2024年高三數(shù)學(xué)期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)：數(shù)列壓軸綜合（附加）（30題）（解析版）

期末專題12數(shù)列壓軸綜合(附加)(精選30題)

一、單選題

1.(21-22高二下?遼寧大連?期末)數(shù)列｛%｝滿足*=(2卜啜-1卜+〃，“eN*,則數(shù)列｛為｝的前80項(xiàng)

和為()

A.1640B.1680C.2100D.2120

【答案】A

【分析】利用周期性以及等差數(shù)列進(jìn)行求解.

1?77"VITT_2_乃=/4

【詳解】設(shè)/(〃)=2sin=-1,因?yàn)閟in與的周期為萬一,，

22I

所以/(〃)=2siny-l的周期為T=2.

又"1)=1,/(2)=-1,所以當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，/(?)=1,

所以當(dāng)w為偶數(shù)時(shí)，/(?)=-1.

又4+1=/⑺氏+〃，所以“2=4+1，％=―%+2=-4+1,

%=+3=-%+4,于是得到%+出+。3+4=6,同理可求出

%+4+。7+=14,%+〃10+%1+%2=22...,

設(shè)bn=a4n-3+?4?-2+?4?-1+4“，則數(shù)列｛2｝是以6為首項(xiàng)，8為

公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列｛%｝的前80項(xiàng)和為數(shù)列｛2｝的前20項(xiàng)和

20x6+",=1640.故B,C,D錯(cuò)誤.

2

故選：A.

2.(20-21高二下?浙江紹興?期末)己知正項(xiàng)數(shù)列也｝滿足：設(shè)q=小式見，則()

A.a9<-B.a9>eC.q€((),/)D.7^e(4e,+oo)

【答案】D

【分析】利用xTNlnx進(jìn)行放縮，然后再逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】，

j1—Y

設(shè)/(x)=lnx-x,Ax)=--1=—,令/(x)=0,得尤=1,易得了(W詼uADuT

XX

所以x—lNlnx，所以lna“+i=阮一12111向=，na“，即臉

所以lna“>g[1響=(￡|ln4,

若。9<L則1吟<-1,與In%>(g)81n4矛盾，所以A錯(cuò)

若為〉e,貝Uln〃9>l,由In的—得的>4

由In%=^o^-l>ln4>l,即^^"一1>2得的>4

由In%=^/^-l>ln4>l,即一1>2得。6>4

所以可以推出力＞4,與卬=4矛盾，所以B錯(cuò)

又因?yàn)镮n%+In%+…+In%>

1——

2

所以ln〈>ln42-？n<>=4x，

故選：D.

3.（22-23高二下?安徽合肥?期末）如圖，正方形ABC。的邊長為5,取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)E,￡G,H,

作第2個(gè)正方形跳GH,然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)/J,K,L,作第3個(gè)正方形〃KL,依此方法一

直繼續(xù)下去，則從正方形A5CD開始，連續(xù)15個(gè)正方形的面積之和等于（）

A.100

C.25

【答案】B

【分析】

設(shè)第eN*）個(gè)正方形的面積為S.，第eN*）個(gè)正方形的邊長為??,則第n個(gè)正方形的對角線長為五%,

則由題意可得嗅=零，數(shù)列｛為｝是首項(xiàng)為q=5,公比為正的等比數(shù)列，從而可求出a”,S“，進(jìn)而可求

22

得答案.

【詳解】

記第1個(gè)正方形的面積為5，第2個(gè)正方形的面積為邑，…，第eN*）個(gè)正方形的面積為S“，設(shè)第eN*）

個(gè)正方形的邊長為％，則第，個(gè)正方形的對角線長為

所以第〃+1個(gè)正方形的邊長為。用=乎凡,,

2an2

則數(shù)列｛為｝是首項(xiàng)為4=5,公比為年的等比數(shù)列，

二數(shù)列｛S,｝是首項(xiàng)為凡=25,公比為3的等比數(shù)列，

???連續(xù)15個(gè)正方形的面積之和等于H+S?+邑+…+幾=501-

故選：B

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列應(yīng)用，考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意

找到第”+1個(gè)正方形的邊長為。用與第，個(gè)正方形的邊長?！暗年P(guān)系。同,從而可得巴，S“，考查計(jì)算

能力，屬于較難題.

