2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專練：三角形中的導(dǎo)角模型-飛鏢模型、風(fēng)箏模型、角內(nèi)翻模型

專題02三角形中的導(dǎo)角模型-飛鏢模型、風(fēng)箏模型、角內(nèi)翻模型

近年來各地中考中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就飛鏢型、風(fēng)箏模型

進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1、“飛鏢”模型（“燕尾”模型）

條件：如圖1,凹四邊形ABCD；結(jié)論：?ZBCD=ZA+ZB+ZD-,?AB+AD>BC+CDo

條件：如圖2,線段2。平分乙4BC,線段0。平分NADC；結(jié)論：ZO=-（ZA+ZC）o

2

條件：如圖3,線段A。平分線段CO平分/BC。；結(jié)論：ZO=-（ZZ）-ZB）?

2

飛鏢模型結(jié)論的常用證明方法:

例L（2023?重慶?八年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

有趣的“飛鏢圖J如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為"飛鏢圖”.當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，

它實(shí)際上就是凹四邊形.那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢？下面我們進(jìn)行認(rèn)識(shí)與探究：凹四邊形

通俗地說，就是一個(gè)角"凹"進(jìn)去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角之

和.

（即如圖1,SADB=SA+S\B+SC）理由如下：

方法一：如圖2,連接AB,貝。在母48。中，0C+0CAB+0CBA=18O°,即01+團(tuán)2+03+回4+回。=180°,又回在

KABD中，ffll+B2+a4DB=180o,0ElADB=03+04+0C,BPa4￡）B=0CAD+0CBD+0C.

方法二：如圖3,連接CD并延長(zhǎng)至F,001和團(tuán)3分別是△ACO和ABC。的一個(gè)外角，.....

大家在探究的過程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論，你有自己的方法嗎？

任務(wù)：（1）填空："方法一"主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是;

（2）探索：根據(jù)"方法二"中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分；

（3）應(yīng)用：如圖4,AE是回C4。的平分線，BF的平分線，AE與BF交于G,若她。2=150。，

0AGB=11O°,請(qǐng)你直接寫出回C的大小.

【答案】（1）三角形內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和等于180。）；（2）見解析；⑶70。

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求解；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得如=團(tuán)2+朋，回3=回4+團(tuán)2,

從而得到團(tuán)1+回3=回2+她+回4+回8,即可求證；（3）由（2）可得：0ADB=0CAD+[3C5Z）+0C,

^AGB^CAE-^CBF+^C,從而得至胞CAE+EICBP=110°-EIC,0CA￡>+0CB￡）=15O°-EIC,再由AE是回CAO的平分

線，BF是回C8O的平分線，可得150。-13c=2（110°-EC）,即可求解.

【詳解】（1）解：三角形內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和等于180。）

（2）證明：連接CD并延長(zhǎng)至F,

0E1和回2分別是EAC。和EIBCZ）的一個(gè)外角，甌1=02+囿4,回3=回4+08,

0El+03=02+EL4+04+EB,艮|3她￡>8=她+回8+固4。8；

（3）解：由（2）得：SADB^CAD+SCBD+SC,SAGB^CAE+SCBF+SC,

00ADB=15O°,0AGB=11O°,團(tuán)回C4￡）+EIC2D+EIC=150°,0C4￡+0CBF+EC=11O°,

0EC4E+0CBF=11O°-EC,ECAD+0CBD=15Oo-fflC,

0A￡是EICAD的平分線，BF是EICBZ）的平分線，EBCAZ）=213cAE,SCBD^CBF,

EBCAZ）+EIC8D=2（ECAE+0CBF）,E150°-EC=2（110°-EIC）,解得：EIC=70°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，有關(guān)角平分線的計(jì)算，熟練掌握三角

形內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023?廣東河源?八年級(jí)校考期末）（1）模型探究：如圖1所示的"鏢形"圖中，請(qǐng)?zhí)骄縉AZ汨與

/A、/B、/C的數(shù)量關(guān)系并給出證明；（2）模型應(yīng)用：如圖2,DE平分/ADB,CE平分/ACB,

N4=24。，ZB=66°,請(qǐng)直接寫出NE的度數(shù).

【答案】（1）^ADB=^A+^B+^C,理由見詳解；（2）21°

【分析】（］）連接CD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可；（2）由（1）可知：SADB-

0C=a4+0B=9O°,從而得EIEZ）。-回BCO=；x90°=45°,結(jié)合I3E￡）O+I3E=I3BCO+I3B,即可求解.

【詳解】解：（1）ZADB=NA+NB+/C,理由如下：

連接CD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,

0EL4D￡=a4CD+a4,0BDE=0BC￡>+0B,

00ADE+^BDE=^\ACD+^A+SBCD+SiB,0NADB=/A+NB+ZACB.

(2)由第(1)題可得：^ADB=XA+^B+ZACB,回她￡>84aAe8=0A+[3B=66°+24°=9O°,

EIOE平分NADB,CE平分NACB,03磯)0432。0=；(0ADB-0C)=；乂90。=45。，

^DOE^BOC,^EDO+^E^BCO+^B,

00B-0￡=0￡DO-[?IBCO=450,00E=0B-45O=66--45O=21°.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形外角的性質(zhì),

是解題的關(guān)鍵.

