安徽省安慶市2022屆高三下學(xué)期二模理科數(shù)學(xué)試題 附解析

2022年安慶市高三模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試題（理）第Ⅰ卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【1題答案】【答案】C【解析】【分析】先解出集合A、B,再求.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C.2.復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)m＝（）A2 B.1 C.－1 D.－2【2題答案】【答案】C【解析】【分析】設(shè)，代入后，由復(fù)數(shù)相等的條件列方程求出m.【詳解】設(shè)，則，有，由復(fù)數(shù)相等得到.故選:C3.命題p：，，則為（）A， B.，C.， D.，【3題答案】【答案】D【解析】【分析】化簡(jiǎn)命題“，”，結(jié)合全稱命題與存在性命題的關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意，命題“，”可化為命題“，”根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系得：命題“，”的否定“，”.故選：D.4.拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在拋物線上.若，則直線AF的斜率為（）A. B. C. D.【4題答案】【答案】B【解析】【分析】設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)，由焦半徑公式得到A點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出A點(diǎn)縱坐標(biāo)，求出直線AF的斜率.【詳解】由題意得：，設(shè)點(diǎn)，則，故，，故點(diǎn)A坐標(biāo)為或，所以直線的斜率為.故選：B.5.已知，，則（）A. B. C. D.或1【5題答案】【答案】A【解析】【分析】對(duì)條件進(jìn)行平方得到關(guān)于的一元二次方程，求出，再利用輔助角公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由已知，，平方得，由于，所以，解得：或（舍去），所以，故.故選：A.6.圓錐被過(guò)頂點(diǎn)的一個(gè)截面截取部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示，則截取部分幾何體的體積為（）A. B. C. D.【6題答案】【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖畫出幾何體的直觀圖，則可得截去部分是圓錐的三分之一中再截去一個(gè)三棱錐，從而可求出其體積【詳解】解：如圖，圓錐底面半徑為2，高為3，，，，截取的幾何體的體積.故選：A.7.我國(guó)唐代著名的數(shù)學(xué)家僧一行在著作《大衍歷》中給出了近似計(jì)算的“不等間距二次插值算法”，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可表述為：若，，，則在閉區(qū)間上函數(shù)可近似表示為：，其中，，.已知函數(shù)，，分別取，，，則用該算法得到（）A. B. C. D.【7題答案】【答案】D【解析】【分析】按照題目中給的定義計(jì)算出，再代入即可.【詳解】根據(jù)條件可知，，，所以，所以.故選：D.8.已知函數(shù)，的最小正周期為，將其圖象沿x軸向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的最小值為（）A. B. C. D.【8題答案】【答案】B【解析】【分析】由已知，先對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)最小正周期為，求解出，然后根據(jù)題意進(jìn)行平移變換，得到平移后的解析式，再利用圖象關(guān)于直線對(duì)稱，建立等量關(guān)系即可求解出實(shí)數(shù)m最小值.【詳解】由其最小正周期為，有，所以，將其圖象沿軸向右平移（）個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)為，其圖象關(guān)于對(duì)稱，則有，所以，，由，實(shí)數(shù)的最小值為.故選：B.9.已知A，F(xiàn)分別是雙曲線的右頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).點(diǎn)P在第一象限且在C的漸近線上，滿足PA⊥AF.若OP平分∠APF，則雙曲線C的離心率為（）A.2 B. C.3 D.【9題答案】【答案】A【解析】【分析】先求出直線的方程，得到到直線的距離；求出到直線的距離等于.由角平分線的性質(zhì)得到，整理化簡(jiǎn)求出離心率.【詳解】根據(jù)題意,A，F(xiàn)分別是雙曲線的右頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，所以直線的方程為，即.所以坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離等于.因?yàn)?，所以點(diǎn)到直線的距離等于.由平分，由角平分線上一點(diǎn)到角兩邊距離相等可得，即.因?yàn)殡x心率，又，所以，解得:.故選：A.10.已知等比數(shù)列，公比為q，其中，q均為正整數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則等于（）A.96 B.48 C.16 D.8【10題答案】【答案】B【解析】【分析】由已知，可根據(jù)“，，成等差數(shù)列”列式，然后將、全部換成與q的關(guān)系，然后根據(jù)，q均為正整數(shù)，列方程組求解即可.【詳解】等比數(shù)列，由，有，即，由于，均為正整數(shù)，故（不合題意，舍去）或，得.所以.故選：B.11.棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱BC，的中點(diǎn)，下列命題中錯(cuò)誤的是（）A. B.EF∥平面C.EF⊥平面 D.四面體的體積等于【11題答案】【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造直角三角形直接計(jì)算可判斷A；取的中點(diǎn)，連接，構(gòu)造平行四邊形可證明B；假設(shè)EF⊥平面，利用假設(shè)推出矛盾可判斷C；通過(guò)轉(zhuǎn)化可求出體積判斷D.