2024-2025學(xué)年江西省宜春市豐城市高二年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江西省宜春市豐城市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

檢測(cè)試題

一、單選題：（共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.）

3+oi

z--

1.己知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)2+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的虛軸上，則實(shí)數(shù)（）

_33

A.2B.2C.6D.-6

22

2.“2＜|團(tuán)＜6,,是“方程能2—46-m2表示的曲線為橢圓”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.記從為等比數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，若$3=3,$6=9,則S[5=（）

A.48B.81C.93D.243

4.已知拋物線的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線交拋物線于點(diǎn)

在第一象限），MN工1,垂足為N,直線NF交x軸于點(diǎn)。，則怛回=（）

A.2B.6C.4D.2G

5.過(guò)直線'—J一機(jī)=°上一點(diǎn)尸作0M：（"一2戶0-3戶”的兩條切線，切點(diǎn)分別為

A,B,若使得q2=必=J7的點(diǎn)P有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

A.-3＜加＜5B-5＜m＜3

C.加＜一5或加＞3D.加＜-3或加＞5

6.在形狀、大小完全相同的4個(gè)小球上分別寫上4位學(xué)生的名字，放入袋子中，現(xiàn)在4位學(xué)

生從袋子中依次抽取球，每次不放回隨機(jī)取出一個(gè)，則恰有1位學(xué)生摸到寫有自己名字的小

球的概率為（）

—1—1j_±2

A.6B.3C.2D.3

7.已知函數(shù)/3=產(chǎn)-01+/_3犬+3\若實(shí)數(shù)》/滿足/（》2）+/（2/_1）=2,

則xJl+V的最大值為（）

3A/23V25V|5V|

A.2B,4c.4D,4

8.如圖，在直三棱柱4sc-4用G中，M，N分別為線段4片,cq的中點(diǎn),

"4=2BC=2,NB=2J5,平面ABNa平面BBGC,則四面體ABMN的外接球的體

5而兀

A.3B.1°兀C,5廂兀D.30兀

二、多選題：（共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.）

,/、ox+1

9.函數(shù)x-+。的大致圖象可能是（）

10.已知函數(shù)/（xOWQn（0）,則下列四個(gè)命題正確的是（）

A.函數(shù)了=〃幻在（-2,4）上是增函數(shù)

B,函數(shù)了=〃x）的圖象關(guān)于（1,0）中心對(duì)稱

2

C.不存在斜率小于§且與數(shù)了=AM的圖象相切的直線

D.函數(shù)了=/（、）的導(dǎo)函數(shù)N=/（x）不存在極小值

11.著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷在19世紀(jì)提出了這樣一個(gè)“奇怪的”函數(shù)：定義在R上的函數(shù)

八/、［0,x是無(wú)理數(shù)

〔'x正是舊有理數(shù)奴.后來(lái)數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在其定義域上處處不連續(xù)、處處不可

導(dǎo).根據(jù)該函數(shù)，以下是真命題的有（）

￡＞（X+J）＜￡）（X）+￡）（J）

A.

B.0G）的圖象關(guān)于〉軸對(duì)稱

C.3（x）=。9（x））的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

D.存在一個(gè)正三角形，其頂點(diǎn)均在0G）的圖象上

三、填空題：（共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.）

12.等差數(shù)列｛""｝中的％外023是函數(shù)"x）=d-6/+4x-1的極值點(diǎn)，則

log1a1012=

4.

22

土一匕=1

13.若片，耳是雙曲線0：416的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸，。為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩

點(diǎn)，且因1=閨用，設(shè)四邊形尸相鳥(niǎo)的面積為E,四邊形母通^2的外接圓的面積為邑，

則$2.

14.已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S"滿足（"+1）S；+S,—"=°（〃為正整數(shù)），貝（］

fn（x）=（a,.■|x-z|）

S"=;記源,若函數(shù)＞=力。24（x）+丘的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)

k的取值范圍是.

四、解答題：（5題，共計(jì)77分.）

15.公差不為0的等差數(shù)列｛斯｝中，前"項(xiàng)和記為必.若。1=1，且S”2s2,4s4成等比數(shù)列,

（1）求｛四｝的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列的前項(xiàng)〃項(xiàng)和。.

