江蘇省鎮(zhèn)江市2025屆高三下學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試題 含解析

江蘇省鎮(zhèn)江市2025屆高三下學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試題?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合的解集，再根據(jù)集合的運(yùn)算可求出結(jié)果.【詳解】集合，又集合，故選：D.2.虛數(shù)滿足等式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算結(jié)合共軛概念即可判斷；【詳解】解：因?yàn)椋怨蔬x：B3.“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先由函數(shù)在上單調(diào)遞增求出此時(shí)的范圍，進(jìn)一步結(jié)合必要不充分條件的定義即可求解.【詳解】解：由題意易知或，且開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)不能得出在上單調(diào)遞增，即不滿足充分性；而函數(shù)在上單調(diào)遞增可知，顯然成立，滿足必要性.故選：B.4.已知等比數(shù)列前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】應(yīng)用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式基本量運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意知，，所以，化簡(jiǎn)，得，解得或舍去，所以故選：5.已知平面向量，，滿足，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，通過(guò)平方求得，即可求解；【詳解】解：

，

，且

，，

，

，

，

，且

，

，故選：B.6.若，，則（）A. B.31 C. D.32【答案】B【解析】分析】利用賦值法求解即可.【詳解】解：令，得

，即

，令，得

，即

，所以

.故選：B.7.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用兩角和與差的余弦公式先求出

的值，從而可以得到的值，再結(jié)合二倍角的余弦公式即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)椋?，所?/p>

，所以

，所以

，所以.故選：D8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，，，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用橢圓的定義，通過(guò)假設(shè)一條焦半徑長(zhǎng)，就可以得到其他焦半徑的表示，再利用勾股定理來(lái)消元假設(shè)的字母，最后利用一個(gè)角和余弦定理來(lái)建立一個(gè)的齊次式，求解離心率.【詳解】因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，又，所以為直角三角形，記，則，由橢圓定義和對(duì)稱性可得，則有，解得或（舍去），則，記，則，在中，由余弦定理得，整理得，則橢圓C離心率為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：橢圓過(guò)焦點(diǎn)的三角形問(wèn)題，關(guān)鍵是充分利用橢圓定義，結(jié)合余弦定理、勾股定理得到關(guān)于的齊次式，然后可求離心率.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)，，則（）A.存在點(diǎn)M，使得 B.的最大值為C.存在點(diǎn)M，使得 D.【答案】AD【解析】【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，從而判斷A、B，設(shè)，若，推出恒成立，即可判斷C、D.【詳解】圓即，圓心，半徑，又，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，所以存在點(diǎn)，使得，故A對(duì)．因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓外，又，點(diǎn)在圓內(nèi)，所以當(dāng)與圓相切時(shí)，取最大值，此時(shí)，所以，故B對(duì)．對(duì)于D，設(shè)，若，又點(diǎn)在圓上，一定成立，故D對(duì)，C錯(cuò).故選：AD．10.體育教育既能培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)鍛煉身體的習(xí)慣，又能培養(yǎng)學(xué)生開(kāi)拓進(jìn)取、不畏艱難的堅(jiān)強(qiáng)性格.某校學(xué)生參加體育測(cè)試，其中甲班女生的成績(jī)X與乙班女生的成績(jī)Y均服從正態(tài)分布，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A，由，得，故A錯(cuò)誤;選項(xiàng)B，由，得，故B正確;選項(xiàng)C，由于隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布，所以，故C正確;選項(xiàng)D，因?yàn)?，平均值和?biāo)準(zhǔn)差分別為，，平均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為，所以，，而，故，D正確.故選：BCD11.1202年，斐波那契從“兔子繁殖問(wèn)題”得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，，該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩項(xiàng)為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和.記為該數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.為奇數(shù)C. D.【答案】ACD【解析】【分析】列出數(shù)列前幾項(xiàng)，可計(jì)算得選項(xiàng)A正確，再觀察數(shù)列數(shù)字的特點(diǎn)可得B；由遞推公式計(jì)算判斷選項(xiàng)C，選項(xiàng)D.【詳解】解：對(duì)于A，記該數(shù)列為，由題意知，，，，，，，，，，，故A正確;對(duì)于B，因?yàn)樵摂?shù)列的特點(diǎn)是前兩項(xiàng)為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和，此數(shù)列中數(shù)字以奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)，每3個(gè)數(shù)一組，而，故為偶數(shù)，故B錯(cuò)誤;對(duì)于C，由題意知，所以，，故C正確;對(duì)于D，，，，，，將這些等式左右兩邊分別相加得：，所以，D選項(xiàng)正確.故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)“斐波那契數(shù)列”的遞推關(guān)系列出數(shù)列前幾項(xiàng)，觀察數(shù)列數(shù)字的特點(diǎn)，再由遞推公式即可求得結(jié)果.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋物線上一點(diǎn)M到其焦點(diǎn)距離為3，則點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義以及焦半徑可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，由拋物線可得，拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于3，，解得，，點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為故答案為：13.若函數(shù)在上恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的可能取值為_(kāi)_________寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的正整數(shù)【答案】6（或7，答案不唯一）【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，，結(jié)合正弦函數(shù)圖象，所以即可求解；【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，又函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，所以的可能取值為或7.故答案為：6或714.勒洛四面體是以一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)分別為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的公共部分圍成的幾何體.如圖，若構(gòu)成勒洛四面體的正四面體的棱長(zhǎng)為4，在該“空心”勒洛四面體內(nèi)放入一個(gè)正方體，使得此正方體能在該勒洛四面體內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，則該正方體的棱長(zhǎng)最大值是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正方體的棱長(zhǎng)最大時(shí)，其外接球?yàn)槔章逅拿骟w的內(nèi)切球，根據(jù)正方體的性質(zhì)可求解，即可求解.【詳解】解：因?yàn)檎襟w可以在勒洛四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，所以正方體的棱長(zhǎng)最大時(shí)，其外接球?yàn)槔章逅拿骟w的內(nèi)切球，記此時(shí)勒洛四面體的內(nèi)切球半徑為R，則正方體的外接球半徑為R，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則，得，設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為m，則其外接球的直徑為所在正方體棱長(zhǎng)為的體對(duì)角線長(zhǎng)，因此可得正四面體外接球半徑為，由對(duì)稱性可知，勒洛四面體內(nèi)切球的球心為正四面體的外接球的球心，連接并延長(zhǎng)交勒洛四面體的曲面于點(diǎn)，則就是勒洛四面體內(nèi)切球的半徑，易知正四面體的外接球半徑為，故勒洛四面體的內(nèi)切球半徑為，故所求正方體棱長(zhǎng)的最大值為故答案為:四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知

