2024-2025學(xué)年四川省綿陽(yáng)市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省綿陽(yáng)市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷

一、單選題：（本題共8小題，每題5分，共40分）

1.（5分）拋物線>=4/的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（0,1）B.（1,0）C.（0,—）D.（―,0）

'16，'16）

2.（5分）已知點(diǎn)/（2,1,-1）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為瓦則|藍(lán)|等于（）

A.3V2B.2V6C.2D.2乘

3.（5分）我市某所高中每天至少用一個(gè)小時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生共有1200人，其中一、二、三

年級(jí)的人數(shù)比為3：4：3,要用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為120的樣本，則

應(yīng)抽取的一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為（）

A.52B.48C.36D.24

v2

4.（5分）若直線/過(guò)點(diǎn)（-3,-2）,且與雙曲線:-y2=i過(guò)第一和第三象限的漸近線互

4

相垂直，則直線/的方程為（）

A.2x+y-8=0B.2x+;v+8=0C.2x-y+8=0D.2x-y-6=0

5.（5分）安排甲，乙，丙三位志愿者到編號(hào)為1,2,3的三個(gè)教室打掃衛(wèi)生，每個(gè)教室恰好

安排一位志愿者，則甲恰好不安排到3號(hào)教室的概率為（）

2311

A.-B.-C.-D.-

3443

6.（5分）已知直線/：fcc+y+2-左=0過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)尸（x,>）在直線2x-y+l=0上，^\\MP\

的最小值是（）

A.5B.V5C.學(xué)D.y

7.（5分）已知M（-2,0）,圓C：N-4x+y2=0,動(dòng)圓P經(jīng)過(guò)M點(diǎn)且與圓C相切，則動(dòng)圓

圓心P的軌跡方程是（）

A.N—?=l（X>1）B.y-/=l（x>V3）

C.3D.-3-//=1

8.（5分）已知尸i,F2是橢圓C：5+，=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)，2是。的下頂點(diǎn)，直線

—>—>

3入與C的另一個(gè)交點(diǎn)為4且滿(mǎn)足％則C的離心率為（）

二、多選題：（本題共3小題，每題6分，共18分）

（多選）9.（6分）一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張相同的卡片，上面分別標(biāo)有1?9這9個(gè)數(shù)

字（每張卡片上標(biāo)1個(gè)數(shù)），“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字為2或5或8”記為事

件“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字不超過(guò)6”記為事件2,“從中任意抽取1張

卡片，卡片上的數(shù)字大于等于7”記為事件C.則下列說(shuō)法正確的是（）

A.事件/與事件C是互斥事件

B.事件8與事件。是對(duì)立事件

C.事件/與事件2相互獨(dú)立

D.P（NUB）=P（A）+P（B）

（多選）10.（6分）已知拋物線產(chǎn)=22x（p>0）的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為4,直線/過(guò)點(diǎn)廠

且與拋物線交于/（xi,力），B（及，》）兩點(diǎn)，若M（m,2）是線段48的中點(diǎn)，則（）

A.p=4

B.拋物線的方程為f=16x

C.直線/的方程為y=2x-4

D.|/8|=10

（多選）11.（6分）如圖，已知斜三棱柱N5C-4SG中，NB力C=5=y,^CAAX=p

4B=4C=1,44i=2,點(diǎn)。是21c與3G的交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AO=^AB+AC+AA^)B.\AO\=^

C.AO1BCD.平面/8C_L平面818CG

三、填空題：（本題共3小題，每題5分，共15分）

12.（5分）兩平行直線Zi：（2x+3j+l=0,/2：x+（a-2）y+a=0的距離為.

13.（5分）己知1,xi,血，X3,g這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)為3,方差為2,則為,冷，冷，g這4

個(gè)數(shù)的方差為.

14.（5分）已知圓。：x2+y2=9,橢圓C：[+[=1的左、右焦點(diǎn)分別為吊，尸2，。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，直線OP與圓。交于點(diǎn)M,N,若|尸尸小|尸尸2尸4,則1PM"?網(wǎng)

四、解答題：（第15題13分，第16、17題每題15分，第18、19題每題17分，共77分）

15.（13分）已知圓”與y軸相切，其圓心在x軸的負(fù)半軸上，且圓M被直線x-y=O截得

的弦長(zhǎng)為2a.