16.如圖，在三棱柱4sC-481G中，C4=CB=2,C4LCB,D,￡分別是以，口的

中點(diǎn)，CiD=C、E=2

A

ACCA1

(1)若平面ii平面BCQBi,求點(diǎn)C到平面ABC的距離；

⑵若0G=拒，求平面"G4與平面片夾角的余弦值.

17.如圖所示，一只螞蟻從正方體"co—4AGA的頂點(diǎn)4出發(fā)沿棱爬行，記螞蟻從一個(gè)

頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)為一次爬行，每次爬行的方向是隨機(jī)的，螞蟻沿正方體上、下底面上的棱

2

爬行的概率為6,沿正方體的側(cè)棱爬行的概率為3.

(1)若螞蟻爬行“次，求螞蟻在下底面頂點(diǎn)的概率；

(2)若螞蟻爬行5次，記它在頂點(diǎn)°出現(xiàn)的次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

18.如圖，一張圓形紙片的圓心為點(diǎn)E,尸是圓內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，尸是圓E上任意一點(diǎn)，把紙片

折疊使得點(diǎn)尸與P重合，折痕與直線尸￡相交于點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)尸在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，得到點(diǎn)。的軌

跡，記為曲線C建立適當(dāng)坐標(biāo)系，點(diǎn)尸(1，°),紙片圓方程為(x+l>+必=〃，點(diǎn)7(°/)在

C上.

Pl

(1)求。的方程；

(2)若點(diǎn)尸'坐標(biāo)為(一1，°),過(guò)尸且不與x軸重合的直線交C于，，8兩點(diǎn)，設(shè)直線/廠

8廠'與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M,N,記直線”叢兒亞的傾斜角分別為力，當(dāng)

&一,取得最大值時(shí)，求直線N8的方程.

、21-lnx

/(x)=x+--------ax(x<x^

19.已知函數(shù)》有兩個(gè)零點(diǎn)

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(1、

fG)>f—

(2)求證：⑺；

-

(3)求證.一再<』a—4<x2—X]

2024-2025學(xué)年江西省宜春市豐城市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)

檢測(cè)試題

一、單選題：（共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.）

3+ai

z=--------

1.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)2+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的虛軸上，則實(shí)數(shù)（）

_33

A.2B.2C,6D.-6

【正確答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算整理一般式，可得答案.

3+ai（3+ai）（2—i）6—3i+2ai—ai2（6+a）+（2a—3）i

【詳解】由z=W=G+i）（2_i）=-Q—=5,

*=0

結(jié)合題意，貝U5，解得a=-6

故選：D.

22

2.“2<|切|<而,,是“方程根2—46-m2表示的曲線為橢圓”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】首先求方程表示橢圓的加的取值范圍，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】若方程機(jī)2—46-m2表示橢圓，貝I

m2-4>0

<6—m2>0

掰2_丑6-/，解得：2<同<逐|m|wV5

,且

/]

所以"2<|團(tuán)<后?是“方程機(jī)2_46-m2表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.

故選：B

3.記邑為等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若$3=3,久=9,則&=（）

A.48B.81C.93D.243

【正確答案】C

—6S15

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前及項(xiàng)和先確定公比“力1,再計(jì)算S3得力從而計(jì)算得S3的值,

即可得15的值.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為a,因?yàn)?3=3,§6=9,

若1=1,則S3=3%=3,得q=1,則Se=6%=679,故q/1,

。1（1力

$6_i—q工〃3_9_R

=3

則i—q,所以"=2,

a\（i-q”）

兒—If」一」—25；3]

S37I.2

所以I-Q，所以幾=3電=31x3=93.

故選：C.

4.已知拋物線必=4^的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,過(guò)點(diǎn)尸且傾斜角為30°的直線交拋物線于點(diǎn)

M在第一象限），MN工1,垂足為N,直線NF交x軸于點(diǎn)。，貝U忸判=（）

A.2B.#C.4D.26

【正確答案】A

【分析】由已知條件證得△上小平是等邊三角形，在RtAOED中，利用三角函數(shù)求歸”

【詳解】由已知可得，3=1.