例3.(2022秋?廣西八年級(jí)期中)如圖，XABD,—ACD的角平分線交于點(diǎn)P,若4=48。，

ND=10。，則/尸的度數(shù)()

A.19°B.20°C.22°D.25°

【答案】A

【分析】法一：延長(zhǎng)PC交2￡>于E,設(shè)AC、PB交于F,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到0A+0A2P+EAB8

=I3P+0PCF+0PFC=180°推出0P+[2PCF=EIA+SABF,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到回尸+SPBE=QPED,

推出I3P+I3PBE=I3PCD-EI￡),根據(jù)尸2、PC是角平分線得至！jELPCf^EIPCf),^ABF^PBE,推出2回尸=

0A-0D,代入即可求出EIP.法二：延長(zhǎng)OC,與交于點(diǎn)E.設(shè)AC與BP相交于O,貝胞IAOB=EIPOC,

可得回尸+J0ACD=EIA+；SABO,代入計(jì)算即可.

【詳解】解：法一：延長(zhǎng)PC交80于E,設(shè)AC、PB交于F,

0EL44-EABF+EIAFB=[2P+0PCF+0PFC=18O0,

BHUAFB^ISPFC,fflP+0PCF=0A+EABF,

00P+EPB￡=EP￡D,0PEO=0PCD-EID,^BP+^PBE=SPCD-^\D,

團(tuán)2團(tuán)尸+ELPCP+EPBE=0A-0Z)+^iABF+SPCD,

0PB>PC是角平分線！33PC尸=EIPC￡),^ABF^PBE,E2EP=EA-EI￡)

EBA=48°,00=10°,EHP=19°.

法二：延長(zhǎng)DC,與AB交于點(diǎn)E.

EBAC。是0ACE的外角，EL4=48°,EIEIACD=HA+SAEC=48°+EIAEC.

EBAEC是EIBDE的外角,SSAEC=SABD+SD^SABD+10°,

EEACZ)=48°+EL4EC=48°+EL4BZ)+10°,整理得0ACZ)-a4BO=58°.

設(shè)AC與2尸相交于0,貝1|朋。2=回尸。。，

aaP+ga4C￡)=0A+；EIAB。，即臚=48°-義(SACD-^ABD)=19°.故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知

識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.

例4.(2023?廣東?八年級(jí)期中)如圖，在三角形ABC中，AB>AC>BC,為三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AP,

并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D求證：(1)AB+AC>AD+BC；(2)AB+AC>AP+BP+CP.

【詳解】(1)VAB>AC,：.ZABD<ZACD

VZADB>ZACD,：.ZADB>ZABD,：.AB>AD

VAC>BC,：.AB+AC>AD+BC

(2)過點(diǎn)P作砂〃3C,交AB、AC于￡\F,則NAEF=NABC,ZAFE=ZACB

由(1)知跖

VBE+EP>BP,CF+FP>CP(AE+BE)+(AF+CF)+(EP+FP)>AP+BP+CP+EF

即AB+AC>AP+BP+CP

（幾何證明中后一問常常要用到前一問的結(jié)論）

例5.（2023?福建三明?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1所示的圖形，像我們常見的符號(hào)一一箭號(hào).我們不妨把這

樣圖形叫做"箭頭四角形

圖1圖2圖3

探究：（1）觀察"箭頭四角形"，試探究ZBDC與NA、NB、/C之間的關(guān)系，并說明理由；

應(yīng)用：（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問題：

①如圖2,把一塊三角尺放置在AABC上，使三角尺的兩條直角邊XV、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)8、C,若

ZA=60°,則/ABX+NACX=；②如圖。3,/ABE、/ACE的2等分線（即角平分線）

BF、CF相交于點(diǎn)若ZS4C=6O。，ZBEC=130°,求—BFC的度數(shù)；

拓展：（3）如圖4,BOt,CQ分別是ZAB。、ZACO的2020等分線（7=1,2,3,…,2018,2019）,它們的交

點(diǎn)從上到下依次為0、。2、。3、…、O2oi9.已知/BOC=m。，ZBAC=rf,則=_度.

【答案】（1）ZBDC=ZA+ZB+ZC,理由見詳解；（2）①30；②95。；（3）

【分析】（1）連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E,利用三角形外角的性質(zhì)得出

NBDE=NBAD+NB,NCDE=ZCAD+NC,左右兩邊相加即可得出結(jié)論；

（2）①直接利用（1）中的結(jié)論有N3XC=NA+/4SX+NACX,再把已知的角度代入即可求出答案；

②先根據(jù)4EC=N3AC+NABE+NACE求出ZABE+ZACE,然后結(jié)合角平分線的定義再利用

ZBFC=ZBAC+ZABF+ZACF=ZBAC+1（/ABE+ZACE）即可求解；

（3）先根據(jù)/BOC=/BAC+/ABO+NACO求出NABO+NACO,再求出+NACQ0Go的度數(shù)，最

后利用ZBO1000C=ZBAC+NAB0mo+ZACOI000求解即可.