（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)P（0,3）的直線/與圓M相切，求直線/的方程.

16.（15分）在2024年法國(guó)巴黎奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)乒乓球隊(duì)包攬了乒乓球項(xiàng)目全部5枚金牌，

國(guó)球運(yùn)動(dòng)再掀熱潮.現(xiàn)有甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽（五局三勝制），其中每局中甲

獲勝的概率為右乙獲勝的概率為g每局比賽都是相互獨(dú)立的.

（1）求比賽只需打三局的概率；

（2）已知甲在前兩局比賽中獲勝，求甲最終獲勝的概率.

17.（15分）高二某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)慷冀橛?3秒到18秒之間，將

測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組，第一組[13,14）,第二組[14,15）...第五組[17,18],如

圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

（1）若成績(jī)大于等于14秒且小于16秒規(guī)定為良好，求該班在這次百米測(cè)試中成績(jī)?yōu)榱己?/p>

的人數(shù).

（2）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)（精確到0.01）.

（3）設(shè)機(jī)，"表示該班兩個(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)，已知加，?e[13,14）U[17,18],求事

件“加-川＞2”的概率.

18.（17分）如圖所示，直角梯形4BCD中，AD//BC,ADLAB,AB=BC=24D=2,四邊形

E0CF為矩形，CF=W,平面磯1cF_L平面4BCD.

（1）求證：。尸〃平面4BE；

(2)求平面4BE與平面瓦吆夾角的余弦值;

(3)在線段OF上是否存在點(diǎn)P使得直線8尸與平面N3E所成角的余弦值為手，若存在,

求出線段5尸的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

77

22—

19.(17分)已知雙曲線C：a一力=1(。＞°，b〉0)的左、右焦點(diǎn)為居、尸2,虛軸長(zhǎng)為4VL

離心率為魚(yú)，過(guò)。的左焦點(diǎn)B作直線/交C的左支于4、8兩點(diǎn).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若4%=4企，求6的大??；

(3)若M(-2,0),試問(wèn)：是否存在直線/,使得點(diǎn)M在以43為直徑的圓上？請(qǐng)說(shuō)明理

由.

答案與試題解析

題號(hào)12345678

答案CDCBABCA

一、單選題：(本題共8小題，每題5分，共40分)

1.(5分)拋物線y=4f的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(0,1)B.(1,0)C.(0,—)D.(―,0)

'16，'16)

【分析】把拋物線夕=4x2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，確定開(kāi)口方向和p值，即可得到焦點(diǎn)坐標(biāo).

解：拋物線y=4N的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=%,p=*開(kāi)口向上，焦點(diǎn)在》軸的正半軸上，

故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,3)，

16

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用；把拋物線y=4x2的方程化為

標(biāo)準(zhǔn)形式，是解題的關(guān)鍵.

2.(5分)已知點(diǎn)N(2,1,-1)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為8,則|藍(lán)|等于()

A.3V2B.2V6C.2D.2甚

―>

【分析】根據(jù)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得點(diǎn)2的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式可得|48|.

解：由題意，點(diǎn)/(2,1,-1)關(guān)于〉軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為2(-2,1,1),

由兩點(diǎn)間的距離公式可得|/同=J(-2—2/+(1-1尸+(-1—1)2=275.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及空間中兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，

屬于基礎(chǔ)題.

3.(5分)我市某所高中每天至少用一個(gè)小時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生共有1200人，其中一、二、三

年級(jí)的人數(shù)比為3：4：3,要用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為120的樣本，則

應(yīng)抽取的一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為()

A.52B.48C.36D.24

【分析】根據(jù)給定條件，利用分層抽樣的抽樣比列式計(jì)算即得.

解：用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為120的樣本，則應(yīng)抽取的一年級(jí)學(xué)生的人

數(shù)為：豆缶X12°=36?

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.（5分）若直線/過(guò)點(diǎn)（-3,-2）,且與雙曲線:-儼=i過(guò)第一和第三象限的漸近線互

相垂直，則直線/的方程為（）

A.2x+y-8=0B.2x+jH-8=0C.2x-y+8=0D.2x-y-6=0

【分析】由雙曲線方程寫(xiě)出其漸近線方程，根據(jù)兩直線垂直求出直線/的斜率，由點(diǎn)斜式

即得I的方程.