如圖所示，過(guò)點(diǎn)尸作"'MN,垂足為4.

由題得N4FA1=30°,所以NNMF=60°.

根據(jù)拋物線的定義可知1"用=,

所以△“、燈是等邊三角形.

因?yàn)镸N//OF,所以ZOFD=/MNF=60°.

I叩二芝%4=2

在Rt/\OFD中,2

故選：A.

(-2)2+0-3)2二

5.過(guò)直線》_了一機(jī)=0上一點(diǎn)尸作OM：”的兩條切線，切點(diǎn)分別為

A,B,若使得PZ=P8=J7的點(diǎn)尸有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.-3<m<5B.-5<m<3

C.加〈一5或加＞3D.加＜一3或冽＞5

【正確答案】B

［分析］易得1°刊=20，根據(jù)題意可得圓心切到直線x—y_機(jī)=0的距離"＜|。尸］

,進(jìn)

而可得出答案.

【詳解】QM-.（x-2）+3-3）=1的圓心M（2,3）,半徑—i,

由PA=PB=5,得|。尸|=J7XT=2亞，

由題意可得圓心M到直線工一＞一機(jī)=°的距離"＜2夜，

匕匕四＜2夜

即6+1,解得一5＜加〈3.

故選：B.

6.在形狀、大小完全相同的4個(gè)小球上分別寫上4位學(xué)生的名字，放入袋子中，現(xiàn)在4位學(xué)

生從袋子中依次抽取球，每次不放回隨機(jī)取出一個(gè)，則恰有1位學(xué)生摸到寫有自己名字的小

球的概率為（）

112

A.6B.3C.2D.3

【正確答案】B

【分析】利用計(jì)數(shù)方法結(jié)合古典概型求解.

【詳解】4位學(xué)生從袋子中依次抽取球，每次不放回隨機(jī)取出一個(gè)的方法總數(shù)為

4x3x2x1=24種，

恰有1位學(xué)生摸到寫有自己名字的小球，可以先從4人中選出1人摸到寫有自己名字的小

球，另外三人摸到的都不是寫有自己名字的小球共=8種，

所以恰有1位學(xué)生摸到寫有自己名字的小球的概率為243.

故選：B

7.已知函數(shù)/3=產(chǎn)一?1+/_3/+3\若實(shí)數(shù)x/滿足/G）+/（2/T）=2,

則Hi的最大值為（）

3723^25V|5V|

A.2B,4c,4D,4

【正確答案】C

【分析】首先對(duì)/(X)進(jìn)行變形，構(gòu)造函數(shù)g(")=e--e：力3=(1),推得

/仁)其對(duì)稱中心為(11)，且R上在單調(diào)遞增，再結(jié)合對(duì)稱性和單調(diào)性將

/(x)+/&T)=2轉(zhuǎn)化為f+2/=3,再利用基本不等式求解》歷？的最大值.

【詳解】由/G)=e--3/+3%=/1-3*+1+(》-1)

記g(x)=ex-1-e1-x/?(%)=(x-1)3

貝Ug(%)+g(2-%)=e~-ei+e1-x-e'_1=0

A(x)+A(2-x)=(x-1)3+(l-x)3=0

1

x-iy----~r

且V=e單調(diào)遞增，-ex-單調(diào)遞增，

則g(%)與“(%)都關(guān)于9°)中心對(duì)稱且為R上的增函數(shù)，

所以/(x)+"2-x)=g(x)+〃(x)+l+g(2-x)+〃(2-x)+l=2,

故/GO關(guān)于(I」)中心對(duì)稱且為R上增函數(shù)，

則由/(")+/("T)=2,得爐+2/-1=2,可得八21=3,

片=*1+力=*2+2力g.25

~8

=2+2/

J=±-

可得-4,當(dāng)且僅當(dāng)3+2U/=33,即12取等號(hào)，

____52/2

故x,1+下的最大值為4.

故選：C.

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是求得/G)的對(duì)稱中心，從而得到x,了的關(guān)系，進(jìn)而利用基

本不等式求解最值.