【詳解】（1）如圖，連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E

0NBDE=ABAD+ZB,NCDE=ACAD+ZC,

又回ZBDC=ZBDE+ZCDE,ABAC=/BAD+ZCAD,回ZBDC=ABAC+ZB+ZC

(2)①由(1)可知/3XC=ZA+ZABX+ZACX

0ZA=6O°,Z.BXC=90°0ZABX+ZACX=ZBXC-ZA=90°-60°=30°

②由(1)可知/3EC=/BAC+Z/WE+ZACE

0ZBAC=60°,ZBEC=13O00ZABE+ZACE=ZBEC-ZBAC=130°-60°=70°

;BF平分NABE,CF平分ZACEz.ABF=-ABE,ACF=-ACE

22

NBFC=ABAC+ZABF+ZACF=ABAC+1(NABE+ZACE)=95°

(3)由(1)可知N3OC=/3AC+ZABO+ZACO

SZBOC=m°,ZBAC=n00ZABO+ZACO=ZBOC-ABAC=nf-n°

0BOt,CO,分別是ZABO,ZACO的2020等分線(i=1,2,3,…,2018,2019)

/acc—八_幾°.50m°-50n°

回NA3。10Go+ZACO1000=2020X1°°°=而^

50m°+51n°

^ZBOiomC=ZBAC+ZABOlwo+ZACOlooo=~

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義是

解題的關(guān)鍵.

模型2、風(fēng)箏模型（鷹爪模型）

1）風(fēng)箏（鷹爪）模型：結(jié)論：ZA+ZO=Z1+Z2；

2）風(fēng)箏（鷹爪）模型（變形）：結(jié)論：ZA+Z0=Z2-Zlo

例1.（2023?四川達(dá)州?八年級(jí)期末）如圖，Zl,Z2,N3分別是四邊形ABCD的外角，判定下列大小關(guān)

系：①Nl+N3=ZABC+NO；@Z1+Z3<ZABC+ZD；（3）Zl+Z2+Z3=360°；④

Zl+Z2+Z3>360°.其中正確的是.（填序號(hào)）

【答案】①

【分析】根據(jù)多邊形（三角形）的外角和為360。即可求解.

^Zl=ZABD+ZADB,Z3=ZDBC+ZBDC,

0Zl+Z3=ZABD+ZADB+ZDBC+ZBDC=ZABC+ZADC,故①正確，②不正確；

回多邊形的外角和是360。，0Z1+Z2+Z3<36O°,故③④不正確，故答案為：①.

【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理、外角和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)，能正確添加輔助線構(gòu)成三角形

是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023春?河南南陽?八年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù).

在數(shù)學(xué)探究課上，老師出了這樣一個(gè)題：如圖1,銳角/54C內(nèi)部有一點(diǎn)。，在其兩邊AB和AC上各取任

意一點(diǎn)E,F,連接￡>E,DF.求證：ABED+ADFC=ABAC+AEDF.

ZBED=ZBAD+ZEDA,NBAC=51。,NEDF=89。(量角器測(cè)量所得)，

ZDFC=ZDAC+ZADF（依據(jù)），ZBED+ZDFC=140°f

又回Z.BAD+ADAC=ABAC,ZBAC+ZEDF^140°（計(jì)算所得）.

ZEDA+ZADF=ZEDF,0ZBED+ZDFC=ZBAC+ZEDF（等量代換）.

回/BED+/DFC=/BAC+NEDF.

任務(wù)：⑴小麗證明過程中的"依據(jù)”是指數(shù)學(xué)定理：;

⑵下列說法正確的是.

A.小麗的證法用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理

B.小麗的證法還需要改變N54C的大小，再進(jìn)行證明，該定理的證明才完整

C.小紅的證法用特殊到一般的方法證明了該定理

D小紅的證法只要將點(diǎn)。在N54C的內(nèi)部任意移動(dòng)100次，重新測(cè)量進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理

⑶如圖，若點(diǎn)。在銳角一胡C外部，￡?與AC相交于點(diǎn)G,其余條件不變，原題中結(jié)論還成立嗎？若成

立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)?zhí)剿鱖DFC,ABAC,NE/市之間的關(guān)系.

【答案】(1)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

(2)A(3)不成立，ZBED=ZBAC+ZDFC+Z.EDF

【分析】(])連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答即可；

(2)按照定理的證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過量角器測(cè)量，計(jì)算，證明，即可得答案；

(3)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得=尸C+NEDF,ABED=ABAC+AAGE,整理可得答案

【詳解】(1)小麗證明過程中的"依據(jù)”是指數(shù)學(xué)定理：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的

和；

(2)根據(jù)定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過量角器測(cè)量，計(jì)算，證明，故A正確；

(3)不成立，?.?ZAGE是AGD尸的一個(gè)外角，AAGE=ZDFC+ZEDF,

?.?々ED為△AEG的一個(gè)外角，ZBED=ZBAC+ZAGE,

:./BED=NBAC+NDFC+NEDF(或NBED-NDFC=NBAC+NEDF).