解：直線/過(guò)點(diǎn)（-3,-2）,且與雙曲線=1過(guò)第一和第三象限的漸近線互相垂直,

如圖，由J-y=1可知雙曲線在第一和第三象限的漸近線方程為：y=lx,

直線I與之垂直，則直線I的斜率為-2,

又直線I過(guò)點(diǎn)（-3,-2）,故直線I的方程為y+2=-2（x+3）,即2x+y+8=0.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線方程的求法，是基礎(chǔ)題.

5.（5分）安排甲，乙，丙三位志愿者到編號(hào)為1,2,3的三個(gè)教室打掃衛(wèi)生，每個(gè)教室恰好

安排一位志愿者，則甲恰好不安排到3號(hào)教室的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

3443

【分析】基本事件總數(shù)〃=題=6,甲恰好不安排到3號(hào)教室包含的基本事件個(gè)數(shù)

m=6題=4,由此能求出甲恰好不安排到3號(hào)教室的概率.

解：安排甲，乙，丙三位志愿者到編號(hào)為1,2,3的三個(gè)教室打掃衛(wèi)生,

每個(gè)教室恰好安排一位志愿者，

基本事件總數(shù)n=Al=6,

甲恰好不安排到3號(hào)教室包含的基本事件個(gè)數(shù)m=C；題=4,

則甲恰好不安排到3號(hào)教室的概率為尸=竺=：=；.

n63

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，

是基礎(chǔ)題.

6.(5分)已知直線/：fcc+產(chǎn)2f=0過(guò)定點(diǎn)環(huán)點(diǎn)尸(x,y)在直線2x-y+l=0上，則

的最小值是()

A.5B.V5C.學(xué)D.y

【分析】先求定點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求解點(diǎn)到直線上動(dòng)點(diǎn)距離最小值即可.

解：由fcv+y+2-后=0得>2=左(1-x),所以直線/過(guò)定點(diǎn)-2),

依題意可知附尸|的最小值就是點(diǎn)M到直線2x->+1=0的距離，

由點(diǎn)到直線的距離公式可得|MP|加八==V5.

V4+1

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和

計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.(5分)已知M(-2,0),圓Cx2-4x+y2^0,動(dòng)圓P經(jīng)過(guò)M點(diǎn)且與圓C相切，則動(dòng)圓

圓心尸的軌跡方程是()

2

A.9―9=1(X>1)B.y-y=1(x>V3)

C.9一片=1D.--/=1

33z

【分析】由題意，得到圓。的圓心和半徑，設(shè)出動(dòng)圓P的半徑，分別討論動(dòng)圓尸與圓。相

內(nèi)切和外切兩種情況，結(jié)合雙曲線的定義以及a,b,c之間的關(guān)系，列出等式進(jìn)行求解即

可.

解：易知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=4,

所以圓C是以C(2,0)為圓心，2為半徑的圓，

不妨設(shè)動(dòng)圓尸的半徑為r,

若動(dòng)圓P與圓C相內(nèi)切，

此時(shí)圓C在動(dòng)圓P內(nèi)，

可得|PM=r,|PC尸r-2

所以1PM-\PC\=2<\MC\=4,

則動(dòng)點(diǎn)P是以M,C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，

此時(shí)a=l,c=2,

所以6=Vc2—a2=V3,

則動(dòng)圓圓心尸的軌跡方程為N—1=1（%>1）,

若動(dòng)圓P與圓C相外切，

可得1PM=r,|PC|=r+2

所以|PC|-|PM=2<|MC|=4,

則動(dòng)點(diǎn)P是以M,C為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，

此時(shí)4=1,0=2,

所以b=Vc2—a2=V3,

則動(dòng)圓圓心尸的軌跡方程為-1=1（XS-1）,

綜上，動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為N—9=1.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

8.（5分）已知尸2是橢圓C：5+，=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，2是。的下頂點(diǎn)，直線

—>―>

AF2與C的另一個(gè)交點(diǎn)為4且滿(mǎn)足尸遇1%3,則C的離心率為（）

【分析】利用橢圓的定義及勾股定理用a表示出|/尸1|，在中求出coM,再

在△/尸1尸2中，通過(guò)余弦定理得到IF1F2E與層的關(guān)系，即可求出離心率.