8.如圖，在直三棱柱4sC-中，〃，N分別為線段4片,℃1的中點(diǎn),

幺4=2BC=2,AB=2C,平面ABN人平面BBXCXC則四面體ABMN的外接球的體

積為（）

5而兀

C5aU兀

A.3B.10兀D.30兀

【正確答案】A

【分析】取5N的中點(diǎn)。，連接C。，由等腰三角形的性質(zhì)與面面垂直的性質(zhì)定理證

平面48N,由線面垂直的性質(zhì)及判定定理證481平面881GC,進(jìn)而推出

AB工BN,利用勾股定理及勾股定理的逆定理等證從而確定四面體

ABMN的外接球的球心與半徑，利用球的體積公式求解即可.

【詳解】如圖，取8N的中點(diǎn)。，連接8,

因?yàn)镃N=BC=1,所以CD,BN.

又平面48NA平面"iG。，平面48NC平面881cle=8N,CDu平面AS[C]C,

所以CD,平面48N,

又平面48N,所以

依題意,平面"8C"]平面

所以CGJLN5,又CGnCD=C,Cq,CDu平面55CC,

所以451平面BHiG。.

又BN,BCu平面BBXCXC

所以ABLBN,ABLBC,所以AC7AB?+BC：=3

所以ZN=4CN2+AC2=VlO.

連接GM,則。陽(yáng)=、/+8陽(yáng)2=省,

所以MN/CM+CM』.

AM=JAA；+4"=瓜

所以=AN\

所以⑷1/_ZTW.

因?yàn)镽t^AMN與Rt^ABN共斜邊AN,

所以四面體ABMN的外接球的球心為ZN的中點(diǎn),

JN;巫

且外接球半徑22

5所兀

3

故選:A

確定簡(jiǎn)單幾何體外接球的球心有如下結(jié)論：（1）正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)

角線的中點(diǎn)；（2）正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點(diǎn)；（3）直三棱柱的

外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn)；（4）正棱錐的外接球的球心在其高線

上；（5）若三棱錐的其中兩個(gè)面是共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是外接球的

球心.

二、多選題：（共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.）

“、ox+1

9.函數(shù)x-+。的大致圖象可能是（）

【分析】對(duì)。的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析即可判斷函數(shù)的大致

圖象.

【詳解】當(dāng)。=0時(shí)，必是偶函數(shù)，當(dāng)X＞°時(shí)，/（X）為減函數(shù)，此時(shí)對(duì)應(yīng)圖象可

能是C；

當(dāng)a＞0時(shí)，xeR,令/（》）=°得"小）為非奇非偶函數(shù)，且

,z、—ctx^—2X+Q2

/r（x）=/2、2

（X+〃）

令》=—。步-2x+/其對(duì)應(yīng)方程的A=4+4/＞0,設(shè)其對(duì)應(yīng)方程的兩根分別為多，/,

（須＜0＜々）

所以xe（一°°，再），/'（x）＜0,xeQ,%）,工武程+⑹，/'卜）＜0,

即函數(shù)/（x）在（一叫西）和（％，+°°）上單調(diào)遞減，在G1,X2）上單調(diào)遞增，由單調(diào)性判斷此時(shí)

對(duì)應(yīng)圖象可能是B；

當(dāng)。時(shí)，/（X）為非奇非偶函數(shù)，/6）在X=土口處無(wú)定義,

取"7J3=導(dǎo)J出=°,"<一應(yīng)時(shí)”小0且/（x）單增，

x>42時(shí)/（'）<。且/GO單增，一也<x<41時(shí)/（”）單增，

此時(shí)對(duì)應(yīng)圖象可能是D；

對(duì)于A,由于圖象無(wú)間斷點(diǎn)，故°>°,但此時(shí)/（“）在x<0上不可能恒正，

故選：BCD.

10.已知函數(shù)/（*On（QvQn（0）,則下列四個(gè)命題正確的是（）

A.函數(shù)了=〃幻在（-2,4）上是增函數(shù)

B,函數(shù)了=〃x）的圖象關(guān)于（1，°）中心對(duì)稱

2

C.不存在斜率小于§且與數(shù)了=AM的圖象相切的直線

D.函數(shù)了=/（、）的導(dǎo)函數(shù)N=/（x）不存在極小值

【正確答案】ABC

【分析】先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，有導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷A的

真假；判斷J?！埃?—/Q+"）是否成立，從而判斷B的真假；對(duì)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分析,

求導(dǎo)函數(shù)的值域，可判斷CD的真假.