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不

相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

例3.(2022秋,山東青島,八年級(jí)統(tǒng)考期末)三角形內(nèi)角和定理告訴我們：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180。如

何證明這個(gè)定理呢？我們知道，平角是180。，要證明這個(gè)定理就是把三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)移到一個(gè)平角中

去，請(qǐng)根據(jù)如下條件，證明定理.

(1)【定理證明】

圖①圖②圖③

已知：AASC如圖①，求證：ZA+ZB+ZC=180°.

(2)【定理推論】如圖②，在AABC中，有NA+/3+NC=180。，點(diǎn)。是3c延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，由平角的定

義可得NA8+NACB=180。，所以NACD=,從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角

等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

【初步運(yùn)用】如圖③，點(diǎn)。、E分別是AABC的邊AB、AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn).

(3)若/A=80°,ND3c=150。，貝l|NACB=.(4)若NA=80°,貝I]ND3C+NECB=.

【拓展延伸】如圖④，點(diǎn)。、E分別是四邊形ABPC的邊AB、AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn).

(5)若/A=80°,ZP=150°,貝l|ND3P+NECP=.

(6)分別作尸和/ECP的平分線即1、CN,如圖⑤，若BM〃CN,則ZA和二尸的關(guān)系為

(7)分別作ND3尸和/ECP的平分線，交于點(diǎn)O,如圖⑥，求出NZ,N。和NP的數(shù)量關(guān)系，說明理

由.

【答案】(1)見解析；(2)ZA+ZB；(3)70°；(4)260°；(5)230°；(6)ZA=ZP-,(7)

ZA+2ZO=ZP,理由見解析

【分析】(1)過點(diǎn)A作根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角的定義解決.

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的定義即可解答.

(3)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可解答；

(4)根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得=

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得NA+NAfiC+NACB=180。，以此即可求解.

(5)連接AP,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理的推論即可解答.

(6)過點(diǎn)尸作尸?！?河，由(1)可知，ZDBP+AECP=ZA+ZBPC,貝|

；(NDBP+NECP)=；(ZA+NBPC),根據(jù)平行線和角平分線的性質(zhì)可得g(/DBP+NECP)=ZBPC,貝I]

ZBPC=1(ZA+ZBPC),以此即可求解.

(7)由(1)可知，NDBP+NECP=ZA+NBPC,貝ug(ZDBP+NECP)=g(NA+NBPC),根據(jù)角平分線

的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和為360。即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，過點(diǎn)A作肱V〃BC,

^MN//BC,:.ZMAB=AB,NNAC=NC,

ZMAB+ZBAC+ZNAC=1WP,：.ZB+ZBAC+C=180°.

(2)ZA+ZB+ZACB=180°,ZACD+ZACB=18Q°,

:.ZACD=ZA+ZB.故答案為：ZA+Z.B.

(3)■.■ZDBC=ZA+ZACB,ZA=80°,ZDBC=150°,

ZACB=ZDBC-ZA=150°-80°=70°；故答案為：70。；

(4)-;ZDBC=ZA+ZACB,NECB=ZA+ZABC,:.ZDBC+ZECB=ZA+ZABC+ZA+ZACB,

?.?ZA+ZABC+ZACB=180。，ZA=80°,

??./aBC+NECB=ZA+ZABC+ZA+ZAa?=180o+80o=260。.故答案為：260。.

(5)如圖，連接AP,ZDBP=ZBAP+ZAPB,ZECP=ZCAP+ZAPC,

ZDBP+ZECP=NBAP+ZAPB+ZCAP+ZAPC,

?/ZBAP+ZCAP=ZA=80°,ZAPS+ZAPC=ZP=150°,

ZDBP+ZECP=ZA+ZP=80°+150°=230°.故答案為：230°.

(6)如圖，過點(diǎn)尸作則尸?！–N,

由(1)知，ZDBP+NECP=ZA+/BPC,A|(ZDBP+ZECP)=1(ZA+ZJBPC),

PQ//BM//CN,ZMBP=ZBPQ,ZNCP=ZCPQ,ZBPQ+ZCPQ=ZBPC=ZMBP+ZNCP,

?;BM、CN分別是ND3尸和NECP,1(ZDBP+ZECP)=ZMBP+ZNCP=ABPC,

.?.ZBPC=1(ZA+ZBPC),:.ZBPC=ZA.故答案為：ZA=ZP.

(7)ZA+2ZO=ZP,理由如下：

由(1)知，ZDBP+/ECP=ZA+/BPC,A|(ZDBP+ZECP)=1(ZA+ZBPC),

QOB、OC分別為4汨尸和/ECP的角平分線，

ZOBP+ZOCP=1(ZDBP+ZECP),:.NOBP+NOCP=g(NA+NBPC),

?.?NO3P+/OCP+(/360°—/3PC)+NO=360°,/.1(ZA+ZBPC)-ZBPC+ZO=0,

:.ZA+2ZO=ZBPC,SPZA+2ZO=ZP.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理的證明、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，根據(jù)

題干作出正確的輔助線是解題關(guān)鍵.

