的方程有且只有一個實數(shù)解，不合要求，若，此時y=fx圖象如下：滿足值域為R，也滿足關于x的方程有且只有一個實數(shù)解，滿足要求，若，此時y=fx的值域不為R，舍去，綜上，滿足要求，即滿足要求的只有1個，即?3,2.故選：B【點睛】方法點睛：方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點之和問題，通?？紤]圖象的對稱性進行解決.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）17.已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根為、．（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）由判別式大于0可得；（2）由韋達定理求解．【小問1詳解】由題意，解得或，的范圍是．【小問2詳解】由題意，，所以，解得，又，所以，即．18.已知，．（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若，證明：在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)．【答案】（1）奇函數(shù)，理由見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先判斷定義域是否關于原點對稱，再根據(jù)與的關系判斷即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義證明即可.【小問1詳解】y=fx的定義域為，關于原點對稱，，根據(jù)函數(shù)奇偶性定義知，為奇函數(shù)；【小問2詳解】時，，設，則因為，所以，，所以，即，即，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義知，y=fx在區(qū)間上是嚴格增函數(shù)．19.當某外來物種進入某地區(qū)時，種群數(shù)量會先緩慢增長，然后再加速增長，再然后增速減緩，最終與當?shù)丨h(huán)境達到自然平衡（如圖所示）．數(shù)學生物學研究表明，種群數(shù)量與時間t的關系可以用邏輯斯蒂方程（LogisticEquation）：來表示，其中K表示環(huán)境容量（特定環(huán)境能夠穩(wěn)定承載的最大種群數(shù)量），表示種群初始數(shù)量，r表示物種內(nèi)稟增長率（沒有環(huán)境限制時種群數(shù)量的固有增長率）．某環(huán)境保護組織計劃對一個新建的池塘放養(yǎng)某魚類F．已知池塘對魚類F的環(huán)境容量為1000條，初始投入100條，魚類F的年內(nèi)稟增長率為30％．（1）預計放養(yǎng)5年后的同一天，該池塘里有魚類F多少條?（結果保留整數(shù)）（2）如果某一天與它前一年同一天相比，魚類F的年增長率小于或等于5％，則稱此時魚類F與當?shù)丨h(huán)境接近自然平衡．問至少需要經(jīng)過多少年魚類F才能與池塘環(huán)境接近自然平衡?（結果保留整數(shù)），其中，，，【答案】（1）333（2）14【解析】【分析】（1）代入數(shù)據(jù)，得到，計算出，得到答案；（2）得到不等式，求出，故至少14年魚類F才能與池塘環(huán)境接近自然平衡.【小問1詳解】由題意得，當時，，預計放養(yǎng)5年后的同一天，該池塘里有魚類F條數(shù)為333；【小問2詳解】由題意得，化簡得，其中，，，由于單調(diào)遞減，當時，，當時，，解得，故至少14年魚類F才能與池塘環(huán)境接近自然平衡.20.在平面直角坐標系中，若點，，稱為A，B兩點的絕對和，記為．（1）若，，求；（2）已點，點在直線上，證明；（3）已知點，，動點在函數(shù)，的圖象上，記的最大值為，求函數(shù)的最小值．【答案】（1）（2）證明見詳解（3）【解析】【分析】（1）由Ax1,y1（2）根據(jù)點在直線上，設點，代入兩點絕對和公式，再利用絕對值不等式即可證明；（3）易知，設，.根據(jù)函數(shù)的奇偶性，只需討論在的最大值.對參數(shù)進行分類討論，去絕對值，研究二次函數(shù)單調(diào)性與最值即可求得，再根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】，，∴由題知.【小問2詳解】∵點在直線上，∴設.，.由絕對值不等式可知：，當且僅當，即時等號成立..【小問3詳解】∵動點在函數(shù)，的圖象上，∴設，.，.設，.則的定義域關于原點對稱，且，∴函數(shù)，為偶函數(shù)，故只需研究函數(shù)在的最大值即可.當時，，，由二次函數(shù)性質(zhì)可知：圖象開口向上，對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，；當時，，，由二次函數(shù)性質(zhì)可知：圖象開口向下，對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；當時，令得，，由二次函數(shù)性質(zhì)可知：開口向下，對稱軸為；開口向上，對稱軸為，故在上單調(diào)遞增.①當，即時，在上單調(diào)遞增，此時，，；②當，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時，，.綜上，.當時，在上單調(diào)遞減，；當時，在上單調(diào)遞增，.∴函數(shù)的最小值為.【點睛】本題為新定義題型，在理解題意的基礎上寫出函數(shù)，再利用分類討論和數(shù)形結合思想研究二次函數(shù)最值即可.21.已知集合，n是正整數(shù)，，…，，都是實數(shù)．若，則稱A為n元“M集”，記作．（1）判斷是否為真命題；（2）若，x、y均為正實數(shù)，求的取值范圍；（3）若，，，且，．記，．證明：當時，對任意實數(shù)x恒成立，且．【答案】（1）為真命題，理由見解析（2）（3）證明過程見解析【解析】【分析】（1）驗證滿足，故為真命題；（2）由題意得到，變形得到，結合，求出，進而得到的取值范圍；（3）首先得到，，又，作差變形得到，從而得到