2+x>0

【詳解】因?yàn)?4一x〉0n-2<x<4,所以函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄒ?,4）.

因?yàn)椋?O）—2+「4-x,-2<x<4,所以2,4）時(shí)，/'（力0恒成立，所以

”/⑺在（—2/）為增函數(shù)，故A正確；

因?yàn)?（1-x）=In（3-x）-In（3+x）/（l+x）=ln（3+x）-ln（3-x）故

/（1-x）=-/（1+x）,即/（x）得圖象關(guān)于點(diǎn)（L0）對(duì)稱,

故B正確；

,1\_____6_____

因?yàn)椋?2+「4-X-（1丫+9,xe（-2,4）,

當(dāng)x=i時(shí)，，°）一5一3為/'（x）的最小值，

22

所以'=/（》）的切線的斜率一定大于或等于3,不存在斜率小于3的切線，故c正確；

2

＞=/'（"）有最小值3,故D錯(cuò)誤.

故選：ABC

關(guān)鍵點(diǎn)睛：

⑴證明函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)3°）對(duì)稱，需要證明‘（""）=一""+"）或

"2a-x）=-/（x）恒成立即可；

（2）證明函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=。對(duì)稱，需要證明/（”—x）=/（"+x）或

/G"）/（X）恒成立即可.

11.著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷在19世紀(jì)提出了這樣一個(gè)“奇怪的”函數(shù)：定義在R上的函數(shù)

。⑺―Qx是無(wú)理數(shù)

是有理數(shù),后來(lái)數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在其定義域上處處不連續(xù)、處處不可

導(dǎo).根據(jù)該函數(shù)，以下是真命題的有（）

D（x+y）＜D（x）+D（y）

B.0（X）的圖象關(guān)于》軸對(duì)稱

C.。2卜）=。（0。））的圖象關(guān)于了軸對(duì)稱

D.存在一個(gè)正三角形，其頂點(diǎn)均在°G）的圖象上

【正確答案】BCD

【分析】特殊值代入驗(yàn)證A,D；利用偶函數(shù)定義判斷B,C.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)天=四，y=-亞時(shí)，°（x+y）=o（°）=i,

￡＞（72）+D^V2）=0+0=0^D（x+y）＞D（x）+D（y）故人錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)?（X）的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

若一X是無(wú)理數(shù)，則X是無(wú)理數(shù)，所以

若一X是有理數(shù)，則X是有理數(shù)，所以（）,（）;

所以。（-WOO,

故,（"）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，B正確；

對(duì)于C,由B可知，OS”。。所以3（r）-9（r））"9（x））=2（x）,

故。2（x）=O（O（x））是偶函數(shù)，圖象關(guān)于歹軸對(duì)稱，c正確;

/出小小

對(duì)于D,設(shè)A〔---3-,0J,B〔—3,0J,。（0,1）,

貝，叫=M=忸。1,所以AABC是等邊三角形，

D--=0D—=0

又因?yàn)?,I3）,所以A/BC的頂點(diǎn)均在0（X）的圖象上,

D正確.

故選：BCD

三、填空題：（共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.）

12.等差數(shù)列｛""｝中的%嗎023是函數(shù)/?=小―6尤2+4尤一1的極值點(diǎn),則

log^a1012=

4.

【正確答案】2##-0.5

【分析】先由題意求出4+%。23=4,再利用等差中項(xiàng)求出用。12,最后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則

即可求解.

【詳解】函數(shù)"“）=/-6f+41的定義域?yàn)閰^(qū),

/f（x）=3x2-12x+4

因?yàn)橛?，?023是函數(shù)/（％）=/-6/+4X-1的極值點(diǎn)，

所以％，電023是方程/'（x）=3/-12x+4=0的兩根，

所以q+%023=4,

因?yàn)椋?｝是等差數(shù)列,

_%+%023_n

^1012―一乙

所以2

log?oi2=呵2=log,-2==

所以彳42.