【詳解】，A正確；如圖，取的中點(diǎn)，連接，，易知，所以四邊形是平行四邊形，所以//，又平面，平面，所以//平面，B正確；若平面，因?yàn)槠矫妫瑒t，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，得，顯然不成立，C不正確；因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，所以，D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】12.若存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)使得等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【12題答案】【答案】D【解析】【分析】先分離參數(shù)為，然后換元，設(shè)，用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的取值范圍．【詳解】由得，令，則，，設(shè)，則，時(shí)，，遞增，，，遞減，時(shí)．時(shí)，，所以的取值范圍是，即的取值范圍是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域．解題關(guān)鍵是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，一是分離參數(shù)，二是換元．第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知平面向量，為單位向量，，若，垂直，則，的夾角為_(kāi)_____.【13題答案】【答案】##【解析】【分析】根據(jù)，垂直，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求得，從而可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，垂直，所以，故，故，又，所以，的夾角為.故答案為：.14.立德中學(xué)開(kāi)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)活動(dòng)，高一年級(jí)測(cè)評(píng)分值（滿分100分）X近似服從正態(tài)分布，正態(tài)曲線如圖①所示.為了調(diào)查參加測(cè)評(píng)的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法與習(xí)慣差異，決定在分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取學(xué)生，并確定m＝67，且.在某班隨機(jī)抽樣得到20名學(xué)生的分值分布莖葉圖如圖②所示.若該班抽取學(xué)生分?jǐn)?shù)在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為k，則k等于______；這k名學(xué)生的人均分為_(kāi)_____.（附：，，）

【14題答案】【答案】①.10②.74分【解析】【分析】由已知，測(cè)評(píng)分值服從正態(tài)分布，根據(jù)圖像，分別求解出，，根據(jù)給的參考數(shù)據(jù)，結(jié)合給定的范圍，即可確定的值，然后根據(jù)區(qū)間的范圍，在圖②輸出滿足條件的數(shù)據(jù)，即可確定k的值，并根據(jù)k的取值再去計(jì)算平均數(shù)即可.【詳解】有圖像可知，服從正態(tài)分布，其中，，所以隨機(jī)變量，，，由，可得.由圖②可知，該班在內(nèi)抽取了10人；所以，人均分為分.故答案為：10，74分.15.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，.則滿足不等式的實(shí)數(shù)a的范圍為_(kāi)_____.【15題答案】【答案】【解析】【分析】先構(gòu)造函數(shù)，得到為偶函數(shù)，再由條件得到函數(shù)在上的單調(diào)性，解不等式組即可.【詳解】設(shè)，，則，故為偶函數(shù)，由，有，故，又當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故函數(shù)在上為減函數(shù)，故，解得.故答案為：.16.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD垂直于BC，∠A=30°，BD=2AD，，則△ABC的面積為_(kāi)_____.【16題答案】【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合余弦定理、勾股定理求出AB長(zhǎng)，再利用三角形面積公式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)?，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，即，于是得，解得，則，所以的面積.故答案為：三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前n項(xiàng)和.【17~18題答案】【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)關(guān)系，并結(jié)合累乘法求解即可得答案；（2）由題知，，再根據(jù)裂項(xiàng)求和法求解即可得答案.【小問(wèn)1詳解】解：時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，故，所以，故.符合上式故的通項(xiàng)公式為，.【小問(wèn)2詳解】解：結(jié)合（1）得

，所以.18.如圖，四邊形是梯形，是等腰三角形，，且平面平面.（1）求證：；（2）如果直線與平面所成角的大小為45°，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【18~19題答案】【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系證明平面，進(jìn)而證明結(jié)論；（2）由平面平面得平面，進(jìn)而得就是直線與平面所成的角，再根據(jù)線面角，結(jié)合余弦定理得，進(jìn)而以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸、軸和軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，令，利用坐標(biāo)法求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)椋?/，，所以四邊形是矩形，所以.在△中，，所以°.連接，則△是等邊三角形.取的中點(diǎn)，連接，則.連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以平面，所?

