2024-2025學(xué)年人教版高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)：對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（考點(diǎn)清單+知識導(dǎo)圖+ 16個(gè)考點(diǎn)清單與題型解讀）

清單08對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

考點(diǎn)儕單

【清單01】對數(shù)概念

1、對數(shù)的概念：一般地，如果"=N（a>0,且awl）,那么數(shù)x叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=log，，

其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

特別的：規(guī)定。>0,且awl的原因：

①當(dāng)a<0時(shí)，N取某些值時(shí)，x的值不存在，如：x=log：13）是不存在的.

②當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)N/0時(shí)，x的值不存在，如：x=log^=0'=27是不成立的；當(dāng)N=0時(shí)，則x的取

值時(shí)任意的，不是唯一的.

③當(dāng)a=1時(shí)，當(dāng)Nwl,則x的值不存在；當(dāng)N=1時(shí)，則》的取值時(shí)任意的，不是唯一的.

2、常用對數(shù)與自然對數(shù)

①常用對數(shù)：將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把log2記為lgN

②自然對數(shù)：e是一個(gè)重要的常數(shù)，是無理數(shù),它的近似值為2.71828.把以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并

把log；記作InN

說明：“l(fā)og”同+、-、X等符號一樣,表示一種運(yùn)算，即已知一個(gè)底數(shù)和它的塞求指數(shù)的運(yùn)算，這種運(yùn)算叫

對數(shù)運(yùn)算,不過對數(shù)運(yùn)算的符號寫在數(shù)的前面.

【清單02】指數(shù)式與對數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化

當(dāng)a>0且awl,a*=Nox=log；

【清單03】對數(shù)的性質(zhì)

①負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù).

②對于任意的。>0且awl,都有l(wèi)og：=0,log：=1,log,=.1；

③對數(shù)恒等式：'=N(a>0且awl)

【清單04】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

當(dāng)〃>0且awl,M>0,N>Q

①log產(chǎn)=啥+啥

M

②log?=log>-log：

③log:"="log,(neR)

?log"：,=-logf(rn^O)

m

⑤logf='log：(neR,mw。)

am

【清單05】對數(shù)的換底公式

換底公式：log*=(。>0且awl,b>0,c>0,且cwl)

log：

特別的：log”「7

log,

【清單06］對數(shù)函數(shù)的概念

1、對數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)丁=1。8,3(?！?,且。/1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是(0,+8).

判斷一個(gè)函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的依據(jù)

(1)形如>=log〃x；(2)底數(shù)。滿足a>0,且awl；(3)真數(shù)是x,而不是x的函數(shù)；(4)定義域(0,+8).

Y

例如：y=log5x是對數(shù)函數(shù)，而y=log5(x+l)、y=logs］都不是對數(shù)函數(shù)，可稱為對數(shù)型函數(shù).

2、兩種特殊的對數(shù)函數(shù)

特別地,我們稱以10為底的對數(shù)函數(shù)為常用對數(shù)函數(shù),記作y=lgx;稱以無理數(shù)e為底的對數(shù)函數(shù)為自然

對數(shù)函數(shù)，記作y=lnx.

【清單07】對數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)

函數(shù)y=優(yōu)（a〉0,且aw1）的圖象和性質(zhì)如下表:

型精單

【考點(diǎn)題型一】指數(shù)與對數(shù)綜合運(yùn)算

［例1］（24-25高一上?云南昆明?期中）計(jì)算下列各式:

⑴（0+1）°X哨2X（,了；

（2）In正+log535-log514+log254.

【變式1-1］（24?25高一上?江蘇揚(yáng)州?期中）求值:

1

(1)0.027^+

iO872

(2)lg25+lg4-7+log42.

【變式1-2］（24?25高一上?江蘇南京?期中）求下列各式的值.