故答案為.2

匚J1

13.若《，鳥(niǎo)是雙曲線C：416的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸，。為°上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩

點(diǎn)，且盧斗年21,設(shè)四邊形PFQF2的面積為S],四邊形PFiQF?的外接圓的面積為S,

墾=

則‘2.

8

【正確答案】57r

【分析】根據(jù)給定條件，探求四邊形國(guó)紙的形狀，結(jié)合雙曲線的定義及勾股定理求出岳，

再求出S?作答.

點(diǎn)尸與。，可與巴都關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱，且忸。1=閨聞，因此四邊形

【詳解】依題意,

PFg是矩形,

如圖,

由雙曲線C：416得：間|=|與月=21。牙=2淅=4后

||PKH尸屬11=4

附「+唱/叫一陷|j『「一仍耳卜|明，

岳=1尸甲尸閭=

于是22

(4班)2-42

=-----------=52.

2

顯然四邊形尸公外的外接圓半徑為°F1,因此風(fēng)=7110b2「=71x(2V5)2=20K,

E_32_8

所以S220兀5兀

8

故5兀

14.已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和s〃滿足(〃+i)s；+s“一〃=°(〃為正整數(shù))，則

<―<(x)這f(

'〃—；記I,若函數(shù))=力024("+忒的值域?yàn)閰^(qū)，則實(shí)數(shù)

k的取值范圍是.

〃，2024、一，2024、

7(-8,--------)U(--------,+00)

【正確答案】①."+1②.20252025

_2__]

【分析】因式分解即可求出S”，再利用%=S"—S，T求出數(shù)列的通項(xiàng)公式nM+1,

2024

ya,=g(x)=1024(X)+依=X(a"xT)+丘

由裂項(xiàng)相消求和法計(jì)算可得I2025.設(shè)函數(shù),=1,

2024

k±y\at>0

將函數(shù)g*)寫出分段函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的值域?yàn)镽和極限的思想可得當(dāng)人>°時(shí)I、

2024

左±Z%<0

當(dāng)后<0時(shí)日，解不等式即可求解.

【詳解】因?yàn)?"1應(yīng)+s〃-〃=0,所以[-〃](S“+1)=。,

又因?yàn)椋?'｝是正項(xiàng)數(shù)列，所以("+1)8一〃=°,即"〃+1,

當(dāng)〃=1得1+12當(dāng)〃>2得〃+1〃+

經(jīng)檢驗(yàn)〃=1符合上式，所以“"（〃+l）n〃+l.

等,111112024

>a.=1-----1---------1-----F

所以￡’223202420252025

2024

g(x)=人024(x)+丘=E-/[)+kx

設(shè)函數(shù)T

當(dāng)e(—oo,l]時(shí)------1-^2024\x-

xg(x)=|x—1|+a2|x-2|+a3|x—3|H2024|+kx

20242024

——

—(%+2a2+3a3+…+2O24tz2o24)(%+42+…+Q2024k)x=(k—4)x+(也)

1=1Z=1?

同理可得,當(dāng)xe(1,2]時(shí)，g(x)=Kx+l,

當(dāng)xe(2,3]時(shí)，g(x)=k2x+2

當(dāng)xc(2023,2024]時(shí)g(x)=k2023x+2023

20242024

當(dāng)xe（2024收）時(shí)，g（M（無(wú)+》）x?（卬

/1=1、1=1

k-〉[%x+￡&)xe(-oo,l]

\20242024

kxx+\,xG(1,2]

A:2x+2,xG(2,3]

g(x)=\.

k2Q23x+2023,xe(2023,2024]

Z=1、Z=1

k+Z。,%一Z(z。),x￡(2024,+。)

其中勺eR(/=l,2,…,2023),

即202472024

由函數(shù)g（x）的值域?yàn)镽知，當(dāng)左〉0時(shí)，，吧g（x）=-8,]%g（x）=+8.