模型3、角內(nèi)翻模型

條件：如圖1,將三角形紙片ABC沿跖邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABPE內(nèi)部時(shí)，結(jié)論：2ZC=Z1+Z2；

條件：如圖2,將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE外部時(shí)，結(jié)論：2ZC=Z2-Zlo

例L（2023春?江蘇鎮(zhèn)江?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，ULBC中，ZA=67°,將"LBC沿OE翻折后，點(diǎn)A

落在BC邊上的點(diǎn)A處，如果/A'EC=74。，那么NA75E的度數(shù)為.

【答案】60°

【分析】根據(jù)翻折性質(zhì)求得4ND,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解:由折疊性質(zhì)得NDA'E=NA,ZAED^ZAED,

0ZA=67°,ZA，EC=74。,51ZDA'E=67°,ZArED=|ZA'EA=1（180°-74°）=53°,

0ZADE=180°-ZDAE-ZA'ED=180°-67°-53°=60°,故答案為：60°.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握翻折性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

例2.（2022秋?遼寧撫順?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在"1BC中，ZB=30°,將AABC沿直線機(jī)翻折，點(diǎn)8

落在點(diǎn)。的位置，則/I-/2的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.70°

【答案】C

【分析】由折疊的性質(zhì)可得=ND=30。，再根據(jù)外角的性質(zhì)即可求出結(jié)果.

【詳解】解：將AABC沿直線機(jī)翻折，交BC于點(diǎn)E、F,如圖所示：

由折疊的性質(zhì)可知：ZB=ZD=3Q°,根據(jù)外角的性質(zhì)可知：Z1=ZB+Z3,Z3=Z2+ZD,

.-.Z1=ZB+Z2+ZD=Z2+2ZB,.-.Zl-Z2=2ZB=60°,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、翻折變換的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

例3.（2023春,重慶黔江,七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖LAABC中，NA=64。，?B90?,NC=26。.點(diǎn)。是

AC邊上的定點(diǎn)，點(diǎn)E在8c邊上運(yùn)動(dòng)，沿DE折疊ACDE,折疊后點(diǎn)C落在點(diǎn)P處.下面我們來研究折疊

后的△DER有一邊與原三角形A4BC的一邊平行時(shí)ZADF的值.

圖2

⑴首先我們來研究邊DE.因?yàn)镈E和AABC的AC、3c相交，所以只有一種可能的情況（如圖2）,

DE//AB,此時(shí)NAD^=.

（2）其次，我們來研究邊因?yàn)辄c(diǎn)E在3c上，所以所可能與AABC的邊A3、AC邊分別平行.

當(dāng)EF〃AB時(shí)（如下圖），則.

當(dāng)EF〃AC時(shí)（如下圖），則/40尸=.

⑶最后，我們來研究邊FD.因?yàn)辄c(diǎn)。在AC上，所以FD可能與AABC的邊A3、8C邊分別平行.

當(dāng)FD〃A3時(shí)，ZADF=.當(dāng)即〃3c時(shí)，ZADF=.

【答案】⑴52°（2）142?；?8。；26°⑶64。或116°；26°

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出"EE=NC=26。，再根據(jù)外角的性質(zhì)得出NAZZFu/OEE+NC計(jì)算得

出結(jié)論即可；（2）當(dāng)所〃AB時(shí)，分情況求出NAD尸的度數(shù)，當(dāng)跖〃AC時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)直接得出

NADF的度數(shù)即可；（3）當(dāng)FD〃AB時(shí)，分情況求出NAT中的度數(shù)，當(dāng)ED〃3c時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)

直接得出NA/m的度數(shù)即可.

【詳解】（1）解：由題意知，ZDFE=ZC=26°,

0ZADF=ZDFE+ZC=26°+26°=52°,故答案為：52°；

（2）解：當(dāng)?！◣洠?）時(shí)（如圖3）,

0ZF+ZEMF=9O°,ZF=ZC,ZC+ZA=90°,ZEMF=ZDMB=ZA=64°,

回ZADF=180°-ZA-ZB-ZDMB=360°-64°-90°-64°=142°；

當(dāng)EF〃AB（2）時(shí)，0ZAA^=ZA=64°,ZF=ZC=26°,

S!ZADF=ZANF-ZF=64°-26°=38°,故答案為：142。或38°；

當(dāng)EF〃AC時(shí)，ZADF=ZF=ZC=26°,故答案為：26。；

（3）解：當(dāng)即〃AB時(shí)，/4。/=/4=64?；?/4￡＞歹=180。一/4=116。，故答案為：64?；?16。；

當(dāng)FD〃3c時(shí)，ZADF=ZC=26°,故答案為：26。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的綜合題，熟練掌握折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和是180。等知

識(shí)是解題的關(guān)鍵.