4.（21-22高二下?江蘇南京?期末）將等比數(shù)列也,｝按原順序分成1項(xiàng)，2項(xiàng)，4項(xiàng)，…，2一項(xiàng)的各組，再

將公差為2的等差數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)依次插入各組之間，得到新數(shù)列｛g｝：4,由，b2,b3,a2,b&,b5,b6,

b?的，…，新數(shù)列｛qj的前”項(xiàng)和為S".若q=l,q=2,S3=-,則$200=（）

【答案】A

【分析】由已知求得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，以及等差數(shù)列的首項(xiàng)，再求得數(shù)列｛1｝的前200項(xiàng)中含有數(shù)

列｛?！埃那?項(xiàng)，含有數(shù)列｛%｝的前193項(xiàng)，運(yùn)用分組求和的方法可求得答案.

【詳解】解：由己知得偽=1,4=2,b2=c3=S3-C1-c2=^,等比數(shù)列也｝的公比“=

令（=1+2+2?+…+2力=2'-1,則及=63,4=127,說=255

所以數(shù)列｛1｝的前200項(xiàng)中含有數(shù)列｛%｝的前7項(xiàng)，含有數(shù)列也｝的前193項(xiàng)，

故$200=（瓦+b2H--F偽92）+（01+%■1----

193

—+7x2+3x2=4172-1「I

23|_⑵

4

故選：A.

5.（20-21高二下?浙江衢州?期末）已知等差數(shù)列｛〃〃｝滿足：同+|%|+…+|?！▅=--++…+

333

=%+耳+%+鼻+…+?！?/=72,則〃的最大值為（）

A.18B.16C.12D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)分析題中數(shù)列變化規(guī)律，計(jì)算得出結(jié)果.

［詳解］??,|。1|+|。2|+…+|?！▅=_］+。2_/+…+=72

?.?｛%｝不為常數(shù)列，且數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)為2M左EN*）

則，一定存在正整數(shù)%使得以＞0,—a。或以＜。，—＞。

4<0q+(左-l)d<0jd>0

不妨設(shè)4（。，％）。，即,

4+1>。[%+fai>0q<0

從而得，數(shù)列｛q｝為單調(diào)遞增數(shù)列,

111333

*/ak<0,/.ak一;<0,且，

ci,—+a、—+???+『=%+5+“2+~+■??+~

122222

331

a

?-k+]<。，％同理4+1-萬之。

(33

-5q+(%—1)d<—

2:.d>2

即，

1771

4+kd之一

“"1-212

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，ak+i-at=ak+2-a2=—a2k—ak=kd

1

「?|4|+|%|+……+|〃〃|=同+|?|+……+|生左|=以+1+以+2+……+a2k-a1-a2-……-ak=kd=72

7272

:.k~=—<—=36:.〃=2左<2x6=12

d2

所以”的最大值為12,選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)ABD錯(cuò)誤

故選：C.

6.（22-23高二下?安徽合肥?期末）定義高階等差數(shù)列：對于一個(gè)給定的數(shù)列｛4｝,令用=。3-?！埃瑒t數(shù)列

也｝稱為數(shù)列也｝的一階差數(shù)列，再令cH，則數(shù)列｛%｝是數(shù)列也J的二階差數(shù)列.已知數(shù)歹式4｝為

2,5,11,21,36,L,且它的二階差數(shù)列是等差數(shù)列，則4=（）

A.45B.85C.121D.166

【答案】C

【分析】利用二階差數(shù)列是等差數(shù)列，由此將原數(shù)列一一列舉即可.

【詳解】該數(shù)列的一階差數(shù)列為3,6,10,15,L,則二階差數(shù)列為3,4,5,L,

因?yàn)槎A差數(shù)列是等差數(shù)列，故二階差數(shù)列后面的項(xiàng)為6,7,8,L,

所以一階差數(shù)列后面的項(xiàng)為21,28,36,L,

從而原數(shù)列后面的項(xiàng)為57,85,121,L,故4=121

故選：C

7.（22-23高二下?河北邢臺(tái)?期末）數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減，且為=-"3+彳（〃2+“），則彳的取值范圍是（）

【答案】C

【分析】利用數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減，可知。用<凡，可化為"<3w+W，再判斷數(shù)列

2=3"+—、的單調(diào)性，即可求出入的取值范圍―

【詳解】??,數(shù)列｛〃〃｝單調(diào)遞減，???4+「4<。，

???一（〃+1）、++1）+/I（幾+1）<—ri'+九〃2+An,

1lec3"+3〃+1/\1__1

貝7n1J22<---------=3（〃+1）H-------3=3n-\-----,

n+1n+1n+1

令〃x）=3x+±,尸（*）=3-1片，令刊^）>0,可知“X）在區(qū)間［等T+s上單調(diào)遞增，則數(shù)列

2=3"+一1為單調(diào)遞增數(shù)列，

2/1<3"+」一對所有的正整數(shù)都成立只需〃=1時(shí)，24<3〃+」一成立，

M+1〃+1

17

即24<3xl+——，解得丸<一,

1+14

??.X的取值范圍是卜巴￡|,

故選：C.