,上穹?,2024c,2024

A;±2,a,.>0k±------>0k>-------

所以日,即2025,解得2025；

當(dāng)左<0時(shí)，，吧g(x)="°，J亶抵無(wú))=3,

,.v/八一2024八72024

女土k±------<0k<---------

所以I,即2025,解得2025,

,2024..,2024、

(-00,--------)U(---,+℃)

綜上，實(shí)數(shù)左的取值范圍為20252025

n/2024,..2024、

7(—8,----)U(---,+8)

故〃+1；20252025

2024

g（x）=-024（x）+-=/（4?|x-i|）+b

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是將函數(shù)T轉(zhuǎn)化為分段函

數(shù)，利用函數(shù)的值域確定關(guān)于左的不等式即可求解，其中涉及到極限思想以及數(shù)列的求通項(xiàng)

公式和求和知識(shí)點(diǎn)，平時(shí)練習(xí)都要熟練應(yīng)用.

四、解答題：（5題，共計(jì)77分.）

15.公差不為0的等差數(shù)列｛斯｝中，前"項(xiàng)和記為若。1=1，且Si，2s2,4s4成等比數(shù)列,

（1）求｛?！埃耐?xiàng)公式；

（2）求數(shù)列W+i的前項(xiàng)〃項(xiàng)和

n2+2〃

【正確答案】（1）%—⑵（〃+1）2.

【分析】

（1）由條件可知4s22=岳'4'，代入等差數(shù)列的前及項(xiàng)和公式，整理為關(guān)于“的方程求解

%+i2〃+1

通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知‘SHI〃2*（〃+1）,利用裂項(xiàng)相消法求和.

【詳解】解：（1）由已知可得：4S22=S]X4S4,

即.（2+d）2=lx（4+6d）,

解得d=O（舍）或〃=2

所以g=2〃—1,

（2）由（1）可得S”=獷，

%+1_2〃+1=11

所以S“S用〃2、（〃+1）2/（〃+1）2；

所j=（U+44）+4—????+（/.!）+（L）

1n+2n

=1---------=--------

（〃+l）2（〃+1）2

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的點(diǎn)到綜合，以及裂項(xiàng)相消法求和，屬于基礎(chǔ)題型，本題的難

點(diǎn)是第二問(wèn)，注意能使用裂項(xiàng)相消法的類型.

s

16.如圖，在三棱柱4C-481G中，CA=CB=2,CA±CBtDtE分別是C2,C/的

中點(diǎn)，QD=C[E=2

A

（i）若平面/0G4,平面'CGg,求點(diǎn)G到平面NBC的距離;

（2）若℃=&,求平面/CG4與平面用夾角的余弦值.

【正確答案】a）G

(2)7.

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)點(diǎn)距離公式可得點(diǎn)G進(jìn)而根據(jù)面面垂

直得法向量垂直，即可根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解G（0'°'c），根據(jù)線面垂直即可求解距離，

（2）根據(jù)法向量的夾角即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

刖4（2,0,0）5（0,2,0）。（0,1,0）￡（1,0,0）

火!Jff'，，

2122

設(shè)G（a,仇c）因?yàn)镚O?="+（6—1）2+。2c,E=（a-1）+b+cCXD=CXE

所以q=則G（a，a，c）,0=（2,0,0）,在=（0,2,0）,CQ=（?,?,c）

n-CB=0,J2必=0,

設(shè)平面8CC4的一個(gè)法向量方=（石，九zj,則卜出=0,,即[/+馱+。10,

令再=。,則必=0,所以五=（c,0i）,

m-CA=O,

<

設(shè)平面"C/1的一個(gè)法向量加=（”2/2*2）,則［"CG=O,,即

2X=0,

<2

6?2+"2+022=0,令%=0,則X=0,Z2=-a,所以比=（O,c,_q）

因?yàn)槠矫鍺CG4，平面BCC/i,所以萬(wàn)工而，

所以萬(wàn)?玩=0,即（一。）=°,所以"0,

所以G（0,0,c）,所以點(diǎn)G在z軸上，即平面痂，

因?yàn)镃4u平面/3C,所以CCi'C”,

又C［E=2,CE=1,所以CCi=dGE2-CE2，

故G到平面ABC的距離為6.