解：如圖，2尸1|=|比囹=。，令磔尸2尸機(jī)，則14gl=2a-加，

222

F\A1：.FiA±FiBf^\AB\=|^|+|5^|,

2

即（加+。）=（2。-次）2+Q2,得血二年，

則⑷^匚手|/5|=a+ga=1|a,

4a

在RtA^FiB中,有cosA==磊=g,

—5

在△AF1尸2中，由余弦定理得：尸1尸2『=|4F1E+|4尸2『—2|4%|?|力/21cos4

??!2/4a、2,2a、2o4a2a44o

?-4c=（T）+（-）-2xTxTx-=-a^

解得￡=v.

a5

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查焦點(diǎn)三角形的解法，是中檔題.

二、多選題：（本題共3小題，每題6分，共18分）

（多選）9.（6分）一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張相同的卡片，上面分別標(biāo)有1?9這9個(gè)數(shù)

字（每張卡片上標(biāo)1個(gè)數(shù)），“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字為2或5或8”記為事

件/,“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字不超過(guò)6”記為事件瓦“從中任意抽取1張

卡片，卡片上的數(shù)字大于等于7”記為事件C.則下列說(shuō)法正確的是（）

A.事件N與事件C是互斥事件

B.事件2與事件C是對(duì)立事件

C.事件/與事件8相互獨(dú)立

D.P（ZUB）=P（/）+P（2）

【分析】利用互斥事件的定義判斷4利用對(duì)立事件的定義判斷8;利用相互獨(dú)立事件的

定義判斷C;利用古典概型、列舉法判斷。.

解：一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張相同的卡片，上面分別標(biāo)有1?9這9個(gè)數(shù)字（每張卡片

上標(biāo)1個(gè)數(shù)），

“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字為2或5或8”記為事件/,“從中任意抽取1張卡

片，卡片上的數(shù)字不超過(guò)6”記為事件B,

“從中任意抽取1張卡片，卡片上的數(shù)字大于等于7”記為事件C.

樣本空間為。={1,2,3,4,5,6,7,8,9},

A={2,5,8},B={\,2,3,4,5,6},C={7,8,9}.

:/nc={8},...事件/與事件。不是互斥事件，故/錯(cuò)誤；

：3UC={1,2,3,4,5,6,8,9},3nC=0,

；?事件B與事件C為對(duì)立事件，故8正確；

?.?P(PB)="P(^)=|=pP(B)=1=t>

：.P(AB)=P(/)P(8),即事件N與事件3相互獨(dú)立，故C正確；

???PG4UB).

：.P(AUB)*P(/)+P(B),故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件、古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，

考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

(多選)10.(6分)已知拋物線產(chǎn)=2px(p>0)的焦點(diǎn)下到準(zhǔn)線的距離為4,直線/過(guò)點(diǎn)廠

且與拋物線交于/(xi,勿)，B(X2,方)兩點(diǎn)，若M(m,2)是線段的中點(diǎn)，則()

A.p=4

B.拋物線的方程為f=16x

C.直線/的方程為y=2x-4

D.\AB\=\0

【分析】由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可求得〃=4,則可判斷/正確，3錯(cuò)誤；利用斜率坐標(biāo)計(jì)算

公式幾何中點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算公式可求得直線/的斜率，從而求得I的方程，可判斷C正確；勿+理

—2(xi+x2)-8=4,所以XI+X2=6從而|48|=|4F|+|8F|=XI+X2+4=10判斷￡>正確.

解：根據(jù)題意及拋物線的幾何性質(zhì)可得p=4,故N正確；

故拋物線的方程為產(chǎn)=8x,焦點(diǎn)尸(2,0),故3錯(cuò)誤；

又yj=8%i，y|=8%2，且2)是48的中點(diǎn)，

；?"+/=4,：.y\-y|=8刀1-8x2,

二皿=」=2,.?.直線/的方程為y=2x-4.故C正確；

X1-X2yi+72

?yi+y2=2(xi+x2)8=4,..XI+X2=6,

：.\AB\^\AF\+\BF\=xx+xi+A=10,故。正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，點(diǎn)差法的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

(多選)11.(6分)如圖，已知斜三棱柱48C-4131G中，NB4C=],^BAA1=等，/.CAAX=全

NB=/C=1,44i=2,點(diǎn)。是8C與3cl的交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