二、多選題

8.（22-23高二下?安徽亳州?期末）已知等比數(shù)列｛鞏｝的前”項(xiàng)積為&4>。，公比”1,且“。23<1，心必>1，

則（）

A.當(dāng)九=2023時(shí)，最小

B.%024>1

C.存在“<1012,使得。/用=%+2

D.當(dāng)“=1012時(shí)，■最小

【答案】BD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)以及單調(diào)性逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對于選項(xiàng)B：因?yàn)閰n>0應(yīng)>1,所以%=a?T>0,

1,

又因?yàn)閝gLa2O23<1,La2024>1,所以a2024>--------->1,故B正確；

。1。2***^2023

aa

對于選項(xiàng)A、D：因?yàn)?4023=a2a2022=…=iwivm=。溫>

所以**,%023=%012<1，則％012<1，

又因?yàn)?。?024=。2°2023=…=%012%013，可得"的…=(40124013)>1，

則“10124()13>1，故％013>1，

且q>0,q>1,可知數(shù)列｛4｝是單調(diào)遞增數(shù)列，

當(dāng)"W1012時(shí)，a?<a1012<l；當(dāng)〃21013時(shí)，an>a1013>1

所以當(dāng)”=1012時(shí)，％的…a”最小，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；

對于選項(xiàng)C：因?yàn)閿?shù)列｛4“｝是單調(diào)遞增數(shù)列，且當(dāng)”<1012時(shí)，a?<a1012<l,

所以anan+l<an+1<an+2,故C錯(cuò)誤.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：項(xiàng)數(shù)是關(guān)鍵：解題時(shí)特別關(guān)注條件中項(xiàng)的下標(biāo)即項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，尋找項(xiàng)與項(xiàng)之間、多項(xiàng)

之間的關(guān)系選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題.

9.(22-23高二下?遼寧?期末)若數(shù)列｛4｝滿足4=1,?2=1,??=??.1+??_2(?>3,nGN+),則稱數(shù)列｛4｝為

斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接的應(yīng)用.

則下列結(jié)論成立的是()

=

A.4=8B.<2]+i/j+<25HF。2019+°2021"2022

C.3a?=a?_2+a?+2(z?>3)D.a2+a4+a6+---+a2O2O+a2022=a2O23

【答案】ABC

【分析】對A,根據(jù)遞推公式即可判斷；對B利用%+|=。,+2-%判斷；D利用數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合斐波那契

數(shù)列的前〃項(xiàng)和即可判斷；對C,根據(jù)遞推公式，即可判斷.

【詳解】對A：4=1,a2=l,an=az!_1+t7?_2(n>3,neN+),

所以。3=〃2+4=2,。4=。3+〃2=3,。5=〃4+%=5,

&=%+%=8,故A正確；

對B：由4+2=4+1+%,

可得?！?1=%+2一%，

6Zj+q++??,+622021

=4+（4-〃2）+（4—。4）"1-----（。2022-々2020）

=4+/-4+%-%+…+4022—々2020

=1-1+%022

=?2022，故B正確；

對C：an=an_x+an_2（i2>3,weN+）,

可得4+2=%+%=2ci"+%=3an-an_2,

即有3q=?！癬2+q+2，(〃23),故C正確;

對于》：%+%+%+…+%）24=q+（生+/）+（%+%）+…+（/022+4023）=^2023,故D不正確.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查斐波那契數(shù)列的遞推公式，以及其偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)的和的求解；處理問題

的關(guān)鍵是通過遞推公式，找到相鄰項(xiàng)的和與差的關(guān).系

、/i/甲

一""'：:才將，T“為數(shù)列{%}

a-2,"力司"雙

)n

的前〃項(xiàng)和，則下列說法正確的有()

A.-2B.T2n=—n~+9n+1

C.蠢=-2049D.1的最大值為21

【答案】ACD

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式可求得〃為奇數(shù)和“為偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式，進(jìn)而確定&,知AB正誤；由

勾9=&+%9可確定c正確；分別討論〃=2左(左eN*)和〃=24一l^eN*)時(shí)，7；的通項(xiàng)公式，結(jié)合二次函數(shù)

性質(zhì)可確定D正確.