(1)康-（E產(chǎn)

,OS72

(2)log3</27+lg25+lg4-7

【考點(diǎn)題型二】指數(shù)式與對數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化

核心方法：ax=NOx=log/

【例2】（23-24高三上?四川瀘州?階段練習(xí)）實(shí)數(shù)。力滿足2"=5"=10,則下列關(guān)系正確的是（）

21°11112_121

A.-+—=2B.-+-=lc2D.—+—

abababab2

21

【變式2-1］（24-25高一上?江蘇無錫?期中）已知2"，=9"=6,則4+▲=()

mn

A.log618B.log65C.1D.2

【變式2-2］（多選）（22-23高一上?廣東惠州?期中）已知正實(shí)數(shù)。，6滿足b"=4,且a+log2b=3,則

a+2A的值可以為（)

A.6B.7C.8D.9

【考點(diǎn)題型三】利用換底公式化簡求值

核心方法：換底公式：log：=g^（a>0且awl,b>0,c>0,且cwl）

log：

ih1

特別的：log”「7

log,

【例3】（多選）（24-25高一上?江蘇南通?期中）下列結(jié)論正確的有（）

1

A.log45.log58=-_--------B.log62-log82=log84-log64

lo

10g8",§94

C.(lg2)2+lg2-lg5+lg50=2D.若3"=lOJogg25=6,則logz5=——.

a-b

【變式3-1](24-25高一上?浙江寧波?期中)計(jì)算：

⑴-1Og3+210§32-371<)+1°§38；

2

(2)1g2+1g21g5+1g5-log23-log35.log58.

【考點(diǎn)題型四】有附加條件的對數(shù)求值問題

【例4】(23-24高一上?江蘇揚(yáng)州?期中)(1)已知10”=2,10,=20,①求10次"的值；②求第迎產(chǎn)的

值；

??25

(2)已知lg2=a,lg3=&,①用。，6表示lgl2；②用a,6表示1g二.

【變式4-1］（24-25高一上?上海?期中）已知log35=mlog37=?,則用機(jī)，〃表示bg359=.

用她表示器.

【變式4-2］（24-25高一上?上海?期中）已知lg2=a,

【變式4-3］（23-24高一上?廣西?期中）(1)計(jì)算：lg25+lg2xlg50+(lg2)2.

(2)設(shè)log23=a,log?7”,試用a,6表示log4256.

【考點(diǎn)題型五】對數(shù)函數(shù)概念辨析

【例5】（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）給出下列函數(shù)：①y=log,4；②y=log3（尤-1）；?y=log（,+1）x；

④y=log?.其中是對數(shù)函數(shù)的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式5-1］（24-25高一?全國?課后作業(yè)）已知下列函數(shù)：

①y=logl（―x）（x<0）；

2

②y=21og4（x—l）（x>1）；

（3）j=lnx（x>0）；

④>=1°用（x>0,。是常數(shù)）.

其中為對數(shù)函數(shù)的是（只填序號）.

【考點(diǎn)題型六】與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題

【例6】（24-25高一上?上海?期中）函數(shù)y=log{V^的定義域?yàn)?

【變式6-1］（24-25高二上?上海?期中）函數(shù)〃尤）=logz—二的定義域?yàn)開_______

x-2

【變式6-2］（24-25高一上?上海嘉定?期中）設(shè)條件P：log2（4x-尤2）有意義，條件安旨^。，若p是q

的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

【考點(diǎn)題型七】對數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題

核心方法：1O名/=o

【例7】（2024?遼寧大連?模擬預(yù)測）已知函數(shù)y=log.（x-D+1（。>0,且"1）的圖象恒過定點(diǎn)A,若

41

點(diǎn)A在直線5+〃,-1=。上，則一+-的最小值為（）

mn

A.13B.8A/2C.9+40D.8

【變式7-1］（24-25高一上?山東青島?期中）函數(shù)>=疝包+2（。>0且awl）的圖象恒過點(diǎn)函數(shù)

y=log“（x+l）+2（a>。且awl）的圖象恒過點(diǎn)3（p,q）,則"加+網(wǎng)=（）

A.-5B.-3C.-2D.-1

【變式7-2］（24-25高二上?云南昭通?階段練習(xí)）已知函數(shù)y=log〃（x-1）+4（a>0且awl）的圖象恒過

定點(diǎn)P,點(diǎn)尸在幕函數(shù)y=/（x）的圖象上，則〃3）=.