【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面，平面，所以平?連接，則就是直線與平面所成的角，所以°，所以.在△中，，°，所以，所以.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸、軸和軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，.由，可得.所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得.可取，，則.因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.19.2022年2月4日，第24屆北京冬奧會(huì)在國(guó)家體育館隆重開(kāi)幕，本屆冬奧會(huì)吸引了全球91個(gè)國(guó)家和地區(qū)的2892名冰雪健兒前來(lái)參賽.各國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)健兒在“一起向未來(lái)”的愿景中，共同詮釋“更快、更高、更強(qiáng)、更團(tuán)結(jié)”的奧林匹克新格言，創(chuàng)造了一項(xiàng)又一項(xiàng)優(yōu)異成績(jī)，中國(guó)隊(duì)9金4銀2銅收官，位列金牌榜第三，金牌數(shù)和獎(jiǎng)牌數(shù)均創(chuàng)歷史新高.中國(guó)健兒在賽場(chǎng)上努力拼搏，激發(fā)了全國(guó)人民參與冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情，憨態(tài)可掬的外貌加上富有超能量的冰晶外殼的吉祥物“冰墩墩”備受大家喜愛(ài).某商場(chǎng)舉行“玩摸球游戲，領(lǐng)奧運(yùn)禮品”的促銷活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)定：顧客在該商場(chǎng)一次性消費(fèi)滿300元以上即可參加摸球游戲.摸球游戲規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的袋子中裝有10個(gè)大小相同、四種不同顏色的小球，其中白色、紅色、藍(lán)色、綠色小球分別有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)，每個(gè)小球上都標(biāo)有數(shù)字代表其分值，白色小球上標(biāo)30、紅色小球上標(biāo)20、藍(lán)色小球上標(biāo)10、綠色小球上標(biāo)5.摸球時(shí)一次只能摸一個(gè)，摸后不放回.若第一次摸到藍(lán)色或綠色小球，游戲結(jié)束，不能領(lǐng)取奧運(yùn)禮品；若第1次摸到白色小球或紅色小球，可再摸2次.若摸到球的總分不低于袋子中剩下球的總分，則可免費(fèi)領(lǐng)取奧運(yùn)禮品.（1）求參加摸球游戲的顧客甲能免費(fèi)領(lǐng)取奧運(yùn)禮品的概率；（2）已知顧客乙在第一次摸球中摸到紅色小球，設(shè)其摸球所得總分為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【19~20題答案】【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，.【解析】【分析】（1）分甲第一次摸到白球或者紅球兩種情況討論，利用互斥事件的概率和古典概型的概率公式求解；（2）由條件可知，再求出對(duì)應(yīng)的概率即得解.【小問(wèn)1詳解】解：因所有小球的總分為120分，若甲第1次摸到白球，再摸兩個(gè)球的顏色若都是紅色，或者一紅一藍(lán)即可領(lǐng)取奧運(yùn)禮品，其概率為；若甲第1次摸到紅球，再摸2個(gè)球的顏色若是一白一紅，一白一藍(lán)即可領(lǐng)取奧運(yùn)禮品，其概率為；所以顧客甲能免費(fèi)領(lǐng)取奧運(yùn)禮品的概率為.【小問(wèn)2詳解】解：由條件可知，，，，，，，，，于是的分布列為：7060555045403530其數(shù)學(xué)期望為.20.已知曲線，其離心率為，焦點(diǎn)在x軸上.（1）求t的值；（2）若C與y軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線y＝kx＋m與C交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線y＝n與直線BM交于點(diǎn)G，求證：當(dāng)mn＝4時(shí)，A，G，N三點(diǎn)共線.