【詳解】對于A,當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，an+2=an-2,又4=8,

M—1

=8+；—x(—2)=9-〃，則知=9-11=一2,A正確；

n-2

對于B,當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，an+2=-an,又。2=1，=(-1)亍；

由A知：當(dāng)”為奇數(shù)時(shí)，an=9-n.

則當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)’2(％+?+…+*)+&+&+…+%)=也產(chǎn)ho=f；9〃；

、[,“士皿…/、/、〃(8+10-2〃)9

T〃為可數(shù)時(shí)，7^〃=(Q[+〃3~I-----〃2〃-1)+(%+〃4-------a2n)----------------------F1=—〃+9〃+1；

f②+9,”為偶數(shù)

A=一川+9〃+1,“為奇數(shù)',聯(lián)；

2

對于C,+?99=-49+9X49+1-90=-2049,C正確;

-〃+9k,k為偶數(shù)

對于D,當(dāng)〃=2左（左eN*）時(shí)，Tn=T2k=

一公+9%+1,左為奇數(shù)'

當(dāng)％為偶數(shù)時(shí)，⑵)1mx=4=T2+9X4=20；當(dāng)％為奇數(shù)時(shí)，⑵)1mx=幾=-52+9x5+1=21；

-k2+9k+l,左為偶數(shù)

—k~+9k,左為奇數(shù)

當(dāng)％為偶數(shù)時(shí)，⑵）+當(dāng)％為奇數(shù)時(shí)，⑵）1mx=4=-5?+9X5=20;

綜上所述：⑵）1mx=4。=21,D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式求解通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和的問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)

遞推關(guān)系式確定數(shù)列奇偶項(xiàng)所滿足的關(guān)系，進(jìn)而通過對于〃的取值的討論求得通項(xiàng)公式.

11.（22-23高二下?江蘇鹽城?期末）如圖，已知正三角形A3C的邊長為3,取正三角形A3C各邊的三等分

點(diǎn)￡）,￡尸作第二個(gè)正三角形，然后再取正三角形。斯的各邊的三等分點(diǎn)M,N,P作正三角形，以此方法一

直循環(huán)下去.設(shè)正三角形ABC的邊長為由,后續(xù)各正三角形的邊長依次為出,生，…，4;設(shè)的面積為

4，AEMP的面積為打，后續(xù)各三角形的面積依次為白，…，"，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.數(shù)列｛%｝是以3為首項(xiàng)，乎為公比的等比數(shù)列

B.從正三角形A3c開始，連續(xù)3個(gè)正三角形面積之和為M

4

C.使得不等式，＞上成立的“最大值為3

36

D.數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和S,＜；

【答案】ABD

【分析】利用余弦定理得到%=弓4_,即可得到數(shù)列｛%｝是以3為首項(xiàng)，g為公比的等比數(shù)列，即可判

斷A、B,再由b'=l_x』%x2a,sin60o=3尺,求出也｝的通項(xiàng)，即可判斷C,利用等比數(shù)列求和公式判

23318

斷D.

【詳解】設(shè)正三角形A3C的邊長為生,后續(xù)各正三角形的邊長依次為%，生，……

*11一0”,）+1-呢,]-2x—n.x-n.cos60°―――-,

由題意知4=3,a

n虱3（3'"'）3"t3"T3a

?,?'=4,所以｛4｝為以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)歹U,

an-\)3

n-1

所以4〃=3X，故A正確;

所以從正三角形ABC開始，連續(xù)3個(gè)正三角形面積之和為當(dāng)（片+而+而）=竽，故B正確;

11

v,112?°。62、12…。出z

X/7,=-x-a,x—asin60=——L,h-_^_%—asin60=——a,

123318"23a318

2

所以芭，…弋V3?—1

3x=-------X

J2

顯然數(shù)列｛2｝單調(diào)遞減，b2=^-x（^\=^-=^->—,

213J63636

A/32A/31_V|flYA/337331

--=---->—-->故C錯(cuò)誤;

18363654W8108-36

41一31

數(shù)列｛2｝的前"項(xiàng)和S=21⑶」=3乂.1/口[＜空＜3，故D正確;

"「J22[⑶)42

一W一

故選：ABD

12.（21-22高二下?山東東營?期末）如圖，￡是一塊半徑為1的圓形紙板，在A的左下端剪去一個(gè)半徑為g的

半圓后得到圖形鳥，然后依次剪去一個(gè)更小半圓（其直徑為前一個(gè)剪掉半圓的半徑）得圖形鳥，8,L,Pn,

【答案】ABD

【分析】利用列舉前幾項(xiàng)的方法，判斷AB；根據(jù)列舉的規(guī)律，寫出人,再求和，判斷C；利用S”與S用的

關(guān)系，即可判斷D.