【考點(diǎn)題型八】指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象綜合

【例8-1］（23-24高一上?河南?期末）函數(shù)〃x）=|l皿-司的大致圖象是（）

【例8-2］（23-24高一上?山東濱州?期末）若函數(shù)"log）Ca>0,且awl）的圖象如圖所示，則下列

函數(shù)與圖象對應(yīng)正確的為（）

【變式8-2］（多選）（24-25高一上?湖南長沙?期中）已知m=1,。＞0,且函數(shù)y=log"（-x）與

【考點(diǎn)題型九】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域

【例9】（24-25高三上?河南焦作?階段練習(xí)）若函數(shù)/（x）=l+lgr,則函數(shù)

P（x）=2"⑼"[xe^,1001的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[1,16]B.[1,8]C.[2,16]D.[1,16]

【變式9-1]（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=21og2x-log2（x-l）,〃x）的最小值是.

【變式9-2]（23-24高三上?上海黃浦?期中）函數(shù)＞=1。83）+顯西在區(qū)間、,+，|上的最小值

為.

【變式9-3]（23-24高一上?廣東?期中）已知函數(shù)〃尤）=1嗎（4,-22—1）.

⑴求方程〃力=1的根；

（2）求在[2,log25]上的值域.

【考點(diǎn)題型十】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域（可化為一元二次函數(shù)型）

核心方法：換元法（特別題型：換元必?fù)Q范圍）

[^110-1]（23-24高一上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）已知〃無）=1嗎工行[1,4],貝！|g（尤）=/⑺+/優(yōu)）的值

域是.

【例10-2]（23-24高一上?安徽淮北?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=log/3.Iog2（16'"-x3）.

（1）若〃=1,求方程f（x）=-1的解集;

⑵當(dāng)xe[2,4]時(shí)，求函數(shù)/（X）的最小值.

【變式10-1］（23-24高一下?安徽合肥?期末）函數(shù)"x）=log2X」og2（2x）的最小值為.

【變式10-2］（23-24高一下?河北石家莊?期中）函數(shù)/（尤）=（log2X+log24）（log2X+log22）的定義域?yàn)?/p>

xe7,4.

_4_

⑴設(shè)，=10g2》，求f的取值范圍；

⑵求函數(shù)/（X）的最大值與最小值，并求出取最值時(shí)對應(yīng)的X的值

【考點(diǎn)題型十一】對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題

核心方法：復(fù)合函數(shù)求單調(diào)性法則（特別題型，容易忽視定義域而造成錯(cuò)解）

【例11］（23-24高一上?河北唐山?期中）函數(shù)“x）=logi（-2Y+3x+5）的單調(diào)增區(qū)間為.

2

【變式11-1］（24-25高一上?福建廈門?期中）函數(shù)/。）=小2（尤2_》_2）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.卜°0，.B.C.D.（2,+co）

【變式11-2］（24-25高三上?江蘇泰州?期中）函數(shù)〃x）=ln（x2-8x+12）的單調(diào)遞增區(qū)間為.

【考點(diǎn)題型十二】根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

核心方法：復(fù)合函數(shù)求單調(diào)性法則

【例12］（24-25高三上?天津南開?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（尤）=廄2（-/+6+15）在：,4上單調(diào)遞增，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

［變式12-1］（24-25高三上?山東德州?期中）已知關(guān)于x的函數(shù)>=l°g1（/+依+°-1）在［-3,-2］上單調(diào)

2

遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<4B.a<4

C.a<3D.a<3

【變式12-2］.（24-25高三上?廣東惠州?期中）已知函數(shù)"x）=log2（尤2-2ax）,acR,貝!!“aW0”是“函數(shù)

“X）在。,內(nèi)）上單調(diào)遞增”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)題型十三】利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比大小

核心方法：單調(diào)性

【例13］（24-25高三上?四川成都?階段練習(xí)）已知a=0.6°',^=log060.3,c=log060.4,則a,b,c的

大小關(guān)系為（）

A.b>c>aB.a>b>c

C.c>b>aD.a>c>b

【變式（24?25高三上?內(nèi)蒙古錫林郭勒盟?期中）已知〃=1（^5,&=log38,c=2則下列判斷正確

的是（）

A.b<c<aB.a<b<c

C.a<c<bD.a<b<c

【變式13-2］（24-25高三上?四川德陽?階段練習(xí)）已知a=logs2,^=log83,c=1,則下列判斷正確的

是（）

A.c<b<aB.b<a<c

C.a<c<bD.a<b<c

【考點(diǎn)題型十四】利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式

核心方法：單調(diào)性

【例14-1］（23-24高一下糊北?期中）已知函數(shù)/■（x）=log2（3-〃a）,g（x）=log2（x+D.

