高考備考資料之?dāng)?shù)學(xué)人教B版全國用課件第一章集合與常用邏輯用語11

§1.1集合及其運(yùn)算第一章

集合與常用邏輯用語基礎(chǔ)知識

自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.集合與元素(1)集合中元素的三個特征：

、

、

.(2)元素與集合的關(guān)系是

或

，用符號

或

表示.(3)集合的表示法：

、

、

.(4)常見數(shù)集的記法知識梳理確定性互異性無序性屬于不屬于∈?列舉法描述法圖示法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號NN＋(或N*)ZQR2.集合間的基本關(guān)系關(guān)系自然語言符號語言Venn圖子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，則x∈B)______________真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不在集合A中________________集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互為子集________A

B(或B

A)A?B(或B?A)A＝B運(yùn)算自然語言符號語言維恩(Venn)圖交集由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}補(bǔ)集由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合?UA＝{x|x∈U且x?A}3.集合的基本運(yùn)算1.若有限集合A中有n個元素，則集合A的子集個數(shù)為

，真子集的個數(shù)為

.2.A?B?A∩B＝

?A∪B＝

.3.A∩(?UA)

＝

；A∪(?UA)＝

；?U(?UA)＝

.2n－12nAB?UA【知識拓展】題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)任何一個集合都至少有兩個子集.(

)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(

)(3)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1.(

)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}.(

)(5)對于任意兩個集合A，B，關(guān)系(A∩B)?(A∪B)恒成立.(

)(6)若A∩B＝A∩C，則B＝C.(

)基礎(chǔ)自測×××√√×123456題組二教材改編2.已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是銳角}，B＝{x|x是鈍角}，則?U(A∪B)＝____________.3.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個數(shù)為____.{x|x是直角}答案解析

集合A表示以(0,0)為圓心，1為半徑的單位圓，集合B表示直線y＝x，圓x2＋y2＝1與直線y＝x相交于兩點(diǎn)

，

，則A∩B中有兩個元素.解析2123456題組三易錯自糾4.若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，則集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的個數(shù)為A.5B.4C.3D.2解析

當(dāng)x＝－1，y＝0時，z＝－1；當(dāng)x＝－1，y＝2時，z＝1；當(dāng)x＝1，y＝0時，z＝1；當(dāng)x＝1，y＝2時，z＝3，故集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素個數(shù)為3，故選C.解析答案√1234565.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x<a}，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.解析

A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，∵A?B，B＝{x|x<a}，∴a>3.解析(3，＋∞)答案1234566.若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝________.解析答案123456題型分類深度剖析1.若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，則實(shí)數(shù)a＝________.解析

若a－3＝－3，則a＝0，此時集合A中含有元素－3，－1，－4，滿足題意；若2a－1＝－3，則a＝－1，此時集合A中的三個元素為－4，－3，－3，不滿足集合中元素的互異性；若a2－4＝－3，則a＝±1，當(dāng)a＝1時，集合A中的三個元素為－2,1，－3，滿足題意；當(dāng)a＝－1時，不符合題意.綜上可知，a＝0或a＝1.0或1解析答案題型一集合的含義自主演練2.設(shè)P，Q為兩個非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，則P＋Q中元素的個數(shù)是A.9 B.8 C.7 D.6解析

當(dāng)a＝0時，a＋b＝1,2,6；當(dāng)a＝2時，a＋b＝3,4,8；當(dāng)a＝5時，a＋b＝6,7,11.由集合中元素的互異性知，P＋Q中有1,2,3,4,6,7,8,11，共8個元素.解析答案√(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型的集合.(2)集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意.分類討論的思想方法常用于解決集合問題.思維升華典例

(1)設(shè)A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，則滿足A?B的集合B的個數(shù)是A.5B.4C.3D.2解析

∵{1,2}?B，I＝{1,2,3,4}，∴滿足條件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4個.解析答案√題型二集合的基本關(guān)系師生共研(2)已知集合A＝{x|x2－2019x＋2018<0}，B＝{x|x<a}，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________.解析

由x2－2019x＋2018<0，解得1<x<2018，故A＝{x|1<x<2018}.又B＝{x|x<a}，A?B，如圖所示，可得a≥2018.解析[2018，＋∞)答案本例(2)中，若將集合B改為{x|x≥a}，其他條件不變，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.引申探究解析

A＝{x|1<x<2018}，B＝{x|x≥a}，A?B，如圖所示，可得a≤1.解析(－∞，1]答案(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解.(2)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、維恩(Venn)圖等來直觀解決這類問題.思維升華跟蹤訓(xùn)練(1)已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的值為解析

由題意知，A＝{2，－3}.當(dāng)a＝0時，B＝?，滿足B?A；解析答案√(2)已知集合A＝

，B＝{x|x＋m2≥1}，若A?B，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________________.解析答案命題點(diǎn)1集合的運(yùn)算典例(1)(2017·全國Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，則A.A∩B＝{x|x<0} B.A∪B＝RC.A∪B＝{x|x>1} D.A∩B＝?解析∵B＝{x|3x<1}，∴B＝{x|x<0}.又A＝{x|x<1}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}.故選A.解析答案√題型三集合的基本運(yùn)算多維探究(2)(2016·山東)設(shè)集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，則A∪B等于A.(－1,1) B.(0,1)C.(－1，＋∞) D.(0，＋∞)解析

∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，故選C.解析答案√命題點(diǎn)2利用集合的運(yùn)算求參數(shù)典例(1)設(shè)集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠?，則a的取值范圍是A.－1<a≤2 B.a>2C.a≥－1 D.a>－1解析因?yàn)锳∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，作出數(shù)軸，如圖所示，易知a>－1.解析答案√(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，則a的值為A.0 B.1 C.2