【詳解】根據(jù)圖形生成的規(guī)律可知，

rCr71-3兀兀171,,

乙=兀+2,L=7CH--1_1=-71+1,L=7ld---1---1=-71H,故A正確;

222224242

根據(jù)題意可知，圖形匕中被剪去的最小的半圓的半徑為（；）〃T，

咐、1也,7171（1Y-1c（1Y-1

所以當(dāng)---1--F...+71X—+2X—

〃24⑵3

故C錯(cuò)誤;

根據(jù)題意可知，圖形巴+1中被剪去的最小的半圓的半徑為（；）",

S“M=S廠梟出="會(huì)出=S廠弄,故D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過列舉的方法，發(fā)現(xiàn)圖形間的規(guī)律，轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)

算.

13.(21-22高二下?湖南衡陽?期末)已知數(shù)列｛4｝滿足4=1，。“+1=*7(〃€河)，則()

A.+為等比數(shù)列

B.｛5｝的通項(xiàng)公式為%=*二

Z-J

C.卜勺前〃項(xiàng)和5,=2"+2-3"一4

D.的前〃項(xiàng)和［,=(〃—1)2"2―3”；+1)+4

【答案】ACD

【分析】利用取倒數(shù)構(gòu)造法、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式、以及錯(cuò)位相減法、分組求和法進(jìn)行計(jì)算.

a12+3?！?_

【詳解】因?yàn)椋?1,,所以一=——^=一+3,

2+3凡an+1anan

所以---1-3=2^3］,,

a〃+i"J

所以數(shù)列+是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；

因?yàn)閿?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以_L+3=4x2"T=2向，所以為故B錯(cuò)誤；

an2-3

因?yàn)楣?3=2。所以_L=2"+J3,

%%

所以，，［的前W項(xiàng)和S“=(2?+23+L+2向)-3"="：；)=2"+2-3〃-4,故C正確;

1T1

因?yàn)橐?2m—3,所以一=分2角一3〃，

a

nan

所以的前W項(xiàng)和

7；,=(lx22+2x23+.?.+?-2"+1)-3(1+2+---+M)=(lx2z+2x23+.?.+?-2,,+1)-^^,

=lx22+2x23+...+n-2"+1,則2R“=1x23+2x2,+…+分2"2,

23n+l+2+2

兩式錯(cuò)位相減得：_R=2+2+...+2-n-2"=4°2）-n-2"，

"1-2

所以凡=4+（〃—1）2"2,所以7；=（〃_1）2〃+2_3九（；+1）+4,故D正確.

故選：ACD.

14.（21-22高二下?江蘇南通?期末）己知數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式記數(shù)列｛叫的前〃

項(xiàng)和為S,，則下列說法正確的是（）

B.a2022是偶數(shù)

C.若52020=a,則“2022=。+1

D.若7；=C；4+C泡+…+C：a“，則存在〃使得7；能被8整除

【答案】BCD

【分析】計(jì)算的判斷A；探求數(shù)列｛%｝的性質(zhì)，尋找規(guī)律判斷B；利用數(shù)列｛4｝的性質(zhì)，結(jié)合累加法判斷C；

取特值計(jì)算判斷D作答.

【詳解】4=1,%=$（上手『一（二/21=i,an+an+l=

*［（1+百）"（1-布yIJ+百嚴(yán)2=q（i+q“3+百”與

2

1+百)〃+2

。3=4+。2=2,A不正確；

a4=a2+a3=3,a5=a3+a4=5,a6=a4+a5=8,因數(shù)列｛4｝從第3項(xiàng)起的每一項(xiàng)都等于其相鄰前2項(xiàng)的和，

又4，出都是奇數(shù)，則。3必為偶數(shù)，。4，。5又都是奇數(shù)，牝又為偶數(shù)，由此，%，/是奇數(shù)，的是偶數(shù)，照此

規(guī)律依次進(jìn)行，

因此，數(shù)列｛%｝中，頰_2，。31（左€底）是奇數(shù)，a3k是偶數(shù)，而“2022=4674x3，42022是偶數(shù)，B正確；

因篦eN*,q+4+1=%+2，即〃〃+2-a〃+i=口〃，

則%022=(。2022—%021)+(%021—%020)+,,,+(%—%)+%=°2020+%019+,,,+%+%=*^2020+%=。+1,CJE；

1=%=lZ=C；q+C>2=3,7；=C；%+C；%+C；a3=8,顯然方能被8整除，因此，存在〃使得［,能被8整

除，D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列規(guī)律的問題，按條件寫出變量的前幾個(gè)取值對應(yīng)數(shù)列，認(rèn)

真分析每個(gè)變量對應(yīng)的數(shù)列，找準(zhǔn)變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.