例4.（2023?湖北武漢?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖，將/A4c沿OE折疊，使點(diǎn)A落在/BAC的內(nèi)部

的點(diǎn)M處，當(dāng)NA=50。，ZBDM=30°^,求NCEN的度數(shù)；

（2）如圖，將/BAC沿￡＞后折疊，使點(diǎn)A落在NA4c的外部的點(diǎn)M處.求圖中2,ZBDM,

NCEM之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖，將/A、ZB一起沿所折疊，使點(diǎn)A、點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M、N分別

落在射線3。的左右兩側(cè)，ZCEM,ZDFN,NA、/B的數(shù)量關(guān)系一.（直接寫結(jié)果，不需要過程）

【答案】（1）70°,（2）2ZA=NBDM-NCEM,（3）2（ZA+ZB）=Z.CEM-Z.DFN+360°

【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)表示出/3、Z4,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得

2ZA=Z1+Z2,問題隨之得解；（2）先根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平角的定義表示出N3、Z4,再根據(jù)三角形

的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（3）先根據(jù)翻折的性質(zhì)表示出/3、N4,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列

式整理即可得解.

【詳解】解：(1)如圖，ZBDM=4,ZCEM=Z2,ZADE=Z3,ZAED=/4,

El翻折，EZ3=ZEDM=-(18O°-Z1),Z4=ADEM=-(180°-Z2),

22

0ZA+Z3+Z4=18O°,ZA=5O°,Z1=ZBDM=30°,

0ZA+1(18O°-Z1)+1(18O0-Z2)=18O°,整理得，2NA=/1+N2,

0ZA=5O°,Zl=ZBDM=30°,0Z2=2ZA-Z1=7O°,即NC￡M=70°；

(2)如圖，ZBDM=Z\,/CEM=Z2,ZADE=Z3,ZAED=Z4,

團(tuán)翻折，EZ3=Z￡DM=1(180°-Zl),Z4=ZMED=1(180°+Z2),

0ZA+Z3+Z4=18O°,0ZA+-(180°-Zl)+-(180°+Z2)=180°,

22

整理得，2ZA=Z1-Z2,BP2ZA=ABDM-ZCEM；故答案為：2ZA=ZBDM-ZCEM■,

(3)如圖，ZCEM=Zl,ZDFN=Z2,ZAEF=Z3,NBFE=N4,

回翻折，fflZ3=ZFEM=1(180°-Zl),Z4=ZNFE=1(180°+Z2),

oo

0ZA+ZS+Z3+Z4=36O°,0ZA+ZJB+1(180-Zl)+1(180+Z2)=360°,

整理得，2(ZA+ZB)=Z1-Z2+36O°,即2(ZA+NB)=/CW-/ZW+360。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，翻折的性質(zhì)，熟練掌握折痕是角平分線，三角形的內(nèi)角和

是180。，是解題的關(guān)鍵.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.(2023?四川綿陽?八年級(jí)?？计谥?如圖，AABC中，ZC=90°,將AABC沿DE折疊，使得點(diǎn)B落在

AC邊上的點(diǎn)/處，若NCFD=60。且NA￡F=NAFE,則/A的度數(shù)為()

【答案】B

【分析】平角的定義，求出NARD的度數(shù)，翻折，得到=等邊對(duì)等角，得到

ZAFE=1(180°-ZA),三角形內(nèi)角和定理，得到NDEE=NB=90O-NA,再根據(jù)NAED=

列式求解即可.

【詳解】解：EIAABC中，ZC=90°,13ZB=90o-ZA,

回將AABC沿OE折疊，使得點(diǎn)8落在AC邊上的點(diǎn)尸處，0ZZJFE=ZB=90°-ZA,

0ZCfZ)=60°,0ZAED=12O°,^\ZAEF=ZAFE,0ZAFE=^(180°-ZA),

EIZAa=ZAfE+N￡)PE=90°-ZA+g(180°-ZA)=120°,0ZA=4O°；故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查與折疊有關(guān)的三角形的內(nèi)角和問題，等邊對(duì)等角.解題關(guān)鍵是理清角度之間的等量關(guān)

系.

2.(2023?河南安陽?八年級(jí)?？计谥?如圖，把0ABe紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形8CE。的外部

時(shí)，則0A與加和團(tuán)2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是()

B

A.20A=01-02B.3EIA=2（Ell-02）C.30A=201-EI2D.EA=01-02

【答案】A

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得NA=NA',根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得到

Z1=ZDOA+ZA,ZDOA=Z2+ZA,然后列式整理即可得解.

【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得NA=N/V.在△AQD中，Z1=ZDOA+ZA,

在AAOE中，ZD（M=Z2+ZA,,囪N1=ZA'+N2+ZA,SP2ZA=Z1-Z2.故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)

角的和的性質(zhì)把角與角之間聯(lián)系起來是解題的關(guān)鍵.

3.（2023秋?重慶開州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將AABC沿BE翻折交AC于點(diǎn)。，又將△3CD沿碗翻

折，點(diǎn)C落在8E上的C'處，其中NA'=18。，/C'DB=68。，則原三角形中NC的度數(shù)為（）

A

A.87°B.75°C.85°D.70°

【答案】A

【分析】設(shè)/C3D=x°,由翻折得？AfiE1A</BE?CBDx?,根據(jù)三角形內(nèi)角和得到

180-18-3x=180-68-x,求出x=25,再利用三角形內(nèi)角和求出/C的度數(shù).

【詳解】解：設(shè)NCBD=x。，由翻折得？ABE?A!^E1CBDX!