一[TTT

A.Z0="B+"+44i)B.|初=當(dāng)

C.AO.LBCD.平面4BC_L平面BiBCG

―>

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算,逐步把4。用基向量表示出來(lái)即可判斷/；對(duì)于3,C,

,T_>TTT_>.,

D,則可以選擇AB=a,AC=b,44i=c為平面的一組基，分別用a,b,c表示出相關(guān)向

量，再運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求向量模長(zhǎng)和驗(yàn)證向量垂直，即可判斷5,C；對(duì)于。項(xiàng)，

—>—>

計(jì)算推得再由即可證得4E，平面55。。1,最后由線面垂直得

面面垂直即可.

解：對(duì)于/,因4。=AB+B0=AB+^AC-AB+AA^=^AB+AC+AA￡）,故/正確；

T—TTTT

對(duì)于2,不妨設(shè)4B=a,4C=b,=c,貝|{a,b,c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底.

—>~—>—>~-—>—>—>

則依題意：1@1=1勿=1，1。1=2，聯(lián)b=0,b,c=1,a-c=-1,

,T1T—T

由A可得，AO=—(ci+b+c),

貝！J|Z0|2=1(a2+b2+c2+2a?b+2b?c+2a.c)=|,即|A0|二'，故5正確；

TT—TT1T7->7-?1

對(duì)于C,因=b-ctf故Z。,BC=Q(a+b+c),(b—a)—~(-1+1+1+1)=1W0,

故c錯(cuò)誤；

對(duì)于。，如圖取3c的中點(diǎn)E,連接

因?yàn)?5=/C,￡為8C的中點(diǎn)，所以

5L.AE-BBi=：（a.c+b-c）=-1+1）=0,故有/￡_L83i,

因?yàn)锽C,豳U平面2bBeci，

所以NE_L平面SBCG,又4BU平面NBC,

故平面4BC_L平面33CG,即D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，屬中檔題.

三、填空題：（本題共3小題，每題5分，共15分）

12.（5分）兩平行直線/i：ax+3y+l=0,I2：x+（a-2）y+a=0的距皆為—^―

【分析】利用平行線求解。，結(jié)合距離公式求解即可.

解：由/1〃/2時(shí)，求出。=3,由此能求出直線/1與/2之間距離.

解析：當(dāng)"/2時(shí),有昨（?二評(píng)，

解得。=3,/i：3%+3y+l=0,I2：x+y+3=0,即3x+3y+9=0,

**?直線/i與h之間距禺為d=J.；2=

故竽

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩直線間距離的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意距離公式的

合理運(yùn)用.

13.（5分）已知1,Xl,X2,X3,X4這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)為3,方差為2,則Xl,X2,X3，X4這4

個(gè)數(shù)的方差為

【分析】根據(jù)1,XI,X2,X3,X4這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)求出XI,X2,X3,X4這4個(gè)數(shù)的平均數(shù)，

再利用公式計(jì)算出說(shuō)+君+巖+德=54和X1,必%3,X4這4個(gè)數(shù)的方差.

1Z04-

解：因?yàn)?,X”X2,X3,X4這5個(gè)數(shù)的平均數(shù)為3,方差為2,

所以3（%i+盯+%3+%4+1）=3,即Xl+%2+X3+X4=14,

所以Xl，X2,X3，%4這4個(gè)數(shù)的平均數(shù)為土=[X（/+到+%3+久4）=/

所以"2,+A+i-32=2,即弓+%+用+公=54,

所以Xl，X2，X3，X4這4個(gè)數(shù)的方差為：（￡+%；+用+公）一元2=3義54-6）2=1|.

故*

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平均數(shù)，方差的計(jì)算公式，是基礎(chǔ)題.

14.（5分）已知圓。：/+產(chǎn)=9,橢圓C：9+1=1的左、右焦點(diǎn)分別為B,尸2,O為坐標(biāo)

原點(diǎn)，尸為橢圓。上一點(diǎn)，直線O尸與圓O交于點(diǎn)M,N,若1PBi?|列囹=4,貝!

=6.

【分析】利用尸碎+|刊囹=2°求出。尸|,然后將1PM』尸網(wǎng)轉(zhuǎn)化為|。網(wǎng)2_Q砰求解即可.