D.4解析

由題意可得{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.解析答案√(3)設(shè)集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}.若A∩B＝B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________________.解析(－∞，－1]∪{1}答案解析因?yàn)锳＝{0，－4}，所以B?A分以下三種情況：①當(dāng)B＝A時，B＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得②當(dāng)B≠?且B

A時，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此時B＝{0}滿足題意；③當(dāng)B＝?時，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1]∪{1}.(1)一般來講，集合中的元素若是離散的，則用維恩(Venn)圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點(diǎn)的情況.(2)運(yùn)算過程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)系，會使運(yùn)算簡化.思維升華跟蹤訓(xùn)練

(1)(2017·天津)設(shè)集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，則(A∪B)∩C等于A.{2} B.{1,2,4}

C.{1,2,4,6}D.{x∈R|－1≤x≤5}解析

A∪B＝{1,2,4,6}.又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，則(A∪B)∩C＝{1,2,4}，故選B.解析答案√(2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為A.[－1,2) B.[－1,3]C.[2，＋∞) D.[－1，＋∞)解析答案√解析由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}.又A∩B＝B，所以B?A.①當(dāng)B＝?時，有m＋1≤2m－1，解得m≥2；解得－1≤m<2.綜上，m的取值范圍為[－1，＋∞).典例

已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定義集合A

B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，則A

B中元素的個數(shù)為A.77 B.49

C.45 D.30解析答案√題型四集合的新定義問題師生共研解析如圖，集合A表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“

”，集合B表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“

”＋所有圓點(diǎn)“

”，集合A

B顯然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四個點(diǎn){(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整點(diǎn)(即橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn))，即集合A

B表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“

”＋所有圓點(diǎn)“

”＋所有圓點(diǎn)“

”，共45個.故A

B中元素的個數(shù)為45.故選C.解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(diǎn)：(1)緊扣新定義.首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過程之中.(2)用好集合的性質(zhì).解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素.思維升華跟蹤訓(xùn)練

定義一種新的集合運(yùn)算△：A△B＝{x|x∈A，且x?B}.若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，則按運(yùn)算△，B△A等于A.{x|3<x≤4} B.{x|3≤x≤4}C.{x|3<x<4} D.{x|2≤x≤4}解析A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤4}，由題意知，B△A＝{x|x∈B，且x?A}＝{x|3≤x≤4}.解析答案√課時作業(yè)1.已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，則下列結(jié)論正確的是A.－3∈A

B.3?BC.A∩B＝B

D.A∪B＝B基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516解析由題意知A＝{y|y≥－1}，因此A∩B＝{x|x≥2}＝B，故選C.解析答案√2.(2017·浙江)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，則P∪Q等于A.(－1,2) B.(0,1)C.(－1,0) D.(1,2)解析∵P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，∴P∪Q＝{x|－1＜x＜2}.故選A.解析答案√123456789101112131415163.(2018屆齊魯名校協(xié)作體聯(lián)考)已知集合A＝

，B＝{y|y＝2x}，則A∩B等于

A.(0,4]

B.(0,1)C.(0,1] D.[－4,1]解析∵A＝{x|－4≤x<1}，B＝{y|y>0}，∴A∩B＝(0,1)，故選B.解析答案√123456789101112131415164.設(shè)集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|2x－3>0}，則A∩B等于解析答案√解析由A＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1<x<4}，123456789101112131415165.(2017·濰坊調(diào)研)已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，則圖中陰影部分所表示的集合為A.{0,1} B.{1}C.{1,2} D.{0,1,2}解析因?yàn)锳∩B＝{2,3,4,5}，而圖中陰影部分為集合A去掉A∩B部分，所以陰影部分所表示的集合為{1}.解析答案√123456789101112131415166.(2017·鄭州二模)已知復(fù)數(shù)f(n)＝in(n∈N＋)，則集合{z|z＝f(n)}中元素的個數(shù)是

A.4 B.3 C.2 D.無數(shù)解析復(fù)數(shù)f(n)＝in(n∈N＋)，解析答案√集合{z|z＝f(n)}中元素的個數(shù)是4.123456789101112131415167.(2017·全國Ⅱ)設(shè)集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}.若A∩B＝{1}，則B等于A.{1，－3} B.{1,0}C.{1,3} D.{1,5}解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}.故選C.解析答案√123456789101112131415168.已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A?B，則a的取值范圍為A.(－∞，0] B.[0，＋∞)C.(－∞，0) D.(0，＋∞)解析用數(shù)軸表示集合A，B(如圖)，由A?B，得a≥0.解析答案√123456789101112131415169.(2017·廣東、廣西、福建十校聯(lián)考)若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1}，則A∩(?UB)＝________________.解析集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，∵log3(2－x)≤1＝log33，∴0<2－x≤3，∴－1≤x<2，∴B＝{x|－1≤x<2}，∴?UB＝{x|x<－1或x≥2}，∴A∩(?UB)＝{x|x<－1或x≥2}.解析{x|x<－1或x≥2}答案1234567891011121314151610.已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為__________.解析∵3∈A，∴m＋2＝3或2m2＋m＝3.當(dāng)m＋2＝3，即m＝1時，2m2＋m＝3，此時集合A中有重復(fù)元素3，不符合集合的互異性，舍去；解析答案1234567891011121314151611.設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|y＝

}，B＝{y|y＝ex＋1}，則A∪B＝______________________.解析因?yàn)锳＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{y|y>1}，所以A∪B＝{x|x>1或x≤－1}.解析(－∞，－1]∪(1，＋∞)答案1234567891011121314151612.已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A?B，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是____________.解析由題意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c).由A?B，畫出數(shù)軸，如圖所示，得c≥1.解析[1，＋∞)