0?A?418?,?CDB?CbB687E180-18-3x=180-68-x解得x=25,

ABElAf/BE?CBD25?回加C=3x=75°回？C180?7A?ABC87?故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了翻折的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，一元一次方程，正確掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

4.（2023?廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在AABC中，NB=28。，將AABC沿直線機(jī)翻折，點(diǎn)8落在點(diǎn)。

【分析】根據(jù)折疊得出&0=&8=28。，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出回l=aB+aBERSBEF^2+SD,求出

回1=回2+[32+回。即可.

【詳解】解：如圖，

盟8=28。，將AABC沿直線機(jī)翻折，點(diǎn)8落在點(diǎn)。的位置，回SD=aB=28。，

001=0B+EB￡F,國(guó)2￡尸=回2+回￡>,團(tuán)回]=02+團(tuán)2+團(tuán)。，

0E1-02=0B+EI￡>=28O+28O=56O,故答案為：56°.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，能熟記三角形的外角性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意:

三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

5.（2023?河南平頂山?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接

AB.BC、CD、DE、EA,若/BCD=80°,貝UZA+ZB+ZE>+/E=

A

E

C

D

【答案】260。/260度

【分析】連接80,利用四邊形內(nèi)角和定理和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.

【詳解】如圖，連接8。，

則ZA+ZABC+/CBD+/CDB+NCDE+NE=360。,Z.CBD+Z.CDB+Z.BCD=180°,

0Z.BCD=80°,0NCBD+NCDB=100°,

0ZA+ZABC+ZCDE+ZE=36OO-1OOO=26O°,故答案為：260。.

【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形內(nèi)角和定理和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握兩個(gè)定理是解題的關(guān)鍵.

6.（2023秋?浙江?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在AABC中，C￡＞是A3邊上的高，點(diǎn)E,尸分別是AB,AC邊

上的點(diǎn)，連接所，將AAE尸沿著跖翻折，使點(diǎn)A與2c邊上的點(diǎn)G重合，若NEGB=90°,

ZDCB+ZCFG=82°,則—ACD的度數(shù)為.

【答案】49°/49度

【分析】利用三角形內(nèi)角和求出ZBEG=ZDCB,結(jié)合已知得到NBEG+NCFG=82。，可求得

ZAFG+ZAEG=m°,再根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得ZAFE=gZAFG,ZAEF=^ZAEG,進(jìn)一步求出NA,再利

用三角形內(nèi)角和求出結(jié)果.

【詳解】解：團(tuán)8是A3邊上的高，/EGB=90°,51ZBDC=ZADC=ZBGE=90°,

EIZB=ZB,0NBEG=NDCB,0NDCB+NCFG=82°,0ZBEG+ZCFG=82°,

0ZAFG+ZAEG=18O0x2-82°=278°,由折疊可得：ZAFE=^ZAFG,ZAEF=^ZAEG,

0ZAFE+ZAEF=；(NAFG+ZAEG)=139°,ElNA=180°-139°=41°,

0ZACD=1800-ZAZ)C-ZA=49°,故答案為：49°.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，折疊的性質(zhì)，三角形的高，圖中線段較多，解題的關(guān)鍵是理清角之間

的關(guān)系，根據(jù)折疊得到相等的角.

7.(2023春?江蘇鎮(zhèn)江?七年級(jí)校考階段練習(xí))如圖，中，NA=67。，將AABC沿OE翻折后，點(diǎn)A落

在5c邊上的點(diǎn)A處，如果NA'EC=74。，那么/dDE的度數(shù)為.

【答案】60760a

【分析】根據(jù)翻折性質(zhì)求得NAED,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】解：由折疊性質(zhì)得mVE=ZA,ZAED=ZAED,

0ZA=67°,ZA'EC=74°,回/"'￡=67°,ZA'ED=|ZA^=1(180°-74°)=53°,

0ZA/DE=180°-ZDAE-ZAED=180°-67°-53°=60°,故答案為：60°.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握翻折性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

8.(2023?湖南永州?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，若△OAD回△QBC,且/O=60。，ZC=20°,則

ZOAD^.

O

【答案】1007100M

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和求得N08C=100。，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得/Q4D=NOBC=100°即可.

【詳解】解：EZO=60°,ZC=20°,0ZOBC=100°,

又回△Q4D回△O3C,0Zft4D=ZOBC=lOO0.故答案為：100°.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和及全等三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理解全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.

9.（2023春四川,七年級(jí)統(tǒng)考期末）在四邊形ABCD中，ZA=98°,ZD=140°.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若NB=NC,貝度；

(2)如圖2,作ZBCD的平分線CE交A3與點(diǎn)E,^CE//AD,求—8的度數(shù)；

(3)如圖3,作—ABC和/DCB的平分線交于點(diǎn)E,求—3EC的度數(shù).

【答案】⑴61。⑵42。(3)119°

【分析】(1)根據(jù)四邊形內(nèi)角和，ZA=98°,ZD=14O。求出NB+NC的值即可求解；

(2)根據(jù)平行的性質(zhì)及角平分線求出NECB=40。，NCEB=98。,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解;

(3)根據(jù)角平分線求出NEBC+NECB=61。，再利用三角形內(nèi)角和定理求解.