15.（20-21高二上?江蘇揚(yáng)州?期末）已知數(shù)列｛見｝的前n項(xiàng)和為S“，4=1,an=\J.（^eN）.

In_L,fT—乙K?1

則下列選項(xiàng)正確的為（）

A.a6=16

B.數(shù)列｛%j+3｝,eN*）是以2為公比的等比數(shù)列

C.對任意的A:eN*,%*=2*'-3

D.S”>1000的最小正整數(shù)n的值為15

【答案】BD

【分析】根據(jù)題設(shè)的遞推關(guān)系可得。2上-。21=1，。2什1-=1,從而可得出k+2~2a2k=2,由此可得｛%J的

通項(xiàng)和｛%i｝的通項(xiàng)，從而可逐項(xiàng)判斷正誤.

【詳解】由題設(shè)可得a2k~a2k-l=1，%上+1-2alk=1,

因?yàn)椤?=1,〃2一4=1，故％=〃i+l=2,

a

所以ik+2~*=L*-2azit=1,所以a2k+2-2a2k=2,

所以%+2+2=2（%+2）,因?yàn)槌?2=4片0,故%t+2H0,

所以號空=2,所以｛%k+2｝為等比數(shù)列，

所以%t+2=4x2i即4k=2*M-2,故4=16-2=14,故A錯(cuò)，C錯(cuò).

又=2k+'-2-l=2臺(tái)一3,故的i+3=2川,

所以包W=2,即｛%1+3｝,eN*）是以2為公比的等比數(shù)列，故B正確.

a2k-l+J

S]4=4+%+°，?+%4=4+（4+1）+/+（生+1），一+弓3+（43+1）

=2(q+/++a[++%]+%3)+7=2x(2~-3+2--3+,?,+2*^-3)+7=981,

Si5=Sl4+al5=981+509=1490>1000,

故S”>1000的最小正整數(shù)〃的值為15,故D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：題設(shè)中給出的是混合遞推關(guān)系，因此需要考慮奇數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系和偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)

系，另外討論D是否成立時(shí)注意先考慮S”的值.

16.(20-21高二下?山東德州?期末)“斐波那契數(shù)列”由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契發(fā)現(xiàn)，因?yàn)?/p>

斐波那契以兔子繁殖為例子而引人，故又稱該數(shù)列為“兔子數(shù)列”，它在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué).等領(lǐng)

域都有直接的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列｛4｝滿足：4=1,電=1,an+fl?_2(n>3,/teAf*)，記其前〃項(xiàng)和為S“，

則下列結(jié)論成立的是()

A.Sg=54B.%++%++,,,+。。019=。20,0

a=—a

C.a2+o4+a6+a8HFitno"2021D.52020+,^2019—^zois^2017=2O22

【答案】ABD

【分析】利用a?=%+%_223,〃eN*)進(jìn)行遞推即可得出答案.

；

【詳解】對A,“3=2,%=3,生=5,4=8,%=13,%=21,Sg=54,A正確

對B,-----H4Z2019=%+(%—%)+(。6—。4)~1----^(%020—“2018)=%020，B正確；

對C,-----^生期=(%—%)+(%—%)"*---^(%02i—%oi9)=&o2i一1'C錯(cuò)誤；

對D,$2020+邑019-§2018-1^2017=2s2019+%020-~%018=2(。2018+見019)+%019=a2021+。2020=a2022，D正確.

故選：ABD.

