2024年中考數(shù)學(xué)題型突破：二次函數(shù)與線段有關(guān)的問題27題（專項訓(xùn)練）（學(xué)生版）

類型二二次函數(shù)與線段有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）

1.（2。23?重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=*+6x+c與x

軸交于點A,B,與,軸交于點C,其中3（3,0）,C（0,-3）.

（1）求該拋物線的表達(dá)式;

（2）點尸是直線AC下方拋物線上一動點，過點尸作于點。，求的最大值及此時

點P的坐標(biāo);

（3）在（2）的條件下，將該拋物線向右平移5個單位，點E為點尸的對應(yīng)點，平移后的拋物

線與＞軸交于點/，。為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點.寫出所有使得以。尸為腰的

△QE尸是等腰三角形的點Q的坐標(biāo)，并把求其中一個點Q的坐標(biāo)的過程寫出來.

2.（2023?四川涼山?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線與x軸交于4（1,0）和3（-5,0）兩點,

與y軸交于點C.直線y=-3x+3過拋物線的頂點p.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;

(2)若直線x=m(-5<m<0)與拋物線交于點E,與直線BC交于點F.

①當(dāng)所取得最大值時，求加的值和EF的最大值；

②當(dāng)是等腰三角形時，求點E的坐標(biāo).

3.小聰設(shè)計獎杯，從拋物線形狀上獲得靈感，在平面直角坐標(biāo)系中畫出截面示意圖，如圖1,

杯體ACB是拋物線的一部分，拋物線的頂點C在y軸上，杯口直徑AB=4,且點A,B關(guān)

于y軸對稱，杯腳高CO=4,杯高。。=8,杯底MN在x軸上.

（1）求杯體ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式（不必寫出x的取值范圍）.

（2）為使獎杯更加美觀，小敏提出了改進方案，如圖2,杯體ACB'所在拋物線形狀不變,

杯口直徑45'//45,杯腳高CO不變，杯深C。'與杯高OD'之比為0.6,求A笈的長.

4.（2023?浙江金華?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=+若與x軸，》軸分別交于點48,

拋物線的頂點P在直線上，與x軸的交點為CD,其中點C的坐標(biāo)為（2,0）.直線3C與

直線P￡＞相交于點E.

(1)如圖2,若拋物線經(jīng)過原點0.

①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②求當(dāng)?shù)闹?

EC

(2)連接PC,NCPE與/BAO能否相等？若能，求符合條件的點P的橫坐標(biāo)；若不能，試說明

理由.

5.如圖1,隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另

一邊AB為2米.以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐

標(biāo)系xOy,規(guī)定一個單位長度代表1米.E(0,8)是拋物線的頂點.

⑵在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“ITI”型或“R”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所

示，點片，鳥在x軸上,MN與矩形［巴巴巴的一邊平行且相等.柵欄總長1為圖中粗線段耳鳥，

PR，舄舄，MN長度之和.請解決以下問題：

（i）修建一個“E”型柵欄，如圖2,點尸2，6在拋物線AED上.設(shè)點A的橫坐標(biāo)為

7M（0<m<6）,求柵欄總長1與m之間的函數(shù)表達(dá)式和1的最大值；

（ii）現(xiàn)修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的修建“m”型或“R”型柵型

兩種設(shè)計方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形［巴與々面積的最大值，及取最大值

時點片的橫坐標(biāo)的取值范圍（片在以右側(cè)）.

6.（2023?江西?統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐

問題提出：某興趣小組開展綜合實踐活動：在RtaABC中，ZC=90°,。為AC上一點，

CD=42,動點P以每秒1個單位的速度從C點出發(fā)，在三角形邊上沿Cf3fA勻速運

動，到達(dá)點A時停止，以DP為邊作正方形DPEF設(shè)點尸的運動時間為把，正方形DPEF的

而積為S,探究S與/的關(guān)系

圖1圖2

(1)初步感知：如圖1,當(dāng)點尸由點C運動到點8時，

①當(dāng)r=1時，S—.

②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為.

(2)當(dāng)點尸由點8運動到點A時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于/的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示

的圖象請根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于f的函數(shù)解析式及線段48的長.

⑶延伸探究：若存在3個時刻4也,％(/1＜芍＜/3)對應(yīng)的正方形。?即的面積均相等.

①4+4=;

②當(dāng)4=氣時，求正方形DPEF的面積.

7.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線y=—x'+bx+c經(jīng)過點A(—1,0)和點B(0,3),

頂點為C,點D在其對稱軸上，且位于點C下方，將線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,

點C落在拋物線上的點P處.