解：根據(jù)已知圓。：9+產(chǎn)=9,橢圓C：!+1=1的左、右焦點(diǎn)分別為尸1，/2,

作圖如下,

222

令點(diǎn)P（X0,次）,因?yàn)閨P%|+\PF2\=2an\PFr\+\PF2\+2\PF1\\PF2\=4a,

并且根據(jù)題意知1PBM尸尸21=4,所以（久o+c）2+羽+（久0-c）2+亦+8=4a2,

因此君+羽=2a2-c2-4

=10-3-4

=3,

所以|PM|?|PN|=（|OM|-\OP\X\ON\+\OP\）=\OM\2-\OP\2=9一（君+赤）=6.

故6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與圓錐曲線綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

四、解答題：（第15題13分，第16、17題每題15分，第18、19題每題17分，共77分）

15.（13分）已知圓M與夕軸相切，其圓心在x軸的負(fù)半軸上，且圓M被直線x-y=0截得

的弦長(zhǎng)為2夜.

（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)P（0,3）的直線/與圓M相切，求直線/的方程.

【分析】（1）根據(jù)弦長(zhǎng)及圓的幾何性質(zhì)求出圓心半徑得解；

（2）分類(lèi)討論直線的斜率是否存在，根據(jù)點(diǎn)到直線距離等于半徑得解.

解：⑴因?yàn)閳A心在x軸的負(fù)半軸上，所以設(shè)圓環(huán)（x-a）2+產(chǎn)=八（0<0）

又圓M與y軸相切，所以同=r,即r=-a.

圓心0）到直線x-y=0的距離為號(hào)，

所以（空）2+（應(yīng)）2=。2,解得。=一2,則r=2.

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為G+2）2+產(chǎn)=4.

（2）由（1）知，圓心為M（-2,0）,r=2,

因?yàn)?2+32>4,所以點(diǎn)尸在圓M外，過(guò)圓M外一點(diǎn)作圓M的切線，其切線有2條.

①當(dāng)/的斜率左不存在時(shí)，直線/的方程為x=0,

圓心M（-2,0）到直線x=0的距離為2,

所以直線x=0與圓M相切.

②當(dāng)/的斜率左存在時(shí)，設(shè)/的方程為y=fcr+3,即fcc-y+3=0,

則圓心M到/的距離d=展粵=2,解得k=2，

J1+H12

此時(shí)/的方程為5x-12y+36=0.

綜上，I的方程為5x-12j+36=0或x=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

16.（15分）在2024年法國(guó)巴黎奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)乒乓球隊(duì)包攬了乒乓球項(xiàng)目全部5枚金牌，

國(guó)球運(yùn)動(dòng)再掀熱潮.現(xiàn)有甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽（五局三勝制），其中每局中甲

獲勝的概率為右乙獲勝的概率為g每局比賽都是相互獨(dú)立的.

（1）求比賽只需打三局的概率；

（2）已知甲在前兩局比賽中獲勝，求甲最終獲勝的概率.

【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可解；

（2）根據(jù)相互獨(dú)立和時(shí)間事件乘法公式可解.

解：（1）設(shè)事件/="甲前三局都獲勝”，事件3="乙前三局都獲勝”，

2228

則P(B)*X：X；卷P(A)=|x-X-

3327,

比賽只需打三局的概率為：P=P(AU8)=P⑷+P(B)=^=1,

(2)甲需要打三局的概率為：Pi=g,

甲需要打五局的概率為：P3=1xix|=^,

甲需要打四局的概率為：P2=

則甲最終獲勝的概率為：P=g+/捺=||,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.

17.(15分)高二某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)慷冀橛?3秒到18秒之間，將

測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組，第一組［13,14),第二組［14,15)…第五組［17,18］,如

圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

(1)若成績(jī)大于等于14秒且小于16秒規(guī)定為良好，求該班在這次百米測(cè)試中成績(jī)?yōu)榱己?/p>

的人數(shù).

(2)請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)(精確到0.01).

(3)設(shè)機(jī)，”表示該班兩個(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)，已知加，"引13,14)U［17,18］,求事

件"|帆-川>2”的概率.