⑴若/（無）在（2,3）上單調(diào)遞減，求加的取值范圍；

（2）若%=2,解不等式/⑶+g（x）<l.

【例14-2］（23-24高一上?山東泰安?期中）函數(shù)/（x）=lg（a9+3'-1）.

⑴如果xe（O,l）時(shí)，“X）有意義，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

（2）當(dāng)aWO時(shí)，“X）值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)”的值；

（3）在（2）條件下，8（尤）=10"，）+1.解關(guān)于犬的不等式8（/+及一2。28（2尤）.

【變式14-1]（24-25高一上?吉林延邊?期中）已知函數(shù)/⑺=ln（2-x）+ln（2+x）.

⑴求函數(shù)，（x）的定義域；

⑵判斷了（無）奇偶性，并加以證明；

（3）若“2M+l）＜ln3,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【變式14-2]（23-24高一上?河北?期末）已知函數(shù)〃%）=1。8工（6-彳）-1。⑤（6+期.

44

⑴判斷函數(shù)〃X）的奇偶性；

⑵判斷函數(shù)“X）的單調(diào)性；

（3）若"2左+1）＜〃5-左），求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【考點(diǎn)題型十五】對數(shù)函數(shù)綜合問題（單調(diào)性，奇偶性，恒成立，不等式，值域等綜合問題）

核心方法：單調(diào)性

【例15-11（24-25高一上?福建廈門?期中）已知函數(shù)〃x）=log“x（“＞l）,關(guān)于尤的不等式|〃到＜1的解

集為（加,“），且〃/+"=].

⑴求。的值；

⑵是否存在實(shí)數(shù)幾，使函數(shù)8（尤）=[〃*一-2盯（引+3,無€-,9的最小值為:？若存在，求出2的值；

若不存在，說明理由.

【例15-2](24-25高一上?浙江?期中)已知函數(shù)f(x)=3匚為奇函數(shù).

y+a

⑴求實(shí)數(shù)a的值；

⑵解不等式〃龍)>2；

(3)設(shè)函數(shù)8(幻=1隰｝1。員t+加，若對任意的占e[3,27],總存在％e(0」，使得g&)=/(動(dòng)成立，求

實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【例15-3](23-24高一上?河北唐山?期中)已知函數(shù)〃x)=log,(l-x)+3,(“>。且awl)的圖象經(jīng)過點(diǎn)

P(-2,4),且函數(shù)g(x)=為奇函數(shù)

⑴求函數(shù)/⑺、g(x)的解析式;

⑵判斷并證明g(x)在定義域上的單調(diào)性；

1+x

(3)若關(guān)于x的不等式〃?-log?</(尤)在區(qū)間(-L0)上恒成立，求正實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

1-x

【變式15-1](24-25高三上?遼寧大連?期中)已知函數(shù)=為奇函數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)a的值；

⑵設(shè)函數(shù)g(無)=皿2，1鳴：+，〃，若對任意的總存在石42,8],使得g(%)=/(X2)成立，求

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【變式15-2］（24-25高一上?浙江紹興?期中）函數(shù)"x）=（log2》-

（1）當(dāng)xe［l,4］時(shí)，求該函數(shù)的值域；

⑵若/（力＞〃水蝎工對于xe［l用恒成立，求機(jī)的取值范圍.

【變式15-3］（23-24高一上?江蘇南通?期中）已知函數(shù)"x）=log4（2+x）-log4（2r）,函數(shù)

v

g（%）=log4（4-2）.