⑴求拋物線的解析式；

⑵求點P的坐標(biāo)；

(3)將拋物線平移，使其頂點落在原點0,這時點P落在點E的位置,在y軸上是否存在點M,

使得MP+ME的值最小，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

8.(2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題)如圖1,拋物線、=-爐+及與x軸交于點A,與直線

交于點3(4,7),點C(0,T)在，軸上.點P從點3出發(fā)，沿線段3。方向勻速運動，運動

到點。時停止.

(1)求拋物線〉=-1+云的表達(dá)式；

⑵當(dāng)2尸=20時，請在圖1中過點P作PDLQ4交拋物線于點。，連接PC,OD,判斷

四邊形OCPD的形狀，并說明理由.

⑶如圖2,點尸從點3開始運動時，點Q從點。同時出發(fā)，以與點尸相同的速度沿x軸正方

向勻速運動，點尸停止運動時點。也停止運動.連接BQ,PC,求CP+8Q的最小值.

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=Y一2x-3與x軸相交于點A、B(點A在點B的

左側(cè))，與y軸相交于點C,連接AC,8c.

（1）求線段AC的長；（2）若點P為該拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)=時，求點P的

坐標(biāo)；

（3）若點M為該拋物線上的一個動點，當(dāng)ABCW為直角三角形時，求點M的坐標(biāo).

10.（2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）已知（占,%）,（%,%）是拋物G：y=f+云（6為常數(shù)）

上的兩點，當(dāng)為+々=0時，總有為=%

⑴求6的值；

（2）將拋物線G平移后得到拋物線C2:y=+1（加＞0）.

探究下列問題：

①若拋物線C1與拋物線Cz有一個交點，求機的取值范圍；

②設(shè)拋物線C?與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,拋物線C2的頂點為點區(qū)融。外

接圓的圓心為點尸，如果對拋物線G上的任意一點P在拋物線C?上總存在一點Q,使得

點P、。的縱坐標(biāo)相等.求所長的取值范圍.

11.如圖,已知拋物線L：y=%2+fee+c經(jīng)過點4(0,-5),5(5,0).

(1)求仇C的值；

(2)連結(jié)AB,交拋物線L的對稱軸于點M.

①求點M的坐標(biāo)；

②將拋物線L向左平移＞0)個單位得到拋物線L.過點M作MN//y軸，交拋物線Lx于

點N.P是拋物線4上一點，橫坐標(biāo)為—1,過點P作P￡//x軸，交拋物線L于點E,點E

在拋物線L對稱軸的右側(cè).若PE+MN=T0,求m的值.

12.(2023?山東棗莊?統(tǒng)考中考真題)如圖，拋物線y=-無2+法+,經(jīng)過4-1,0),6(0,3)兩點,

并交x軸于另一點8,點M是拋物線的頂點，直線AM與軸交于點D

(1)求該拋物線的表達(dá)式;

(2)若點X是x軸上一動點，分別連接MH,DH,求MH+DH的最小值；

(3)若點尸是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點0,使得以。，M,P,。為頂點的

四邊形是平行四邊形？若存在，請自毯寫出所有滿足條件的點。的坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點A,3在％軸上，拋物線

y=必+區(qū)+。經(jīng)過點6,￡>(T,5)兩點，且與直線。C交于另一點E.

(1)求拋物線的解析式;

(2)/為拋物線對稱軸上一點，。為平面直角坐標(biāo)系中的一點，是否存在以點Q,F，E，

3為頂點的四邊形是以5E為邊的菱形.若存在，請求出點廠的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由;

(3)尸為》軸上一點，過點尸作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接ME，BP.探

究EM+MP+PB是否存在最小值.若存在，請求出這個最小值及點M的坐標(biāo);若不存在,

請說明理由.

14.(2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=辦2+法+。與

x軸交于網(wǎng)4,0),C(—2,0)兩點.與y軸交于點4(0,—2).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

⑵若點尸是直線A8下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交相于點K,過點尸

作y軸的平行線交x軸于點D,求與;PK+PD的最大值及此時點P的坐標(biāo)；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使得是以AB為一條直角邊的直角三角形:

若存在，請求出點用的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

15.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線丁=。/+力%+(:與x軸分別相交于A、B兩

點，與y軸相交于點C,下表給出了這條拋物線上部分點(x,y)的坐標(biāo)值:

??????

X—10123

??????

y03430

(1)求出這條拋物線的解析式及頂點M的坐標(biāo);

(2)PQ是拋物線對稱軸上長為1的一條動線段(點P在點Q上方)，求AQ+QP+PC

的最小值;

(3)如圖2,點D是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，過點D作J_x軸，垂足為F,ZXABD

的外接圓與。尸相交于點E.試問：線段跖的長是否為定值？如果是，請求出這個定值;

如果不是，請說明理由.