【詳解】(1)解：在四邊形ABCD中，ZA+ZS+ZC+ZD=360°,

?/ZA=98°,ZD=140°,ZB+ZC=360°-98°-140°=122°,

-.-ZB=ZC,.-.ZB=-xl22°=61°；

J2

(2)解:■.■CE//AD,:.ZCEB^ZA=98°,ZD+ZDCE=180°,

ZDCE=180°-ZD=l80°-140°=40°,

CE平分ZBCD,ZECB=ZDCE=40°,

在.BCE中，ZB+NBCE+NCEB=180°,

.-.ZB=180°-Z,CEB-Z.BCE=180°-98°-40°=42°；

(3)解:由(1)可知/ABC+/BCD=122。，

BE平分/ABC,CE平分ZBCD,

ZEBC=-ZABC,ZECB=-ZBCD,

22

NEBC+ZECB=-ZABC+-ZBCD=-(ZABC+ZBCD)=-xl22°=61°,

222''2

.?.ZBEC=180o-(Z￡BC+ZECB)=180o-61o=119°.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形內(nèi)角和，三角形內(nèi)角和，角平分線的定義，平行性質(zhì)，掌握相關(guān)定理性質(zhì)是關(guān)

鍵.

10.（2023?浙江杭州?八年級(jí)專題練習(xí)）（2018十三中開學(xué)考）已知，在AABC中，0A=6O°,

（1）如圖①，I3ABC和回ACB的角平分線交于點(diǎn)O,則回BOC=；

（2）如圖②，回ABC和回ACB的三等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)Oi,5,則/BCC=;

（3）如圖③，團(tuán)ABC和回ACB的〃等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)Ch,。2,…,O,T（內(nèi)部有n-1個(gè)點(diǎn)）,則

（4）如圖③，團(tuán)ABC和回ACB的〃等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)Ch,Ch,…，若NBO,TC=90。，求〃的

值.

【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出回ABC+回ABC,然后根據(jù)角平分線的定義即可求出回OBC+

0OCB,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出回ABC+回ABC,

然后根據(jù)三等分線的定義即可求出回O2BC+國(guó)O2CB,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；（3）根據(jù)三

角形的內(nèi)角和定理即可求出回ABC+回ABC,然后根據(jù)〃等分線的定義即可求出回0-iBC+團(tuán)On—iCB,再根據(jù)三

角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；（4）根據(jù)（3）的結(jié)論列出方程即可求出結(jié)論.

【詳解】解：（1）國(guó)在&43C中，囿4=60°,00ABC+EABC=18O°-0A=12O°

EBABC和I3ACB的角平分線交于點(diǎn)。，EEOBC=^-E1ABC,0OCB=yElACB

03C）BC+EIC）CB=1■回ABC+；回ACB=：（0ABC+0ACB）=60°

00BOC=18O°-（0OBC+EOCB）=120°故答案為：120°.

（2）團(tuán)在AABC中，0A=6O°,00ABC+0ABC=18O0-0A=12O°

甌ABC和回ACB的三等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)Oi,。2,

22222

回回02BC=§回ABC,回02cB回ACB回團(tuán)O2BC+回02cB回ABC+§回ACB=§（回ABC+回ACB）=80°

團(tuán)/5。2。=180°—(0O2BC+0O2CB)=100°故答案為：100°.

(3)團(tuán)在AABC中，0A=6O°,fflABC+0ABC=18O°-0A=12O°

加ABC和團(tuán)ACB的n等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)。1,02,%

n-1n-1

MO-iBC=——團(tuán)ABC,團(tuán)On—1CB二——回ACB

nnn

,n-1,n-1n-l/,、120及一120

加0n-iBC+00n-iCB=——回ABCT——回ACB二——(團(tuán)ABC+團(tuán)ACB)

nnnIn

60〃+120）。工二林460〃+120)。

=180°-(團(tuán)O2BC+回O2CB)--------P故答案為A:L

Inn

60n+120、門

(4)由(3)知：NBO〃TC=

n

回60〃+120=90解得:"4經(jīng)檢驗(yàn)：n=4是原方程的解.

n

【點(diǎn)睛】本題考查了n等分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理，掌握n等分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理

是解決此題的關(guān)鍵.

11.（2023?北京?一模）在課外活動(dòng)中，我們要研究一種凹四邊形一一燕尾四邊形的性質(zhì).

定義1：把四邊形的某些邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊有不在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四

邊形（如圖1）.

(1)根據(jù)凹四邊形的定義，下列四邊形是凹四邊形的是（填寫序號(hào)）

②③

定義2：兩組鄰邊分別相等的凹四邊形叫做燕尾四邊形（如圖2）.

c

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特別地，有三邊相等的凹四邊形不屬于燕尾四邊形.

小潔根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形、菱形、矩形、正方形的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)燕尾四邊形的性質(zhì)進(jìn)行了探究.

下面是小潔的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（2）通過觀察、測(cè)量、折疊等操作活動(dòng)，寫出兩條對(duì)燕尾四邊形性

質(zhì)的猜想，并選取其中的一條猜想加以證明；（3）如圖2,在燕尾四邊形ABC。中，AB=A