17.(22-23高二下?廣東佛山?期末)記等差數(shù)列｛4｝的〃和為S,，數(shù)列的前左項(xiàng)和為￡,則()

A.若VweN*,均有S““>S“，則(>。

B.若當(dāng)且僅當(dāng)上=20時(shí)，，取得最小值，則S9>S“

C.若4<0且S2°=0,則當(dāng)且僅當(dāng)上=19時(shí)，(取得最小值

D.若左=19和4=20時(shí)，1取得最小值，貝歸〃zeN*,S“=0

【答案】BD

【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性和等差數(shù)列的性質(zhì)，可得結(jié)論；

【詳解】選項(xiàng)A：等差數(shù)列｛4｝的前〃和為S“，

因?yàn)镾,+i>S“，所以。用=S“+「S”>0,

所以從第二項(xiàng)開始a.>0,故為正負(fù)不確定，￡>。不一定成立，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B：當(dāng)左=20時(shí)，1取得最小值，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為負(fù)，慢慢遞增的數(shù)列，且有無<0,S21>0

則有q<O,d>O,S2o=^^<O,S2i=^^>O,

S"=%+《0=%+%0<0,故有S9>S”，選項(xiàng)B正確；

20（4+%0）八A,77ZB19jcn（n-\\da,20?Sa,20a.

選項(xiàng)C：S,o=—^=0,解得：（\=--d,S=na,+-^——^―=一一L/2+—,—n=---n+——L,

2022〃i21919n1919

所以數(shù)列［斗是以4<0為首項(xiàng)，公差為-口>0的等差數(shù)列，”先減后增，由題意知親<。，皋=。，

Inj191920

當(dāng)上=19,20時(shí)，（取得最小值，選項(xiàng)錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：當(dāng)左=19和左=20時(shí)，/取得最小值，故（先減后增，，<0,d>0,且

告■<0,即=0,故三%=20,邑。=0,選項(xiàng)D正確；

故選：BD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：熟練掌握并應(yīng)用等差數(shù)列求和公式是本題的關(guān)鍵，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，將題目轉(zhuǎn)化

為對具體項(xiàng)正負(fù)的判斷是本題的解題關(guān)鍵和突破點(diǎn)；

18.（22-23高二下?山東日照?期末）己知有窮數(shù)列｛%｝各項(xiàng)均不相等，將｛%｝的項(xiàng)從大到小重新排序后相應(yīng)

的序號構(gòu)成新數(shù)列也｝,稱數(shù)列｛2｝為數(shù)列｛%｝的序數(shù)列.例如數(shù)列%,電，的，滿足4>%>出，則其序

數(shù)列也｝為1,3,2.若有窮數(shù)列｛4｝滿足4=1,歷+「呢=、］（〃為正整數(shù)），且數(shù)列｛4“才的序數(shù)列

單調(diào)遞減，數(shù)列｛4,｝的序數(shù)列單調(diào)遞增，則下列正確的是（）

A.數(shù)列｛4“7｝單調(diào)遞增

B.數(shù)列｛4〃｝單調(diào)遞增

2023,Q1A出1A2022

【答案】ACD

【分析】根據(jù)新定義直接判斷AB,根據(jù)數(shù)列單調(diào)性可得-?=仕『'=NV，

2〃zn—1I2J22“一］

力用--據(jù)此利用累加法求通項(xiàng)判斷D,并項(xiàng)求和結(jié)合等比數(shù)列求和公式判斷C.

【詳解】由題意，數(shù)列｛4〃T｝的序數(shù)列單調(diào)遞減，故數(shù)列｛4“_1｝單調(diào)遞增，故A正確；

由數(shù)列｛4,｝的序數(shù)列單調(diào)遞增，故數(shù)列｛4“｝單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)閿?shù)列｛4,-｝是單調(diào)遞增，所以叱+「4,1＞。，即（么+1-4“）+（4“-41）＞0，

因?yàn)?。?n-l

I,所以Id2n+l—d2n1<1“2〃—”2〃-1?，因此^2n~^2n-l>°，

所以“2〃~^2n-l

由數(shù)歹U｛4〃｝單調(diào)遞減，同理可得人用-

所以4=4+(4—4)+(4-4)+?.?+(1〃_d〃T)=i+；_*+J_J+…+

n-\

41

-------x，（北2），4=1也符合該式，故D正確;

33

故選：ACD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：理解新定義數(shù)列｛%｝的序數(shù)列是判斷數(shù)列｛%｝單調(diào)性的關(guān)鍵，再由單調(diào)性及不等式

的性質(zhì)分別得出g-〃=g=當(dāng)，4向-叱二是解決問題的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，利

用累加法求通項(xiàng)公式，利用并項(xiàng)求和是解決本題的第三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).