圖1圖2

16.(2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題)已知拋物線〉=-m2+樂+￡:與；1軸交于4,8(4,0)兩點,

與y軸交于點C(0,2),點尸為第一象限拋物線上的點，連接C4,CB,尸瓦尸C.

(2)如圖1,當(dāng)ZPCB=2ZOCA時，求點尸的坐標(biāo)；

(3汝口圖2,點。在y軸負(fù)半軸上，OD=03,點。為拋物線上一點，NQ5￡>=90。，點E,

廠分別為△3OQ的邊。Q,08上的動點，QE=DF,記8E+Q尸的最小值為相.

①求m的值；

②設(shè)APCB的面積為S,若S=請直接寫出左的取值范圍.

4

17.已知拋物線y=ta2+bx—3與X軸相交于4—1,0),3(3,0)兩點，與y軸交于點C,

點N(“,0)是x軸上的動點.

圖I

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,若〃<3,過點N作X軸的垂線交拋物線于點P,交直線于點G.過點P

作PDLBC于點D,當(dāng)n為何值時，4PDG、BNG；

(3)如圖2,將直線繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使它恰好經(jīng)過線段0C的中點，然后將它向

上平移三3個單位長度，得到直線。耳.

2

①tan/804=；

②當(dāng)點N關(guān)于直線。用的對稱點M落在拋物線上時，求點N的坐標(biāo).

18.(2023?山東?統(tǒng)考中考真題)已知拋物線y=-/+bx+c與x軸交于A,8兩點，與y軸

交于點。(0,4),其對稱軸為了=-：.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖1,點。是線段0C上的一動點，連接AD,BD,將沿直線AD翻折，得到

NAB'D,當(dāng)點8'恰好落在拋物線的對稱軸上時，求點。的坐標(biāo)；

(3)如圖2,動點P在直線AC上方的拋物線上，過點尸作直線AC的垂線，分別交直線AC,

線段8C于點E,F,過點尸作軸，垂足為G,求FG+后尸尸的最大值.

1,3一

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=--X-+—X+4與兩坐標(biāo)軸分別相交于A,

42

B,C三點

(1)求證：ZACB=90°

(2)點D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動點，過點D作x軸的垂線交BC于點E,交x軸于點

F.

①求DE+BF的最大值；

②點G是AC的中點，若以點C,D,E為頂點的三角形與AAOG相似，求點D的坐標(biāo).

20.如圖，拋物線y=(%+1)(%-。)(其中a>l)與x軸交于A、B兩點，交y軸于點C.

(1)直接寫出N0C4的度數(shù)和線段AB的長(用a表示)；

(2)若點D為5c的外心，且△BCD與△ACO的周長之比為麗：4,求此拋物線

的解析式；

(3)在(2)的前提下，試探究拋物線y=(x+l)(x-a)上是否存在一點P,使得

NC4P=NDB4?若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

21.如圖，二次函數(shù)丫=a*沁*+*的圖象過0(0,0)、A(1,0)、B(|,爭三點.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)若線段0B的垂直平分線與y軸交于點C,與二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分相交于

點D,求直線CD的解析式；

(3)在直線CD下方的二次函數(shù)的圖象上有一動點P,過點P作PQ_Lx軸，交直線CD于Q,

當(dāng)線段PQ的長最大時，求點P的坐標(biāo).

22.如圖，拋物線y=ax2+bx+4交x軸于A(-3,0),B(4,0)兩點,與y軸交于點C,AC,

BC.M為線段0B上的一個動點，過點M作PMLx軸，交拋物線于點P,交BC于點Q.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)過點P作PNLBC,垂足為點N.設(shè)M點的坐標(biāo)為M(m,0),請用含m的代數(shù)式表示線

段PN的長，并求出當(dāng)m為何值時PN有最大值，最大值是多少？

(3)試探究點M在運動過程中，是否存在這樣的點Q,使得以A,C,Q為頂點的三角形是

等腰三角形.若存在，請求出此時點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

23.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=—京+5與x軸、y軸分別交于點A、B(如圖).拋物

線y=ax、bx(aWO)經(jīng)過點A.

(1)求線段AB的長；

(2)如果拋物線y=ax2+bx經(jīng)過線段AB上的另一點C,且BC=逐，求這條拋物線的表達(dá)式；

(3)如果拋物線y=ax?+bx的頂點D位于△AOB內(nèi)，求a的取值范圍.

24,若一次函數(shù)y=-3x-3的圖象與x軸，y軸分別交于A,C兩點，點B的坐標(biāo)為⑶0),

二次函數(shù)yuax'+bx+c的圖象過A,B,C三點，如圖(1).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖(1),過點C作CD//x軸交拋物線于點D,點E在拋物線上(y軸左側(cè))，若BC

恰好平分NDBE.求直線BE的表達(dá)式；

(3)如圖(2),若點P在拋物線上(點P在