【20~21題答案】【答案】（1）2（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)曲線的離心率可知曲線表示橢圓，從而確定，結(jié)合離心率求得答案;（2）設(shè)點(diǎn)M.N的坐標(biāo)，聯(lián)立直線和橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，表示直線的方程，求得點(diǎn)G坐標(biāo)，從而表示出直線和直線的斜率，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式，化簡(jiǎn)，證明二者相等，即可證明結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由曲線，其離心率為，焦點(diǎn)在x軸上.可知，曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則其方程可化為，所以必須滿足：，解得，因的離心率為，，即，故，解得.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知的方程為，所以，.把代入，整理得，設(shè)，，則，，因?yàn)辄c(diǎn)，所以直線的方程為：.令，得，所以.因?yàn)辄c(diǎn)，所以直線的斜率為，直線的斜率為.所以.其中，當(dāng)時(shí)，上式等于0，即，這說(shuō)明，，三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)曲線表示橢圓求參數(shù)的值，以及直線和橢圓的位置關(guān)系等問(wèn)題，其中證明三點(diǎn)共線是難點(diǎn)，解答時(shí)要注意解答思路要清晰明確，即將直線和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系去表示或化簡(jiǎn)相關(guān)的代數(shù)式，解答的關(guān)鍵是證明有公共點(diǎn)的兩直線斜率相等，其中的計(jì)算量較大，并且比較繁雜，要細(xì)心.21.已知函數(shù)，a>0.（1）求函數(shù)的最值；（2）當(dāng)a>1時(shí)，證明：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).【21~22題答案】【答案】（1）最大值為，沒(méi)有最小值（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由已知函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后進(jìn)行因式分解，構(gòu)造函數(shù)，并判斷其單調(diào)性以及其零點(diǎn)所在的范圍，利用其零點(diǎn)滿足的等量關(guān)系帶入原函數(shù)去求解最值即可；（2）根據(jù)已知函數(shù)的最大值，結(jié)合a的取值范圍，判斷其最大值的大小，然后在極值點(diǎn)兩邊所在的區(qū)間進(jìn)行取值，通過(guò)賦值，并帶入原函數(shù)判斷大小，即可確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問(wèn)1詳解】，由于，，所以，設(shè)，則，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由于，，故存在，使.故當(dāng)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，從而存在，的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.函數(shù)的最大值為，由于，所以，故.所以函數(shù)的最大值為，沒(méi)有最小值.小問(wèn)2詳解】設(shè)＞1），則，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，故，即.當(dāng)時(shí)，由（1）知，由于，由（1）知，且，，故，即，所以，且，而，故函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】再計(jì)算隱零點(diǎn)相關(guān)的題目中，可借助零點(diǎn)所滿足的等量關(guān)系，如本題，并對(duì)此式子進(jìn)行變形，變成，從而帶入原函數(shù)可以整替換掉，從而將原函數(shù)中進(jìn)行抵消，從而得到極值.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生從第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.已知直線（其中常數(shù)，為參數(shù)），以