⑴試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

⑵若不等式8（1。82（2"+1））＜〃彳）對"|,2）恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【考點(diǎn)題型十六】對數(shù)函數(shù)中新定義問題

【例16】（23-24高一下?貴州貴陽?期中）對于在區(qū)間回，可上有意義的函數(shù)“力，若滿足對任意的看，

x2&［m,n］,有恒成立,則稱/（x）在在"，司上是“友好”的，否則就稱/（尤）在［3〃］上是

“不友好”的.現(xiàn)有函數(shù)/（無）=log34竺.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，判斷函數(shù)“X）在［1,2］上是否“友好”；

⑵若函數(shù)〃x）在區(qū)間＜m＜2）上是“友好”的，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【變式16-1］(23-24高一上?江蘇無錫?階段練習(xí))若函數(shù)y=/(x)對定義域內(nèi)的每一個(gè)值￡1,在其定義域

內(nèi)都存在唯一的吃,使/(占)+/(%)=1成立，則稱該函數(shù)為“和一函數(shù)

⑴判斷定義在區(qū)間［1,+。)上的函數(shù)/(x)=g是否為“和一函數(shù)”，并說明理由；

⑵若函數(shù)g(x)=log4x在定義域［a,b］上是“和一函數(shù)”.

①求必的值；

②求25-。的取值范圍.

【變式16-2】?(2024?上海金山?二模)已知函數(shù)＞=/(元)與y=gQ)有相同的定義域。.若存在常數(shù)。

(aeR),使得對于任意的We。，都存在馬仁。，滿足/(占)+8(馬)=。，則稱函數(shù)丁=g(x)是函數(shù)

y=f(x)關(guān)于。的“S函數(shù)”.

⑴若/(x)=lnx,g(x)=e，，試判斷函數(shù)y=g(x)是否是V=/(x)關(guān)于。的“S函數(shù)”，并說明理由；

⑵若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)均存在最大值與最小值，且函數(shù)V=g(x)是y=f(無)關(guān)于a的"s函數(shù)"，

、=/(無)又是'=8(為關(guān)于。的"函數(shù)"，證明："。)京+區(qū)(初鵬=。；

(3)已知/(x)=|x-l|,g(x)=?,其定義域均為［0用.給定正實(shí)數(shù)3若存在唯一的〃，使得y=g(x)是

y=/(無)關(guān)于。的"S函數(shù)”，求f的所有可能值.

提升訓(xùn)練

1.(24?25高一上?上海?期中)已知小^k=log3m=log9n=log27(9m+8n),貝(|左=()

A.-2B.2C.—D.一

22

2.(24-25高一上?江蘇?期中)1%("+2^-，4-2指)=()

A.4B.2C.-D.i

24

3.(24-25高三上?福建寧德?期中)某一物質(zhì)在特殊環(huán)境下的溫度變化滿足：T=151n匕二必(T為時(shí)

W-%

間，單位為min,“為特殊環(huán)境溫度，叱為該物質(zhì)在特殊環(huán)境下的初始溫度，卬為該物質(zhì)在特殊環(huán)境下冷

卻后的溫度），假設(shè)一開始該物質(zhì)初始溫度為100℃,特殊環(huán)境溫度是20C,則經(jīng)過15min,該物質(zhì)的溫

度最接近（參考數(shù)據(jù)：e“2.72）（）

A.54℃B.52℃C.50℃D.48℃

4.（24-25高三上?江蘇常州?期中）已知函數(shù)/（x）=log“（2-冰）（fl>0,且。力1）.3xe[l,2],使得

/（X）21成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.目B.[|,1]（U]

C.（1,2]D.|,2

5.（遼寧省名校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試題）函數(shù)/（x）=ln（5/7W+質(zhì)）是奇函

數(shù)，則上的取值集合為（）

A.{-1}B.{0}C.{1}D.{-1,1}

6.（24-25高一上?福建廈門?期中）已知〃=2",6=1.52,c=log030.6,則（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.b<a<cD.c<a<b

"的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值

7.（24-25高一上?河北保定?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=

log3X,X>1

范圍是（）

A.(-4,4)B.H，4)C.(-8,-4)

8.（24-25高三上?湖南長沙?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（2x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足

/(x+l)+/(3-x)=0,且當(dāng)x?2,4)時(shí)，〃力=一1弋(左一2)+%，若/(20：5)-1=〃川,則加等于

()

1221

A.-B.-C.一一D.——

3333

二、多選題

9.（24-25高三上?四川達(dá)州?開學(xué)考試）已知命題“6?1,入）,瓜「4-。20”為真命題，則實(shí)數(shù)4的值可

以是（）

A.2B.0C.-1D.-2

10.（24-25高三上?河南三門峽?期中）在實(shí)際應(yīng)用中，通常用吸光度A