【小問(wèn)2詳解】

由（1）知G（a，a，。），由CG=后，則=啦,

J(a-1)2+.2+02=2

因?yàn)镃1E=2,所以

1_V6J1，逅］

a=——，一丁，所以

所以2

/、

n二

知平面8CG用的一個(gè)法向量2',平面/CG4的一個(gè)法向量

由⑴

。，乳、

in=

7

設(shè)平面ACCiAi與平面881片的夾角為e,

COS0=|

則

即平面/°G4與平面8℃1片的夾角的余弦值為5.

17.如圖所示，一只螞蟻從正方體"co—4用GA的頂點(diǎn)4出發(fā)沿棱爬行，記螞蟻從一個(gè)

頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)為一次爬行，每次爬行的方向是隨機(jī)的，螞蟻沿正方體上、下底面上的棱

爬行的概率為6,沿正方體的側(cè)棱爬行的概率為3.

(1)若螞蟻爬行〃次，求螞蟻在下底面頂點(diǎn)的概率；

(2)若螞蟻爬行5次，記它在頂點(diǎn)C出現(xiàn)的次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

p1t=-+-f--"l

【正確答案】(1)261

(2)分布列見(jiàn)解析，27

【分析】(1)記螞蟻爬行〃次在底面/BCD的概率為匕，則它前一步只有兩種情況：在下

底面或在上底面，找到關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列可得答案.

(2)結(jié)合題意易知X=0，l，2,求出對(duì)應(yīng)得概率,列出分布列，計(jì)算期望即可.

【小問(wèn)1詳解】

記螞蟻爬行"次在底面4s的概率為尺，則它前一步只有兩種情況：在下底面或在上底

面,

4=：，4用=；勺+,（1_勺）

結(jié)合題意易得，333

1

p1

n+i~~

3是等比數(shù)列，首項(xiàng)為6,公比為3,

M—1

KU，月="

【小問(wèn)2詳解】

結(jié)合題意易得：刀=0,1,2,

當(dāng)X=2時(shí)，螞蟻第3次、第5次都在0處,

212cl12cl2211111

尸(X=2)=—x—x2x—i—x—x2x—I—x—x2x—X—X—+—X—+—X—

663636636336666185

當(dāng)x=l時(shí)，螞蟻第3次在C處或第5次在C處,

設(shè)螞蟻第3次在c處的概率為4,

212cli1515211

6=—x—x2x—I—x—x2x—I—x—x2x—x—X—+—X—+—X—

663636636666633185

設(shè)螞蟻第5次在C處的概率為P],

設(shè)螞蟻不過(guò)點(diǎn)C且第3次在2的概率為月，設(shè)螞蟻不過(guò)點(diǎn)C且第3次在用的概率為片,

設(shè)螞蟻不過(guò)點(diǎn)C且第3次在A的概率為月，由對(duì)稱性知，Pi=P4,

XX「121,22211

L4+ML23=UP<=—x—x—x6d--x—x—=——

636354.又563633327

P2=2P3X-X-X2+P5

得636654

.?.尸(X=l)=4+6$

41

?(X=O)=l—Q(X=1)—夕(X=2)=M

X的分布列為:

X012

4151

P---------

542718

Q

￡（X）=0xQ（X=0）+lxP（X=l）+2xP（X=2）=——

x的數(shù)學(xué)期望27.

18.如圖，一張圓形紙片的圓心為點(diǎn)￡,尸是圓內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，尸是圓￡上任意一點(diǎn)，把紙片

折疊使得點(diǎn)尸與P重合，折痕與直線尸￡相交于點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)尸在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，得到點(diǎn)。的軌

跡，記為曲線C建立適當(dāng)坐標(biāo)系，點(diǎn)尸（1，°）,紙片圓方程為（x+l>+/=〃，點(diǎn)7（°』）在

（2）若點(diǎn)尸,坐標(biāo)為（T，°）,過(guò)尸且不與x軸重合的直線交C于/,8兩點(diǎn)，設(shè)直線/廠

8廠'與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M,N,記直線“民上亞的傾斜角分別為a,B,當(dāng)

0一,取得最大值時(shí)，求