.（1）求；（2）若，，的角平分線交于點(diǎn)，求在條件①；②；③中任選一個(gè)，補(bǔ)充完整上面題目，并解答.【答案】（1）條件選擇見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】（1）若選①、②，利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式求出，即可得解；若選③，利用余弦定理求出，即可得解；（2）利用余弦定理求出、，再由等面積法計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】若選①因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，則，即，所以，因?yàn)?，所以，，從而；若選②因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，則，在中，，又，即，所以，即，所以；若選③因?yàn)?，則，所以，因?yàn)橹?，，所以；【小?wèn)2詳解】在中，由余弦定理得，，則，解得（負(fù)值已舍去），從而，因?yàn)榈慕瞧椒志€交于點(diǎn)，所以，所以，即，所以.16.如圖所示，在直三棱柱中，，，D，E分別為棱，的中點(diǎn).（1）證明：（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系計(jì)算即可得證；（2）分別計(jì)算平面的法向量和平面的法向量，利用夾角公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以，又，所以，可以以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，所以，即【小問(wèn)2詳解】由得，，設(shè)向量是平面的一個(gè)法向量，則，，即可取顯然為平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，所以，，又因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為17.口袋中有大小相同、質(zhì)地均勻的3個(gè)白球和3個(gè)黃球.甲乙兩人進(jìn)行摸球游戲，規(guī)則如下：每次摸2個(gè)球，觀察顏色后放回，若顏色相同時(shí)，則摸球人繼續(xù)摸球；否則由對(duì)方摸球.第一次由甲開(kāi)始摸球，記第n次由甲摸的概率是（1）求，；（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）代表的是第2次由甲摸球，所以第一次甲摸得球顏色相同，代表的是第3次由甲摸球，這個(gè)時(shí)候有兩種情況；（2）根據(jù)題意得到與的關(guān)系式，即可證明為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到.【小問(wèn)1詳解】第一次由甲開(kāi)始摸，，表示第二次由甲摸球的概率，，表示第二次由甲摸球或第二次由乙摸球后，第三次由甲摸球的概率，

所以，【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，表示第次由甲摸球后或由乙摸球后，第n次由甲摸球的概率，所以，即，所以，因?yàn)?，即，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.即，，當(dāng)時(shí)，滿足，所以18.如圖，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的2倍，焦點(diǎn)到漸近線的距離為動(dòng)直線l分別交雙曲線C的兩條漸近線于M，N，其中點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N在第四象限，且與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）證明：點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn);（3）過(guò)點(diǎn)P分別作兩條漸近線的平行線交漸近線于E，F(xiàn)，求證：四邊形OEPF的面積為定值，并求出該定值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析，定值【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合雙曲線性質(zhì)求，即可得雙曲線方程；（2）設(shè)直線MN的方程：，直曲聯(lián)立結(jié)合可得，再求交點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合中點(diǎn)分析證明，注意分類討論直線斜率是否存在；（3）根據(jù)（2）中結(jié)論求和坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離，進(jìn)而求面積即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的2倍，則，又因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為1，則，可得，解得，，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程：【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，P點(diǎn)為MN的中點(diǎn)；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程：，聯(lián)立方程，得，因?yàn)橹本€l分別交雙曲線C的兩條漸近線于M，N，其中點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N在第四象限，且與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)P，所以，即：，雙曲線兩條漸近線方程為：，聯(lián)立方程，解得，聯(lián)立方程，解得，則MN的中點(diǎn)坐標(biāo)：，即，代入得，，所以MN的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足雙曲線方程，即MN的中點(diǎn)在雙曲線上，又因?yàn)橹本€l與雙曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)P，可知點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)；綜上所述：點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn).【小問(wèn)3詳解】由題意可知：，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離：，則，代入得.所以平行四邊形OEPF面積定值【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)中注意討論直線l的斜率存在與不存在兩種情況，以及由動(dòng)直線l與雙曲線C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，直曲聯(lián)立后由得到參數(shù)k、m的關(guān)系.19.已知函數(shù)，（1）討論的單調(diào)性;（2）若恒成立，求a的值;（3）若，求證：【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，分和兩種情況得出導(dǎo)函數(shù)正負(fù)即可得出單調(diào)性；（2）化簡(jiǎn)構(gòu)造函數(shù)計(jì)算導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的最小值恒成立；（3）應(yīng)用（2）化簡(jiǎn)不等式為，做差證明即可.【