19.（22-23高二下廣東汕尾?期末）已知數(shù)列｛%｝滿足%+|+（-1）1“1=3"-4（〃22且/”），則下列

說法正確的是（）

A.。2+〃4=5,且。3-4=2

B.若數(shù)列｛q｝的前16項(xiàng)和為540,則4=6

C.數(shù)列｛?！埃那?左ueN*）項(xiàng)中的所有偶數(shù)項(xiàng)之和為6/T

D.當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，a“+2=（w+l）13〃+l）+q

【答案】ACD

【分析】A選項(xiàng)，賦值法求解即可；B選項(xiàng)，先得到％/+%/=3（2左+1）-4=6左-1,求出數(shù)列｛。“｝的前16

項(xiàng)和中偶數(shù)項(xiàng)之和，從而得到前16項(xiàng)和中奇數(shù)項(xiàng)之和，賦值法得到+從而得到

陽+%；+41+%+%+為+%+4=392+84=448,求出答案；C選項(xiàng)，在B選項(xiàng)的基礎(chǔ)上得到

a+a

2,n+22m=6/n-l,從而利用等差數(shù)列求和公式求解；D選項(xiàng)，在B選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到。2*+1=3r-左+4,

令”=2左-1可得答案.

【詳解】A選項(xiàng)，用+（-1）19-=3〃一4中，令〃=2得/，=3X2-4=2,

令”=3得。4+。2=3*3-4=5,A正確；

B選項(xiàng)，%+]""t=3”一4中，令〃=2%+]得%價(jià)2+%/=3（2左+1）-4=6左一1,

月^1^1,+。2=6x1—1—5,。8+“6=6x3—1—17,〃i2+“io=6x5—1—29,“16+"14=6x7—1—41,

木目力口%+〃4+。6+。8+。10+%2+。14+%6=5+17+29+41=92,

因?yàn)閿?shù)列｛%｝的前16項(xiàng)和為540,所以前16項(xiàng)和中奇數(shù)項(xiàng)之和為540-92=448,

a〃+i+（_1）H1,an-i=3〃一4中，令〃=2人得一=3x2左一4=6Z—4，

以2左+1=6k—4+%左_]=6k—4+6（左一1）—4+生心3=...=6k—4+6（左一1）—4+,?,+6xl—4+6

/VIJ.丁/VJ）

=6x、2~~--4k+%=3k-k+a｛,

西^%5+%3+%]+%+/+%+CI3+%=3x72—7+1+3x6之—6+%+,?,+3x—1+%+4

=392+8%=448,

解得q=7,B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知。2加+2+%7n=6加一1,

｛%｝的前縱,。*）項(xiàng)中的共有偶數(shù)項(xiàng)2大項(xiàng)，故最后兩項(xiàng)之和為&=6（201）-1,

所以數(shù)列｛%｝的前4左（人€d）項(xiàng)中的所有偶數(shù)項(xiàng)之和為

/、左（5+12左一7）,9,-十收

〃2+〃4+,,?+04左—2+a4k=5+11+,?,+6（2%—1）—1=-----------=6k~-k,C正確；

〃-1-1

D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知。2左+i=3左之—左+%,令n=2k-\,貝）左=2，

故q_3X（"+1）2”+1（77+1）（3"+1）

以an+2-*—--------—+0--------------------+?]

故當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，an+2=（w+l*w+l）+%,口正確.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】當(dāng)遇到4+2時(shí)，數(shù)列求通項(xiàng)公式或者求和時(shí)，往往要分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，這類題目的處

理思路可分別令”=2左-1和”=2%,用累加法進(jìn)行求解.

三、填空題

20.（21-22高二下?福建廈門?期末）分形幾何在計(jì)算機(jī)生成圖形和游戲中有廣泛應(yīng)用.按照如圖1所示的分

形規(guī)律可得如圖2所示的一個(gè)樹形圖.設(shè)圖2中第〃行黑圈的個(gè)數(shù)為。"，則%=_____

式％=_____-

冬、第1行

……：；

圖1圖2

3"(-D

【答案】41

~6--2-

【分析】記第w行白圈的個(gè)數(shù)為外，根據(jù)題意得到遞推公式。用=%+2，bn+i=4an+bn,從而推導(dǎo)出

4+2=2。用+3%,進(jìn)而構(gòu)造等比數(shù)列聯(lián)立求解即可得見

62

【詳解】記第W行白圈的個(gè)數(shù)為外，由題意可得4=0,%=1,an+l=an+bn,bn+l=4an+bn

則4+2一見+1=4%+%+―%,所以a,.=2"“+i+3a“，所以]八；“向3K+i+^?)由％=1,%=1得

[%+2-3%+[=-(O?+1-3C??)

%+為=2X3"T

q“+「34=-2x