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖能求出成績(jī)?cè)冢?4,16)內(nèi)的人數(shù)，由此得到該班在這次

百米測(cè)試中成績(jī)?yōu)榱己玫娜藬?shù).

(2)由頻率分布直方圖能求出眾數(shù)落在第二組［15,16)內(nèi)，由此能求出眾數(shù)；數(shù)據(jù)落在

第一、二組的頻率是0.22V0.5,數(shù)據(jù)落在第一、二、三組的頻率是0.6>0.5,所以中位數(shù)

一定落在第三組中，假設(shè)中位數(shù)是x,則0.22+G-15)x0.38=0.5,由此能求出中位數(shù).

(3)成績(jī)?cè)冢?3,14)的人數(shù)有2人，成績(jī)?cè)冢?7,18)的人數(shù)有3人，由此能求出結(jié)果.

解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖知成績(jī)?cè)冢?4,16)內(nèi)的人數(shù)為：

50x0.18+50x0.38=28人.

...該班在這次百米測(cè)試中成績(jī)?yōu)榱己玫娜藬?shù)為28人.

(2)由頻率分布直方圖知眾數(shù)落在第三組[15,16)內(nèi)，

眾數(shù)是誓=15.5.

:數(shù)據(jù)落在第一、二組的頻率=b0.04+b0.18=0.22<0.5,

數(shù)據(jù)落在第一、二、三組的頻率=1x0.04+1x0.18+1X0.38=0.6>0.5,

二中位數(shù)一定落在第三組中，

假設(shè)中位數(shù)是x,則0.22+(%-15)x0.38=0.5,

解得x=詈-15.74,

...中位數(shù)是15.74.

(3)成績(jī)?cè)赱13,14)的人數(shù)有50x0.04=2人，

成績(jī)?cè)赱17,18)的人數(shù)有；50x0.06=3人，

設(shè)相，〃表示該班兩個(gè)學(xué)生的百米測(cè)試成績(jī)

,:m,?e[13,14)U[17,18],

事件“恤-川>2”的概率

歿3

片可/

【點(diǎn)評(píng)】本題考查眾數(shù)、中位數(shù)的求法，考查概率的計(jì)算，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題,

注意頻率分布直方圖的合理運(yùn)用.

18.(17分)如圖所示，直角梯形4BCD中，AD//BC,ADLAB,AB=BC=24D=2,四邊形

即CF為矩形，CF=V3,平面E￡>CF_L平面4BCD

(1)求證：。尸〃平面48￡；

(2)求平面與平面EF3夾角的余弦值；

(3)在線段。尸上是否存在點(diǎn)尸，使得直線2P與平面/BE所成角的余弦值為手，若存在,

求出線段5尸的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

C

A

B

【分析】(1)取。為原點(diǎn)，所在直線為X軸，所在直線為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

T—TTTT

求出平面/2E的法向量n與向量DF,根據(jù)DF?n=O證明DF_Ln；從而證明。下〃平面/BE；

(2)求平面8所的法向量拓，再計(jì)算平面/AB與平面EEB所成銳二面角的余弦值;

——T->

(3)設(shè)DP=LDF,Xe[O,1],求向量BP與平面ABE的法向量n所成角的余弦值，列出方

―>

程解方程得九的值，從而求出IBPM勺值.

解：(1)證明：取。為原點(diǎn)，所在直線為x軸，DE所在直線為Z軸建立空間直角坐標(biāo)

系,

如圖所示;

貝1)4(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,V3),F(-1,2,V3),

BE=(-1,-2,V3),AB=(0,2,0),

設(shè)平面45E的法向量為］=(x,y,z),

.(―x—2y+V3z=0

,(2y=0

不妨設(shè)幾=(V3,0,1),

又茄=(-1,2,V3),

DF?n=—V3+0+V3=0,

TT

：.DF±n；

又；DFQ平面4BE,

9〃平面N5￡；

(2)9：BE=(-1,-2,V3),BF=(-2,0,V3),

設(shè)平面BEF的法向量為zn=（Q,b,c）,

.f—a—2b+V3c=0

1—2a+V3c=0

令c=4,貝l]q=2B,b=V3,

m=(2V3,V3,4),

—?—?

A|cosei=|^V|=105VH

2xV3131

平面ABE與平面EFB夾角的余弦值是穹;

—>—>_

(3)